Меню

Предельная форма признака сравнению рядов



Признаки сравнения числовых рядов. Первая часть.

Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда и свойства числовых рядов (в частности, нам понадобятся свойства №3 и №4). Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему «Выбор признака сходимости числовых рядов».

Признаки сравнения применяются для исследования числовых рядов, члены которых неотрицательны, т.е. больше или равны нулю. Такие ряды называются положительными (в части литературы – неотрицательными или знакоположительными). Именно такие ряды мы и станем рассматривать в данной теме.

Первый признак сравнения (или первая теорема сравнения) формулируется следующим образом:

Первый признак сравнения

Упрощённо говоря, если ряд с меньшими членами не имеет суммы (расходится), то и ряд с бо́льшими членами тоже будет расходиться. И это логично, ибо если исходная сумма была бесконечно большой, то после увеличения слагаемых она такой и останется.

Ну, и если ряд с бо́льшими членами имеет сумму (сходится), то и ряд с меньшими членами тоже будет сходиться.

Признак сравнения можно сформулировать также и в иной форме. Обычно говорят, что это второй признак сравнения (или вторая теорема сравнения). Иногда его называют предельным признаком сравнения или признаком сравнения в предельной форме. Формулировка его такова:

Второй признак сравнения

Особо стоит обратить внимание на случай $\alpha=1$, т.е. ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<1>=\sum\limits_^<\infty>\frac<1>$. Ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<1>$ называют гармоническим рядом. Гармонический ряд расходится.

Кроме того, частенько для сравнения используется ряд такого вида:

Этот ряд представляет собой сумму членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1=a$ и знаменателем $q$. Этот ряд сходится если $|q| 0$ и $2n^3+5n^2-4 > 0$, то $u_n > 0$. Следовательно, наш ряд является положительным. Кстати сказать, для положительного ряда достаточно выполнения условия $u_n≥ 0$. Однако для нашего ряда мы можем записать более точно: $u_n > 0$.

Для начала неплохо бы проверить выполнение необходимого условия сходимости, т.е. найти $\lim_u_n$. Вдруг нам повезёт и окажется, что $\lim_u_n\neq 0$? Тогда ряд будет расходиться, и решение на этом закончится. При нахождении предела будем использовать метод, описанный в теме «Предел отношения двух многочленов». В процессе решения разделим числитель и знаменатель на $n^3$:

Так как $\lim_u_n=0$, то никакого вывода про сходимость нашего ряда мы сделать не в состоянии. Ряд может как сходиться, так и расходиться. Попробуем применить признаки сравнения.

Для того, чтобы эти признаки использовать, нам понадобится ряд, с которым станем сравнивать. Чтобы выбрать ряд для сравнения, поисследуем поведение общего члена заданного нам ряда при $n\to\infty$. Это можно сделать с помощью несколько неформальных рассуждений. Так как эти рассуждения, возможно, будут интересны не всем читателям, то я скрою их под примечание.

Как выбрать ряд для сравнения? показать\скрыть

Я не буду касаться такой темы как порядок роста, просто приведу некие общие соображения. Давайте посмотрим на общий член ряда повнимательнее. Сначала обратимся, например, к знаменателю. В знаменателе общего члена ряда расположены степени $n^3$, $n^2$ и число -4. Номер $n$ всё увеличивается, стремясь в бесконечность. Вопрос: какой элемент ($n^3$ или $n^2$) с возрастанием номера $n$ будет расти быстрее прочих?

Ответ здесь прост: наиболее быстро будет увеличивать свои значения именно $n^3$. Например, когда $n=100$, то $n^2=10\,000$, а $n^3=1\,000\,000$. И этот разрыв между значениями $n^2$ и $n^3$ будет всё больше и больше. Поэтому все слагаемые знаменателя, кроме тех, что содержат $n^3$, мы мысленно отбросим. В числителе также проведем подобную процедуру «отбрасывания», оставив лишь $9n$ (число 7 в числителе явно не сыграет никакой роли по сравнению с $9n$). Таким образом дробь $\frac<9n+7><2n^3+5n^2-4>$ после всех отбрасываний станет такой: $\frac<9n><2n^3>=\frac<9><2>\cdot\frac<1>$. Иными словами, если $n\to\infty$, то общий член ряда будет крайне мало отличаться от выражения $\frac<9><2>\cdot\frac<1>$.

