Меню

Расчет погрешности измерения длины волны



ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

КОЛЬЦА НЬЮТОНА

Явление интерференции можно наблюдать при освещении тонких прозрачных пленок, когда разделение световой волны на два когерентных пучка происходит вследствие отражения света от двух поверхностей пленки. В результате такого отражения возникают когерентные световые волны, которые при наложении дают локализованные интерференционные картины. Место локализации зависит от формы пленок, условий наблюдения и освещения.

Пусть в точку О на прозрачную пластину падает пучок света (луч 1), часть света отразится от верхней поверхности пластины в точке О (луч 2), другая часть, преломившись в точке О, отразится от нижней поверхности (луч 3) (рис.1).

Пусть n1 и n2 — показатели преломления среды и материала пластины соответственно, i — угол падения, r — угол преломления, d — толщина пластины. Определим оптическую разность хода D лучей 2 и 3: D = n2(OC+СB) — n1(OA). Из рисунка 1 видно, что: OC=OB=d/cosr, OA=OBsini, OB=2d tgr.
Рис.1.

При вычислении разности хода необходимо учесть, что при отражении световой волны от границ раздела сред, если n2 >n1, фаза колебаний изменяется на p (это соответствует разности хода лучей l/2). В рассматриваемом случае если n2 >n1, то изменяет фазу луч 2; если n2

Пусть на линзу падает монохроматический параллельный пучок света по нормали к ее плоской поверхности. В результате сложения волн, отраженных от верхней и нижней границ воздушной прослойки, будет наблюдаться интерференционная картина. Так как для точек, равноудаленных от центра, толщина воздушной прослойки одинакова, то в результате наблюдается следующая картина: в центре расположено темное пятно, окруженное рядом светлых и темных концентрических колец убывающей толщины (рис.4,а). При наблюдении в проходящем свете интерференционная картина будет негативная, т.е. в центре будет светлое пятно (рис.4,б).

Определим диаметр колец Ньютона, наблюдаемых в отраженном свете. Учитывая, что при отражении на границе воздух-стекло происходит потеря полуволны l/2, оптическая разность хода двух интерферирующих волн на расстоянии rm от центра линзы равна D= 2bm + l/2, где bm — толщина воздушного клина в этом месте. Условие минимума интенсивности (темное кольцо) выполняется, если оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн. Следовательно, условие образования m-го темного кольца:

Величину bm можно вычислить из геометрических соотношений (рис.5). ОВ= ОА= R, где R — радиус кривизны линзы, тогда: R 2 = rm 2 + (R — bm) 2 = rm 2 + R 2 — 2Rbm + bm 2 .Ввиду малости bm величиной bm 2 можно пренебречь.
Рис.5

С учетом этого приближения получаем

Учитывая (1), имеем

где d -диаметр m-го темного кольца.

Лабораторная установка для наблюдения колец Ньютона несколько отличается от рассмотренного классического варианта. Выпуклая линза лежит не на плоской пластине, а на вогнутой линзе большего радиуса R1 .При этом толщина воздушного клина вычисляется на основании следующих выкладок. Пусть ОD = ОВ = R — радиус выпуклой линзы; О’D = О’В = R1 — радиус вогнутой линзы; bm =DK-CK — толщина воздушного зазора (рис.6.).

Из рисунка видно, что

следовательно (4)

В этом случае условие образования темного кольца запишется в виде

Пользуясь этим уравнением и измерив радиусы (или диаметры) соответствующих колец, можно, зная радиусы R и R1, определить длину волны l. Если же известна длина волны и радиус кривизны одной из линз, то можно вычислить радиус кривизны второй линзы.
Рис.6

Обработку результатов в этой работе рекомендуется проводить, используя метод наименьших квадратов (МНК). Для каждой длины волны измеряют диаметры нескольких колец. Уравнение (5) можно переписать в виде

или (6)

Видно, что квадрат диаметра кольца линейно зависит от его номера, тангенс угла наклона линейной зависимости dm 2 = f(m) будет равен

tgj = (7)

На практике очень трудно осуществить идеальное соприкосновение двух линз в одной точке и без деформации. Поэтому реально получаемая линейная зависимость dm 2 = f(m) не будет проходить через начало координат, т.е. будет иметь вид не y =ax, а y = ax+c, и при расчетах следует пользоваться формулами для общего случая МНК.

