Меню

Сравнение чисел с помощью числовой прямой



Сравнение целых чисел: правила, примеры

После того, как получили полное представление о целых числах, можно говорить об их сравнении. Для этого выясняется, какие числа равные и неравные. Разберутся правила, благодаря которым выясняем, какие из двух неравных больше или меньше. Это правило основано на сравнении натуральных чисел. Будет рассмотрено сравнение трех и более целых чисел, нахождение наименьшего и наибольшего целого числа из заданного множества.

Равные и неравные целые числа

Сравнение двух чисел приводит к тому, что они либо равны либо не равны. Рассмотрим определения.

Два целых числа называют равными, когда их запись полностью совпадает. Иначе они считаются неравными.

Отдельное место для обсуждения имеет 0 и — 0 . Противоположное число — 0 и есть 0 , в этом случает эти два числа равнозначны.

Определение поможет сравнить заданные два числа. Возьмем, например, числа — 95 и — 95 . Их запись полностью совпадает, то есть они считаются равными. Если взять числа 45 и — 6897 , то визуально видно, что они отличаются и не считаются равными. Они имеют разные знаки.

Если числа равные, это записывается при помощи знака « = ». Его расположение идет между числами. Если возьмем числа — 45 и — 45 , то они равны. Запись принимает вид — 45 = — 45 . В случае, если числа неравны, тогда применяется знак « ≠ ». Рассмотрим на примере двух чисел: 57 и — 69 . Эти числа целые, но не равные, так как запись отличается друг от друга.

При сравнивании чисел используется правило модуля числа.

Если два числа имеют одинаковые знаки и их модули равны, то эти два числа считаются равными. Иначе их называют не равными.

Рассмотрим на примере данное определение.

Например, даны два числа — 709 и — 712 . Выяснить, равны ли они.

Видно, что числа имеют одинаковый знак, но это не значит, что они равны. Для сравнения используется модуль числа. По модулю первое число оказалось меньше второго. Они не равны ни по модулю, ни без него.

Значит, делаем вывод, что числа не равны.

Рассмотрим еще пример.

Если взяты два числа 11 и 11 . Они оба равные. По модулю также числа одинаковы. Данные натуральные числа можно считать равными, так как их записи совпадают полностью.

Если получаем неравные числа, тогда необходимо уточнение, какое из них меньше и какое больше.

Сравнение произвольных целых чисел с нулем

В предыдущем пункте было отмечено, что ноль равен сам себе даже со знаком минус. В таком случае равенства 0 = 0 и 0 = — 0 равнозначны и справедливы. При сравнении натуральных чисел имеем, что все натуральные числа больше нуля. Все целые положительные числа натуральные, поэтому и больше 0 .

При сравнении отрицательных чисел с нулем другая ситуация. Все числа, которые меньше нуля, считаются отрицательными. Отсюда делаем вывод, что любое отрицательное число меньше нуля, нуль равен нулю, а любое целое положительное больше нуля. Суть правила заключается в том, что нуль больше отрицательных чисел, но меньше всех положительных.

Например, числа 4 , 57666 , 677848 больше, чем 0 , так как являются положительными. Отсюда следует, что нуль меньше указанных чисел, так как они со знаком + .

При сравнении отрицательных чисел дела обстоят иначе. Число — 1 является целым и меньшим, чем 0 , так как имеет знак минус. Значит, — 50 также меньше нуля. Но ноль больше всех чисел со знаком минус.

Принимаются определенные обозначения для записи при помощи знаков меньше или больше, то есть и > . Такая запись, как — 24 0 имеет значение, что — 24 меньше нуля. Если необходимо записать, что одно число больше, чем другое, применяют знак > , например, 45 > 0 .

Сравнение положительных целых чисел

Все целые положительные числа являются натуральными. Значит, равнение положительных чисел аналогично сравнению натуральных.

Если рассмотреть на примере сравнения 34001 и 5999 . Визуально видим, что первое число имеет 5 знаков, а второе 4 . Отсюда следует, что 5 больше 4 , то есть 34001 больше 5999 .

Ответ: 34001 > 5999 .

Рассмотрим еще один пример.

