Меню

Сравнить два числа это значит



Сравнение натуральных чисел

Сравнить два различных натуральных числа − это значит определить, какое из них больше, а какое − меньше.

Из двух натуральных чисел меньшим является то, которое в натуральном ряду стоит раньше, а бОльшим − то, которое в натуральном ряду стоит позже. Поэтому, например, число 5 меньше числа 7, а число 171 больше числа 19 . Результаты сравнения записывают с помощью знаков (больше): 5 7 и 171 > 19 . Такие записи называют неравенствами.

Число 0 меньше любого натурального числа. Например, 0 12 .

Сравнивать можно одновременно и три числа. Например, число 17 больше 15, но меньше 20 . Это записывают так: 15 17 20 . Такую запись называют двойным неравенством. Часто слово «двойное» опускают, называя двойное неравенство неравенством.

Натуральные числа можно сравнивать, не обращаясь к натуральному ряду.

Сравнивать многозначные числа, имеющие разное количество чисел, легко.

Из двух натуральных чисел, имеющих разное количество цифр, бОльшим является то, у которого количество цифр больше.

Например, число 597 013 617 − девятизначное, а число 99 982 475 − восьмизначное, поэтому первое число больше второго.

Если два многозначных числа имеют одинаковое количество цифр, то следует руководствоваться этим правилом.

Из двух натуральных чисел с одинаковым количеством цифр бОльшим является то, у которого больше первая (при чтении слева направо) из неодинаковых цифр.

Например, 7 2 5 6 > 7 2 4 9, а 582 6 47 582 8 79 .

Отметим, что на координатном луче точка с меньшей координатой расположена левее точки с большей координатой. Например точка A( 7 ) лежит левее точки B( 9 ), так как 7 9 (рис. 63 ).

На координатном луче из двух натуральных чисел меньшее число расположено левее большего.

Пример 1 . В записи чисел вместо некоторых цифр поставили звездочки. Сравните эти числа:

1 ) Поскольку первое число трехзначное, а второе четырехзначное, то 69 * 43 ;

2 ) Цифр в этих числах поровну. Первая цифра каждого из них равна 7 . Вторы цифры этих чисел равны соответственно 2 и 0 . Поскольку 2 > 0, то 72 *** > 70 ***.

Пример 2 . Сравните 8 км 24 м и 8 146 м.

Поскольку 8 км 24 м = 8 024 м, то 8 км 24 м 8 146 м.

Источник

Сравнение натуральных чисел

Сравнить два числа — это значит определить, равны они или нет, если нет, то определить, какое из них больше, а какое — меньше.

Равные и неравные натуральные числа

Если записи двух натуральных чисел одинаковы, то говорят, что эти числа равны между собой. Числа, которые равны, называются равными. Если записи двух натуральных чисел отличаются, то говорят, что эти числа не равны. Числа, которые не равны, называются неравными.

Пример. Натуральное число 34 равно числу 34 (их записи одинаковы), а натуральные числа 63 и 67 не равны (их записи различны). Следовательно числа 34 и 34 — равные, а 63 и 67 — неравные.

Равенства и неравенства

Для записи результата сравнения чисел используются следующие знаки:

=, > и = называется знаком равенства и заменяет собой слово равно или равняется . Например, если числа a и b равны, то пишут a = b и говорят: a равно b .

Запись, которая состоит из математических выражений, между которыми ставится знак = называется равенством.

4 = 4 — равенство.

2 + 3 = 5 — равенство.

2 + 2 = 1 + 1 + 2 — равенство (подобные записи представляют собой равенство двух числовых выражений, и означают равенство значений этих выражений).

Равенства могут быть как верными (например, 5 = 5 — верное равенство), так и неверными (например, 11 = 14 — неверное равенство).

Два других знака > и называются знаками неравенства и означают: знак > — больше , а знак — меньше . Например, если число a больше числа b, то пишут a > b и говорят: a больше b или пишут b b меньше a .

Знаки > и должны быть обращены остриём к меньшему числу.

Запись, которая состоит из математических выражений, между которыми ставится знак > или называется неравенством.

5 > 4 — неравенство.

2 8 — неверное неравенство).

