Среднее арифметическое значение результатов измерений это

Среднее арифметическое значение результатов измерений это

Средняя арифметическая величина выборки

характеризует средний уровень значений изучаемой случайной величины в наблюдавшихся случаях и вычисляется путем деления суммы отдельных величин исследуемого признака на общее число наблюдений:

где — значение конкретного показателя,

— число показателей (случаев).

Практическое задание : рассчитать среднее арифметическое значение измерений силы кисти спортсмена по следующим результатам: 46, 50, 59, 60, 55, 49 кг.

Среднее арифметическое дает возможность:

1) охарактеризовать исследуемую совокупность одним числом;

2) сравнить отдельные величины со средним арифметическим;

3) определить тенденцию развития какого-либо явления;

4) сравнить разные совокупности;

5) вычислить другие статистические показатели, так как многие статистические вычисления опираются на среднее арифметическое.

Однако одно только среднее арифметическое не дает возможности глубоко анализировать сущность того или иного явления и их взаимные различия!

При анализе статистической совокупности одним из важных показателей является расположение значений элементов совокупности вокруг среднего значения (варьирование). Для характеристики варьирования в практике исследовательской работы рассчитывают среднее квадратическое (или стандартное) отклонение , которое отражает степень отклонения результатов от среднего значения, выражается в тех же единицах измерения.

Стандартное отклонение обозначается знаком (сигма) и вычисляется по формуле:

где — ) — сумма разности квадратов между каждым показателем и средней арифметической величиной (сумма квадратов отклонений);

— объем выборки (число измерений или испытуемых).

Если число измерений не более 30, т.е. 30, используется формула:

Порядок вычислений (1 вариант):

1. Заполнить первые две колонки таблицы расчетов (вычисление стандартного отклонения на примере показателей шести результатов измерения кистевой динамометрии).

2. Рассчитать среднюю арифметическую величину:

3. Вычислить разность между каждым показателем и данной средней (третья колонка таблицы).

4. Полученные разности возвести в квадрат и суммировать (четвертая колонка таблицы).

5. Вычислить среднее квадратическое отклонение по формуле:

Порядок вычислений (2 вариант):

Более простой способ вычисления стандартного отклонения осуществляется по следующей формуле:

где — наибольшее значение показателя; Х — наименьшее значение показателя; табличный коэффициент (табл. 3).

Чем меньше величина , тем плотнее результаты около средней, что может говорить как о стабильности показателей одного испытуемого, так и ровности результатов группы или одинаковой подготовленности спортсменов.

Выборка результатов (какой бы она не была большой) не совпадает по абсолютной величине с соответствующими генеральными параметрами. Например, результаты физической подготовленности мастеров спорта одной спортивной школы не могут точно характеризовать результаты всех мастеров спорта страны. Величина отклонения выборочной средней от ее генерального параметра называется статистической стандартной ошибкой выборочного среднего арифметического . Иногда этот показатель называется просто ошибкой средней .

Этот показатель обозначается символом и рассчитывается по формулам:

где — среднее квадратическое отклонение выборочной совокупности;

— объем выборки (число измерений или испытуемых).

Значение стандартной ошибки средней арифметической ( указывает, насколько изменится среднее значение, если его перенести на всю генеральную совокупность.

Например, при измерениях у 20 спортсменов угла в коленном суставе ноги, стоящей на задней стартовой колодке, был получен следующий результат:

Это обозначает, что полученная средняя арифметическая величина в других аналогичных исследованиях может иметь значения от до .

Практическое задание : студенты рассчитывают m среднего арифметического силы кисти руки спортсмена и делают вывод по следующим исходным данным:

Источник

Среднее арифметическое значение, средняя квадратичная и средняя арифметическая погрешности измеряемой величины

Первой величиной, которую приходится вычислять при обработке результатов опытов, является среднее арифметическое из результатов ряда измерений, которое определяется по формуле (6).

Практически число измерений всегда ограничено, поэтому среднее арифметическое не равно истинному значению измеряемой величины , но будет тем ближе к нему, чем больше число выполненных измерений . В теории вероятностей доказывается, что среднее арифметическое из результатов отдель­ных измерений является наиболее вероятным значением измеряемой величины. Это утверждение справедливо при условии, когда все измерения равноточные, а распределение погрешности измерений подчиняется вышеупомянутому закону распределения— закону Гаусса.

Если вместо истинного значения неизвестной величины использовать среднее арифметическое , тогда на основании равенства (1) имеем:

(11)

В (11) погрешность несколько отличается от истинной и называется абсолютной погрешностью единичного измерения

(12)

Лучшим из критериев для оценки погрешностей результатов измерений является средняя квадратичная погрешность, которая характеризует степень (меру) рассеяния результатов отдельных измерений около среднего их значения. Для определения среднеквадратической погрешности единичных изме­рений при ограниченном числе опытов используется формула (7), которая с учетом (12) записывается в виде:

. (13)

Средняя квадратическая погрешность, вычисляемая по формуле (13), характеризует погрешность единичного результата из всего ряда n измерений.

