Меню

Сравнение чисел с единицей 10 класс



Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №8. Сравнения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  1. понятие сравнения двух чисел;
  2. понятие сравнения по модулю;
  3. основные свойства сравнений.

Глоссарий по теме

Определение. Если а и b — два целых числа и их разность а — b делится на натуральное число m, то говорят, что a и b сравнимы по модулю m.

  1. a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m),a ≡ c (mod m)
  2. a ≡ b (mod m) b ≡ a (mod m)
  3. a1b1 (mod m), a2≡ b2 (mod m), … , akbk (mod m) a1+…+akb1+…bk(mod m)
  4. a+b ≡ c (mod m) a ≡ c–b (mod m)
  5. a ≡ b (mod m) a+mt ≡ b+mk(mod m) (t, k ∈ Z)
  6. a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m) ac ≡ bd (mod m)
  7. a ≡ b (mod m) a k ≡ b k (mod m)
  8. a ≡ b (mod m) ak ≡ bk(mod m)
  9. Если a ≡ b (mod m), (a, b) = c, (c, m) = 1 (mod m)
  10. a ≡ b (mod m) ak ≡ bk (mod mk)
  11. a ≡ b (mod m), a = a1d, b = b1d, m = m1da1b1(mod m1)
  12. ab (mod m1), a ≡ b(mod m2), …, ab(mod mk) ab (mod НОК(m1,…,mk))
  13. ab (mod m), d/mab(mod d)
  14. d/a, d/m, ab(mod m) d/b
  15. ab (mod m) (a, m) = (b, m)

Теорема обратимости: обратный элемент для числа существует тогда и только тогда, когда это число взаимно простое с модулем.

Теорема 1. Если , то сравнение (7) имеет единственное решение.

Теорема 2. Если и число b не делится на d , то сравнение ax ≡ b (mod m) не имеет решений.

Теорема 3. Если и , b ≡ d то сравнение (7) имеет d решений.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Два целых числа, разность которых кратна данному натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m. (Слово «модуль» происходит от латинского modulus, что по-русски означает «мера», «величина».) Утверждение «a сравнимо с b по модулю m» обычно записывают в виде ab (mod m), и называют сравнением. Вот примеры сравнений: 51 (mod 2), 48 (mod 6), 169 (mod 5). Сравнение по модулю 1 выполняется для любых двух целых чисел, так как всякое число кратно 1. Два числа сравнимы по модулю 2, если они одной четности, т.е. либо оба четны, либо оба нечетны.

Определение сравнения было сформулировано в книге К. Ф. Гаусса «Арифметические исследования». Эту работу, написанную на латинском языке, начали печатать в 1797 г., но книга вышла в свет лишь в 1801 г. из-за того, что процесс книгопечатания в то время был чрезвычайно трудоемким и длительным. Первый раздел книги Гаусса так и называется: «О сравнении чисел вообще».

Сравнениями очень удобно пользоваться в тех случаях, когда достаточно знать в каких-либо исследованиях числа с точностью до кратных некоторого числа. Например, если нас интересует, на какую цифру оканчивается куб целого числа a, то нам достаточно знать a лишь с точностью до кратных числа 10, и можно пользоваться сравнениями по модулю 10.

Определение. Если а и b — два целых числа и их разность а — b делится на натуральное число m, то говорят, что a и b сравнимы по модулю m.

Мы выражаем это записью

которая читается так: а сравнимо с b по модулю m.

Делитель m мы предполагаем натуральным; он называется модулем сравнения. Наше высказывание (1) означает, что

1) 23 ≡ 8 (mod 5), так как 23 — 8 = 15 = 5 ∙ 3;

2) 47 ≡ 11 (mod 9), так как 47–11 = 36 = 9 ∙ 4;

3) —11 ≡ 5 (mod 8), так как — 11 — 5 = —16 = 8 ∙ (-2);

Читайте также:  Сравнить инвестиции по сроку окупаемости

4) 81 ≡ 0 (mod 27), так как 81 — 0 = 81 = 27 ∙ 3.

Последний пример показывает, что вообще, вместо того, чтобы говорить: число а делится на число m, мы можем записать a ≡ 0 (mod m), так как это означает, что а — 0 = а = mk, где k — некоторое целое число.

Например, вместо того, чтобы сказать, что а — четное число, мы можем записать a ≡ 0 (mod 2).

