Меню

Погрешность нескольких измерений формула



Расчет погрешности измерений

3.1 Среднеарифметическая погрешность.Как уже отмечалось раньше, измерения принципиально не могут быть абсолютно точными. Поэтому в ходе измерения возникает задача об определении интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Такой интервал указывают в виде абсолютной ошибки измерения.

Если предположить, что грубые промахи в измерениях устранены, а систематические ошибки сведены к минимуму тщательной настройкой приборов и всей установки и не являются определяющими, то результаты измерений будут, в основном, содержать только случайные погрешности, которые являются знакопеременными величинами. Поэтому, если проведено несколько повторных измерений одной и той же величины, то наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднеарифметическое значение:

(1)

где ai, — значение отдельных измерений, n — число проведенных измерений.

Погрешностью или абсолютной ошибкой отдельного измерения называют разность между значением, полученным в данном измерении, и среднеарифметическим значением измеряемой величины:

(2)

Средней абсолютной ошибкойназывается среднеарифметическое модулей абсолютных ошибок отдельных измерений:

(3)

При достаточно большом числе измерений случайные ошибки возникают с равной вероятностью как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения измеряемой величины, то есть можно считать, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале

(4)

Последнее неравенство обычно принято записывать как окончательный результат измерения следующим образом:

(5)

где абсолютная погрешность aср должна вычисляться (округляться) с точностью до одной-двух значащих цифр. Абсолютная ошибка показывает, в каком знаке числа содержатся неточности, поэтому в выражении для аср оставляют все верные цифры и одну сомнительную. То есть среднее значение и средняя ошибка измеряемой величины должны вычисляться до цифры одного и того же разряда. Например: g = (9,78 ± 0,24) м/с 2 .

Относительная погрешность.Абсолютная ошибка определяет интервал наиболее вероятных значений измеряемой величины, но не характеризует степень точности произведенных измерений. Например, расстояние между населенными пунктами, измеренное с точностью до нескольких метров, можно отнести к весьма точным измерениям, в то время как измерение диаметра проволоки с точностью до 1 мм, в большинстве случаев будет являться весьма приближенным измерением.

Степень точности проведенных измерений характеризует относительная погрешность.

Средней относительной погрешностьюили просто относительной ошибкой измерения называется отношение средней абсолютной ошибки измерения к среднему значению измеряемой величины:

(6)

или выраженная в процентах

(7)

Относительная ошибка является безразмерной величиной и обычно выражается в процентах.

3.2 Погрешность метода или приборная погрешность.Среднеарифметическое значение измеряемой величины тем ближе к истинному, чем больше проведено измерений, при этом абсолютная погрешность измерения с увеличением их числа стремится к значению, которое определяется методом измерения и техническими характеристиками используемых приборов.

Погрешность методаили приборную погрешность можно рассчитать по одноразовому измерению, зная класс точности прибора или другие данные технического паспорта прибора, в котором указывается либо класс точности прибора, либо его абсолютная или относительная погрешность измерения.

Класс точностиприбора выражает в процентах номинальную относительную ошибку прибора, то есть относительную ошибку измерения, когда измеряемая величина равна предельному для данного прибора значению

(8)

Класс точности указывается на шкале прибора цифрой, обведенной кружочком. Согласно ГОСТу все электроизмерительные приборы разделяются на 8 классов: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1.0 1,5; 2,5; 4,0.

Абсолютная погрешность прибора равна предельному для данного прибора значению измеряемой величины, умноженному на класс точности (К) и разделен­ному на 100:

(9)

Абсолютная погрешность прибора не зависит от значения измеряемой величины.

Относительная погрешность прибора (по определению):

(10)

откуда видно, что относительная приборная ошибка тем меньше, чем ближе значение измеряемой величины к пределу измерения данного прибора. Поэтому ре­комендуется подбирать приборы так, чтобы измеряемая величина составляла 60 -90% от величины, на которую рассчитан прибор. При работе с многопредельными приборами тоже следует стремиться к тому, чтобы отсчет производился во второй половине шкалы.

