Статистическая обработка результатов измерения
Завершающей стадией количественного анализа химического состава вещества любым методом является статистическая обработка результатов измерений. Она позволяет оценить систематические и случайные погрешности измерений.
Используя приемы математической статистики, можно:
• рассчитать основные метрологические характеристики методики анализа (оценить воспроизводимость и правильность полученных данных, отбросив результаты, содержащие промахи);
• определить методом регрессивного анализа вид функциональной зависимости аналитического сигнала от концентрации (содержания) определяемого элемента;
• рассчитать метрологические характеристики параметров градуировочного графика и результатов анализа;
• представить результаты статистической обработки в виде компактных табличных данных, позволяющих оценить воспроизводимость и правильность полученных результатов;
• в случае необходимости оценить нижнюю границу определяемых содержаний вещества, предел определения (обнаружения), коэффициент чувствительности.
Расчет метрологических характеристик результатов измерений (определений) при малой выборке
При химическом анализе пищевых продуктов содержание вещества в пробе устанавливают, как правило, по небольшому числу параллельных определений (n). Для расчета погрешностей определений в этом случае пользуются методами математической статистики, разработанными для малого числа определений. Полученные результаты рассматривают как случайную (малую) выборку из некоторой гипотетической генеральной совокупности, состоящей из всех мыслимых в данных условиях наблюдений.
Для практических целей можно считать, что при числе измерений п — 20-30 значения стандартного отклонения генеральной совокупности (а) — основного параметра и стандартного отклонения малой выборки (S) близки (S = у).
Оценка воспроизводимости результатов измерений
Среднее выборки. Пусть x1, х2, . хп обозначают п результатов измерений величины, истинное значение которой р.. Предполагается, что все измерения проделаны одним методом и с одинаковой точностью. Такие измерения называют равноточными.
В теории ошибок доказывается, что при условии выполнения нормального закона при п измерениях одинаковой точности среднее арифметическое из результатов, полученных при всех измерениях, является наиболее вероятным и наилучшим значением измеряемой величины:
Это среднее значение принимают за приближенное и пишут X = м.
Единичное отклонение — это отклонение отдельного измерения от среднего арифметического:
Алгебраическая сумма единичных отклонений равна нулю:
Дисперсия, стандартное отклонение, относительное стандартное отклонение. Рассеяние результатов измерений относительно среднего значения принято характеризовать дисперсией S 2 :
или стандартным отклонением (средним квадратичным отклонением) — S:
которое обычно и приводят при представлении результатов измерений (анализа) и которым характеризуют их воспроизводимость.
Стандартное отклонение, деленное на среднее выборки, называют относительным стандартным отклонением:
В общем случае метод анализа оптимален в той области содержаний, в которой и абсолютное (S) и относительное (Sr) стандартное отклонение имеют минимальные значения.
Определение и исключение грубых погрешностей
В литературе приведены различные методы оценки и исключения грубых погрешностей.
Рассмотрим наиболее простой для практического использования метод исключения грубых промахов по Q-критерию. Для этого составляют отношение:
где х1 — подозрительно выделяющийся результат определения (измерения);
х2 — результат единичного определения, ближайший по значению к х1;
R — размах варьирования;
Я = хмах — хмин — разница между наибольшим и наименьшим значением ряда измерений. При малой выборке (п Q (Р, пi).
Оценка правильности результатов измерений (определений)
После того как осуществлена проверка грубых погрешностей (в случае подозрительных результатов измерений) и их исключение, производят оценку доверительного интервала (Ах) для среднего значения X и интервальных значений X ± Ах.
Доверительный интервал (Ах). Если воспроизводимость результатов измерений (методики анализа) характеризуют стандартным отклонением, то сами результаты измерений (определений) характеризуют доверительным интервалом среднего значения X, который рассчитывают по формуле
где tP, f — квантиль распределения Стьюдента при числе степеней свободы f = п — 1 и двухсторонней доверительной вероятности Р (значения tp, f см. в табл. 1.2).
