Статистическая обработка результатов измерения
Завершающей стадией количественного анализа химического состава вещества любым методом является статистическая обработка результатов измерений. Она позволяет оценить систематические и случайные погрешности измерений.
Используя приемы математической статистики, можно:
• рассчитать основные метрологические характеристики методики анализа (оценить воспроизводимость и правильность полученных данных, отбросив результаты, содержащие промахи);
• определить методом регрессивного анализа вид функциональной зависимости аналитического сигнала от концентрации (содержания) определяемого элемента;
• рассчитать метрологические характеристики параметров градуировочного графика и результатов анализа;
• представить результаты статистической обработки в виде компактных табличных данных, позволяющих оценить воспроизводимость и правильность полученных результатов;
• в случае необходимости оценить нижнюю границу определяемых содержаний вещества, предел определения (обнаружения), коэффициент чувствительности.
Расчет метрологических характеристик результатов измерений (определений) при малой выборке
При химическом анализе пищевых продуктов содержание вещества в пробе устанавливают, как правило, по небольшому числу параллельных определений (n). Для расчета погрешностей определений в этом случае пользуются методами математической статистики, разработанными для малого числа определений. Полученные результаты рассматривают как случайную (малую) выборку из некоторой гипотетической генеральной совокупности, состоящей из всех мыслимых в данных условиях наблюдений.
Для практических целей можно считать, что при числе измерений п — 20-30 значения стандартного отклонения генеральной совокупности (а) — основного параметра и стандартного отклонения малой выборки (S) близки (S = у).
Оценка воспроизводимости результатов измерений
Среднее выборки. Пусть x1, х2, . хп обозначают п результатов измерений величины, истинное значение которой р.. Предполагается, что все измерения проделаны одним методом и с одинаковой точностью. Такие измерения называют равноточными.
В теории ошибок доказывается, что при условии выполнения нормального закона при п измерениях одинаковой точности среднее арифметическое из результатов, полученных при всех измерениях, является наиболее вероятным и наилучшим значением измеряемой величины:
Это среднее значение принимают за приближенное и пишут X = м.
Единичное отклонение — это отклонение отдельного измерения от среднего арифметического:
Алгебраическая сумма единичных отклонений равна нулю:
Дисперсия, стандартное отклонение, относительное стандартное отклонение. Рассеяние результатов измерений относительно среднего значения принято характеризовать дисперсией S 2 :
или стандартным отклонением (средним квадратичным отклонением) — S:
которое обычно и приводят при представлении результатов измерений (анализа) и которым характеризуют их воспроизводимость.
Стандартное отклонение, деленное на среднее выборки, называют относительным стандартным отклонением:
В общем случае метод анализа оптимален в той области содержаний, в которой и абсолютное (S) и относительное (Sr) стандартное отклонение имеют минимальные значения.
Определение и исключение грубых погрешностей
В литературе приведены различные методы оценки и исключения грубых погрешностей.
Рассмотрим наиболее простой для практического использования метод исключения грубых промахов по Q-критерию. Для этого составляют отношение:
где х1 — подозрительно выделяющийся результат определения (измерения);
х2 — результат единичного определения, ближайший по значению к х1;
R — размах варьирования;
Я = хмах — хмин — разница между наибольшим и наименьшим значением ряда измерений. При малой выборке (п Q (Р, пi).
Оценка правильности результатов измерений (определений)
После того как осуществлена проверка грубых погрешностей (в случае подозрительных результатов измерений) и их исключение, производят оценку доверительного интервала (Ах) для среднего значения X и интервальных значений X ± Ах.
Доверительный интервал (Ах). Если воспроизводимость результатов измерений (методики анализа) характеризуют стандартным отклонением, то сами результаты измерений (определений) характеризуют доверительным интервалом среднего значения X, который рассчитывают по формуле
где tP, f — квантиль распределения Стьюдента при числе степеней свободы f = п — 1 и двухсторонней доверительной вероятности Р (значения tp, f см. в табл. 1.2).
Обычно для расчетов доверительного интервала пользуются значениями Р = 0,95; иногда достаточно Р = 0,90, но при ответственных измерениях требуется более высокая надежность (Р = 0,99).
Коэффициент tp, f показывает, во сколько раз разность между истинным и средним результатами больше стандартного результата.
