Меню

Сравнения натуральных чисел различными способами



Сравнение натуральных чисел: равно или не равно, больше или меньше?

В этой статье мы поговорим о сравнении натуральных чисел между собой.

Сначала разберемся, что называют сравнением двух натуральных чисел и введем понятия равных и неравных натуральных чисел. Дальше уясним, какое из двух неравных натуральных чисел больше, а какое меньше, разберем примеры сравнения натуральных чисел. После этого рассмотрим натуральный ряд чисел, поговорим о наибольшем и наименьшем числе из некоторого множества чисел. В заключении покажем, как записывается результат сравнения трех и более натуральных чисел.

Навигация по странице.

Что такое «сравнение натуральных чисел»?

Давайте для начала определимся, что мы будем понимать под сравнением двух натуральных чисел.

Представим такую картину: на дереве разместилась стая из 7 птиц, а на другом дереве – стая из 5 десятков птиц. Вроде бы и на одном дереве стая птиц, и на другом – стая птиц. Но эти стаи не похожи одна на другую. Вот этот вывод — «не похожи» — явился результатом действия, которое называют сравнением.

Под сравнением двух натуральных чисел будем понимать аналогичную «проверку на похожесть».

Будем считать, что сравнение двух натуральных чисел – это действие, которое приводит нас либо к первому, либо ко второму результату из следующих:

  • первый результат сравнения назовем равенство, при этом будем говорить, что сравниваемые натуральные числа равны между собой;
  • второй результат назовем неравенство, и будем говорить, что сравниваемые натуральные числа не равны между собой.

В случае неравенства двух натуральных чисел условимся считать, что одно из чисел меньше другого, и одно из чисел больше другого – это позволит значительно расширить применимость натуральных чисел.

Теперь можно переходить к определениям равных и неравных натуральных чисел, а также прояснить, какое из двух неравных чисел меньше, а какое больше.

Равные и неравные натуральные числа, знаки «=» (равно) и «≠» (не равно).

Дадим определение равных и неравных натуральных чисел.

Два натуральных числа равны между собой, если их записи одинаковы. Если же записи двух натуральных чисел отличаются, то эти числа не равны.

По определению натуральное число 402 равно числу 402 , числа 7 и 7 также равны (их записи одинаковы), а натуральные числа 55 283 и 505 283 не равны, числа 582 и 285 тоже не равны (записи этих чисел различны).

Для краткой записи равенства и неравенства двух натуральных чисел применяют знак равно «=» и знак не равно «≠» соответственно, которые располагают между числами. Например, запись 43=43 означает, что натуральное число 43 равно числу 43 , а запись 50≠51 означает, что 50 не равно 51 .

Запись, в которой присутствуют два натуральных числа и знак «=» между ними, будем называть равенством. Равенства могут быть как верными (например, 72=72 – верное равенство), так и неверными (к примеру, 76 170=861 – неверное равенство).

Сравнение однозначных натуральных чисел, знаки « » (больше).

Запишем все однозначные натуральные числа в одной строке в следующем порядке:
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Из двух однозначных натуральных чисел, записанных в строку по указанному образцу, меньше то, которое находится левее, и больше то, которое находится правее.

Например, число 1 меньше числа 2 , число 1 меньше, чем число 7 , число 6 меньше любого из чисел 7 , 8 и 9 . А 2 больше 1 ; 7 больше, чем 4 ; 6 больше любого из чисел 1 , 2 , 3 , 4 и 5 .

Для краткой записи используют знак меньше « », которые располагают между сравниваемыми числами. Например, запись 3 означает, что 3 меньше, чем 7 , а запись 8>5 означает, что 8 больше, чем 5 .

Запись, в которой присутствуют два натуральных числа и один из знаков « » между этими числами, называют неравенством. Неравенства, как и равенства, бывают верными и неверными. Вот пример верного неравенства 2 , а неравенство 5>8 — неверное.

Сравнение однозначного и многозначного натуральных чисел.

Примем за правило, что любое однозначное натуральное число меньше любого многозначного натурального числа.

В качестве примера запишем несколько верных неравенств: 9 , 4 , 300>3 , 3 043>7 . А вот неравенства 6>11 , 543 и 9>1 000 — неверные.