Кроме неравенств со знаками > и , которые называются строгими, используются нестрогие неравенства, для которых введены знаки ⩾ и ⩽ . Знак ⩾ читается больше или равно , знак ⩽ — меньше или равно . Нестрогое неравенство допускает случай равенства левой и правой его частей. Так, например, 7 ⩽ 7 — верное неравенство.

Читайте также:  Термины эпитет метафора сравнение олицетворение гипербола литота

Также для записи неравенства двух натуральных чисел может применяться знак ≠ . Знак ≠ читается не равно . Например, запись ab — означает a не равно b.

Обычно, если не оговорено иное, понятие неравенства относится только к записям со знаками > , , ⩾ и ⩽ .

Правила чтения равенств и неравенств

Равенства и неравенства читаются слева направо. Левая часть равенства читается в именительном падеже, а правая — в дательном.

Пример. 7 = 7 — семь равно семи.

Левая часть неравенства читается в именительном падеже, а правая — в родительном.

Пример. 11 > 9 — одиннадцать больше девяти, 3 Пример. Сравним числа 1 и 3, 7 и 4. Запишем все однозначные натуральные числа в одной строке в следующем порядке:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Число 1 меньше числа 3 (1 4), так как в натуральном ряду число 7 находится правее числа 4.

Для применения правил сравнения чисел по их десятичной записи необходимо принять одну условность: будем считать, что число 0 меньше любого натурального числа, и что нуль равен нулю.

Правила сравнения натуральных чисел по их десятичной записи:

Если записи сравниваемых чисел состоят из одинакового количества цифр, то числа сравниваются поразрядно слева направо. Большим будет считаться то число, у которого первая (слева направо) из неодинаковых цифр больше.

Когда говорят, что цифры равны (или одна цифра больше другой), то имеют ввиду, что соответствующие им числа равны (или одно число больше другого).

Пример. Сравним натуральные числа 4026 и 4019. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:

Сначала сравниваем значения разряда тысяч. Получаем равенство 4 = 4, поэтому переходим к сравнению значений следующего разряда. Опять получаем равенство 0 = 0, переходим к сравнению значений разряда десятков. Теперь имеем неравенство 2 > 1, из которого делаем вывод, что число 4026 больше числа 4019 (4026 > 4019), потому что у первого числа, цифра разряда десятков (2) больше, чем цифра разряда десятков (1) у второго числа.

Если количество цифр в записи, сравниваемых чисел, разное, то большим будет считаться то число, у которого количество цифр больше.

Пример. Сравним натуральные числа 347 503 и 34 503. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:

347 503
34 503

Записав числа одно под другим, можно наглядно заметить, что первое число имеет большее количество цифр, чем второе, следовательно 347 503 > 34 503.

Два натуральных числа равны, если у них одинаковое количество цифр и цифры одинаковых разрядов равны.

Пример. Сравним числа 38 526 734 и 38 526 734. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:

38 526 734
38 526 734

Записи данных чисел одинаковы (количество цифр и цифры одинаковых разрядов равны), следовательно эти числа равны.

Двойные неравенства, тройные неравенства и т. д.

Когда нужно записать, что одно число больше другого, но меньше третьего, часто используют двойные неравенства.

Пример. Известно, что 4 четыре больше двух, но меньше пяти .

В виде двойного неравенства можно записывать результат сравнения трёх натуральных чисел.

Пример. Допустим, нужно сравнить три натуральных числа 11, 34 и 8. Сравнивая данные числа между собой, получим три неравенства 11 8, которые можно записать как двойное неравенство:

8 Пример. Известно, что 12 15, 47 Сравнить .

Источник

Сравнение чисел. Исчерпывающий гид (ЕГЭ – 2021)

При решении уравнений и неравенств, а также задач с модулями требуется расположить найденные корни на числовой прямой.

Как ты знаешь, найденные корни могут быть разными.

Они могут быть такими: \( 4\), \( -3\), \( 8\), \( 125\).

А могут быть и вот такими: \( \sqrt<6>\), \( \left( 4-\sqrt <3>\right)\), \( \frac<\sqrt[6]<6>><\sqrt<13>+\frac<4><13>>\).

Читайте также:  Amd radeon hd 5450 сравнить

Если числа не рациональные, а иррациональные, или представляют собой сложные математические выражения, то расположить их на числовой прямой весьма проблематично.

Для этого нужно уметь их сравнивать.