Таким же образом видно, что нечетное число является числом, удовлетворяющим сравнению а ≡ 1 (mod 2).

Обобщим свойства сравнений:

  1. a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m),a ≡ c (mod m)
  2. a ≡ b (mod m) b ≡ a (mod m)
  3. a1b1 (mod m), a2≡ b2 (mod m), … , akbk (mod m) =>a1+…+akb1+…bk(mod m)
  4. a+b ≡ c (mod m) a ≡ c–b (mod m)
  5. a ≡ b (mod m) a+mt ≡ b+mk(mod m) (t, k ∈ Z)
  6. a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m) ac ≡ bd (mod m)
  7. a ≡ b (mod m) a k ≡ b k (mod m)
  8. a ≡ b (mod m) ak ≡ bk(mod m)
  9. Если a ≡ b (mod m), (a, b) = c, (c, m) = 1 (mod m)
  10. a ≡ b (mod m) ak ≡ bk (mod mk)
  11. a ≡ b (mod m), a = a1d, b = b1d, m = m1da1b1(mod m1)
  12. ab (mod m1), a ≡ b(mod m2), …, ab(mod mk) ab (mod НОК(m1,…,mk))
  13. ab (mod m), d/mab(mod d)
  14. d/a, d/m, ab(mod m) d/b
  15. ab (mod m) (a, m) = (b, m)

Нахождение обратного элемента

Задача нахождения обратного элемента: найти b=a -1 (mod n), где a и n заданы, b неизвестно.

Элемент b называется обратным к a по модулю n, если a∙b≡1(mod n). Тогда пишут, что b ≡ a –1 (mod n). Справедлива

Существует a -1 (mod n) (a, n) = 1.

То есть, обратный элемент для числа существует тогда и только тогда, когда это число взаимно простое с модулем.

Найти обратный элемент можно с помощью расширенного алгоритма Евклида:

Пусть a > n; a, Расширенный алгоритм Евклида находит числа x, y: ax+ny = НОД(a, n).

Вычисляет цепочка равенств:

Используя эту цепочку, восстанавливаем:

Получаем сравнение ax+ny≡1(mod n). Поскольку ny≡0(mod n), то ax≡1(mod n), а значит полученное с помощью расширенного алгоритма Евклида число x как раз и есть искомый обратный элемент к числу a по модулю n.

Вычислить элемент, обратный а по mod n, если a=9; n=29;

Воспользуемся расширенным алгоритмом Евклида:

13∙9=117. 117≡1(mod( 29)).

Ответ: обратный элемент = 13.

Сравнения первой степени

Сравнения первой степени имеют вид

Перенеся свободный член в правую часть сравнения, и меняя обозначения коэффициентов, получим

При решении таких сравнений рассматривают два случая:

и .

Теорема 1. Если , то сравнение (7) имеет единственное решение.

Теорема 2. Если и число b не делится на d, то сравнение ax≡ b (mod m) не имеет решений.

Теорема 3. Если и b ≡ d, то сравнение (7) имеет d решений.

Решение сравнений первой степени

Рассмотрим 2 способа решения сравнений первой степени, в основе которых лежит приведение сравнения первой степени к равносильному сравнению с коэффициентом при x , равному единице.

Проиллюстрируем решение сравнения этими способами на следующем примере:

Решить сравнение 25х≡15(mod 17)

Значит сравнение имеет единственное решение.

Источник

Сравнение чисел. Исчерпывающий гид (ЕГЭ – 2021)

При решении уравнений и неравенств, а также задач с модулями требуется расположить найденные корни на числовой прямой.

Как ты знаешь, найденные корни могут быть разными.

Они могут быть такими: \( 4\), \( -3\), \( 8\), \( 125\).

А могут быть и вот такими: \( \sqrt<6>\), \( \left( 4-\sqrt <3>\right)\), \( \frac<\sqrt[6]<6>><\sqrt<13>+\frac<4><13>>\).

Если числа не рациональные, а иррациональные, или представляют собой сложные математические выражения, то расположить их на числовой прямой весьма проблематично.

Для этого нужно уметь их сравнивать.

Калькуляторами на экзамене пользоваться нельзя, а приближенный подсчет не дает 100% гарантий, что одно число меньше другого (вдруг разница между сравниваемыми числами \( 0,000001\)?).

