Меню

Ряд признак сравнения ряды для сравнения



Признак сравнения рядов

Необходимый признак сходимости как первый из специальных признаков, вообще говоря, не даст возможности судить о том, сходится данный ряд или нет. В этом мы убедились, рассматривая в лекции 32 ряд (пример 32.6.). Необходимый признак для него выполняется, но исследование сходимости требует дополнительной проработки. В решении вопросов исследования сходимости данного ряда и других рядов хорошим аппаратом являются так называемые достаточные признаки сходимости. К ним относятся признаки сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный Коши.

Рассмотрим их для положительных числовых рядов. Числовой ряд с неотрицательными членами называется положительным (знакоположительным). Заметим, что исследование сходимости отрицательных рядов (рядов с не положительными членами) осуществляется с помощью тех же достаточных признаков. Это связано с тем, что отрицательный ряд переходит в положительный путем умножения его на (-1), что в силу известного свойства (свойство 2 лекции 32), не влияет на сходимость ряда.

Признак сравнения позволяет исследовать положительный ряд на сходимость путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет.

Сформулируем признак без доказательства.

Признак сравнения: Пусть даны два положительных ряда и . Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то

  • из сходимости ряда следует сходимость ряда ;
  • из расходимости ряда следует расходимость ряда .
  • если общий член исследуемого ряда меньше общего члена сходящегося ряда, то исследуемый ряд сходится;
  • если общий член исследуемого ряда больше общего члена расходящегося ряда, то исследуемый ряд расходится.

Обратимся к примерам использования признака сравнения для исследования сходимости положительных рядов.

Пример №33.1.

Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак сравнения.

Решение:

Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии , сходимость которого мы установили в примере 32.3. лекции 32. Имеем: . Таким образом, общий член нашего ряда меньше общего члена сходящегося ряда. Следовательно, по признаку сравнения, ряд сходится.

Ответ: сходится.

Пример №33.2.

Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак сравнения.

Решение:

Сравним данный ряд с гармоническим рядом , который расходится (лекция 32). Имеем: . Таким образом, общий член нашего ряда больше общего члена расходящегося ряда. Следовательно, по признаку сравнения, ряд расходится.

Ответ: расходится.

Признак сравнения позволяет исследовать сходимость положительных рядов, если удастся сравнить их с «эталонными» рядами, поведение которых в смысле сходимости известно.

В качестве «эталонных» обычно используют следующие ряды:

1. — расходящийся гармонический ряд;

2. , если — расходящийся обобщенный гармонический ряд,

, если — сходящийся обобщенный гармонический ряд;

3. , если — расходящийся ряд геометрической прогрессии,

, если — сходящийся ряд геометрической прогрессии.

Пример №33.3.

Исследуйте ряд на сходимость.

Решение:

Рассмотрим ряд . Поскольку он получается из расходящегося гармонического ряда умножением на 2, то, согласно свойству 2 числовых рядов (лекция 32), он расходится. Сравним исследуемый ряд с рядом . Имеем: , т.е. . Таким образом, общий член исследуемого ряда больше общего члена расходящегося ряда. Следовательно, по признаку сравнения, ряд расходится.

Ответ: расходится.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:



Изучу , оценю , оплатите , через 2-3 дня всё будет на «4» или «5» !

Откройте сайт на смартфоне, нажмите на кнопку «написать в чат» и чат в whatsapp запустится автоматически.

f9219603113@gmail.com


Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.9219603113.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Признаки сравнения числовых рядов. Вторая часть.

В первой части этой темы мы начали разбирать примеры применения признаков сравнения для исследования вопроса сходимости положительных рядов. Вот два этих признака:

Первый признак сравнения

Второй признак сравнения

Ряд (2) сходится если $|q| 0$. Так как $0 0$, т.е. наш ряд положительный.

Выполнение необходимого условия сходимости проверять не будем. В принципе, очевидно, что так арксинус в числителе ограничен (см. формулу (7)), а знаменатель стремится к бесконечности, то $\lim_u_n=0$. Обычно дело и ограничивается устной проверкой, после которой переходят к одному из признаков сходимости. В данном случае переходим к применению признаков сравнения.