Калькуляторами на экзамене пользоваться нельзя, а приближенный подсчет не дает 100% гарантий, что одно число меньше другого (вдруг разница между сравниваемыми числами \( 0,000001\)?).

Прочитай эту статью и все поймешь!

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Возведение в степень

Если обе части неравенства положительны, их можно возвести в квадрат, чтобы избавиться от корня

Сравни \( \displaystyle \sqrt<2>\) и \( \displaystyle 1,4\)

Умножение на сопряженное

Сопряженным называется множитель, дополняющий выражение до формулы разности квадратов: \( \displaystyle \left( a-b \right)\) – сопряженное для \( \displaystyle \left( a+b \right)\) и наоборот, т.к. \( \displaystyle \left( a-b \right)\left( a+b \right)=<^<2>>-<^<2>>\).

Сравни \( \displaystyle \sqrt<8>-\sqrt<7>\) и \( \displaystyle \sqrt<11>-\sqrt<10>\)

Вычитаение

\( \displaystyle a\vee b\text< >\Leftrightarrow \text< >a-b\vee 0\)

Сравни \( \displaystyle \sqrt<5>+\sqrt<2>\) и \( \displaystyle \text<2>\sqrt<10>\)

Деление

Сравни \( \displaystyle <<15>^<10>>\) и \( \displaystyle <<9>^<14>>\)

Сравнение логарифмов

Основные правила:

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Конечно, ты знаешь, что положительные цифры всегда больше отрицательных, и что если мы представим числовую ось, то при сравнении, наибольшие числа будут находиться правее, чем наименьшие: \( 3>1\); \( -1>-3\); \( 0>-3\) и т.д.

Но всегда ли все так легко? Где на числовой оси мы отметим \( \sqrt<6>\), \( \left( 4-\sqrt <3>\right)\), \( \frac<\sqrt[6]<6>><\sqrt<13>+\frac<4><13>>\).

Как их сравнить, например, с числом \( 5\)? Вот в этом-то и загвоздка … )

Для начала поговорим в общих чертах как и что сравнивать.

Если надо сравнить числа \( a\) и \( b\), между ними ставим знак \( \vee \) (происходит от латинского слова Versus или сокращенно vs. – против): \( a\vee b\).

Этот знак заменяет неизвестный нам знак неравенства (\( >\text

Важно: преобразования желательно делать такими, чтобы знак неравенства не менялся!

В ходе преобразований нежелательно домножать на отрицательное число, и нельзя возводить в квадрат, если одна из частей отрицательна.

Сравнение дробей

Итак, нам необходимо сравнить две дроби: \( 1,6\) и \( 1\frac<6><13>\).

Есть несколько вариантов, как это сделать.

Вариант 1. Сравнение дробей с помощью приведения к общему знаменателю

Запишем \( 1,6\) в виде обыкновенной дроби:

\( 1,6=1\frac<6><10>=1\frac<3><5>\) — (как ты видишь, я также сократила на \( 2\) числитель и знаменатель).

Теперь нам необходимо сравнить дроби:

Сейчас мы можем продолжить сравнивать также двумя способами. Мы можем:

Способ 1. Числитель больше знаменателя

Просто приведите все к общему знаменателю, представив обе дроби как неправильные (числитель больше знаменателя):

Какое число больше? Правильно, то, у которого числитель больше, то есть первое.

Способ 2. Отбросьте единицу

«Отбросьте» \( 1\) (считай, что мы из каждой дроби вычли единицу, и соотношение дробей друг с другом, соответственно, не изменилось) и будем сравнивать дроби:

Приводим их также к общему знаменателю:

Заметь, в принципе мы можем не считать знаменатель. Мы итак видим, что он одинаков и нам необходимо сравнивать числитель. Тогда зачем мы будем тратить время на подсчет знаменателя?

Мы получили абсолютно точно такой же результат, как и в предыдущем случае – первое число больше, чем второе:

Проверим также, правомерно ли мы вычли единицу? Посчитаем разницу в числителе при первом расчете и втором:

1) \( 104-95=9\)

2) \( 39-30=9\)

Итак, мы рассмотрели, как сравнивать дроби, приводя их к общему знаменателю. Перейдем к другому методу – сравнение дробей приводя их к общему… числителю.

Вариант 2. Сравнение дробей с помощью приведения к общему числителю

Да, да. Это не опечатка. В школе редко кому рассказывают этот метод, но очень часто он весьма удобен. Чтобы ты быстро понял его суть, задам тебе только один вопрос – «в каких случаях значение дроби наибольшее?»