Если tgj для известной длины волны l определен, то для расчета неизвестного радиуса кривизны из формулы (7) получаем выражение (8)

Для расчета неизвестных длин волн пользуются выражением

(9)

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Рис.7 Рис.8

Схема установки представлена рис.7. Две линзы в общей оправе — плосковыпуклая К с радиусом R и вогнутая К1 с радиусом R1 помещены на дно коробки с зачерненными стенками. Плоско параллельная пластина Р может вращаться относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка, ее устанавливают в таком положении, чтобы лучи, отражающиеся от нее, падали вертикально на систему линз.

Источником света S служит ртутно-кварцевая лампа ПРК-2, имеющая линейчатый спектр излучения. Проходя через линзу L, свет образует параллельный пучок. Набор светофильтров F дает возможность выделить монохроматический свет с фиксированными длинами волн, соответствующими линиям ртутного спектра. Такая система позволяет наблюдать кольца Ньютона, образующиеся при интерференции света, отраженного от нижней и верхней границ воздушной прослойки между линзами К и К1. Для измерения диаметров колец (или хорд) служит измерительное устройство, снабженное двумя шкалами с нониусами (рис.8) и стрелкой-указателем, которую можно перемещать в двух взаимно перпендикулярных направлениях i и j с помощью винтов i и j .

Измерительное устройство позволяет фиксировать положение стрелки-указателя с точностью до 0,1 мм.

ПОРЯДОК РАБОТЫ

1. Включить ртутную лампу (включает дежурный по лаборатории или преподаватель).

2. Установить зеленый светофильтр.

3. Поворачивая в небольших пределах пластину Р, добиться хорошей видимости интерференционной картины.

4. С помощью винта j измерительного устройства определить положение центра (вначале на глаз). Затем, незначительно перемещая стрелку вдоль оси j , измерить по оси i несколько хорд для выбранного кольца. Естественно, что наибольшая из хорд и будет диаметром данного кольца.

Можно показать, что если положение центра по оси j определено с погрешностью, не превышающей 1мм, то это внесет в окончательные измерения погрешность не более 0.5%.

5. Измерить диаметры не менее 10 колец, начиная с четвертого, перемещая стрелку только винтом i и фиксируя координаты левых и правых концов диаметров.

6. Повторить измерения с красным и синим светофильтрами.

7. Построить график зависимости dm 2 = f(m), где m — номер кольца, dm — его диаметр.

8. По методу наименьших квадратов рассчитать тангенс угла наклона полученной прямой (y =ax+c, где y = d 2 , x = m , a=tgj)

9. Пользуясь формулой (8), по найденному значению tgj и известной длине волны l рассчитать неизвестный радиус кривизны Rx и его погрешность l =546,07 ± 0.01 нм, R= 49,900 ± 0.001 см.

10. Вычислить по МНК тангенсы углов наклона tgj1 и tgj2 прямых отражающих зависимости dm 2 = f(m) для красного и синего цветов. Определить длины волн l1 и l2 красной и синей линий ртутного спектра и их погрешности.

ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Пользуясь формулами переноса ошибок и пренебрегая погрешностью длины волны, погрешность R можно записать так:

Погрешность для длины волны удобнее рассчитывать через относительные погрешности

при этом последним слагаемым под корнем можно пренебречь.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

1. Величины диаметров и их квадратов ряда колец для трех светофильтров (в виде таблицы).

Зеленый фильтр Красный Синий
m d (мм) d 2 (мм 2 ) d (мм) d 2 (мм 2 ) d (мм) d 2 (мм 2 )
..

2. Графики зависимости dm 2 = f(m) для трех длин волн.

3. Расчет по методу наименьших квадратов tgj для трех длин волн.

4. Расчет величины Rx и ее погрешности.

5. Расчет двух длин волн и их погрешностей.

ВОПРОСЫ

1. В чем различие между интерференционными полосами равного наклона и равной толщины? Примером, какого из этих случаев являются кольца Ньютона?

2. В чем различие колец Ньютона наблюдаемых в отраженном и проходящем свете?

3. Каково условие образования темного (светлого) кольца Ньютона?

4. Какие особенности имеют кольца Ньютона при наблюдении в белом свете?

Источник

5 Вычисление относительной и абсолютной погрешности

5.1 Вычисление относительной погрешности определения длины световой волны .