Как уже отмечалось, при увеличении числа n измерений наблюдается взаимная компенсация случайных ошибок. Поэтому усредненная средняя квадратичная погрешность, определяемая по формуле (9) и характеризующая окончательный результат измерений, уменьшается при увеличении числаn повторных измерений искомой величины. Поскольку вычисления величины достаточно громоздки, то в ряде случаев (если не оговорено в условиях решаемой задачи) для оценки ошибки, допущенной при определении средней величины, пользуются средней арифметической погрешностью, которая вычисляется как средняя величина всех величин абсолютных погрешностей единичных измерений (12), взятых по модулю:

. (14)

Так как суммирование в (14) выполняется без учета знака , то формула (14) даёт среднее значение максимальной возможной погрешности.

Вопрос о том, какой формулой пользоваться при оценке измерений, решается при планировании эксперимента. Считается, что при числе измерений меньше пяти можно ограничиться вычислением средней абсолютной погрешности по формуле (14).

Средняя абсолютная погрешность даёт возможность указать пределы (интервал), внутри которых заключено истинное значение измеряемой величины.

Сама по себе абсолютная погрешность не даёт достаточно наглядного представления о степени точности измерения, поэтому для оценки точности результата применяется относительная погрешность. Относительная погрешность величины x при ограниченном числе опытов вычисляется по формуле:

. (15)

Источник

Среднее арифметическое значение, средняя квадратичная и средняя арифметическая погрешности измеряемой величины

Первой величиной, которую приходится вычислять при обработке результатов опытов, является среднее арифметическое из результатов ряда измерений, которое определяется по формуле (6).

Практически число измерений всегда ограничено, поэтому среднее арифметическое не равно истинному значению измеряемой величины ,но будет тем ближе к нему, чем больше число выполненных измерений .В теории вероятностей доказывается, что среднее арифметическое из результатов отдель­ных измерений является наиболее вероятным значением измеряемой величины. Это утверждение справедливо при условии, когда все измерения равноточные, а распределение погрешности измерений подчиняется вышеупомянутому закону распределения— закону Гаусса.

Если вместо истинного значения неизвестной величины использовать среднее арифметическое , тогда на основании равенства (1) имеем:

(11)

В (11) погрешность несколько отличается от истинной и называется абсолютной погрешностью единичного измерения

(12)

Лучшим из критериев для оценки погрешностей результатов измерений является средняя квадратичная погрешность, которая характеризует степень (меру) рассеяния результатов отдельных измеренийоколо среднего их значения. Для определения среднеквадратической погрешности единичных изме­рений при ограниченном числе опытов используется формула (7), которая с учетом (12) записывается в виде:

. (13)

Средняя квадратическая погрешность, вычисляемая по формуле (13), характеризует погрешность единичного результата из всего ряда n измерений.

Как уже отмечалось, при увеличении числа n измерений наблюдается взаимная компенсация случайных ошибок. Поэтому усредненная средняя квадратичная погрешность , определяемая по формуле (9) и характеризующая окончательный результат измерений, уменьшается при увеличении числа n повторных измерений искомой величины. Поскольку вычисления величины достаточно громоздки, то в ряде случаев (если не оговорено в условиях решаемой задачи) для оценки ошибки, допущенной при определении средней величины, пользуются средней арифметической погрешностью, которая вычисляется как средняя величина всех величин абсолютных погрешностей единичных измерений (12), взятых по модулю:

. (14)

Так как суммирование в (14) выполняется без учета знака , то формула (14) даёт среднее значение максимальной возможной погрешности.

Вопрос о том, какой формулой пользоваться при оценке измерений, решается при планировании эксперимента. Считается, что при числе измерений меньше пяти можно ограничиться вычислением средней абсолютной погрешности по формуле (14).

Средняя абсолютная погрешность даёт возможность указать пределы (интервал), внутри которых заключено истинное значение измеряемой величины.

Сама по себе абсолютная погрешность не даёт достаточно наглядного представления о степени точности измерения, поэтому для оценки точности результата применяется относительная погрешность. Относительная погрешность величины x при ограниченном числе опытов вычисляется по формуле:

. (15)

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Средняя арифметическая и средняя квадратическая ошибки

Среднее арифметическое значение серии измерений определяется как частное от деления арифметической суммы всех результатов измерений в серии Xi на общее число измерений в серии n:

При увеличении n среднее значение стремится к истинному значению измеряемой величины X_ист. Поэтому, за наиболее вероятное значение измеряемой величины следует принять ее среднее арифметическое значение, если ошибки подчиняются нормальному закону распределения ошибок —закону Гаусса.