При работе с простыми приборами (линейка, мензурка и т.п.), классы точности и погрешности которых не определены техническими характеристиками, абсолютную погрешность прямых измерений принимают равной половине цены деления данного прибора. (Ценой деления называют значение измеряемой величины при показаниях прибора в одно деление).

Приборную погрешность косвенных измеренийможно рассчитать, используя правила приближенных вычислений. В основе вычисления погрешности косвенных измерений лежат два условия (предположения):

Читайте также:  Интерференционный метод измерения длины волны

1. Абсолютные ошибки измерений всегда очень малы по сравнению с измеряемыми величинами. Поэтому абсолютные ошибки (в теории) можно рассматривать как бесконечно малые приращения измеряемых величин, и они могут быть заменены соответствующими дифференциалами.

2. Если физическая величина, которую определяют косвенным путем, является функцией одной или нескольких непосредственно измеряемых величин, то абсолютная ошибка функции, обусловленная бесконечно малыми приращениями, является также бесконечно малой величиной.

При указанных допущениях абсолютную и относительную погрешность можно рассчитать, используя известные выражения из теории дифференциального исчисления функций многих переменных:

(11)
(12)

Абсолютные ошибки непосредственных измерений могут иметь знаки «плюс» или «минус», но какой именно — неизвестно. Поэтому при определении погрешностей рассматривается наиболее невыгодный случай, когда ошибки прямых изме­рений отдельных величин имеют один и тот же знак, то есть абсолютная ошибка имеет максимальное значение. Поэтому при расчете приращений функции f(x1 ,x2 ,…,хn) по формулам (11) и (12) частные приращения должны складываться по абсолютной величине. Таким образом, используя приближение i ≈ dxi, и вы­ражения (11) и (12), для бесконечно малых приращений можно записать:

(13)
(14)

Здесь: а — косвенно измеряемая физическая величина, то есть определяемая по расчетной формуле, — абсолютная ошибка ее измерения, х1, х2. хn; Dх1, Dx2. Dхn, — физические величины прямых измерений и их абсолютные ошибки соответственно.

Таким образом: а) абсолютная ошибка косвенного метода измерения равна сумме модулей произведений частных производных функции измерения и соответствующих абсолютных ошибок прямых измерений; б) относительная ошибка косвенного метода измерения равна сумме модулей дифференциалов от логарифма натурального функции измерения, определяемой расчетной формулой.

Выражения (13) и (14) позволяют рассчитать абсолютные и относительные погрешности по одноразовому измерению. Заметим, что для сокращения расчетов по указанным формулам достаточно рассчитать одну из погрешностей (абсолютную или относительную), а другую рассчитать, используя простую связь между ними:

(15)

На практике чаще пользуются формулой (13), так как при логарифмировании расчетной формулы произведения различных величин преобразуются в соответствующие суммы, а степенные и показательные функции преобразуются в произведения, что намного упрощает процесс дифференцирования.

Для практического руководства по расчету погрешности косвенного метода измерения можно пользоваться следующим правилом:

Чтобы вычислить относительную ошибку косвенного метода измерения, нужно:

1. Определить абсолютные ошибки (приборные или средние) прямых измерений.

2. Прологарифмировать расчетную (рабочую) формулу.

3. Принимая величины прямых измерений за независимые переменные, найти полный дифференциал от полученного выражения.

4. Сложить все частные дифференциалы по абсолютной величине, заменив в них дифференциалы переменных соответствующими абсолютными ошибками прямых измерений.

5. Используя полученное выражение, рассчитать относительную погрешность.

6. По формуле (15) рассчитать абсолютную ошибку.

Например, плотность тела цилиндрической формы вычисляется по формуле:

(16)

где m, D, h — измеряемые величины.

Получим формулу для расчета погрешностей.