Обычно для расчетов доверительного интервала пользуются значениями Р = 0,95; иногда достаточно Р = 0,90, но при ответственных измерениях требуется более высокая надежность (Р = 0,99).
Коэффициент tp, f показывает, во сколько раз разность между истинным и средним результатами больше стандартного результата.
Источник
Статистическая обработка результатов измерений.
Статистическая обработка результатов измерений – обработка измерительной информации с целью получения достоверных данных. Разнообразие задач, решаемых с помощью измерений, определяет и разнообразие видов статистической обработки их результатов.
Задача статистической обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится истинное значение.
Статистическая обработка используется для повышения точности измерений с многократными наблюдениями, а также определения статистических характеристик случайной погрешности.
Для прямых однократных измерений статистическая обработка менее сложна и громоздка, что значительно упрощает оценку погрешностей.
Статистическую обработку результатов косвенных измерений производят, как правило, методами, основанными на раздельной обработке аргументов и их погрешностей, и методом линеаризации.
Наиболее распространенные совместные измерения обрабатываются разными статистическими методами. Среди них широко известен и часто применяется метод наименьших квадратов.
Прямые измерения с многократными наблюдениями.
Необходимость в многократных наблюдениях некоторой физической величины возникает при наличии в процессе измерений значительных случайных погрешностей. При этом задача обработки состоит в том, чтобы по результатам наблюдений определить наилучшую (оптимальную) оценку измеряемой величины и интервал, в котором она находится с заданной вероятностью. Данная задача может быть решена способом статистической обработки результатов наблюдений, основанным на гипотезе о распределении погрешностей результатов по нормальному закону.
Порядок такой обработки должен соответствовать государственному стандарту и рекомендациям по метрологии.
Итак, рассмотрим группу из n независимых результатов наблюдений случайной величины x, подчиняющейся нормальному распределению. Оценка рассеяния единичных результатов наблюдений в группе относительно их среднего значения вычисляется по формуле:
Поскольку число наблюдений в группе, на основании результатов которых выполнено вычисление среднего арифметического, ограничено, то, повторив заново серию наблюдений этой же величины, мы получили бы новое значение среднего арифметического. Повторив многократно наблюдения и вычисляя каждый раз их среднее арифметическое значение, принимаемое за результат наблюдений (измерений), обнаружим рассеяние среднего арифметического значения.
Характеристикой этого рассеяния является средний квадрат отклонения среднего арифметического:
Среднее квадратичное отклонение среднего арифметического используется для оценки погрешности результата измерений с многократными наблюдениями.
Теория показывает, что если рассеяние результатов наблюдения в группе подчиняется нормальному закону, то и их среднее арифметическое тоже подчиняется нормальному закону распределения при достаточно большом числе наблюдений (n>50). Отсюда при одинаковой доверительной вероятности доверительный интервал среднего арифметического в 
ỳже, чем доверительный интервал результата наблюдений. Теоретически случайную погрешность результата измерений можно было бы свести к 0, однако практически это невозможно, да и не имеет смысла, так как при уменьшении значения случайной погрешности определяющим в суммарной погрешности становится значение не исключенных остатков систематической погрешности.
При нормальном законе распределения плотности вероятностей результатов наблюдений и небольшом числе измерений среднее арифметическое подчиняется закону распределения Стьюдента с тем же средним арифметическим 
. Особенностью этого распределения является то, что доверительный интервал с уменьшением числа наблюдений расширяемся по сравнению с нормальным законом распределения при этой же доверительной вероятности. В формуле для оценки доверительных границ случайной погрешности это отражается введением коэффициента tq вместо t:
Коэффициент распределения Стьюдента зависит от числа наблюдений и выбранной доверительной вероятности и находится по таблице. Например, для n=4 и 
=0,95 tq=3,182; n=5 при =0,95 tq=2,776; для n=10 tq=2,262; n=15 tq=2,145 при той же =0,05.