Осталось разобраться со сравнением многозначных чисел.

Сравнение многозначных натуральных чисел.

Для начала разберемся со сравнением двух неравных многозначных натуральных чисел, записи которых состоят из равного количества знаков. Прежде чем продолжить чтение, рекомендуем освежить в памяти информацию из раздела разряды натурального числа, значение разряда.

Сравнение таких чисел проводится поразрядно слева направо до нахождения неравных значений разрядов. Меньшим (большим) будем считать то число, у которого значение соответствующего разряда меньше (больше).

Для применения озвученного правила нам понадобиться принять еще одну условность: будем считать, что число 0 меньше любого натурального числа, и что нуль равен нулю (напомним, что число 0 не относится к натуральным числам).

Разберемся на примерах.

Сравните два двузначных числа: 35 и 65 .

Очевидно, данные натуральные числа не равны и их записи состоят из двух знаков. Сравниваем значения разряда десятков, в результате имеем неравенство 3 , следовательно, 35 .

Читайте также:  Контрольная работа по математике 6 класс рациональные числа сравнение рациональных чисел инфоурок

Сравните натуральные числа 302 и 307 .

Очевидно, данные натуральные числа не равны и они оба трехзначные. Сначала сравниваем значения разряда сотен. Имеем равенство 3=3 , поэтому переходим к сравнению значений разряда десятков. Опять имеем равенство 0=0 , поэтому переходим к сравнению значений разряда единиц. Теперь имеем неравенство 2 , из которого делаем вывод, что 302 .

Осталось разобраться со сравнением двух многозначных натуральных чисел, записи которых состоят из неравного количества знаков.

В этих случаях, меньшим (большим) будем считать то число, запись которого состоит из меньшего (большего) количества знаков.

Сравните многозначные натуральные числа 40 392 и 92 248 812 .

Запись числа 40 392 состоит из 5 знаков, а запись числа 92 248 812 – из 8 знаков. Так как 5 , то число 40 392 меньше, чем число 92 248 812 .

Какое из данных натуральных чисел больше 50 933 399 или 10 000 011 359 ?

Число 50 933 399 — восьмизначное, а число 10 000 011 359 — одиннадцатизначное. Число 11 в свою очередь больше, чем число 8 (двузначное число 11 больше однозначного числа 8 , о чем мы говорили в предыдущем пункте), поэтому, число 10 000 011 359 больше числа 50 933 399 .

10 000 011 359>50 933 399 .

Сравните многозначные натуральные числа 9 876 545 678 и 987 654 567 811 .

Запись натурального числа 9 876 545 678 состоит из 10 знаков, а числа 987 654 567 811 — из 12 . Таким образом, сравнение исходных многозначных чисел сводится к сравнению чисел 10 и 12 .

Очевидно, числа 10 и 12 не равны и они оба двузначные. Сравниваем сначала значения разряда десятков, имеем равенство 1=1 , поэтому переходим к сравнению значений разряда единиц. Имеем неравенство 0 , следовательно, 10 .

Теперь мы можем утверждать, что 9 876 545 678 .

Натуральный ряд чисел, счет, нумерация.

Запишем все однозначные натуральные числа так, чтобы каждое следующее было больше, чем предыдущее:
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Продолжим эту последовательность натуральных чисел двухзначными числами:
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , …, 99 .

Далее таким же образом допишем все трехзначные числа:
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , …, 99 , 100 , 101 , 102 , 103 , …, 999 .

Продолжим дописывать к полученной последовательности все четырехзначные числа, затем пятизначные числа, далее шестизначные числа и так далее.

Очевидно, этот процесс не имеет конца. В результате получим бесконечную последовательность всех натуральных чисел, которую называют натуральным рядом чисел.

Давайте теперь познакомимся с еще одним важным процессом – счетом.

При счете натуральные числа называют одно за другим так, как они записаны в натуральном ряду – один, два, три, четыре и так далее. Счет можно применять для того, чтобы узнать количество предметов.