Выберем ряд для сравнения. Для этого сначала проведём пару неформальных рассуждений. Если $n\to\infty$, то выражение в знаменателе общего члена ряда будет стремиться к бесконечности, т.е. $\sqrt[6]<4n^2-3>\to\infty$. Но что будет с числителем? А в числителе мы имеем арксинус, который удовлетворяет неравенству (7):

В принципе, так как $0 0$. Следовательно, заданный нам ряд – положительный. Так как арктангенс в числителе ограничен (см. формулу (5)), а $\sqrt[4]<3n^5-2>\to\infty$ при $n\to\infty$, то при проверке необходимого условия сходимости мы получим, что $\lim_u_n=0$. Так как эта проверка нам ничего нового не даёт (ряд может как сходиться, так и расходиться), то переходим к использованию признака сравнения.

Читайте также:  Макросы эксель сравнение значений двух ячеек

Начнём с неформальных рассуждений для выбора ряда, с которым станем сравнивать. Если $n\to\infty$, то выражение в знаменателе общего члена ряда будет стремиться к бесконечности, т.е. $\sqrt[4]<3n^5-2>\to\infty$. Но что будет с числителем? А в числителе мы имеем арктангенс. Согласно формуле (5) можно записать такое неравенство:

$$ -\frac<\pi> <2>1$, то ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><\sqrt[4]>$ сходится. Значит, и наш ряд будет сходиться. Осталось лишь строго доказать эту сходимость.

Здесь можно применять как первый, так и второй признаки сравнения. Мне удобнее применить признак сравнения в предельной форме (т.е., второй признак). Однако я укажу и решение с помощью первого признака сравнения, только скрою его под примечание в конце решения этого примера. Сравнивать станем с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><\sqrt[4]>$. Оба общих члена сравниваемых рядов не равны нулю, поэтому в знаменателе можем размещать общий член любого ряда.

При вычислении предела был использован тот факт, что $\lim_\arctg t=\frac<\pi><2>$. Так как $0 0$ (это легко доказать, например, методом математической индукции), то наш ряд – положительный, т.е. $u_n≥ 0$.

С каким рядом станем сравнивать заданный ряд? Давайте отбросим все «несущественные» элементы для дроби $\frac<2^<3n>+\cos n!><5^<2n+1>-n>$. В числителе выкинем косинус, а в знаменателе отбросим $n$. Дело в том, что порядок роста $n$ меньше, чем $5^<2n+1>$. Например, если $n=5$, то $5^<2n+1>=48\,828\,125$. После всех «отбрасываний» у нас останется $\frac<2^<3n>><5^<2n+1>>=\frac<\left(2^3\right)^n><5\cdot \left(5^2\right)^n>=\frac<1><5>\left(\frac<8><25>\right)^n$. В принципе, и множитель $\frac<1><5>$ можно смело убрать, так как на сходимость он не повлияет.

Итак, мы станем сравнивать наш ряд с рядом $\sum\limits_^<\infty>\left(\frac<8><25>\right)^n$. Это ряд вида (2), т.е. сумма элементов геометрической прогрессии с знаменателем $\frac<8><25>$. Так как $\left|\frac<8><25>\right| 5^<2n+1>-\frac<1><2>5^<2n+1>=\frac<1><2>5^<2n+1>$. Уменьшая знаменатель мы увеличиваем дробь:

Ответ: ряд сходится.

Продолжение темы исследования сходимости рядов с помощью признаков сравнения рассмотрим в третьей части.

Источник

Признаки сравнения числовых рядов. Первая часть.

Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда и свойства числовых рядов (в частности, нам понадобятся свойства №3 и №4). Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему «Выбор признака сходимости числовых рядов».

Признаки сравнения применяются для исследования числовых рядов, члены которых неотрицательны, т.е. больше или равны нулю. Такие ряды называются положительными (в части литературы – неотрицательными или знакоположительными). Именно такие ряды мы и станем рассматривать в данной теме.

Первый признак сравнения (или первая теорема сравнения) формулируется следующим образом:

Первый признак сравнения

Упрощённо говоря, если ряд с меньшими членами не имеет суммы (расходится), то и ряд с бо́льшими членами тоже будет расходиться. И это логично, ибо если исходная сумма была бесконечно большой, то после увеличения слагаемых она такой и останется.

Ну, и если ряд с бо́льшими членами имеет сумму (сходится), то и ряд с меньшими членами тоже будет сходиться.

Признак сравнения можно сформулировать также и в иной форме. Обычно говорят, что это второй признак сравнения (или вторая теорема сравнения). Иногда его называют предельным признаком сравнения или признаком сравнения в предельной форме. Формулировка его такова:

Второй признак сравнения

Особо стоит обратить внимание на случай $\alpha=1$, т.е. ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<1>=\sum\limits_^<\infty>\frac<1>$. Ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<1>$ называют гармоническим рядом. Гармонический ряд расходится.