Прочитай эту статью и все поймешь!

Читайте также:  Прямой магнит падает сквозь медное кольцо сравните ускорение

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Возведение в степень

Если обе части неравенства положительны, их можно возвести в квадрат, чтобы избавиться от корня

Сравни \( \displaystyle \sqrt<2>\) и \( \displaystyle 1,4\)

Умножение на сопряженное

Сопряженным называется множитель, дополняющий выражение до формулы разности квадратов: \( \displaystyle \left( a-b \right)\) – сопряженное для \( \displaystyle \left( a+b \right)\) и наоборот, т.к. \( \displaystyle \left( a-b \right)\left( a+b \right)=<^<2>>-<^<2>>\).

Сравни \( \displaystyle \sqrt<8>-\sqrt<7>\) и \( \displaystyle \sqrt<11>-\sqrt<10>\)

Вычитаение

\( \displaystyle a\vee b\text< >\Leftrightarrow \text< >a-b\vee 0\)

Сравни \( \displaystyle \sqrt<5>+\sqrt<2>\) и \( \displaystyle \text<2>\sqrt<10>\)

Деление

Сравни \( \displaystyle <<15>^<10>>\) и \( \displaystyle <<9>^<14>>\)

Сравнение логарифмов

Основные правила:

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Конечно, ты знаешь, что положительные цифры всегда больше отрицательных, и что если мы представим числовую ось, то при сравнении, наибольшие числа будут находиться правее, чем наименьшие: \( 3>1\); \( -1>-3\); \( 0>-3\) и т.д.

Но всегда ли все так легко? Где на числовой оси мы отметим \( \sqrt<6>\), \( \left( 4-\sqrt <3>\right)\), \( \frac<\sqrt[6]<6>><\sqrt<13>+\frac<4><13>>\).

Как их сравнить, например, с числом \( 5\)? Вот в этом-то и загвоздка … )

Для начала поговорим в общих чертах как и что сравнивать.

Если надо сравнить числа \( a\) и \( b\), между ними ставим знак \( \vee \) (происходит от латинского слова Versus или сокращенно vs. – против): \( a\vee b\).

Этот знак заменяет неизвестный нам знак неравенства (\( >\text

Важно: преобразования желательно делать такими, чтобы знак неравенства не менялся!

В ходе преобразований нежелательно домножать на отрицательное число, и нельзя возводить в квадрат, если одна из частей отрицательна.

Сравнение дробей

Итак, нам необходимо сравнить две дроби: \( 1,6\) и \( 1\frac<6><13>\).

Есть несколько вариантов, как это сделать.

Вариант 1. Сравнение дробей с помощью приведения к общему знаменателю

Запишем \( 1,6\) в виде обыкновенной дроби:

\( 1,6=1\frac<6><10>=1\frac<3><5>\) — (как ты видишь, я также сократила на \( 2\) числитель и знаменатель).

Теперь нам необходимо сравнить дроби:

Сейчас мы можем продолжить сравнивать также двумя способами. Мы можем:

Способ 1. Числитель больше знаменателя

Просто приведите все к общему знаменателю, представив обе дроби как неправильные (числитель больше знаменателя):

Какое число больше? Правильно, то, у которого числитель больше, то есть первое.

Способ 2. Отбросьте единицу

«Отбросьте» \( 1\) (считай, что мы из каждой дроби вычли единицу, и соотношение дробей друг с другом, соответственно, не изменилось) и будем сравнивать дроби:

Приводим их также к общему знаменателю:

Заметь, в принципе мы можем не считать знаменатель. Мы итак видим, что он одинаков и нам необходимо сравнивать числитель. Тогда зачем мы будем тратить время на подсчет знаменателя?

Мы получили абсолютно точно такой же результат, как и в предыдущем случае – первое число больше, чем второе:

Проверим также, правомерно ли мы вычли единицу? Посчитаем разницу в числителе при первом расчете и втором:

1) \( 104-95=9\)

2) \( 39-30=9\)

Итак, мы рассмотрели, как сравнивать дроби, приводя их к общему знаменателю. Перейдем к другому методу – сравнение дробей приводя их к общему… числителю.

Вариант 2. Сравнение дробей с помощью приведения к общему числителю

Да, да. Это не опечатка. В школе редко кому рассказывают этот метод, но очень часто он весьма удобен. Чтобы ты быстро понял его суть, задам тебе только один вопрос – «в каких случаях значение дроби наибольшее?»