Правила обработки результатов измерения с многократными наблюдениями учитывают следующие факторы:
— обрабатывается группа из n наблюдений (то есть группа ограничена);
— результаты наблюдений могут содержать систематическую погрешность;
— в группе наблюдений могут встречаться грубые погрешности;
— распределение случайных погрешностей может отличаться от нормального.
Обработка результатов наблюдения производится в следующей последовательности:
1) Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдения (введением поправки);
2) Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат наблюдений:
3) Вычислить оценку среднего квадратичного отклонения результата наблюдения:
4) Вычислить оценку среднего квадратичного отклонения среднего арифметического 
по формуле:
5) Проверить гипотезу о том, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению.
6) Вычислить доверительные границы e случайной погрешности результата измерения при заданной вероятности P:
,
где 
— коэффициенты Стьюдента
7) Вычислить границы суммарной неисключенной систематической погрешности (НСП) результата измерения.
При равномерном распределении НСП границы НСП вычисляют по формуле:
,
где 
— граница i-той НСП, k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при =0,95 
=1,1); m – число неисключенных составляющих систематической погрешности.
8) Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения.
границы погрешности результата измерения вычисляют по формуле:
,
где k – коэффициент, определяемый как
9) Записать результат измерения в регламентированной стандартом форме:
а) при симметричном доверительном интервале погрешности результата измерения 
, где x – результат измерения;
б) при отсутствии данных о виде функции распределения составляющих погрешности результата или при необходимости использования данных для дальнейшей обработки результатов, результат представляют в форме: 
Дата добавления: 2018-06-01 ; просмотров: 4194 ; Мы поможем в написании вашей работы!
Источник
Обработка результатов измерений. Метрология, стандартизация, сертификация
Метрология, стандартизация, сертификация
Метрология – наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.
Термины и определения в области метрологии приведены в МИ 2247-98, которые вышли взамен ГОСТ 16263-70.
Физические величины
Физические величины свойственны материальным объектам, изучаемым в естественных и технических науках.
Физическая величина – свойство, общее в качественном отношении многим физическим объектам, но в количественном отношении индивидуальное для каждого объекта (длина, масса, температура и т. д.).
Размер физической величины – количественная определенность физической величины, присущая конкретному материальному объекту, системе, явлению или процессу.
Значение физической величины – выражение физической величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц. Отвлеченное число, входящее в значение физической величины, называется числовым значением. Например, диаметр отверстия – 10 мм.
Действительное значение физической величины – значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него. При технических измерениях значение физической величины, найденное с допустимой по техническим требованиям погрешностью, принимается за действительное значение.
Истинное значение физической величины – значение физической величины, которое идеальным образом характеризовало бы в качественном и количественном отношении соответствующую физическую величину.
Единица измерения физической величины – физическая величина фиксированного размера, которой условно присвоено числовое значение, равное единице, и применяемая для количественного выражения однородных с ней физических величин.
Шкала измерений физической величины – упорядоченная совокупность значений величины, служащая исходной основой для измерений данной величины.
Типы шкал измерений:
– шкалы наименований характеризуются оценкой эквивалентности различных качественных проявлений свойства (например, шкалы цветов);
– шкалы порядка описывают свойства величин, упорядоченных по возрастанию или убыванию оцениваемого свойства, характерно отсутствие единицы измерения (шкалы измерения землетрясений, степени волнения моря);
– условные шкалы – шкалы величин, исходные значения которых выражены в условных единицах (шкалы наименований и порядка);
– шкалы интервалов (разностей) описывают свойства величин не только с помощью отношений эквивалентности и порядка, но и с применением отношений суммирования и пропорциональности интервалов (разностей) между количественными проявлениями свойства; шкалы имеют условно выбранное начало – нулевую точку и единицы измерений (летоисчисление по различным календарям, температурные шкалы);
– шкалы отношений описывают свойства величин, для проявления которых применимы логические отношения эквивалентности, порядка и пропорциональности; в шкалах существует естественный нуль и устанавливается единица измерения (шкалы массы и термодинамической температуры, электромагнитных волн);
– абсолютные шкалы имеют все признаки шкал отношений и дополнительно имеют естественно однозначное определение единицы измерения, характерны для относительных единиц: коэффициенты усиления, ослабления, полезного действия.