1. Исходя из используемого оборудования, определяем абсолютные погрешности измерения массы, диаметра и высоты цилиндра (∆m, ∆D, ∆h соответственно).

2. Логарифмируем выражение (16):

4. Заменяя дифференциал независимых переменных на абсолютные ошибки и складывая модули частных приращений, получаем:

5. Используя численные значения m, D, h, D, m, h, рассчитываем Е.

6. Вычисляем абсолютную ошибку

где r рассчитано по формуле (16).

Предлагаем самим убедиться, что в случае полого цилиндра или трубки с внутренним диаметром D1 и внешним диаметром D2

К расчету ошибки метода измерения (прямого или косвенного) приходится прибегать в случаях, когда многократные измерения либо невозможно провести в одних и тех же условиях, либо они занимают много времени.

Если определение погрешности измерения является принципиальной задачей, то обычно измерения проводят многократно и вычисляют и среднеарифметическую погрешность и погрешность метода (приборную погрешность). В окончательном результате указывают большую из них.

О точности вычислений

Ошибка результата определяется не только неточностями измерений но и неточностями вычислений. Вычисления необходимо проводить так, чтобы их ошибка была на порядок меньше ошибки результата измерений. Для этого вспомним правила математического действия с приближёнными числами.

Результаты измерений – приближённые числа. В приближённом числе все цифры должны быть верными. Последней верной цифрой приближённого числа считается такая цифра, ошибка в которой не превышает одной единицы её разряда. Все цифры от 1 до 9 и 0, если он стоит в середине или в конце числа, называются значащими. В числе 2330 — 4 значащих цифры, а в числе 6,1×10 2 – только две, в числе 0,0503 – три, так как нули слева от пятёрки незначащие. Запись числа 2,39 означает, что верны все знаки до второго после запятой, а запись в 1,2800 – что верно также и третий и четвёртый знаки. В числе 1,90 три значащих цифры и это значит, что при измерении мы учитывали не только единицы, но и десятые и сотые, а в числе 1,9 – только две значащих цифры и это значит, что мы учитывали целые и десятые и точность этого числа в 10 раз меньше.

Читайте также:  Определить погрешность результата измерения мощности

Правила округления чисел

При округлении оставляют лишь верные знаки, остальные отбрасываются.

1. Округление достигается простым отбрасыванием цифр, если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5.

2. Если первая из отбрасываемых цифр больше, чем 5, то последняя цифра увеличивается на единицу. Последняя цифра увеличивается также и в том случае, когда первая из отбрасываемых цифр 5, а за ней есть одна или несколько цифр, отличных от нуля.

Например, различные округления числа 35,856 будут: 35,9; 36.

3. Если отбрасываемая цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее чётное число, то есть, последняя сохраняемая цифра остаётся неизменной, если она чётная и увеличивается на единицу, если она нечётная.

Например, 0,435 округляем до 0,44; 0,365 округляем до 0,36.

Источник

Погрешность нескольких измерений формула

Чтобы найти погрешность косвенных измерений, надо воспользоваться формулами, приведенными в таблице. Эти формулы могут быть выведены «методом границ».

Сначала надо вспомнить основные понятия теории погрешности.

Абсолютная погрешность физической величины ΔА — это разница между точным значением физической величины и ее приближенным значением и измеряется в тех же единицах, что и сама величина:

Так как мы никогда не знаем точного значения величины А, а лишь определяем из опыта ее приближенное значение, то и величину абсолютной погрешности мы можем определить лишь при­бли­зи­тель­но. Наиболее просто находится максимальная величина абсолютной погрешности, которая и используется нами в лабораторных работах.

Относительная погрешность измерения εА равна:

При косвенных измерениях величину погрешности искомой величины вычисляют по формулам:

В случае, когда искомая величина находится по формуле, в которой в основном присутствуют произведение и частное, удобней находить сначала относительную погрешность. Если при этом один из множителей представляет собой сумму или разность, нужно предварительно найти его абсолютную погрешность (сложением абсолютных погрешностей слагаемых), а затем относительную.