Например, перед нами куча предметов и нам нужно знать их количество. Для этого берем один предмет, откладываем его в сторону и произносим «один». Далее из исходной кучи опять берем предмет, откладываем его в сторону и произносим «два». И так продолжаем перекладывать предметы из исходной кучи в сторону, пока они есть, называя при этом числа натурального ряда. Натуральное число, на котором предметы в куче закончатся, укажет их количество. Когда мы узнаем количество предметов при помощи счета, можно сказать, что предметы пересчитаны.

Понятно, что из двух натуральных чисел меньше то, которое при счете называют раньше, и больше то, которое называют позже.

Числа натурального ряда также используют для нумерации предметов. Пусть у нас есть некоторое множество предметов. Запишем на этих предметах по одному числу из натурального ряда, начиная с единицы. При этом получим множество нумерованных предметов. Натуральные числа, записанные на предметах, соответствуют номерам предметов. Предметы с номерами 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 и так далее называют первый, второй, третий, четвертый, пятый, шестой и так далее.

Нумерация полезна, когда нужно различать одинаковые предметы.

Натуральные числа на координатном луче.

Давайте для начала вспомним, что представляет собой координатный луч.

Если смотреть слева направо, то каждой точке координатного луча, отмеченной штрихом, мы последовательно ставили в соответствие натуральные числа 1 , 2 , 3 , …, которые назвали координатами этих точек. При таком построении получается, что точки, которым соответствуют меньшие натуральные числа, расположены левее точек, которым соответствуют большие натуральные числа. Следовательно, точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее точки с большей координатой.

В качестве примера возьмем натуральные числа 2 и 6 . Рассмотрим две точки A и B на координатном луче, координатами которых являются натуральные числа 2 и 6 соответственно.

Очевидно, точка А лежит левее точки B , следовательно, координата точки A меньше координаты точки B , то есть, 2 . Можно было рассуждать и так: «Точка B(6) расположена правее точки A(2) , поэтому, натуральное число 6 больше натурального числа 2 ».

Наименьшее и наибольшее натуральное число.

Отметим, что не существует ни одного натурального числа, которое меньше, чем число 1 . Говорят, что число 1 – наименьшее из множества всех натуральных чисел.

А вот число, которое больше любого данного натурального числа, существует (таким числом, например, является следующее число в натуральном ряду чисел), поэтому не существует наибольшего числа из множества всех натуральных чисел.

Читайте также:  Измерением называется операция сравнения неизвестного с известными

Однако можно назвать наибольшее число из множества всех однозначных натуральных чисел. Это число 9 . Действительно, не существует однозначного натурального числа, которое больше, чем число 9 .

А какое наибольшее натуральное число из множества всех двузначных натуральных чисел? Конечно же, это число 99 . Аналогично можно указать наибольшее число из множества всех трехзначных, четырехзначных и т.д. натуральных чисел.

Сравнивая всевозможные пары чисел из данного множества натуральных чисел, можно найти наименьшее и наибольшее числа. Например, число 3 является наименьшим, а число 54 наибольшим из чисел 5 , 3 , 34 , 34 , 34 , 12 , 12 , 54 .

Двойные неравенства, тройные неравенства и так далее.

Мы знаем, что 5 , а 12 . Два записанных неравенства иногда удобно представлять в виде двойного неравенства: 5 . Следует заметить, что двойное неравенство дает три неравенства 5 , 12 и 5 , а не два 5 и 12 . Однако неравенство 5 следует из неравенств 5 и 12 (смотрите раздел теории свойства числовых неравенств).

В виде двойного неравенства можно записывать результат сравнения трех натуральных чисел. Например, пусть нам нужно сравнить три натуральных числа 76 , 512 и 10 . Сравнивая попарно данные числа, имеем три неравенства 76 , 76>10 и 512>10 , которые можно записать как двойное неравенство 10 .

Аналогично строятся тройные, четверные и т.д. неравенства. Например, мы знаем, что 5 , 17 , 305 , 1 000 , тогда можно записать 5 .

Источник

Сравнение натуральных чисел

Сравнить два числа — это значит определить, равны они или нет, если нет, то определить, какое из них больше, а какое — меньше.

Равные и неравные натуральные числа

Если записи двух натуральных чисел одинаковы, то говорят, что эти числа равны между собой. Числа, которые равны, называются равными. Если записи двух натуральных чисел отличаются, то говорят, что эти числа не равны. Числа, которые не равны, называются неравными.

