Меню

Сравнение расстояний от точки до плоскости



Расстояние между точкой и плоскостью

Что такое расстояние от точки до плоскости

Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Рассмотрим плоскость \(\alpha\) и точку А, не принадлежащую этой плоскости. Проведем из точки А перпендикуляр к плоскости \(\alpha\) , и обозначим буквой H точку пересечения этой прямой с плоскостью. Тогда отрезок АН является перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости \(\alpha\) , а точка Н — основанием перпендикуляра. Поставим в плоскости \(\alpha\) произвольную точку М, различную с Н, и проведем отрезок AM. Этот отрезок называют наклонной, проведенной из точки А к плоскости \(\alpha\) , а точка М основанием наклонной. Отрезок HMпроекция наклонной на плоскость \(\alpha\) .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АМН: сторона АН — катет, а сторона AM — гипотенуза, значит АН \(\alpha\) будет расстояние до точки H, то есть отрезок АН. Это расстояние, т. е. длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости \(\alpha\) , называется расстоянием от точки А до плоскости \(\alpha\) .

С помощью этих рассуждений разберем следующую теорему.

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая теорема

Если в плоскости провести прямую через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на данную плоскость, то эта прямая будет перпендикулярна и к самой наклонной.

Дано: \(AA_1\perp\alpha\) , \(AB\) — наклонная, \(BA_1\) — проекция, \(a\subset\alpha\) , \(a\perp BA_1\)

Доказать: \(a\perp AB\)

Доказательство:

  1. \(\left.\begina\subset\alpha\\AA_1\perp\alpha\end\right\>\Rightarrow AA_1\perp a\) (по определению прямой, перпендикулярной плоскости)
  2. \(\left.\begina\perp AA_1\\a\perp A_1B\\AA_1,A_1B\subset(AA_1B)\\AA_1\cap A_1B\end\right\>\Rightarrow a\perp(AA_1B)\) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости)
  3. \(\left.\begina\perp(AA_1B)\\AB\subset(AA_1B)\end\right\>\Rightarrow a\perp AB\) (по определению)

Обратная теорема

Если в плоскости провести прямую через основание наклонной перпендикулярно к ней, то эта прямая будет перпендикулярна и ее проекции.

Дано: \(a\perp AB\) , \(AA_1\perp\alpha\) , \(AB\) — наклонная, \(BA_1\) — проекция, \(a\subset\alpha\) .

Доказать: \(a\perp A_1B\)

Доказательство:

  1. \(\left.\beginAA_1\perp\alpha\\A\subset\alpha\end\right\>\Rightarrow AA_1\perp a\)
  2. \(\left.\begina\perp AB\\a\perp AA_1\\AB,AA_1\subset(AA_1B)\\AB\cap AA_1\end\right\>\Rightarrow a\perp(AA_1B)\)
  3. \(\left.\begina\perp(AA_1B)\\A_1B\subset(AA_1B)\end\right\>\Rightarrow a\perp A_1B\)

Задача

В тетраэдре SABC грани SAB и SAC — равные равнобедренные треугольники с прямыми углами при вершине А. Высота пирамиды равна h=BC. Найдите расстояние от точки А до грани SBC.

\(\triangle BAC\) равнобедренный, значит \(AK\perp BC\) и \(К\) — середина \(BC\) . \(\triangle CSB\) так же равнобедренный, \(SK\perp BC\) . Из этого следует, что точка Н отрезка AH (перпендикуляра на плоскость SBC) лежит на прямой SK. (что соответствует теореме о трех перпендикулярах: AH — перпендикуляр. HK — проекция, AK — наклонная)

\(\triangle SAC\) — прямоугольный и равнобедренный, \(SA=AC=h\) , \(CK=\frac12BC=\frac h2\) .

Тогда по теореме Пифагора в \(\triangle AKC\) :

Рассмотрим прямоугольный \(\triangle SKA\) :

Возьмем коэффициент x и получим уравнения:

В \(\triangle AHK\) по теореме Пифагора:

Источник

Расстояние от точки до плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние от точки до заданной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния от точки до плоскости введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Расстояние от точки до плоскости − теория, примеры и решения

Для нахождения расстояния от точки M до плоскости α, необходимо найти расстояние от точки M до проекции точки M на плоскость α:

Нахождение расстояния от точки до плоскости содержит следующие шаги:

  1. построение прямой L, проходящей через точку M и перпендикулярной плоскости α.
  2. нахождение точки M1 пересечения плоскости α с прямой L(Рис.1).
  3. вычисление расстояния между точками M и M1.