Зная относительную погрешность, найти абсолютную погрешность измерений можно так:

«Правило ничтожных погрешностей»

при суммировании погрешностей любым из слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит ⅓ – ⅟ 4 от другого.

Запись результата с указанием погрешности.

Абсолютная погрешность измерений обычно округляется до 1 значащей цифры, а, если эта цифра 1, то до двух.

Результат записывается в виде:

А = Аизм ± ΔА, например: ℓ = (13 ± 2) мм.

При этом в измеренном значении следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их в значении погрешности (последняя цифра погрешности «поправляет» последнюю цифру измеренного значения) . Значение величины и погрешность следует выражать в одних и тех же единицах!

Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 1

Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 2

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите плотность вещества, из которого сделан куб со стороной 7,00 ± 0,15 см, если его масса 847 ± 2 г. Что это за вещество?

Задание 2. Найдите удельную теплоту сгорания топлива, 2,10 ± 0,15 г которого хватило, чтобы нагреть 400 ± 10 мл воды на 35°С ± 2°С. Что это за топливо?

© Ивашкина Д.А., 2017. Публикация материалов с сайта разрешена только при наличии активной ссылки на главную страницу.

Источник

Погрешность суммы и разности величин

Виды измерений

Значение искомой величины непосредственно измеряют

Измерение длины отрезка линейкой

Значение искомой величины вычисляют на основании прямых измерений других величин, входящих в формулы для вычислений

Читайте также:  Назначение измерений по постоянному току

Вычисление площади прямоугольника по измеренным длине и ширине

Значение искомой величины вычисляют на основании известных значений одноименных величин, решая линейные уравнения

Взвешивание тела с помощью гирь

Измерения двух или нескольких неодноименных величин проводятся одновременно для нахождения зависимости между ними

Измерение зависимости напряжения от силы тока (закон Ома)

Если в формулы для расчётов входят несколько измеряемых величин, каждая со своими погрешностями, возникает вопрос, а как оценить погрешность результата?

Погрешность суммы величин

Пусть в результате измерений получено:

$$ x = x_0 \pm \Delta x, y = y_0 \pm \Delta y $$

Найдём границы для суммы этих величин: z = x+y

$$ <\left\< \begin x_0- \Delta x \le x \le x_0 + \Delta x \\ y_0 — \Delta y \le y \le y_0 + \Delta y \end \right.> \Rightarrow (x_0+y_0 )-( \Delta x+ \Delta y) \le x + y \le (x_0+y_0 )+( \Delta x + \Delta y) $$

$$ z = z _0 \pm \Delta z: z_0 = x_0+y_0, \Delta z = \Delta x + \Delta y $$

При сложении приближенных величин их абсолютные погрешности складываются.

Погрешность разности величин

Пусть в результате измерений получено:

$$x = x_0 \pm \Delta x, y = y_0 \pm \Delta y $$

Найдём границы для разности этих величин: z = x-y

$$ <\left\< \begin x_0 — \Delta x \le x \le x_0 + \Delta x \\ y_0 — \Delta y \le y \le y_0+ \Delta y \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x_0- \Delta x \le x \le x_0+ \Delta x \\ -(y_0- \Delta y) \ge — y \ge -(y_0+ \Delta y)\end \right.> \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow <\left\< \begin x_0 — \Delta x \le x \le x_0 + \Delta x \\ y_0 — \Delta y \le y \le y_0+ \Delta y \end \right.> \Rightarrow $$

$$ (x_0-y_0 )-( \Delta x+ \Delta y) \le x-y \le (x_0+y_0 )+( \Delta x+ \Delta y) $$

$$ z = z_0 \pm \Delta z: z_0 = x_0-y_0, \Delta z = \Delta x + \Delta y $$

При вычитании приближенных величин их абсолютные погрешности складываются.