5.1.1 Принять, что погрешность определения значения определяется погрешностью измерений расстоянийa и расстояния:

(5.1)

где — относительная погрешность определения, безразмерная величина;

аср — среднее значение расстояния до соответствующей области спектра, м:

— фиолетовой области в спектре I порядка — аср кр1

— фиолетовой области в спектре II порядка — аср кр2

— красной области в спектре I порядка — аср ф1

— красной области в спектре II порядка — аср ф2

—расстояние от решетки до щели,м;

–абсолютная погрешность в определении расстояния от решетки до щели;

–средняя абсолютная погрешность определения расстояния a от центра до соответствующей области спектра.

Абсолютные погрешности и принять равными цене деления приборов:

= = 0,5 мм = 0,510 -3 м

5.1.2 Вычислить по формуле относительные погрешности определения длины волны — всего 4 значения:

— фиолетовой области I порядка — ;

— фиолетовой области II порядка — ;

— красной области I порядка — ;

— красной области II порядка — .

5.1.3 Значения относительных погрешностей выразить в % и записать в таблицу 3.1.

5.2 Вычисление абсолютной погрешности определения длины волны

5.2.1 Поскольку смысл относительной погрешности:

, (5.2)

, (5.3)

где — абсолютная погрешность определения длины волны, м;

— относительная погрешность определения длины волны (без %) ;

— длина волны соответствующей области, м:

— фиолетовой области I порядка — ;

— фиолетовой области II порядка — ;

— красной области I порядка — ;

— красной области II порядка — .

5.2.2 Вычислить по формуле (4.3) абсолютную погрешность определения длинны волны

Всего 4 значения:

— фиолетовой области I порядка — ;

— фиолетовой области II порядка — ;

— красной области I порядка — ;

— красной области II порядка — .

5.3 Вычислить средние значения — для спектров I и II порядка — абсолютной и относительной погрешностей определения длин волн света:

,

,

5.4 Результаты всех измерений записать в таблицу 3.1

5.5 Найти в справочнике значения длин световых волн. Записать в таблицу 3.1. “табличные” значения для красного и фиолетового света.

5.6 Полученные экспериментально значения длин световых волн сравнить с табличным значением длин световых волн.

Запись полученных результатов

Полученные результаты – значение плотности с абсолютной погрешностью, единицами измерения и относительной погрешностью, а также табличное значение записать следующим образом:

ф = (… ± …) 10 -6 м, ф (табл.) = . . . . 10 — 6 м

ср ф = … %

кр = (… ± …) 10 -6 м, кр (табл.) = . . . . 10 -6 м

ср кр = … %

где ф =ср ф ± ср ф ,

кр =ср кр± ср кр

В окончательной записи результатов значения длины волны красного и фиолетового света и её абсолютной погрешности ∆ округлить до целых значений (или до десятых долей).

Количество знаков после запятой в значениях и ∆ — должно быть одинаковым.

Значение относительной погрешности выразить в процентах и округлить до десятых долей процента).

Выписать из таблиц в справочниках или в Приложении значение длины волны красного и фиолетового света («табличное» значение) — табл.

Не забудьте записать единицы измерений ,, табл !

Как написать вывод о проделанной работе

Сделать вывод с использованием рекомендаций в таблице 7.1.

Помните: Вывод – это «ответ» на цель работы !

Подумайте, достигнута цель работы?

Что должно быть в выводе

Как это написать

Что сделано в работе

Напишите, что конкретно сделано в работе.

Рекомендуется начинать со слов, например:

В данной работе……

(Что сделано? Прочитайте еще раз цель работы )

Краткое описании эксперимента:

какие конкретно величины определены с помощью каких приборов,

какие величины (в том числе погрешности) рассчитаны по формулам (формулы переписывать не надо!)

Запишите результат (полученные величины, их погрешности – с единицами измерений)

Проанализируйте полученный результат.

Для этого сравните экспериментальное значение плотности эксп с табличным значением табл и дайте свою оценку полученным результатам.

Например: .значения согласуются хорошо, (или удовлетворительно, или не согласуются).

Напишите, в чем причина расхождений экспериментального значения (полученного в данной работе) и табличного.

Источник

Читайте также:  Измерение температуры воздуха по госту

Сравнить или измерить © 2021
Внимание! Информация, опубликованная на сайте, носит исключительно ознакомительный характер и не является рекомендацией к применению.