Пример. Натуральное число 34 равно числу 34 (их записи одинаковы), а натуральные числа 63 и 67 не равны (их записи различны). Следовательно числа 34 и 34 — равные, а 63 и 67 — неравные.

Равенства и неравенства

Для записи результата сравнения чисел используются следующие знаки:

=, > и = называется знаком равенства и заменяет собой слово равно или равняется . Например, если числа a и b равны, то пишут a = b и говорят: a равно b .

Запись, которая состоит из математических выражений, между которыми ставится знак = называется равенством.

4 = 4 — равенство.

2 + 3 = 5 — равенство.

2 + 2 = 1 + 1 + 2 — равенство (подобные записи представляют собой равенство двух числовых выражений, и означают равенство значений этих выражений).

Равенства могут быть как верными (например, 5 = 5 — верное равенство), так и неверными (например, 11 = 14 — неверное равенство).

Два других знака > и называются знаками неравенства и означают: знак > — больше , а знак — меньше . Например, если число a больше числа b, то пишут a > b и говорят: a больше b или пишут b b меньше a .

Знаки > и должны быть обращены остриём к меньшему числу.

Запись, которая состоит из математических выражений, между которыми ставится знак > или называется неравенством.

5 > 4 — неравенство.

2 8 — неверное неравенство).

Кроме неравенств со знаками > и , которые называются строгими, используются нестрогие неравенства, для которых введены знаки ⩾ и ⩽ . Знак ⩾ читается больше или равно , знак ⩽ — меньше или равно . Нестрогое неравенство допускает случай равенства левой и правой его частей. Так, например, 7 ⩽ 7 — верное неравенство.

Также для записи неравенства двух натуральных чисел может применяться знак ≠ . Знак ≠ читается не равно . Например, запись ab — означает a не равно b.

Обычно, если не оговорено иное, понятие неравенства относится только к записям со знаками > , , ⩾ и ⩽ .

Правила чтения равенств и неравенств

Равенства и неравенства читаются слева направо. Левая часть равенства читается в именительном падеже, а правая — в дательном.

Пример. 7 = 7 — семь равно семи.

Левая часть неравенства читается в именительном падеже, а правая — в родительном.

Пример. 11 > 9 — одиннадцать больше девяти, 3 Пример. Сравним числа 1 и 3, 7 и 4. Запишем все однозначные натуральные числа в одной строке в следующем порядке:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Число 1 меньше числа 3 (1 4), так как в натуральном ряду число 7 находится правее числа 4.

Для применения правил сравнения чисел по их десятичной записи необходимо принять одну условность: будем считать, что число 0 меньше любого натурального числа, и что нуль равен нулю.

Правила сравнения натуральных чисел по их десятичной записи:

Если записи сравниваемых чисел состоят из одинакового количества цифр, то числа сравниваются поразрядно слева направо. Большим будет считаться то число, у которого первая (слева направо) из неодинаковых цифр больше.

Когда говорят, что цифры равны (или одна цифра больше другой), то имеют ввиду, что соответствующие им числа равны (или одно число больше другого).

Пример. Сравним натуральные числа 4026 и 4019. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:

Читайте также:  Jilong сварочный аппарат сравнение

Сначала сравниваем значения разряда тысяч. Получаем равенство 4 = 4, поэтому переходим к сравнению значений следующего разряда. Опять получаем равенство 0 = 0, переходим к сравнению значений разряда десятков. Теперь имеем неравенство 2 > 1, из которого делаем вывод, что число 4026 больше числа 4019 (4026 > 4019), потому что у первого числа, цифра разряда десятков (2) больше, чем цифра разряда десятков (1) у второго числа.

Если количество цифр в записи, сравниваемых чисел, разное, то большим будет считаться то число, у которого количество цифр больше.

Пример. Сравним натуральные числа 347 503 и 34 503. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:

347 503
34 503

Записав числа одно под другим, можно наглядно заметить, что первое число имеет большее количество цифр, чем второе, следовательно 347 503 > 34 503.

Два натуральных числа равны, если у них одинаковое количество цифр и цифры одинаковых разрядов равны.

