Меню

Сравнение модулей чисел 6 класс примеры с ответами



Сравнение рациональных чисел

Продолжаем изучать рациональные числа. В данном уроке мы научимся сравнивать их.

Из предыдущих уроков мы узнали, что чем правее число располагается на координатной прямой, тем оно больше. И соответственно, чем левее располагается число на координатной прямой, тем оно меньше.

Например, если сравнивать числа 4 и 1, то можно сразу ответить, что 4 больше чем 1. Это вполне логичное утверждение и каждый с этим согласится.

В качестве доказательства можно привести координатную прямую. На ней видно, что четвёрка лежит правее единицы

Для этого случая есть и правило, которое при желании можно использовать. Выглядит оно следующим образом:

Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Чтобы ответить на вопрос какое число больше, а какое меньше, сначала нужно найти модули этих чисел, сравнить эти модули, а потом уже ответить на вопрос.

Например, сравним те же числа 4 и 1, применяя вышеприведенное правило

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули:

Отвечаем на вопрос:

Для отрицательных чисел существует другое правило, выглядит оно следующим образом:

Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Например, сравним числа −3 и −1

Находим модули чисел

Сравниваем найденные модули:

Отвечаем на вопрос:

Нельзя путать модуль числа с самим числом. Частая ошибка многих новичков. К примеру, если модуль числа −3 больше, чем модуль числа −1, это не означает, что число −3 больше, чем число −1.

Число −3 меньше, чем число −1 . Это можно понять, если воспользоваться координатной прямой

Видно, что число −3 лежит левее, чем −1 . А мы знаем, что чем левее, тем меньше.

Если сравнивать отрицательное число с положительным, то ответ будет напрашиваться сам. Любое отрицательное число будет меньше любого положительного числа. Например, −4 меньше, чем 2

Мы рассмотрели в качестве примера целые числа, вида −4, −3 −1, 2. Сравнить такие числа, а также изобразить на координатной прямой не составляет особого труда.

Намного сложнее сравнивать другие виды чисел, такие как обыкновенные дроби, смешанные числа и десятичные дроби, некоторые из которых являются отрицательными. Здесь уже в основном придётся применять правила, потому что точно изобразить такие числа на координатной прямой не всегда возможно. В некоторых случаях, число надо будет видоизменять, чтобы сделать его более простым для сравнения и восприятия.

Пример 1. Сравнить рациональные числа

Итак, требуется сравнить отрицательное число с положительным. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что меньше, чем

Пример 2. Сравнить рациональные числа и

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа

Пример 3. Сравнить числа 2,35 и

Требуется сравнить положительное число с отрицательным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем что 2,35 больше, чем

Читайте также:  Intel core i7 10510u сравнить

2,35 >

Пример 4. Сравнить рациональные числа и

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём в неправильные дроби и приведём к общему знаменателю

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа

Пример 5. Сравнить рациональные числа 0 и

Требуется сравнить ноль с отрицательным числом. Ноль больше любого отрицательного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 больше, чем

Пример 6. Сравнить рациональные числа 0 и

Требуется сравнить ноль с положительным числом. Ноль меньше любого положительного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 меньше, чем

Пример 7. Сравнить рациональные числа 4,53 и 4,403

Требуется сравнить два положительных числа. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Сделаем в обеих дробях количество цифр после запятой одинаковым. Для этого в дроби 4,53 припишем в конце один ноль

Далее применим правило сравнения положительных чисел.

Находим модули чисел

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число 4,53 больше, чем 4,403 потому что модуль числа 4,53 больше, чем модуль числа 4,403

Пример 8. Сравнить рациональные числа и

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём смешанное число в неправильную дробь, затем приведём обе дроби к общему знаменателю:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа

Сравнивать десятичные дроби намного проще, чем обыкновенные дроби и смешанные числа. В некоторых случаях, посмотрев на целую часть такой дроби, можно сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше.

Чтобы сделать это, нужно сравнить модули целых частей. Это позволит быстро ответить на вопрос в задаче. Ведь как известно, целые части в десятичных дробях имеют вес больший, чем дробные.

Пример 9. Сравнить рациональные числа 15,4 и 2,1256

Модуль целой части дроби 15,4 больше, чем модуль целой части дроби 2,1256

поэтому и дробь 15,4 больше, чем дробь 2,1256

Другими словами, нам не пришлось тратить время на дописывание нулей дроби 15,4 и сравнивать получившиеся дроби, как обычные числа

Правила сравнения остаются всё теми же. В нашем случае мы сравнивали положительные числа.

Пример 10. Сравнить рациональные числа −15,2 и −0,152

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей

Читайте также:  Сравнение стихотворений поэзия поэтам

Видим, что модуль целой части дроби −15,2 больше, чем модуль целой части дроби −0,152.