Кроме того, частенько для сравнения используется ряд такого вида:

Этот ряд представляет собой сумму членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1=a$ и знаменателем $q$. Этот ряд сходится если $|q| 0$ и $2n^3+5n^2-4 > 0$, то $u_n > 0$. Следовательно, наш ряд является положительным. Кстати сказать, для положительного ряда достаточно выполнения условия $u_n≥ 0$. Однако для нашего ряда мы можем записать более точно: $u_n > 0$.

Для начала неплохо бы проверить выполнение необходимого условия сходимости, т.е. найти $\lim_u_n$. Вдруг нам повезёт и окажется, что $\lim_u_n\neq 0$? Тогда ряд будет расходиться, и решение на этом закончится. При нахождении предела будем использовать метод, описанный в теме «Предел отношения двух многочленов». В процессе решения разделим числитель и знаменатель на $n^3$:

Так как $\lim_u_n=0$, то никакого вывода про сходимость нашего ряда мы сделать не в состоянии. Ряд может как сходиться, так и расходиться. Попробуем применить признаки сравнения.

Для того, чтобы эти признаки использовать, нам понадобится ряд, с которым станем сравнивать. Чтобы выбрать ряд для сравнения, поисследуем поведение общего члена заданного нам ряда при $n\to\infty$. Это можно сделать с помощью несколько неформальных рассуждений. Так как эти рассуждения, возможно, будут интересны не всем читателям, то я скрою их под примечание.

Читайте также:  Все умные часы самсунг сравнение

Как выбрать ряд для сравнения? показать\скрыть

Я не буду касаться такой темы как порядок роста, просто приведу некие общие соображения. Давайте посмотрим на общий член ряда повнимательнее. Сначала обратимся, например, к знаменателю. В знаменателе общего члена ряда расположены степени $n^3$, $n^2$ и число -4. Номер $n$ всё увеличивается, стремясь в бесконечность. Вопрос: какой элемент ($n^3$ или $n^2$) с возрастанием номера $n$ будет расти быстрее прочих?

Ответ здесь прост: наиболее быстро будет увеличивать свои значения именно $n^3$. Например, когда $n=100$, то $n^2=10\,000$, а $n^3=1\,000\,000$. И этот разрыв между значениями $n^2$ и $n^3$ будет всё больше и больше. Поэтому все слагаемые знаменателя, кроме тех, что содержат $n^3$, мы мысленно отбросим. В числителе также проведем подобную процедуру «отбрасывания», оставив лишь $9n$ (число 7 в числителе явно не сыграет никакой роли по сравнению с $9n$). Таким образом дробь $\frac<9n+7><2n^3+5n^2-4>$ после всех отбрасываний станет такой: $\frac<9n><2n^3>=\frac<9><2>\cdot\frac<1>$. Иными словами, если $n\to\infty$, то общий член ряда будет крайне мало отличаться от выражения $\frac<9><2>\cdot\frac<1>$.

Множитель $\frac<9><2>$ можно также отбросить, ибо он не влияет на сходимость. И останется после такой «очистки» лишь $\frac<1>$. А что мы можем сказать про ряд с общим членом $v_n=\frac<1>$? Это обобщенный гармонический ряд. В знаменателе общего члена этого ряда степень $n$ равна 2, поэтому так как $2 > 1$, то ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<1>$ сходится.

Вот с этим сходящимся рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac<1>$ мы и станем сравнивать заданный нам ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<9n+7><2n^3+5n^2-4>$. По сути, мы уже неформально решили задачу: наш ряд будет сходиться. Осталось лишь показать это строгими рассуждениями.

Рассмотрим, как решить нашу задачу с помощью как первого, так и второго признаков сравнения.

Решение с помощью первого признака сравнения

Итак, общий член ряда таков: $u_n=\frac<9n+7><2n^3+5n^2-4>$. Неформальными рассуждениями (скрытыми выше под примечание) мы пришли к выводу, что наш ряд сходится. Для этого случая применяется второй пункт первого признака сравнения. Нам нужно показать, что общий член нашего ряда удовлетворяет неравенству $\frac<9n+7><2n^3+5n^2-4>≤ v_n$, при этом ряд $\sum\limits_^<\infty>v_n$ сходится. Тогда и заданный нам ряд будет сходиться.

Станем увеличивать дробь $\frac<9n+7><2n^3+5n^2-4>$. Наша цель: привести данную дробь к виду $\frac<1>$. Почему именно к этому виду? Для ответа на данный вопрос прошу раскрыть примечание выше.