Международная система СИ
Система физических величин – совокупность физических величин, образованная в соответствии с принятыми принципами.
Основная величина – величина, входящая в систему и условно принятая в качестве независимой величины (м, кг, с, ампер, кельвин, моль, кандела).
Производная величина – величина, входящая в систему и определяемая через основные величины этой системы (м/с).
Система СИ – единая международная система единиц, была принята на ХI Генеральной конференции по мерам и весам в 1960 г. В РФ СИ действует с 1.01.1982 г.
В качестве единицы измерения длины в системе СИ принят метр. 17-я Генеральная конференция мер и весов, проходившая в 1983 году, приняла определение метра.
Метр – это длина пути, проходимого в вакууме светом за 1/299792458 долю секунды.
Единицей измерения плоского угла является радиан, который равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу.
В машиностроении применяются дольные единицы (единицы, в целое число раз меньшие системной или внесистемной единицы): линейные единицы – миллиметры и микрометры; угловые единицы – градусы, минуты и секунды.
Истинный размер – размер, полученный в результате обработки, изготовления, значение которого нам не известно, хотя оно и существует.
Действительный размер – размер, установленный измерением с допустимой погрешностью.
Линейный размер (размер) – числовое значение линейной величины в метрах или его частях.
Угловой размер – угол между двумя поверхностями или осями в радианах, градусах, минутах или секундах. Частный случай – отклонение от прямого угла или точность расположения зубьев зубчатого колеса в микрометрах.
Измерение физической величины – совокупность операций по применению технического средства, хранящего единицу физической величины, обеспечивающих нахождение соотношения измеряемой величины с ее единицей и получения значения этой величины. Модель измерения:
Контроль – частный случай измерения, при котором устанавливается соответствие физической величины допускаемым предельным значениям.
По способу получения результата установлены различные виды измерений.
Прямое измерение – измерение, при котором искомое значение величины находят непосредственно.
Косвенное измерение – определение искомого значения физической величины на основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной.
Совокупные измерения – одновременное измерение нескольких одноименных величин, при которых искомое значение находят решением системы уравнений.
Совместные измерения – одновременные измерения (прямые и косвенные) двух или нескольких неодноименных величин для установления зависимости между ними.
Метод измерения – прием или совокупность приемов сравнения измеряемой физической величины с ее единицей в соответствии с реализованным принципом измерения.
– метод непосредственной оценки – метод измерения, в котором значение величины определяют непосредственно по показывающему средству измерения.
– метод сравнения с мерой – метод измерения, в котором измеряемую величину сравнивают с величиной, воспроизводимой мерой.
– контактный метод измерений – метод измерений, основанный на том, что чувствительный элемент прибора приводится в контакт с объектом измерения.
– бесконтактный метод измерений – метод измерений, основанный на том, что чувствительный элемент средства измерений не приводится в контакт с объектом измерений.
Для проведения измерений используются различные средства измерений.
1.3. Средства измерений
Средство измерения (СИ) – техническое средство, предназначенное для измерений, имеющее нормированные метрологические характеристики, воспроизводящее и (или) хранящее единицу физической величины, размер которой принимается неизменным в течение известного интервала времени.
Мера физической величины – средство измерения, предназначенное для воспроизведения и (или) хранения физической величины одного или нескольких заданных размеров, значения которых выражены в установленных единицах и известны с необходимой точностью.
Однозначная мера – мера, воспроизводящая физическую величину одного размера (гиря, концевая мера длины).
Многозначная мера – мера, воспроизводящая ряд одноименных величин различного размера (штриховая мера, линейка).
Измерительный прибор – средство измерения, предназначенное для получения значений измеряемой физической величины в установленном диапазоне.