Как при сложении, так и при вычитании приближённых величин, их абсолютные погрешности складываются.

Поэтому относительная погрешность разности может оказаться значительно большей, чем погрешности уменьшаемого и вычитаемого. Разности в расчётных формулах ведут к уменьшению точности эксперимента.

Примеры

Пример 1. Найдите сумму и разность чисел x и y, а также относительные погрешности исходных величин и результатов:

$а) x = 8,7 \pm 0,2; y = 5,3 \pm 0,1$

$$ x_0 = 8,7, \Delta x = 0,2 $$

$$ y_0 = 5,3, \Delta y = 0,1 $$

$$ z = x+y = (8,7+5,3) \pm (0,2+0,1) = 14,0 \pm 0,3 $$

$$ w = x-y = (8,7-5,3) \pm (0,2+0,1) = 3,4 \pm 0,3 $$

Относительные погрешности (округление с избытком):

$$ δ_x = \frac<0,2> <8,7>\cdot 100 \text <%>\approx 2,3 \text<%>, δ_y = \frac<0,1> <5,3>\cdot 100 \text <%>\approx 1,9 \text <%>$$

$$ δ_ = \frac<0,3> <14,0>\cdot 100 \text <%>\approx 2,2 \text<%>, δ_ = \frac<0,3> <3,4>\cdot 100 \text <%>\approx 8,9 \text <%>$$

$б) x = 1,47 \pm 0,005; y = 1,338 \pm 0,0005$

$$ x_0 = 1,47, \Delta x = 0,005 $$

$$ y_0 = 1,338, \Delta y = 0,0005 $$

$$ z = x+y = (1,47+1,338) \pm (0,005+0,0005) = 2,808 \pm 0,006 $$

$$ w = x-y = (1,47-1,338) \pm (0,005+0,0005) = 0,132 \pm 0,006 $$

Относительные погрешности (округление с избытком):

$$ δ_x = \frac<0,005> <1,47>\cdot 100 \text <%>\approx 0,35 \text<%>, δ_y = \frac<0,0005> <1,338>\cdot 100 \text <%>\approx 0,04 \text <%>$$

$$ δ_ = \frac<0,006> <2,808>\cdot 100 \text <%>\approx 0,22 \text<%>, δ_ = \frac<0,006> <0,132>\cdot 100 \text <%>\approx 4,6 \text <%>$$

Пример 2. Найдите периметр прямоугольной площадки, если известны длины сторон (в м): a = 5, $12 \pm 0,02$; b = 3, $17 \pm 0,03$

Чему равна относительная погрешность периметра?

Периметр $P = 2(a+b) = 2(a_0+b_0 ) \pm 2( \Delta a+ \Delta b)$

$$ a_0 = 5,12, b_0 = 3,17, \Delta a = 0,02, \Delta b = 0,03 $$

$$ P = 2(5,12+3,17) \pm 2(0,02+0,03) = 16,58 \pm 0,1 \approx 16,6 \pm 0,1 (м) $$

$$ δ_P = \frac<0,1> <16,6>\cdot 100 \text <%>\approx ↑0,61 \text <%>$$

Пример 3. Объём древесины с корой, поступившей в обработку, равен $0,78 \pm 0,005 м^3$. Объём снятой коры $0,081 \pm 0,001 м^3$. Чему равен объём полезной древесины?

$$ V_1 = 0,78 \pm 0,005, V_2 = 0,081 \pm 0,001 $$

$$ V_ <10>= 0,78, V_ <20>= 0,081, \Delta V_1 = 0,005, \Delta V_2 = 0,001 $$

$$V = (V_ <10>— V_ <20>) \pm (\Delta V_1+ \Delta V_2 ) $$

$$ V = (0,78-0,081) \pm (0,005+0,001) = 0,699 \pm 0,006 (м^3) $$

Источник