Чтобы увеличить некую дробь, есть два пути: увеличить числитель или уменьшить знаменатель. Согласитесь, что так как $n≥ 1$, то $9n+7 ≥ 9n+7n=16n$. Следовательно, если мы в числителе вместо $9n+7$ разместим выражение $16n$, то увеличим рассматриваемую дробь:

Пойдём далее и поработаем со знаменателем. Чтобы увеличить дробь, знаменатель нужно уменьшить. Например, можно рассудить так: мы знаем, что $n≥ 1$. Тогда $5n^2-4 > 0$. Значит, если мы отбросим в знаменателе выражение $5n^2-4$, то знаменатель уменьшится. Следовательно, наша дробь увеличится. Продолжим предыдущее неравенство:

Как и в предыдущем примере, попробуем проверить выполнение необходимого условия сходимости, т.е. найдём $\lim_u_n$. При нахождении предела будем использовать метод, описанный в теме «Предел отношения двух многочленов». В ходе решения разделим и числитель и знаменатель на $n^4$:

Так как $\lim_u_n=0$, то никакого вывода про сходимость нашего ряда мы сделать не в состоянии. Ряд может как сходиться, так и расходиться. Попробуем применить признаки сравнения.

Выясним, с каким же рядом нужно сравнивать заданный в условии ряд. Попробуем отбросить «лишние» элементы числителя и знаменателя точно так же, как это было сделано в примере №1. Останется у нас такая дробь: $\frac<4n^3>=\frac<4><9>\cdot\frac<1>$. Вот с гармоническим рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac<1>$ мы и станем сравнивать заданный ряд. Гармонический ряд расходится, поэтому и наш ряд будет расходиться. Нам осталось лишь показать это формально с помощью признаков сравнения.

Решение с помощью первого признака сравнения

Неформальными рассуждениями, проведенными выше, мы пришли к выводу, что наш ряд расходится. Для этого случая применяется первый пункт первого признака сравнения. Нам нужно показать, что общий член нашего ряда удовлетворяет неравенству $v_n≤ \frac<4n^3+2n+9>$, при этом ряд $\sum\limits_^<\infty>v_n$ расходится. Тогда и заданный нам ряд будет расходиться.

Станем уменьшать дробь $\frac<4n^3+2n+9>$. Наша цель: привести данную дробь к виду $\frac<1>$.

Чтобы уменьшить некую дробь, есть два пути: уменьшить числитель или увеличить знаменатель. Так как $n≥ 1$, то $2n+9 > 0$. Поэтому если мы отбросим в числителе $2n+9$, то уменьшим числитель, тем самым уменьшив рассматриваемую дробь:

Поработаем с знаменателем. Если мы его увеличим, то дробь уменьшится. Так как $n≥ 1$, то $3n+5≤ 3n+5n=8n$. Итак, если мы вместо $3n+5$ запишем $8n$, то знаменатель увеличится:

Читайте также:  Активность поведение деятельность сравнение

Дальнейшие рассуждения стандартны: так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<1>$ расходится, то будет расходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>\left( \frac<1><16>\cdot\frac<1>\right)$. Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\left( \frac<1><16>\cdot\frac<1>\right)$ расходится и $\frac<4n^3+2n+9> > \frac<1><16>\cdot\frac<1>$, то согласно первому признаку сравнения (пункт №1) ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<4n^3+2n+9>$ будет расходиться.

Решение с помощью второго признака сравнения

Ранее мы уже выяснили, что сравнивать заданный ряд нужно с расходящимся рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac<1>$. Сравним заданный ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<4n^3+2n+9>$ с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac<1>$, используя второй признак сравнения . Данный признак работает с пределом $\lim_\frac$. Оба общих члена сравниваемых рядов не равны нулю, поэтому в знаменателе можем размещать общий член любого ряда:

Так как $0 0$, т.е. наш ряд положительный. Точно так же, как и в предыдущих примерах, можно проверить выполнение необходимого условия сходимости, однако эта проверка лишь покажет, что $\lim_u_n=0$. Т.е. ничего определённого про сходимость ряда сказать нельзя и нужно использовать иные критерии.

Для проверки сходимости заданного ряда с помощью признаков сравнения для начала составим ряд, с которым станем сравнивать. Попробуем отбросить «лишние» элементы числителя и знаменателя точно так же, как это было сделано в примерах №1 и №2. Останется у нас такая дробь:

Вот с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><3>>>$ мы и станем сравнивать заданный ряд. Так как $\frac<4> <3>> 1$, то ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><3>>>$ сходится. Следовательно, и наш ряд будет сходиться, нам осталось лишь показать это формально с помощью признаков сравнения.