Если имеется положительные числа 357 и 359 , то видно, что они не равны, хотя оба трехзначные. Производится поразрядное сравнение. Сначала сотен, потом десятков, затем единиц.

Получим, что число 357 меньше 359 .

Ответ: 357 359 .

Сравнение целых отрицательных и положительных чисел

Любое целое отрицательное число меньше целого положительного и наоборот.

Сравним несколько чисел и рассмотрим на примере.

Сравнить заданные числа — 45 и 23 . Видим, что 23 – положительное число, а 45 – отрицательное. Заметим, что 23 больше — 45

Если сравнивать — 1 и 511 , то визуально понятно, что — 1 меньше, так как имеет знак минус, а 511 имеет знак + .

Сравнение целых отрицательных чисел

Рассмотрим правило сравнения:

Из двух отрицательных чисел меньшим является то, модуль которого больше и наоборот.

Рассмотрим на примере.

Если сравнивать — 34 и — 67 , то следует произвести сравнение их по модулю.

Читайте также:  Осмотическое давление коллоидных растворов по сравнению с осмотическим давлением истинных растворов

Получаем, что 34 меньше 67 . Тогда модуль — 67 больше модуля — 34 , значит, что число — 34 больше числа — 67 .

Ответ: — 34 > — 67 .

Сравниваемые целые числа на координатной прямой

Рассмотрим целые числа, расположенные на координатной прямой.

Из рассмотренных выше правил получим, что на горизонтальной координатной прямой точки, которым соответствуют большие целые числа, то есть лежат правее тех, которым соответствуют меньшие.

Из чисел — 1 и — 6 видно, что — 6 лежит левее, а следовательно является меньше — 1 . Точка 2 расположена правее — 7 , значит она больше.

Начало отсчета – это ноль. Он больше всех отрицательных и меньше всех положительных. Также и с точками, находящимися на координатной прямой.

Наибольшее отрицательное и наименьшее положительное целое число

В предыдущих пунктах подробно было рассмотрено сравнение двух целых чисел. В данном пункте поговорим о сравнении трех и более чисел, рассмотрим ситуации.

При сравнении трех и более чисел для начала составляются всевозможные пары. Например, рассмотрим для чисел 7 , 17 , 0 и − 2 . Необходимо сравнить их попарно, то есть запись примет вид 7 17 , 7 > 0 , 7 > − 2 , 17 > 0 , 17 > − 2 и 0 > − 2 . Результаты могут быть объединены в цепочку неравенств. Запись числе производится в порядке возрастания. В данном случае цепочка будет иметь вид − 2 0 7 17 .

Когда производится сравнение нескольких чисел, то появляется определение наибольшего и наименьшего значения числа.

Число заданного множества считается наименьшим, если оно меньше любого другого из заданных чисел множества.

Число заданного множества является наибольшим, если оно больше любого другого из заданных чисел множества.

Если множество состоит из 6 целых чисел, то запишем это так: − 4 , − 81 , − 4 , 17 , 0 и 17 . Отсюда следует, что − 81 − 4 = − 4 0 17 = 17 . Видно, что — 81 – наименьшее число из данного множества, а 17 – наибольшее. Это значит, что эти числа наибольшее и наименьшее только в заданном множестве.

Все числа множества необходимо записывать в порядке возрастания. Цепочка может быть бесконечной, как в данном случае: … , − 5 , − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … . Данный ряд запишется, как … − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 4 5 … .

Очевидно, что множество целых чисел огромно и бесконечно, поэтому указать наименьшее или наибольшее число невозможно. Это можно сделать только в заданном множестве чисел. Число, расположенное правее на координатной прямой, всегда считается большим, чем то, которое левее.

Множество положительных чисел имеет наименьшее натуральное число, которое равно 1 . Ноль считается наименьшим неотрицательным числом. Все числа, расположенные левее него отрицательные и меньше 0 .

Источник

Сравнение чисел по числовой прямой

Сравнение чисел (9 уроков)

Критерии усвоения учебного материала

Учащиеся должны:

1) уметь строить числовую прямую, выбирая начало, направ­ление и шаг; находить точку для заданного числа и определять число, которое соответствует данной точке;

2) понимать принцип последовательного расположения чисел на прямой: каждое следующее число отстоит от предыдуще­го на шаг;

3) уметь представлять числа и величины отрезками числовой прямой.