Конечно, ты скажешь «когда числитель максимально большой, а знаменатель максимально маленький».

Читайте также:  Особенности скелета птиц по сравнению с рептилиями произошли

Например, ты же точно скажешь, что \( \frac<8> <13>\frac<6><28>\).

Как ты видишь, знаменатели здесь разные, а вот числители одинаковы. Однако, для того, чтобы сравнить эти две дроби, тебе не обязательно искать общий знаменатель. Хотя… найди его и посмотри, вдруг знак сравнения все же неправильный?

А знак-то тот же.

Вернемся к нашему изначальному заданию – сравнить \( 1\frac<3><5>\)и \( 1\frac<6><13>\). Будем сравнивать \( \frac<3><5>\) и \( \frac<6><13>\).

Приведем данные дроби не к общему знаменателю, а к общему числителю.

Для этого просто числитель и знаменатель первой дроби умножим на \( 2\). Получим:

Какая дробь больше? Правильно, первая.

Вариант 3. Сравнение дробей с помощью вычитания

Как сравнивать дроби с помощью вычитания? Да очень просто.

Мы из одной дроби вычитаем другую. Если результат получается положительным, то первая дробь (уменьшаемое) больше второй (вычитаемое), а если отрицательным, то наоборот.

В нашем случае попробуем из второй вычесть первую дробь: \( 1\frac<6><13>-1,6\).

Как ты уже понял, мы так же переводим \( 1,6\) в обыкновенную дробь и получаем тот же результат — \( 1\frac<3><5>\) .

Наше выражение приобретает вид:

Далее нам все равно придется прибегнуть к приведению к общему знаменателю.

Вопрос как: первым способом, преобразуя дроби в неправильные, или вторым, как бы «убирая» единицу? Кстати, это действие имеет вполне математическое обоснование. Смотри:

Мне больше нравится второй вариант, так как перемножение в числителе при приведении к общему знаменателю становится в разы проще.

Приводим к общему знаменателю:

Здесь главное не запутаться, какое число и откуда мы отнимали. Внимательно посмотреть ход решения и случайно не перепутать знаки. Мы отнимали от второго числа первое и получили отрицательный ответ, значит.

Правильно, первое число больше второго.

Разобрался? Попробуй сравнить дроби:

Стоп, стоп. Не спеши приводить к общему знаменателю или вычитать.

Посмотри: \( 1\frac<3><5>\) можно легко перевести в десятичную дробь. Сколько это будет? Правильно. Что в итоге больше?

Готов тренироваться? Сравни дроби оптимальным способом.

Его автор, Алексей Шевчук, ведет подготовку к ЕГЭ — марафон «Года за месяц» по математике и информатике.

Приходи, подготовишься к ЕГЭ методом погружения (как при изучении языков!)

Сравнение степеней

Теперь представим, что нам необходимо сравнить не просто числа, а выражения, где существует степень (читай раздел про степени).

Конечно, ты без труда поставишь знак:

\( <<2>^<4>>

Раскроем скобки и сравним то, что получится:

Введем некоторое натуральное число \( k\), как разницу между \( m\) и \( n\).

Логично, неправда ли?

А теперь еще раз обратим внимание на условие — \( 0

Как ты понял, мы рассмотрели случай, когда основания степеней равны. Теперь посмотрим, когда основание находится в промежутке от \( 0\) до \( 1\), но равны показатели степени. Здесь все очень просто.

Запомним, как это сравнивать на примере:

Конечно, ты быстро посчитал:

Поэтому, когда тебе будут попадаться похожие задачи для сравнения, держи в голове какой-нибудь простой аналогичный пример, который ты можешь быстро просчитать, и на основе этого примера проставляй знаки в более сложном.

Выполняя преобразования, помни, что если ты домножаешь, складываешь, вычитаешь или делишь, то все действия необходимо делать и с левой и с правой частью (если ты умножаешь на \( 2\), то умножать необходимо и то, и другое).

Кроме этого, бывают случаи, когда делать какие-либо манипуляции просто невыгодно. Например, тебе нужно сравнить \( <<5>^<2>>\vee <<4>^<3>>\). В данном случае, не так сложно возвести в степень, и расставить знак исходя из этого:

Источник