Формула Гаусса может быть выведена из следующих предположений:

• ошибки измерений могут принимать непрерывный ряд значений;
• при большом числе наблюдений ошибки одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;
• вероятность, то есть относительная частота появления ошибок, уменьшается с увеличением величины ошибки. Иначе говоря, большие ошибки встречаются реже, чем малые.

Нормальный закон распределения описывается следующей функцией:

где σ – средняя квадратичная ошибка; σ2 – дисперсия измерения; Х_ист – истинное значение измеряемой величины.

Анализ формулы (1.13) показывает, что функция нормального распределения симметрична относительно прямой X = X_ист и имеет максимум при X = Xист. Значение ординаты этого максимума найдем, поставив в правую часть уравнения (1.13) X_ист вместо X. Получим

откуда следует, что с уменьшением σ возрастает y(X). Площадь под кривой

должна оставаться постоянной и равной 1, так как вероятность того, что измеренное значение величины Х будет заключено в интервале от -∞ до +∞ равно 1 (это свойство называется условием нормировки вероятности).

На рис. 1.1 приведены графики трех функций нормального распределения для трех значений σ (σ₃ > σ₂ > σ₁) и одном Х_ист. Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: средним значением случайной величины, которая при бесконечно большом количестве измерений (n → ∞) совпадает с ее истинным значением, и дисперсией σ. Величина σ характеризует разброс погрешностей относительно среднего значения принимаемого за истинное. При малых значениях σ кривые идут более круто и большие значения ΔХ менее вероятны, то есть отклонение результатов измерений от истинного значения величины в этом случае меньше.

Для оценки величины случайной ошибки измерения существует несколько способов. Наиболее распространена оценка с помощью стандартной или среднеквадратичной ошибки. Иногда применяется средняя арифметическая ошибка.

Стандартная ошибка (среднеквадратическая) среднего в серии из n измерений определяется по формуле:

Если число наблюдений очень велико, то подверженная случайным случайным колебаниям величина Sn стремится к некоторому постоянному значению σ, которое называется статистическим пределом Sn:

Именно этот предел и называется средней квадратичной ошибкой. Как уже было отмечено выше, квадрат этой величины называется дисперсией измерения, которая входит в формулу Гаусса (1.13).

Величина σ имеет большое практическое значение. Пусть в результате измерений некоторой физической величины нашли среднее арифметическое и некоторую ошибку ΔX. Если измеряемая величина подвержена случайной ошибке, то нельзя безоговорочно считать, что истинное значение измеряемой величины лежит в интервале ( – ΔХ, + ΔХ) или ( – ΔХ) + ΔХ)). Всегда существует некоторая вероятность того, что истинное значение лежит за пределами этого интервала.

Доверительным интервалом называется интервал значений ( – ΔХ, + ΔХ) величины X, в который по определению попадает ee истинное значение Х_ист с заданной вероятностью.

Надежностью результата серии измерений называют вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал. Надежность результата измерения или доверительная вероятность выражается в долях единицы или процентах.

Пусть α означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую, чем ΔХ. Это принято записывать в виде:

Выражение (1.16) означает, что с вероятностью, равной α, результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала от – ΔХ до + ΔХ. Чем больше доверительный интервал, то есть чем больше задаваемая погрешность результата измерений ΔХ, тем с большей надежностью искомая величина Х попадает в этот интервал. Естественно, что величина α зависит от числа n произведенных измерений. а также от задаваемой погрешности ΔХ.

Таким образом, для характеристики величины случайной ошибки, необходимо задать два числа, а именно:

• величину самой ошибки (или доверительный интервал);
• величину доверительной вероятности (надежности).

Указание одной только величины ошибки без указания соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла, так как при этом мы не знаем, сколь надежны наши данные. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата.

Необходимая степень надежности задается характером проводимых изменений. Средней квадратичной ошибке S_n соответствует доверительная вероятность 0.68, удвоенной средней квадратичной ошибке (2σ) – доверительная вероятность 0.95, утроенной (3σ) – 0.997.

Если в качестве доверительного интервала выбран интервал (X – σ, X + σ), то мы можем сказать, что из ста результатов измерений 68 будут обязательно находиться внутри этого интервала (рис. 1.2). Если при измерении абсолютная погрешность ∆Х > 3σ, то это измерение стоит отнести к грубым погрешностям или промаху. Величину 3σ обычно принимают за предельную абсолютную погрешность отдельного измерения (иногда вместо 3σ берут абсолютную погрешность измерительного прибора).

Для любой величины доверительного интервала по формуле Гаусса может быть рассчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти вычисления проведены и их результаты сведены в табл. 1.1.