В этой теме выявляется, что чем дальше число расположено в числовом ряду (или на числовой прямой), тем большая вели­чина отмеривается с помощью этого числа. Таким образом, на числа переносится отношение «больше-меньше». Это позво­ляет сравнивать величины по их числовым значениям при ус­ловии, что сравниваемые величины измерены одной и той же меркой.

В связи с необходимостью измерять величины единой мер­кой вводятся стандартные единицы измерения (пока только единицы длины и счета количеств).

В результате работы с числовой прямой учащиеся должны уяснить себе, что чем дальше число расположено на числовой прямой от начала, тем оно больше.

1. Учебник, ч. 2, с. 36. Упр. 1. Имеются две пары объектов. Выясняется, что в первом случае речь идет о количестве, а во втором — о количестве или о площади. Нужно срав­нить величины. Это можно сделать, выполнив измере­ние, а результаты измерения показав на числовой пря­мой. На ней уже показали сравнение двух величин, но каких?

Выполняется измерение величин К и М. Обнаруживается что сделанные на числовой прямой дуги соответствуют резуль­татам измерения. Отмечается, что по длине отрезка числовой прямой видно, что одна величина больше другой, остается до­полнить запись знаком «больше».

Выполняется измерение площадей. Нужно и этот результат показать на числовой прямой. Оказывается, что и для площа­дей подходит уже сделанный чертеж. Запись дополняется зна­ком «больше».

Далее отмечается, что чертеж подходит к обоим случаям: оба раза при измерении величин получились те же самые чис­ла 6 и 5. Таким образом, чертеж показывает, что всегдавеличи­на, в которой умещается 6 мерок, больше величины, в которой умещается 5 мерок. В числе 6 больше единиц, чем в числе 5. Делается соответствующая запись: 6 > 5.

2.Учебник, ч. 2, с. 36. Упр. 2. Для сравнения первой пары чисел их нужно отметить дугами на числовой прямой на­чиная от флажка. Числа сравниваются по количеству единиц в каждом и по месту на числовой прямой. Заме­чается, что большее число стоит от начала числовой пря­мой дальше, поэтому в нем единиц больше. При сравне­нии других пар чисел дуги не рисуются, но дети охваты­вающим жестом показывают,«сколько единиц» в задан­ном числе и в его паре.

Читайте также:  Сравнение по для автоматизации аптек

3.Учебник, ч. 2, с. 37. Упр. 3. Дана заготовка числовой пря­мой. Дети должны вписать недостающие числа. Такого рода задания будут повторяться в учебнике. Выполняя их, дети осваивают числовой ряд. Затем «дополненная» числовая прямая служит опорой для выполнения других заданий учебника.

4. Учебник, ч. 2, с. 37. Упр. 4. Дети, скорее всего, сразу ска­жут, что число 6 больше числа 4. Нужно это доказать с по­мощью числовой прямой. Это можно сделать, используя охватывающий жест, но лучше указать на то, что число 6 стоит дальше на числовой прямой от начала, чем число 4.

При подборе чисел в запись нужно найти на числовой пря­мой заданное число, а затем показать жестом, где нужно ис­кать ему пару — дальше от начала или ближе к нему. Подбира­ются несколько вариантов решений.

5. Учебник, ч. 2, с. 37. Упр. 5. На свитках даны числовые прямые. По поводу каждой числовой прямой ставятся во­просы: «Где начало числовой прямой?(Его не видно.) По­кажите рукой, справа оно или слева. Как вы догадались об этом?»(Стрелкой указано направление числовой пря­мой, а начало ее находится в противоположной стороне от стрелки.)

В одном случае детям придется сравнить «большие числа», которые не все знают. Их следует не читать, а называть как «первое число, второе число». Сравнивая числа, дети должны ссылаться на то, что это число стоит от начала числовой пря­мой дальше.

При выполнении задания со сказочными числами нужно эмоционально подчеркнуть, что эти числа никто не знает, и тем не менее другие дети смогли их сравнить. «Почему?» (Потом, что понятно, какое из них ближе на числовой прямой к началу.)