Пример. Сравним числа 38 526 734 и 38 526 734. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:

38 526 734
38 526 734

Записи данных чисел одинаковы (количество цифр и цифры одинаковых разрядов равны), следовательно эти числа равны.

Двойные неравенства, тройные неравенства и т. д.

Когда нужно записать, что одно число больше другого, но меньше третьего, часто используют двойные неравенства.

Пример. Известно, что 4 четыре больше двух, но меньше пяти .

В виде двойного неравенства можно записывать результат сравнения трёх натуральных чисел.

Пример. Допустим, нужно сравнить три натуральных числа 11, 34 и 8. Сравнивая данные числа между собой, получим три неравенства 11 8, которые можно записать как двойное неравенство:

8 Пример. Известно, что 12 15, 47 Сравнить .

Источник

Сравнение натуральных чисел.

Определение, что такое сравнение натуральных чисел.

Сравнение в жизни мы используем постоянно. Например, длинная дорога или короткая, высокий или низкий человек, много игрушек или мало, большая емкость или маленькая. Так, что же такое сравнение натуральных чисел?

Сравнение натуральных чисел – это определение какое из натуральных чисел больше, а какое меньше.

Способы сравнения натуральных чисел.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9 ,10, 11, 12, 13, 14, 15, …

1) Всегда числа, стоящие справа в натуральном ряду больше чисел, стоящих слева.
Например, сравним числа 7 и 9. Число 9 стоит правее числа 7, следовательно, число 9 больше 7.

Единица, является самым маленьким натуральным числом.

Любое натуральное число больше нуля.

2) Всегда больше то натуральное число, у которого разрядов больше.

Сравним два числа 45 и 190. Сразу понятно, что число 190 больше числа 45. Мы сделали такой вывод потому, что число 190 является трехзначным числом, а 45 – двухзначным числом. У числа 190 есть разряд сотен, десятков и единиц, а у числа 45 только разряд десятков и единиц.

3) Если количество разрядов одинаково, то мы будем сравнивать величины цифр разрядов, начиная с высшего разряда (слева направо).
Например, сравним числа 478 и 399. Оба числа являются трехзначными, поэтому подробно рассмотрим высший разряд сотен. У первого числа 478 разряд сотен равен 4, а у второго числа 399 разряд сотен равен 3. Следовательно, первое число 478 больше второго числа 399, потому что 4 больше 3.

Если высшие разряды одинаковые мы сравниваем следующий меньший разряд цифр.
Сравним числа 7890 и 7860. Начинаем сравнивать высший разряд единиц тысяч он у обоих чисел равен 7. Следующий разряд сотен, также равен у обоих чисел 8. А вот разряд десятков различен. У первого числа 7890 разряд десятков равен 9, а у второго числа 7860 равен 6. Далее делаем вывод, первое число 7890 больше 7860, потому что разряд десятков у первого числа больше чем у второго. Проще сказать, 9 больше 6.

4) Если при сравнении все цифры разрядов двух натуральных чисел одинаковы, значит числа равны.
Например, сравним числа 4890765 и 4890765. Видно, что у обоих чисел все цифры разрядов одинаковы, следовательно, они равны.

Неравенство и знаки неравенства.

Чтобы не писать словами больше, меньше или равно в математике придумали обозначения. Больше (>), меньше ( 2. Или 6 меньше 10, мы запишем как 6 2, 6 1 в) 7=7
Ответ: а) пять меньше двенадцати б) шесть больше одного в) семь равено семи.

Пример №2:
Запишите неравенство: а) 4 меньше 8 б) 10 больше 9 в) 11 равно 11.
Ответ: а) 4 9 в) 11=11.

Пример №3:
Верны ли неравенства? Проверьте знаки сравнения: а) 5 23 г) 5=55
Ответ: а) верно б) неверно в) неверно г) неверно.

Пример №4:
Сравните числа, поставьте правильно знаки неравенства ( , =): а)3 и 3 б)4 и 9 в)8 и 3
Ответ: а) 3=3 б) 4 3

Посмотрите на рисунок и составьте неравенство.

Ответ: 10>2 или 2 Category: 5 класс, Натуральные числа Leave a comment

Источник