Доверительные вероятности α для доверительного интервала, выраженного а долях средней квадратичной ошибки ε = ΔX/σ:

Источник

Среднее арифметическое результатов N измерений

, (5.1)

где X_i – результат отдельного измерения в ряду измерений.

Абсолютную погрешность измерения выражают в единицах измеряемой величины

,

где X – результат измерения;

– истинное значение измеряемой величины.

Относительную погрешность измерений выражают отношением абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины

.

При равноточных измерениях за действительное значение принимают среднее арифметическое из ряда значений величин. Относительная погрешность более полно характеризует качество измерений и измерительных приборов, чем абсолютная. Например, при одинаковой абсолютной погрешности В результат В измерен точнее, чем В, так как в первом случае относительная погрешность в десять раз меньше, чем во втором .

Средняя квадратическая погрешность (СКП)единичного измерения является обобщенной характеристикой рассеяния результатов, полученных в ряду независимых равноточных (одинаково точных и не зависимых от систематической погрешности) измерений, вследствие влияния случайных погрешностей. Поскольку случайные погрешности равновероятны по знаку, перед числовым значением СКП целесообразно ставить знак “±”. В литературе встречаются также другие названия для : средняя квадратичная погрешность, стандартная погрешность или просто стандарт, средняя квадратическая ошибка измерения и др. Квадрат величины называется дисперсией ошибки .

СКП единичного измерения:

; (5.2)

чтобы при обработке результатов не запоминать все значения X_i выражение (5.2) следует преобразовать

. (5.3)

Если для обработки значений X_i средняя квадратическая погрешность мала ( ), то расчет по формулам (5.1) – (5.3) может привести к чрезмерным операционным погрешностям. Их можно избежать, вычитая из вводимых значений X_i­ число b, близкое к ожидаемому среднему. Удобно принять это число равным первому результату измерения b = X₁, в этом случае расчетные соотношения принимают следующий вид:

; (5.4)

. (5.5)

После преобразования формулы (5.5) получим

. (5.6)

Средняя квадратическая погрешность результата измерений (среднего арифметического) характеризует случайную погрешность среднего арифметического значения результата измерений. СКП среднего арифметического в раз меньше СКП единичного измерения

.

Вероятность того, что погрешность не выйдет за установленные пределы называется доверительной вероятностью. Величина доверительной вероятности задается на основании степени ответственности измерений, разумного сочетания точности и экономичности и других общих соображений. В частности, в радиотехнике принимают доверительную вероятность 0,9973, которая при нормальном распределении соответствует погрешности (так называемое правило трех сигм).

Вычисление предельной погрешности среднего арифметического по правилу трех сигм правомерно при большом числе измерений, когда оценка для средней квадратичной ошибки среднего арифметического близка к точному ее значению, однако проведение большого числа испытаний отнимает много времени и требует высокой стабильности условий эксперимента. В радиотехнике, где работа аппаратуры зависит от питающих напряжений, температуры, наличия помех, вибраций и других факторов, трудно обеспечить длительное постоянство условий эксперимента и поэтому приходится ограничиться небольшим числом измерений (5…10).

Распределение ошибок среднего арифметического при малом числе измерений было исследовано Госсетом (1908 г.), который публиковал свои работы под псевдонимом «Стьюдент».

Доверительный интервал погрешностирезультата измерений – это интервал значений случайной погрешности, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (истинное) значение погрешности результата измерений. В случае нормального закона распределения доверительный интервал определяется зоной, равной для каждого измерения и – для результата измерения как среднего арифметического, где t – коэффициент Стьюдента.

Доверительные границы погрешностирезультата измерений являются верхней и нижней границей доверительного интервала. При симметричных границах можно использовать единственное число – «доверительная граница».

Оценить истинное значение А измеряемой величины это значит:

· экспериментальным путем найти действительное значение величины ;

· указать доверительные границы погрешности результата измерений .

При однократном измерении погрешность измерения оценивают на основании известных погрешностей средства и метода измерений. Например, при однократном измерении напряжения U получено значение величины, равное 9,47 В. При этом еще до измерения известно, что погрешность вольтметра в данном диапазоне составляет ±20 мВ, а погрешность метода (непосредственной оценки) в данном случае равна нулю. Следовательно, погрешность полученного результата будет равна ±20 мВ. В конечном итоге можно записать U=(9,47±0,02)B.

Для оценки истинного значения А измеряемой величины для N равноточных измерений из результатов измерений исключают грубые и систематические погрешности. Случайная погрешность измерений распределена по нормальному закону. Результат измерений представляют в следующем виде:

, (5.7)

где t – коэффициент Стьюдента (см. табл. 5.1), который зависит от количества измерений N и доверительной вероятности .

Источник