Решение с помощью первого признака сравнения

Неформальными рассуждениями выше мы пришли к выводу, что наш ряд сходится. Для этого случая применяется второй пункт первого признака сравнения. Нам нужно показать, что общий член нашего ряда удовлетворяет неравенству $\frac<5n^2-3><\sqrt[3]<7n^<10>+2n^3-4>>≤ v_n$ и ряд $\sum\limits_^<\infty>v_n$ сходится. Тогда и заданный нам ряд будет сходиться.

Станем увеличивать дробь $\frac<5n^2-3><\sqrt[3]<7n^<10>+2n^3-4>>$. Наша цель: привести данную дробь к виду $\frac<1><3>>>$.

Чтобы увеличить данную дробь, для начала увеличим числитель. Если мы отбросим число (-3), то числитель станет больше. А значит и сама дробь увеличится:

$$ \frac<5n^2-3><\sqrt[3]<7n^<10>+2n^3-4>> \sqrt<2n-1>$, то $u_n > 0$, т.е. наш ряд положительный. Можно при желании проверить выполнение необходимого условия сходимости, однако эта проверка ничего не даст (предел $\lim_u_n$ вычисляется по аналогии с примером №8 на этой странице), так как $\lim_u_n=0$. Перейдём к применению признаков сравнения.

Перед тем, как применять некие признаки сравнения, выражение общего члена ряда лучше немного преобразовать. Тут поможет домножение на сопряжённое выражение, т.е. на $\sqrt<2n+3>+\sqrt<2n-1>$. Естественно, что если мы домножаем на некое выражение, то на него же обязаны и разделить. При упрощении нам поможет формула $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Итак:

Теперь наш ряд имеет вид $\sum\limits_^<\infty>\frac<4><\sqrt<2n+3>+\sqrt<2n-1>>$. Применяя рассуждения, аналогичные проведённым в предыдущих примерах, получим, что сравнивать наш ряд надо с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><\sqrt>$. Ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><\sqrt>=\sum\limits_^<\infty>\frac<1><2>>>$ расходится, так как степень $\frac<1><2>≤ 1$. Значит, будет расходиться и наш ряд, осталось лишь показать это формально.

Решение с помощью первого признака сравнения

Неформальными рассуждениями выше мы пришли к выводу, что наш ряд расходится. Станем уменьшать дробь $\frac<4><\sqrt<2n+3>+\sqrt<2n-1>>$. Так как $\sqrt<2n+3>> \sqrt<2n-1>$, то записав выражение $\sqrt<2n+3>$ вместо $\sqrt<2n-1>$ мы увеличим знаменатель, тем самым уменьшив дробь:

Увеличим знаменатель ещё раз. Так как $2n+3 \frac<2><\sqrt<2n+3>> > \frac<2><\sqrt<9n>>=\frac<2><3>\cdot\frac<1><\sqrt>. $$

Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><\sqrt>$ расходится, то будет расходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>\left(\frac<2><3>\cdot\frac<1><\sqrt>\right)$. Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\left(\frac<2><3>\cdot\frac<1><\sqrt>\right)$ расходится и $\frac<4><\sqrt<2n+3>+\sqrt<2n-1>> >\frac<2><3>\cdot\frac<1><\sqrt>$, то согласно первому признаку сравнения (пункт №1) ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<4><\sqrt<2n+3>+\sqrt<2n-1>>$ будет расходиться.

Решение с помощью второго признака сравнения

Мы уже выяснили, что сравнивать заданный ряд нужно с расходящимся рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><\sqrt>$. Сравним заданный ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<4><\sqrt<2n+3>+\sqrt<2n-1>>$ с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><\sqrt>$, используя второй признак сравнения. Оба общих члена сравниваемых рядов не равны нулю, поэтому в знаменателе можем размещать общий член любого ряда:

Так как $0<\sqrt<2><\infty$, то ряды $\sum\limits_^<\infty>\frac<4><\sqrt<2n+3>+\sqrt<2n-1>>$ и $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><\sqrt>$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<1><\sqrt>$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac<4><\sqrt<2n+3>+\sqrt<2n-1>>$.

Ответ: ряд расходится.

Продолжение темы исследования сходимости рядов с помощью признаков сравнения рассмотрим во второй и третьей частях.

Источник