На последнем свитке имеется только одно число из каждой пары сравниваемых чисел. «Почему же мы можем их срав­нить?» Выясняется, что одно число из пары можно показать на числовой прямой, а где находится другое, можно сообра­зить. Так, мы знаемвсе числа, которые находятся ближе к на­чалу, чем число 6. Среди них нет числа 15, значит, оно стоит на числовой прямой дальше, значит, оно больше. Подчеркивает­ся важность знаниячислового ряда. Возможно, дети заявят, что они его хорошо знают. Предлагается проверить это.

6. Учитель дает заведомо трудные задания (при закрытом учебнике), чтобы показать, что числовой ряд еще нужно освоить. Например: «Какое число стоит перед числом 161. Идите к началу числового ряда от числа 9, 6, 14».

Приведем некоторые устные упражнения, которые следует проводить на последующих уроках.

1) Учитель называет число и просит детей назвать только три следующих числа.

2) На доске дан отрезок числовой прямой со скрытым нача­лом, но с указанием направления (вправо) и тремя точками. Учитель указывает дальнюю от начала точку и называет не­которое число. Учащиеся должны назвать два других числа вслед за указкой учителя. Значение исходной точки меняет­ся несколько раз.

3) Дан отрезок числовой прямой со скрытым началом и задан­ным направлением. Даны всего три точки, обозначенные сказочными цифрами. Указывается одна из них. «Пусть это будет число 4. Какими тогда будут другие написанные числа? А если это число 6?» Таким образом, несколько раз меняется значение одной и той же точки.

4) Осваивается счет от большего числа к меньшему: учитель называет одно число, а учащиеся должны назвать два числа, стоящие перед ним.

5) Учитель называет число, а дети хором должны назвать два следующих или два предыдущих. Учитель задает жестом темп ответов, при этом делает лишний жест, побуждая на­звать не два числа, а больше. Задача детей — не попасться в «ловушку» и остановиться, назвав именно два числа.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Урок математики в 1-м классе по теме «Моделирование отношений неравенства величин на числовой прямой. Сравнений чисел на числовой прямой» (по системе Д.Б. Эльконина—В.В. Давыдова)

Цели:

  1. Формирование умения моделировать отношение неравенства величин на числовой прямой.
  2. Формирование умения сравнивать числа с помощью числовой прямой.
  3. Воспитание навыков культурного общения.
  4. Развитие умение строить числовую прямую, измерять величины с помощью числовой мерки.
  5. Развитие логического мышления, внимания, памяти. Формирование действия самооценки и контроля.

Дидактические пособия и оборудование:

  1. Таблицы с величинами.
  2. Плакаты, демонстрирующие пары чисел для сравнения.
  3. Презентация Microsoft PowerPoint – [Числовые прямые].
  4. Обучающая программа «Приключения капитана Румпеля» CD-ROM.
  5. Мультимедийная установка.
  6. Шкала оценивания.

Ход урока

I. Организационный момент.

1) Прозвенел звонок и смолк.
Начинается урок.
Тихо девочки за парты сели.
Тихо мальчики за парты сели.
На меня все посмотрели
И работать захотели.

2) Знакомство с гостями.

— Сегодня за нашей работой на уроке будут наблюдать гости, которые присутствуют в классе. А ещё один гость представится сам.

Читайте также:  Сравнение мероприятий перестройки с экономическими реформами 60 годов

— Вместе с гостями и капитаном Румпелем мы будем искать и получать ответы на различные вопросы.

II. Основной этап урока.

1) Создание учебной ситуации.

— Над чем мы работали на предыдущих уроках?

— Посмотрите на задание на экране. Найдите его в своих тетрадях.

— Постройте числовую прямую: впишите другие числа, направление, начало.

— Кто может справиться самостоятельно?

— У кого есть вопросы?

— Постарайтесь выполнить самостоятельно.

Самостоятельная работа.

— Проверьте, как вы выполнили это задание.

— Что надо знать, чтобы выполнить задание?

— В каком порядке надо выполнить задание?

  • Посмотреть на цифры.
  • Определить направление.
  • Посмотреть на мерку-шаг.
  • Нанести метки.
  • Расставить цифры.
  • Указать начало.