1. Общее уравнение плоскости имеет вид:

(1)

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M(x, y, z) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

(2)

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M(x, y, z) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:

(3)

Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее

Выразим переменные x, y, z через рараметр t.

(4)

2. Найдем точку пересечения прямой (4) с плоскостью (1). Для этого нужно найти такой параметр t, при котором точка M(x, y, z) принадлежит плоскости (1). Поэтому подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t.

(5)

3. Найдем, наконец, расстояние от точки M до плоскости (1). Очевидно, что расстояние от точки M до плоскости (1) − это расстояние от точки M до точки M1. А это расстояние вычисляется так:

Учитывая значение параметра t, имеем:

(6)

Пример 1. Найти расстояние от точки M(2, -1, -9/31) до плоскости

(7)

Нормальный вектор плоскости имеет вид:

Подставляя координаты точки M и нормального вектора плоскости в (5), получим:

(8)

Из выражений (4) находим:

Проекцией точки M(2, -1, -9/31) на плоскость (7) является точка:

.

Вычислим расстояние между точками M и M1:

.
.

Расстояние от точки M(2, -1, -9/31) до плоскости (7):

Источник

Расстояние от точки до плоскости (ЕГЭ – 2021)

Стереометрия выглядит жутко. Вернее, сама-то стереометрия красивая!

Знаю, что, когда на уроках скучно, все мы любим порисовать на полях кубы и объемные рисунки 🙂

А вот задачи по стереометрии жутковатые. Однако, если в них хорошо разобраться, все будет легко!

Давай начнем с базы – с расстояния от точки до плоскости.

Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.

На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор «капканов» — все там.

Регистрируйся здесь и приходи!

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

Способы нахождения расстояния от точки до плоскости

Существует, по крайней мере, два способа найти расстояние от точки до плоскости: геометрический и алгебраический.

При геометрическом способе нужно сначала понять, как расположен перпендикуляр из точки на плоскость: может он лежит в какой –то удобной плоскости, является высотой в какой-нибудь удобном (или не очень) треугольнике, а может этот перпендикуляр вообще является высотой в какой-нибудь пирамиде.

После этого первого и самого сложного этапа задача распадается на несколько конкретных планиметрических задач (быть может, в разных плоскостях).

При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно ввести систему координат, найти координаты точки и уравнение плоскости, и после этого применить формулу расстояния от точки до плоскости.

Кажется с первого взгляда, что алгебраический способ легче, но это… далеко не всегда так. Проблемы обычно возникают как раз с нахождением координат точки и управления плоскости, особенно если система координат была введена не самым удобным способом. Для удобства приведём плюсы и минусы обоих способов в табличке:

АЛГ

Не нужно думать, можно просто применить несколько формул и стандартную процедуру.

Формулы громоздкие, их сложно запомнить, легко допустить ошибку. Особенно если система координат введена неудачно.

ГЕО

Не нужно запоминать длинных формул, вычисления обычно не длинные, арифметической ошибке трудно вкрасться.

Нужно уметь применять стереометрические теоремы и понимать, что такое доказательство

Сейчас мы разберём один достаточно хитрый пример, двумя способами.

Источник

Сравнение расстояний от точки до плоскости

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 12 и Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5, SB = 13, SD = 10.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

а) Заметим, что и поэтому значит,

б) Опустим из A перпендикуляр на SB. Он будет перпендикулярен также BC, поскольку Поэтому его длина и есть расстояние от A до плоскости SBC. Вычислим ее

Ответ:

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N — середина ребра AC, точка O центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямой BS.

б) Найдите расстояние от точки B до прямой NP.

а) Точка O принадлежит отрезку BN, значит, точка P, лежащая на отрезке SO, находится в плоскости SBN. Значит, прямая NP также лежит в плоскости SBN и пересекает прямую SB в точке K. Треугольник SNB равнобедренный, поскольку отрезки SN и BN — медианы одинаковых равносторонних треугольников SAC и BAC. Поэтому SN = BN. В точке O пересекаются медианы основания, значит, Опустим перпендикуляр из точки P на сторону SN. Пусть он пересекает SN в точке M. Треугольники SPM и SNO подобны, поэтому Значит, Следовательно, треугольники NPO и NPM равны и PN — биссектриса угла SNB. В равнобедренном треугольнике биссектриса является медианой и высотой. Значит, NKBS.