Множитель $\frac<9><2>$ можно также отбросить, ибо он не влияет на сходимость. И останется после такой «очистки» лишь $\frac<1>$. А что мы можем сказать про ряд с общим членом $v_n=\frac<1>$? Это обобщенный гармонический ряд. В знаменателе общего члена этого ряда степень $n$ равна 2, поэтому так как $2 > 1$, то ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<1>$ сходится.

Вот с этим сходящимся рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac<1>$ мы и станем сравнивать заданный нам ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<9n+7><2n^3+5n^2-4>$. По сути, мы уже неформально решили задачу: наш ряд будет сходиться. Осталось лишь показать это строгими рассуждениями.

Читайте также:  Степени сравнения прилагательных сильный ветер

Рассмотрим, как решить нашу задачу с помощью как первого, так и второго признаков сравнения.

Решение с помощью первого признака сравнения

Итак, общий член ряда таков: $u_n=\frac<9n+7><2n^3+5n^2-4>$. Неформальными рассуждениями (скрытыми выше под примечание) мы пришли к выводу, что наш ряд сходится. Для этого случая применяется второй пункт первого признака сравнения. Нам нужно показать, что общий член нашего ряда удовлетворяет неравенству $\frac<9n+7><2n^3+5n^2-4>≤ v_n$, при этом ряд $\sum\limits_^<\infty>v_n$ сходится. Тогда и заданный нам ряд будет сходиться.

Станем увеличивать дробь $\frac<9n+7><2n^3+5n^2-4>$. Наша цель: привести данную дробь к виду $\frac<1>$. Почему именно к этому виду? Для ответа на данный вопрос прошу раскрыть примечание выше.

Чтобы увеличить некую дробь, есть два пути: увеличить числитель или уменьшить знаменатель. Согласитесь, что так как $n≥ 1$, то $9n+7 ≥ 9n+7n=16n$. Следовательно, если мы в числителе вместо $9n+7$ разместим выражение $16n$, то увеличим рассматриваемую дробь:

Пойдём далее и поработаем со знаменателем. Чтобы увеличить дробь, знаменатель нужно уменьшить. Например, можно рассудить так: мы знаем, что $n≥ 1$. Тогда $5n^2-4 > 0$. Значит, если мы отбросим в знаменателе выражение $5n^2-4$, то знаменатель уменьшится. Следовательно, наша дробь увеличится. Продолжим предыдущее неравенство:

Как и в предыдущем примере, попробуем проверить выполнение необходимого условия сходимости, т.е. найдём $\lim_u_n$. При нахождении предела будем использовать метод, описанный в теме «Предел отношения двух многочленов». В ходе решения разделим и числитель и знаменатель на $n^4$:

Так как $\lim_u_n=0$, то никакого вывода про сходимость нашего ряда мы сделать не в состоянии. Ряд может как сходиться, так и расходиться. Попробуем применить признаки сравнения.

Выясним, с каким же рядом нужно сравнивать заданный в условии ряд. Попробуем отбросить «лишние» элементы числителя и знаменателя точно так же, как это было сделано в примере №1. Останется у нас такая дробь: $\frac<4n^3>=\frac<4><9>\cdot\frac<1>$. Вот с гармоническим рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac<1>$ мы и станем сравнивать заданный ряд. Гармонический ряд расходится, поэтому и наш ряд будет расходиться. Нам осталось лишь показать это формально с помощью признаков сравнения.

Решение с помощью первого признака сравнения

Неформальными рассуждениями, проведенными выше, мы пришли к выводу, что наш ряд расходится. Для этого случая применяется первый пункт первого признака сравнения. Нам нужно показать, что общий член нашего ряда удовлетворяет неравенству $v_n≤ \frac<4n^3+2n+9>$, при этом ряд $\sum\limits_^<\infty>v_n$ расходится. Тогда и заданный нам ряд будет расходиться.

Станем уменьшать дробь $\frac<4n^3+2n+9>$. Наша цель: привести данную дробь к виду $\frac<1>$.

Чтобы уменьшить некую дробь, есть два пути: уменьшить числитель или увеличить знаменатель. Так как $n≥ 1$, то $2n+9 > 0$. Поэтому если мы отбросим в числителе $2n+9$, то уменьшим числитель, тем самым уменьшив рассматриваемую дробь:

Поработаем с знаменателем. Если мы его увеличим, то дробь уменьшится. Так как $n≥ 1$, то $3n+5≤ 3n+5n=8n$. Итак, если мы вместо $3n+5$ запишем $8n$, то знаменатель увеличится:

Дальнейшие рассуждения стандартны: так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<1>$ расходится, то будет расходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>\left( \frac<1><16>\cdot\frac<1>\right)$. Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\left( \frac<1><16>\cdot\frac<1>\right)$ расходится и $\frac<4n^3+2n+9> > \frac<1><16>\cdot\frac<1>$, то согласно первому признаку сравнения (пункт №1) ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<4n^3+2n+9>$ будет расходиться.

Решение с помощью второго признака сравнения

Ранее мы уже выяснили, что сравнивать заданный ряд нужно с расходящимся рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac<1>$. Сравним заданный ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<4n^3+2n+9>$ с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac<1>$, используя второй признак сравнения . Данный признак работает с пределом $\lim_\frac$. Оба общих члена сравниваемых рядов не равны нулю, поэтому в знаменателе можем размещать общий член любого ряда:

Так как $0 0$, т.е. наш ряд положительный. Точно так же, как и в предыдущих примерах, можно проверить выполнение необходимого условия сходимости, однако эта проверка лишь покажет, что $\lim_u_n=0$. Т.е. ничего определённого про сходимость ряда сказать нельзя и нужно использовать иные критерии.

Для проверки сходимости заданного ряда с помощью признаков сравнения для начала составим ряд, с которым станем сравнивать. Попробуем отбросить «лишние» элементы числителя и знаменателя точно так же, как это было сделано в примерах №1 и №2. Останется у нас такая дробь:

Вот с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><3>>>$ мы и станем сравнивать заданный ряд. Так как $\frac<4> <3>> 1$, то ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><3>>>$ сходится. Следовательно, и наш ряд будет сходиться, нам осталось лишь показать это формально с помощью признаков сравнения.

Читайте также:  Сравнить страховую медицинскую компанию

Решение с помощью первого признака сравнения

Неформальными рассуждениями выше мы пришли к выводу, что наш ряд сходится. Для этого случая применяется второй пункт первого признака сравнения. Нам нужно показать, что общий член нашего ряда удовлетворяет неравенству $\frac<5n^2-3><\sqrt[3]<7n^<10>+2n^3-4>>≤ v_n$ и ряд $\sum\limits_^<\infty>v_n$ сходится. Тогда и заданный нам ряд будет сходиться.

Станем увеличивать дробь $\frac<5n^2-3><\sqrt[3]<7n^<10>+2n^3-4>>$. Наша цель: привести данную дробь к виду $\frac<1><3>>>$.

Чтобы увеличить данную дробь, для начала увеличим числитель. Если мы отбросим число (-3), то числитель станет больше. А значит и сама дробь увеличится:

$$ \frac<5n^2-3><\sqrt[3]<7n^<10>+2n^3-4>> \sqrt<2n-1>$, то $u_n > 0$, т.е. наш ряд положительный. Можно при желании проверить выполнение необходимого условия сходимости, однако эта проверка ничего не даст (предел $\lim_u_n$ вычисляется по аналогии с примером №8 на этой странице), так как $\lim_u_n=0$. Перейдём к применению признаков сравнения.