Читайте также:  Uy щита размер по сравнению с солнцем

Конечно, ты скажешь «когда числитель максимально большой, а знаменатель максимально маленький».

Например, ты же точно скажешь, что \( \frac<8> <13>\frac<6><28>\).

Как ты видишь, знаменатели здесь разные, а вот числители одинаковы. Однако, для того, чтобы сравнить эти две дроби, тебе не обязательно искать общий знаменатель. Хотя… найди его и посмотри, вдруг знак сравнения все же неправильный?

А знак-то тот же.

Вернемся к нашему изначальному заданию – сравнить \( 1\frac<3><5>\)и \( 1\frac<6><13>\). Будем сравнивать \( \frac<3><5>\) и \( \frac<6><13>\).

Приведем данные дроби не к общему знаменателю, а к общему числителю.

Для этого просто числитель и знаменатель первой дроби умножим на \( 2\). Получим:

Какая дробь больше? Правильно, первая.

Вариант 3. Сравнение дробей с помощью вычитания

Как сравнивать дроби с помощью вычитания? Да очень просто.

Мы из одной дроби вычитаем другую. Если результат получается положительным, то первая дробь (уменьшаемое) больше второй (вычитаемое), а если отрицательным, то наоборот.

В нашем случае попробуем из второй вычесть первую дробь: \( 1\frac<6><13>-1,6\).

Как ты уже понял, мы так же переводим \( 1,6\) в обыкновенную дробь и получаем тот же результат — \( 1\frac<3><5>\) .

Наше выражение приобретает вид:

Далее нам все равно придется прибегнуть к приведению к общему знаменателю.

Вопрос как: первым способом, преобразуя дроби в неправильные, или вторым, как бы «убирая» единицу? Кстати, это действие имеет вполне математическое обоснование. Смотри:

Мне больше нравится второй вариант, так как перемножение в числителе при приведении к общему знаменателю становится в разы проще.

Приводим к общему знаменателю:

Здесь главное не запутаться, какое число и откуда мы отнимали. Внимательно посмотреть ход решения и случайно не перепутать знаки. Мы отнимали от второго числа первое и получили отрицательный ответ, значит.

Правильно, первое число больше второго.

Разобрался? Попробуй сравнить дроби:

Стоп, стоп. Не спеши приводить к общему знаменателю или вычитать.

Посмотри: \( 1\frac<3><5>\) можно легко перевести в десятичную дробь. Сколько это будет? Правильно. Что в итоге больше?

Готов тренироваться? Сравни дроби оптимальным способом.

Его автор, Алексей Шевчук, ведет подготовку к ЕГЭ — марафон «Года за месяц» по математике и информатике.

Приходи, подготовишься к ЕГЭ методом погружения (как при изучении языков!)

Сравнение степеней

Теперь представим, что нам необходимо сравнить не просто числа, а выражения, где существует степень (читай раздел про степени).

Конечно, ты без труда поставишь знак:

\( <<2>^<4>>

Раскроем скобки и сравним то, что получится:

Введем некоторое натуральное число \( k\), как разницу между \( m\) и \( n\).

Логично, неправда ли?

А теперь еще раз обратим внимание на условие — \( 0

Как ты понял, мы рассмотрели случай, когда основания степеней равны. Теперь посмотрим, когда основание находится в промежутке от \( 0\) до \( 1\), но равны показатели степени. Здесь все очень просто.

Запомним, как это сравнивать на примере:

Конечно, ты быстро посчитал:

Поэтому, когда тебе будут попадаться похожие задачи для сравнения, держи в голове какой-нибудь простой аналогичный пример, который ты можешь быстро просчитать, и на основе этого примера проставляй знаки в более сложном.

Выполняя преобразования, помни, что если ты домножаешь, складываешь, вычитаешь или делишь, то все действия необходимо делать и с левой и с правой частью (если ты умножаешь на \( 2\), то умножать необходимо и то, и другое).

Кроме этого, бывают случаи, когда делать какие-либо манипуляции просто невыгодно. Например, тебе нужно сравнить \( <<5>^<2>>\vee <<4>^<3>>\). В данном случае, не так сложно возвести в степень, и расставить знак исходя из этого:

Источник