б) Так как BS перпендикулярно NK, то искомое расстояние равно длине отрезка BK. Так как NK является медианой треугольника SNB, то

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что PA = AQ = RC = 2.

а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.

б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.

а) Стороны треугольника SBD равны 5, 5 и поэтому он прямоугольный, то есть прямая SD перпендикулярна прямой SB. Очевидно, что прямые SB и PQ параллельны как стороны равносторонних треугольников с общим углом, тогда прямая SD перпендикулярна прямой PQ. Прямая AC перпендикулярна прямой BD, и по теореме о трёх перпендикулярах прямая AC перпендикулярна прямой SD, а значит, и прямая QR перпендикулярна прямой SD. Таким образом, плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.

б) Пусть плоскость PQR пересекает ребро SD в точке E. Из доказанного следует, что прямая PE перпендикулярна прямой SD, откуда

Значит, Поскольку плоскость PQR перпендикулярна ребру SD, искомое расстояние равно DE.

Ответ: б)

Отсутствие обоснования сечения-значительно ухудшает качество решения и на экзамене такое решение не примут.

В этой задаче нет ни слова о сечении, ни в условии, ни в решении. Зачем же обосновывать, то чего в задаче нет?)))

В правильной треугольной призме АВСА′B′C′ сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА′ равно 3. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК = 1. Точки М и L — середины рёбер А′С′ и В′С′ соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости γ.

а) Построим сечение призмы плоскостью γ. Проведём КР || АС, , CP = 1. Проведём PL, проведём LR || AC, Проведём RK. Трапеция LPKR — искомое сечение. Сечение параллельно АС по признаку параллельности прямой к плоскости.

Введём систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат: В(0; 0; 0), С(0; 6; 0), В’(0; 0; 3), C’(0; 6; 3), P(0; 5; 0),

Так как и получаем, что

б) Далее заметим, что плоскость сечения перпендикулярна вектору , найдем уравнение плоскости и вычислим расстояние от точки до плоскости:

Найдём свободный член D в уравнении плоскости подставив координаты точки К:

поэтому

Упростив уравнение плоскости, получим:

Тогда для искомого расстояния получаем:

Приведем другое решение.

а) Четырёхугольник RLPK — искомое сечение. Проведём плоскость B’MTB. Имеем:

Рассмотрим прямоугольник BB’MT. Заметим, что LR — средняя линия треугольника A’B’C’, тогда F’ — середина B’M, тогда

BKF

Пусть теперь Тогда

На продолжении TB за точку B отметим точку , такую, что . Тогда и

По обратной теореме Пифагора, треугольник FF’F» прямоугольный следовательно,

б) Заметим, что так как то Пусть основанием перпендикуляра опущенного из T на γ будет являться точка S. Тогда TS || BM || F»F’. Таким образом, треугольники FTS и FF»F’ будут подобны. Следовательно, откуда

Ответ: б)

Еще один подход к решению задачи, не использующий метод координат, укажем на примере задачи 514653.

В правильной четырёхугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно На ребрах BC и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C1L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки B1 до плоскости γ.

а) Так как плоскость параллельна диагонали основания BD, то пересекает основание ABCD по прямой KK1 параллельной BD, K1 лежит на CD. Так как, прямая сечения LL1 параллельна BD, где L1 лежит на B1C1. Сечением призмы будет трапеция

Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо, чтобы она была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Заметим, что проекцией прямой AC1 на плоскость ABCD является прямая AC. Кроме того, как диагонали квадрата таким образом по теореме о трех перпендикулярах следовательно,

Рассмотрим плоскость AA1C1C. Пусть эта плоскость пересекает прямые KK1 и LL1 в точках E и F соответственно. O — точка пересечения EF и AC1. Четырёхугольник AA1C1C — прямоугольник, причём

Так как AA1C1C прямоугольник, Значит, Таким образом,

Тогда по обратной теореме Пифагора следовательно, треугольник прямоугольный, Таким образом,

б) Расстояние от точки B1 до плоскости равно расстоянию до нее от любой точки параллельной ей прямой B1D1. Из точки M — пересечения диагоналей грани в плоскости AA1C1C опустим перпендикуляр MH на прямую EF. Так как, по доказанному в п. а) плоскость следовательно, указанный перпендикуляр — искомое расстояние. Найдем Заметим, Таким образом,

Ответ: б)

Источник

Читайте также:  Сравнение основных экономических теории