— Легко или трудно было выполнить задание?

— Кому нужна была помощь соседа?

2) Постановка учебной задачи.

— Посмотрите на экран.

— Можете ли вы сказать, какие величины сравнивали на числовой прямой?

Таблица 1.

— Какую величину вы здесь сравнили?

— Чему равна величина А?

— Чему равна величина С?

— Сравните их. Что можете о них сказать?

Таблица 2.

— Какую величину сравнили здесь?

— Чему равна величина Т?

— Чему равна величина П?

— Сравните их. Что можете сказать о них?

— Сравните результат сравнения количества с дугами на числовой прямой.

— Можно ли сказать по отрезкам, что величина А меньше величины С?

— Сравните результат сравнения длин на числовой прямой.

— Что можно о них сказать по отрезку?

— Получается, что и в том и в другом случае подходит один и тот же чертёж.

— А если сравнить такую величину?

Таблица 3.

— Подходит ли чертёж?

— Почему он подходит и к какой величине? (Потому что всегда, величина, в которую умещается 3 мерки, меньше, чем величина, в которую умещается 5 мерок)

— То есть, 3 меньше 5.

Таблица 4.

— В какой работе числовая прямая будет нам хорошим помощником сегодня? Чему будем учиться на уроке? (Сравнивать числа)

(Таблицы Вы можете получить у автора статьи.)

Физ. минутка

3) Создание учебной ситуации.

Работа с учебником – с. 58, №1 (у).

— Какую величину сравнили?

— Какая мерка в данном случае?

— Сколько мерок умещается в величине К?

— Сколько мерок умещается в величине М?

— Сравните их. Что можете сказать?

— Какую величину сравнили во втором случае?

— Какая мерка здесь?

— Сколько мерок умещается в величине Т?

— Сколько мерок умещается в величине А?

— Какие числа сравнили?

— Где находится на числовой прямой большее число?

— Где находится на числовой прямой меньшее число, ближе к началу или дальше от него?

Работа в тетрадях – с. 58, №2 (п).

— А сейчас, ребята, обратим внимание на экран.

— К вам за помощью обращается капитан Румпель. Он живёт на острове, и на его числовой прямой волной смыло часть цифр. Поможем ему восстановить числа на числовой прямой?

— Сравните числовые прямые.

— Чем числовая прямая капитана Румпеля отличается от нашей числовой прямой?

— Сможет ли она быть нам таким же помощником при сравнении чисел?

Самостоятельная работа – с. 54, №4 (п).

Пользуясь числовыми прямыми попробуйте самостоятельно дополнить записи:

— Проверка. Если согласны, поднимите большой палец вверх, если нет – вниз.

— Где искать пару числу 8, если оно больше? Дальше от начала или ближе к нему?

— А если число 8 меньше?

— Если 4 больше, где искать ему пару, дальше от начала или ближе к нему?

— А если 4 меньше?

Физ. минутка

— У капитана Румпеля среди вещей, выброшенных из моря на берег, много свитков. Но от них остались только обрывки.

Слайд 7(1). Работа с учебником – с. 59, №5 (у).

— Помогите ему научиться пользоваться такими обрывками.

— Где начало числовой прямой? Справа или слева?

— А как вы догадались об этом?

— А на этом свитке на числовой прямой находятся сказочные числа. Но ребята смогли их сравнить. Почему?

— На последнем свитке только фрагмент числовой прямой. На нём расположены числа. Но из каждой пары, данной внизу, на числовой прямой есть только одно число. Почему же мы можем их сравнить?

— Для сравнения в таком случае что важно знать? (Все числа по порядку)

— Капитан Румпель хочет проверить, научились ли мы сравнивать числа?

Слайд 8. Школа Золотой рыбки.

5) Итоговая рефлексия.

— Что нового узнали?

— Что было интересно?

— Оцените свою работу на уроке.

— У кого возникли трудности?

6) Постановка учебной задачи на следующий урок.

— Как вы думаете, над чем будем работать на следующем уроке?

— Посмотрите на экран, попытайтесь догадаться.

Слайд 9. Школа Золотой рыбки.

III. Заключение. Итог урока.

Источник