Перед тем, как применять некие признаки сравнения, выражение общего члена ряда лучше немного преобразовать. Тут поможет домножение на сопряжённое выражение, т.е. на $\sqrt<2n+3>+\sqrt<2n-1>$. Естественно, что если мы домножаем на некое выражение, то на него же обязаны и разделить. При упрощении нам поможет формула $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Итак:

Теперь наш ряд имеет вид $\sum\limits_^<\infty>\frac<4><\sqrt<2n+3>+\sqrt<2n-1>>$. Применяя рассуждения, аналогичные проведённым в предыдущих примерах, получим, что сравнивать наш ряд надо с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><\sqrt>$. Ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><\sqrt>=\sum\limits_^<\infty>\frac<1><2>>>$ расходится, так как степень $\frac<1><2>≤ 1$. Значит, будет расходиться и наш ряд, осталось лишь показать это формально.

Решение с помощью первого признака сравнения

Неформальными рассуждениями выше мы пришли к выводу, что наш ряд расходится. Станем уменьшать дробь $\frac<4><\sqrt<2n+3>+\sqrt<2n-1>>$. Так как $\sqrt<2n+3>> \sqrt<2n-1>$, то записав выражение $\sqrt<2n+3>$ вместо $\sqrt<2n-1>$ мы увеличим знаменатель, тем самым уменьшив дробь:

Увеличим знаменатель ещё раз. Так как $2n+3 \frac<2><\sqrt<2n+3>> > \frac<2><\sqrt<9n>>=\frac<2><3>\cdot\frac<1><\sqrt>. $$

Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><\sqrt>$ расходится, то будет расходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>\left(\frac<2><3>\cdot\frac<1><\sqrt>\right)$. Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\left(\frac<2><3>\cdot\frac<1><\sqrt>\right)$ расходится и $\frac<4><\sqrt<2n+3>+\sqrt<2n-1>> >\frac<2><3>\cdot\frac<1><\sqrt>$, то согласно первому признаку сравнения (пункт №1) ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<4><\sqrt<2n+3>+\sqrt<2n-1>>$ будет расходиться.

Решение с помощью второго признака сравнения

Мы уже выяснили, что сравнивать заданный ряд нужно с расходящимся рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><\sqrt>$. Сравним заданный ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<4><\sqrt<2n+3>+\sqrt<2n-1>>$ с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><\sqrt>$, используя второй признак сравнения. Оба общих члена сравниваемых рядов не равны нулю, поэтому в знаменателе можем размещать общий член любого ряда:

Так как $0<\sqrt<2><\infty$, то ряды $\sum\limits_^<\infty>\frac<4><\sqrt<2n+3>+\sqrt<2n-1>>$ и $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><\sqrt>$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><\sqrt>$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<4><\sqrt<2n+3>+\sqrt<2n-1>>$.

Ответ: ряд расходится.

Продолжение темы исследования сходимости рядов с помощью признаков сравнения рассмотрим во второй и третьей частях.

Источник

Предельный признак сравнения числовых положительных рядов

Дата добавления: 2015-08-14 ; просмотров: 12353 ; Нарушение авторских прав

Как уже отмечалось, на практике только что рассмотренный признак сравнения применяют редко. Настоящей «рабочей лошадкой» теории числовых рядов является предельный признак сравнения, по распространенности применения с ним может конкурировать разве что признак Даламбера.

Предельный признак сравнения:Рассмотрим два положительных числовых ряда и .Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу : , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Важные примечания:

1) Если речь идёт о двух сходящихся рядах, то предел может быть равен и нулю (но не бесконечности).

2) Если речь идёт о двух расходящихся рядах, то предел может быть равен и бесконечности (но не нулю).

Когда применяется предельный признак сравнения?Предельный признак сравнения применяется тогда, когда «начинкой» ряда у нас являются многочлены. Либо один многочлен в знаменателе, либо многочлены и в числителе и в знаменателе. Один или оба многочлена также могут находиться под корнем.

Сразу рассмотрим пример, для которого не сработал только что рассмотренный признак сравнения.

Пример 10 Исследовать ряд на сходимость

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения. Известно, что ряд – сходится. Если нам удастся показать, что равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд – тоже сходится.

Читайте также:  Сравнение рено лагуна с


Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом . Почему для сравнения был выбран именно ряд ? Если бы мы выбрали любой другой ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда, то у нас не получилось бы в пределе конечного, отличного от нуля числа (можете поэкспериментировать).

Примечание: когда мы используем предельный признак сравнения, не имеет значения, в каком порядке составлять отношение общих членов, в рассмотренном примере отношение можно было составить наоборот: – это не изменило бы сути дела.

Предельный признак сравнения применим почти для всех рядов, которые мы рассмотрели в предыдущем пункте:
, , , .
Данные ряды по только что рассмотренной трафаретной схеме нужно предельно сравнить соответственно со сходящимися рядами: , , , .

Пример 11 Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения.

Что делать, если многочлены находятся и в знаменателе, и в числителе? Алгоритм решения почти такой же – нам нужно подобрать для сравнения подходящий ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда.

Пример 12 Исследовать ряд на сходимость

Мы видим, что и в числителе и в знаменателе у нас многочлены, причем, в знаменателе многочлен находится под корнем. Подбираем ряд для сравнения .

1) Сначала нужно найти старшую степень знаменателя. Если бы не было корня, то, понятно, что старшая степень знаменателя равнялась бы четырем. Что делать, когда есть корень? Об этом я уже рассказывал на уроке Методы решения пределов. Повторение – мать учения: мысленно или на черновике отбрасываем все члены, кроме старшего: . Если есть константа, её тоже отбрасываем: . Теперь извлекаем корень: . Таким образом, старшая степень знаменателя равна двум.

2) Выясняем старшую степень числителя. Очевидно, что она равна единице.

3) Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: 2 – 1 = 1

Т.о., наш ряд нужно сравнить с рядом , то есть, с расходящимся гармоническим рядом. По мере накопления опыта решения эти три пункта можно и нужно проводить мысленно.

Само оформление решения должно выглядеть примерно так:”
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходитсявместе с гармоническим рядом .

(1) Составляем отношение общих членов.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Раскрываем в числителе скобки.
(4) Неопределенность устраняем стандартным способом деления числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.
(5) В самой нижней строке подготавливаем для внесения под корень:
(6) В знаменателе организуем общий корень.
Примечание: на практике пункты 5,6 можно пропустить, я их очень подробно разжевал для тех, кто не очень понимает, как обращаться с корнями.
(7) Почленно делим числители на знаменатели. Помечаем члены, которые стремятся к нулю.

Пример 13 Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения.

По мере накопления опыта решения примеров, вы будете сразу видеть, сходится такой ряд или расходится. Например, рассмотрим ряд . Ага, 3 – 1 = 2, значит, ряд нужно сравнить со сходящимся рядом , и сразу можно сказать, что наш исследуемый ряд тоже сходится. Дело за малым – осталось аккуратно оформить стандартное рутинное решение. Вот, пожалуй, и все начальные сведения о положительных числовых рядах, которые потребуются вам при решении практических примеров. Следующий урок по теме числовых рядов – Признаки сходимости рядов. Признак Даламбера. Признаки Коши

Решения и ответы:

Пример 2:
Примечание: обратите внимание, что переменная-«счётчик» в данном примере «заряжается» со значения

Пример 5:

Пример 7:
Делим числитель и знаменатель на

Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Пример 9:Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом .
Используем признак сравнения:
Если , то
Если , то
Если , то

Таким образом, для всех членов ряда выполнено неравенство , значит, по признаку сравнения исследуемый ряд расходитсявместе с гармоническим рядом .
Примечание: И здесь есть неформальный смысл. Доказано, что гармонический ряд расходится, следовательно, сумма его членов: . Мы показали, что члены ряда ещё больше членов ряда , и совершенно понятно, что сумма ряда не может быть меньше бесконечности.

Пример 11:Сравним данный ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходитсявместе с рядом .

Пример 13: Эти 3 пункта выполняем мысленно или на черновике:
1) Старшая степень знаменателя:4
2) Старшая степень числителя: 1
3) 4 – 1 = 3
Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходитсявместе с рядом

Источник