Измерительная машина – измерительная установка крупных размеров, предназначенная для точных измерений физической величины, характеризующих изделие. Например, координатно-измерительная машина.
Измерительный преобразователь – техническое средство, служащее для преобразования измеряемой величины в другую величину или измеряемый сигнал, удобный для обработки, хранения, дальнейшего преобразования, индикации или передачи и имеющее нормированные метрологические характеристики.
Метрологические характеристики средств измерения – характеристики, предназначенные для оценки технического уровня и качества средства измерения.
Шкала средства измерения – часть показывающего устройства средства измерения, представляющая собой упорядоченный ряд отметок вместе со связанной с ними нумерацией.
Деление шкалы – промежуток между двумя соседними отметками шкалы средства измерений.
Длина деления шкалы – расстояние между осями двух соседних отметок шкалы, измеряемая вдоль воображаемой линии, проходящей через середины самых коротких отметок шкалы.
Цена деления шкалы – разность значений измеряемой величины, соответствующих двум соседним отметкам шкалы средства измерения.
Указатель – часть отсчетного устройства, положение которого относительно отметок шкалы определяет показания средства измерения (стрелка).
Диапазон показаний – область значений шкалы, ограниченная конечным и начальным значением шкалы.
Диапазон измерений – область значений измеряемой величины, для которой нормированы допускаемые погрешности средства измерения.
Измерительное усилие – сила, с которой измерительный прибор воздействует на измеряемую поверхность в направлении линии измерения.
Точность измерений – качество измерений, отражающее близость к нулю погрешности результата измерений.
1.4. Погрешности измерений
Погрешность результата измерений ΔХ – отклонение результата измерения Хизм от истинного (действительного) значения Хд измеряемой величины:
Погрешность средства измерения ΔХп – разность между показанием средства измерения и истинного (действительного) значения Хд измеряемой величины:
Предел допускаемой погрешности средства измерения – наибольшая (без учета знака) погрешность средства измерения, при которой оно может быть признано годным к применению.
Инструментальная погрешность измерения – составляющая погрешности измерения, обусловленная погрешностью применяемого средства измерения.
Погрешность метода измерений – составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная несовершенством принятого метода измерений.
Субъективная погрешность – погрешность, допущенная оператором при отсчете показаний.
Рассеяние результатов в ряду измерений – несовпадение результатов измерений одной и той же величины в ряду равноточных измерений, как правило, обусловленное действием случайных погрешностей.
По форме числового выражения установлены различные виды погрешностей.
Абсолютная погрешность ΔХизм – погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины:
Относительная погрешность δ – погрешность, используемая для характеристики точности измерения и измеряемая в процентах:
.
Приведенная погрешность – относительная погрешность, выраженная в процентах от некоторого нормирующего значения:
,
где ХN – нормирующее значение, часто за это значение принимают верхний предел измерений, ХN = Хmax.
Поскольку истинное значение измеряемой величины всегда остается неизвестным, то за него при многократных измерениях принимают среднее арифметическое значение 
:
где n – количество проведенных измерений.
На результаты измерения влияет много различных факторов, которые определяют наличие случайной составляющей. Поэтому при выявлении погрешности измерения одно и тоже измерение, как правило, производят многократно.
По характеру проявления погрешности измерения подразделяются на систематические, случайные и грубые промахи.
Систематические погрешности – погрешности, которые при повторных измерениях остаются постоянными или изменяются по определенному закону.
Случайные погрешности – погрешности, которые при повторных измерениях принимают различные значения, не подчиняющиеся какой-либо закономерности.
Грубые погрешности (промахи) – погрешности, не характерные для технологического процесса или результата, приводящие к явным искажениям результатов измерения.
Выявление случайных погрешностей необходимо при точных измерениях. Для этого используют многократные измерения одной и той же величины.
Влияние случайных погрешностей выражается в разбросе полученных результатов относительно математического ожидания, поэтому количественно наличие случайных погрешностей оценивается среднеквадратичным отклонением:
при n ≥ 20
при n
Источник