А значит рациональное −0,152 больше, чем −15,2 потому что модуль целой части числа −0,152 меньше, чем модуль целой части числа −15,2

Пример 11. Сравнить рациональные числа −3,4 и −3,7

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей. Но проблема в том, что модули целых чисел равны:

В этом случае придётся пользоваться старым методом: найти модули рациональных чисел и сравнить эти модули

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное −3,4 больше, чем −3,7 потому что модуль числа −3,4 меньше, чем модуль числа −3,7

Пример 12. Сравнить рациональные числа 0,(3) и

Требуется сравнить два положительных числа. Причем сравнить периодическую дробь с простой дробью.

Переведём периодическую дробь 0,(3) в обыкновенную дробь и сравним её с дробью . После перевода периодической дроби 0,(3) в обыкновенную, она обращается в дробь

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно приведём к общему знаменателю:

Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число больше, чем 0,(3) потому что модуль числа больше, чем модуль числа 0,(3)

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Источник

Урок 30 Бесплатно Сравнение чисел

В этом уроке мы научимся сравнивать числа как с разными, так и c одинаковыми знаками.

Узнаем, что такое быстрое сравнение с нулем, а также поговорим про то, что касается сравнения чисел и модулей.

Сравнение чисел с одинаковым знаком

Со сравнением двух чисел, оба из которых больше нуля, вы уже знакомы: для этого мы просто смотрим на числа, их разряды и понимаем, какое из них больше. Для нас очевидно еще с начальной школы, что 3 больше, чем 2, 154 больше, чем 145, 1428 больш,е чем 425, и так далее.

Если говорить про отрицательные числа, то для начала приведем аналогию из реальной жизни.

Например, 3-го января температура была равна -10°С , а 4-го января температура была на отметке -7°С , в таком случае мы скажем, что 3-го числа температура была меньше, чем 4-го.

То есть, казалось бы, 10 больше, чем 7, но при этом -10°С меньше, чем -7°С.

Чтобы сравнить два числа, оба из которых отрицательные, надо сравнить их модули, тогда меньше будет то число, у которого модуль больше.

Это же работает и в обратную сторону.

Если два числа отрицательны и модуль первого меньше модуля второго, то первое число больше второго.

Если оба числа отрицательны и их модули равны, то и сами числа равны.

Читайте также:  Что является преимуществом экспертных методов оценки рисков по сравнению со статистическими

Пример:

Допустим, необходимо сравнить \(\mathbf<-324>\) и \(\mathbf<-245>\)

Первым делом находим модули:

Так как \(\mathbf<324>245>\), делаем вывод, что \(\mathbf<-324 -\frac<5><6>>\)

Также сравним \(\mathbf<-5>\) и \(\mathbf<-5>\)

Мы видим, что модули чисел равны, к тому же, они оба отрицательны, значит эти числа равны.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Сравнение чисел с разными знаками

Сейчас мы познакомимся с одним интересным свойством сравнения, которое позволит нам сравнивать числа с разными знаками вообще без каких-либо усилий с нашей стороны.

Задумывались ли вы раньше, почему если мы знаем, что Борис выше Анны, а Сергей выше Бориса, мы сразу сделаем вывод, что Сергей выше и Анны тоже?

Или если мы знаем, что Ваня пришел раньше Пети, а Петя раньше Ильи, то мы делаем вывод, что Ваня пришел раньше Ильи.

Это свойство называется транзитивностью.

Если говорить абстрактно, то это свойство говорит о следующем: если между объектом А и объектом Б есть транзитивное отношение и между объектом Б и объектом В тоже есть это же транзитивное отношение, то это значит, что это отношение есть между А и В.

Звучит может немного непонятно, но на примере со сравнением сейчас все встанет на свои места.

Отношения «быть больше», «быть равным» и «быть меньше» обладают свойством транзитивности.

Поэтому если мы знаем, что 2 меньше, чем 3, а 3 меньше, чем 4, то мы можем утверждать, что 2 меньше, чем 4.

Зафиксируем эти правила коротко и емко.

1. Если а меньше b и b меньше с, то а меньше с

2. Если a больше b и b больше с, то а больше с

3. Если а равно b и b равно с, то а равно с

Более подробно про отношения говорят на курсах высшей математики, дискретной математики или математической логики, но при этом бояться таких абстрактных понятий не стоит.

Теперь мы можем применить это мощное свойство к сравнению чисел с разными знаками.

Пусть а — отрицательное число, b — равно нулю, а с — положительное число.

Мы знаем, что отрицательные числа меньше нуля.

Также мы знаем, что положительные числа больше или, другими словами, нуль меньше положительных чисел.

Тогда, зная транзитивность отношения «меньше», мы можем прийти к выводу, что a меньше с.

Заметьте, что мы нигде ни для а, ни для с не предполагали конкретных значений, а значит, любое отрицательное число меньше любого положительного.

Те же самые рассуждения можно провести в обратную сторону и получить, что любое положительное число больше любого отрицательного.

Итак, посмотрим, как происходит процесс сравнения чисел с разными знаками на практике.

Пример 1

Сравним \(\mathbf<-5>\) и \(\mathbf<3>\).

\(\mathbf<-5>\)- отрицательное число, \(\mathbf<3>\) положительное.

Значит, \(\mathbf<-5 -1>\), так как любое положительное число больше любого отрицательного.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник