Меню

Признак предельного сравнения примеры



Признак сравнения рядов для выяснения их сходимости: теория, примеры

Признак сравнения рядов, как и признак Даламбера, радикальный признак Коши и интегральный признак Коши, является достаточным признаком сходимости рядов с положительными членами, так как исследование ряда с помощью этих признаков даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится.

Применение признака сравнения заключается в том, что исследуемый ряд сравнивают с рядом, сходимость которого заранее известна.

Непосредственное сравнение членов рядов

Пусть даны два ряда с положительными общими членами и . Пусть для этих рядов выполняется неравенство , то есть члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда.

Тогда из сходимости второго ряда (ряда с бОльшим общим членом) следует сходимость первого ряда, а из расходимости первого ряда (ряда с меньшим общим членом) – расходимость второго ряда.

Предел отношения общих членов рядов

Пусть даны два ряда с положительными общими членами и . Если , то есть предел отношения общих членов ряда равен конечному и отличному от нуля числу, то оба ряда ведут себя одинаково: или оба сходятся, или оба расходятся.

Трудность применения на практике признака сравнения состоит в необходимости иметь «запас» рядов, сходимость (или расходимость) которых известна, а среди них подобрать такой, чтобы выполнялось условие. Для сравнения часто используются:

  • геометрический ряд , который сходится, если |q| и расходится, если |q| ≥ 1 ;
  • обобщённый гармонический ряд , который сходится, если p > 1 и расходится, если p ≤ 1 ;
  • ряд .

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Члены данного ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося геометрического ряда с общим членом

Согласно признаку сравнения, данный ряд также сходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Так как

то члены данного ряда меньше членов

сходящегося ряда. На основании признака сравнения данный ряд также сходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом. Первые их члены совпадают, а остальные члены данного ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда:

Согласно признаку сравнения, данный ряд также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Так как , а ряд сходится как геометрический ряд с , то по признаку сравнения данный ряд также сходится.

Читайте также:  Как считается доход для сравнения с прожиточным минимумом

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Выясним значение предела отношения общих членов данного ряда и гармонического ряда :

Так как предел отношения общих членов данного ряда и второго ряда, который расходится, отличен от нуля и не равен бесконечности, то оба ряда ведут себя одинаково. То есть данный ряд так же расходится.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Выясним значение предела отношения общих членов данного ряда и гармонического ряда :

Так как предел отношения общих членов данного ряда и второго ряда, который расходится, отличен от нуля и не равен бесконечности, то оба ряда ведут себя одинаково. То есть данный ряд так же расходится.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Выясним значение предела отношения общих членов данного ряда и обобщённого гармонического ряда , который расходится, так как . Искать предел будем, учитывая, что , если , поэтому , если . Итак, предел:

.

Так как предел отношения общих членов данного ряда и второго ряда, который расходится, отличен от нуля и не равен бесконечности, то оба ряда ведут себя одинаково. То есть данный ряд так же расходится.

Источник

Предельные признаки сравнения рядов

Пусть даны два ряда и , у которых члены an и bn положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки:

  • Если , то оба ряда и либо сходятся, либо расходятся;
  • Если , то ряд сходится, если сходится ряд ;
  • Если , то ряд расходится, если расходится ряд .

Так называемый обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при 0

Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:
а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при .
б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .
в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Условие радикального признака равносильно следующему:

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда , то если ряд сходится, если ряд расходится, если вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство

1. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то, подставив в определение предела выбранное , получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже сходится.

2. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то, подставив в определение предела выбранное , получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже расходится.

Интегральный признак Коши
Пусть f (x) является непрерывной, положительной и монотонно убывающей функцией на промежутке [1, +∞). Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если .
Пример 1
Определить, сходится или расходится ряд . Решение. Используем интегральный признак Коши. Вычислим соответствующий несобственный интеграл: Таким образом, данный ряд расходится.

Определить, сходится или расходится ряд .

Вычислим соответствующий несобственный интеграл:

Таким образом, данный ряд расходится.

34 Знакочередующиеся ряды

Что такое знакочередующийся ряд?Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.

Рассмотрим ряд и распишем его подробнее:

А сейчас будет убийственный комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности.

Знакочередование обеспечивает множитель : если чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус» (как вы помните ещё с урока о числовых последовательностях, эта штуковина называется «мигалкой»). Таким образом, знакочередующийся ряд «опознается» по минус единичке в степени «эн».

В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и его родные братья: , , , …. Например:

Подводным камнем являются «обманки»: , , и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака. Совершенно понятно, что при любом натуральном : , , . Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решенияфункциональных рядов.

Читайте также:  Сравнение школы поведенческих наук

Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость?Использовать признак Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница я рассказывать ничего не хочу, так как помимо математических трудов, он накатал несколько томов по философии. Опасно для мозга.

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.

Или в два пункта:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) Члены ряда убывают по модулю: . Причём, убывают монотонно.

Если выполненыобаусловия, то ряд сходится.

Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду . Мысленно сотрём ластиком все знаки ипосмотрим на числа. Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше, чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначают одно и то же:

– Члены ряда без учёта знака убывают.
– Члены ряда убывают по модулю.
– Члены ряда убывают по абсолютной величине.
Модуль общего члена ряда стремится к нулю:

Теперь немного поговорим про монотонность. Монотонность – это скучное постоянство.

Члены ряда строго монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член рядапо модулю МЕНЬШЕ, чем предыдущий: . Для ряда выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:

А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: .

Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: . Рассмотрим ряд с факториалом: Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю не больше предыдущего: .

В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). При этом члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю, но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.

Абсолютная и условная сходимость числового ряда.

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.
Пусть <an> является числовой последовательностью, такой, что

Источник