Источник
Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме
1 Нижегородский Государственный Технический университет имени Р.Е. Алексеева Кафедра ФТОС Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме Попов Е.А., Успенская Г.И. Нижний Новгород 2015 год 1
2 Введение Любой физический объект изучения характеризуется набором физических величин, отражающих его свойства. Измерить какую-либо физическую величину это значит сравнить ее с величиной, приятой за эталон. Все измерения делятся на прямые и косвенные. Прямые измерения это непосредственные измерения, производимые с помощью приборов. Косвенные измерения расчет по формулам, в которые входят непосредственно измеренные величины и табличные значения. Измеряя какую-либо физическую величину, мы не рассчитываем получить ее истинные значения, поэтому необходимо указать, насколько результат близок к истинному значению, т.е. указать точность измерения. Для этого вместе с полученным результатом указывается приближенная ошибка измерения. Пример: фокусное расстояние линзы f=(256±2)мм. Это означает, что фокусное расстояние лежит в пределах от 254 до 258 мм (имеется некоторая вероятность, что f лежит в данном интервале). Ошибки (погрешности) измерений делятся на систематические и случайные. Систематические ошибки — остаются постоянными на протяжении всей серии измерений. Источник этих ошибок погрешности измерительных приборов. Случайные ошибки — всегда присутствуют в эксперименте и служат причиной разброса измерений относительно истинного значения. Случайные ошибки можно обнаружить путем повторных измерений. Увеличивая число измерений и находя среднеарифметическое значение, мы будем получать величину все ближе к ее истинному значению. К случайным ошибкам можно отнести и промахи, которые резко отличаются от остальных измеряемых величин. 2
3 Их следует исключить либо в процессе эксперимента, либо при проведении расчетов. Случайные ошибки выявляются методами математической статистики. Систематические ошибки не поддаются подобному анализу и их требуется устранять проверкой аппаратуры. Результаты серии измерений одной величины можно наглядно представить, построив гистограмму (рис. 1) диаграмму, которая показывает, как часто выпадают те или иные значения. Для ее построения разбиваем весь диапазон измерений на равные интервалы и считаем, сколько раз наша измеряемая величина попадает в каждый интервал. На каждом интервале строится прямоугольник с основанием, равным ширине интервала, а высотой равной числу попаданий в этот интервал. Пример: Требуется определить основной возраст поступающих в НГТУ на примере одной группы из 25 человек. Возрастной диапазон (16-18 лет) делим на интервалы по 4 месяца и считаем число попаданий в каждый интервал. Строим гистограмму. Возрастные интервалы Число попаданий (n) 16 лет 16 лет 4 месяца 2 16 лет 4 мес лет 8 мес лет 8 мес. 17 лет лет 17 лет 4 мес лет 4 мес лет 8 мес лет 8 мес. 18 лет 1 Число попаданий Возрастные интервалы Рис. 1 При увеличении числа измерений (n ), например, при переходе к рассмотрению учащихся всего института, ширина интервала значительно сузится. Вместо гистограммы логично построить уже график зависимости доли полного числа попаданий от интервала. Получится гладкая кривая кривая 3
4 распределения (рис.1), максимум которой приходится на среднее арифметическое значение из всех измерений возраста Исследование параметров подобных кривых распределения измеряемых величин и составляет основу обработки результатов измерений при проведении лабораторного эксперимента. Пусть мы измеряем некоторую величину (х), (n) раз одним и тем же измерительным прибором. В математической статистике совокупность всех результатов измерения,, называется генеральной совокупностью, которая может быть сколько угодно велика. Конечное число (n) измерений называется случайной выборкой из генеральной совокупности. Отклонение отдельного результата измерения от истинного значения называется погрешностью отдельного измерения: Опыт показывает, что для большого числа измерений (n ), положительные и отрицательные отклонения равновероятны и ближе всего к истинному значению. подойдет среднеарифметическое : Установлено, что малое отклонение от встречается чаще, чем сильное, что соответствует нормальному закону распределения Гаусса для измеряемых величин. Зависимость плотности вероятности распределения результатов измерений P(x) от значений измеряемой величины x изображена на рис. 2. 4
5 Рис. 2 Вводится понятие дисперсии относительно истинного значения, характеризующее разброс результатов ( ) На практике истинное значение неизвестно, поэтому можно найти приближенное значение при замене на среднеарифметическое ( ) ( ) называется выборочным среднеквадратичным отклонением, а число измерений n выборка из генеральной совокупности. Средние значения для различных выборок одинакового объема n отличаются друг от друга и от Тогда выборочное среднеквадратичное отклонение определяется ( ) ( ) это характеристика разброса средних значений относительно (в пределах ряда выборок). 5
6 При конечном числе измерений распределение подчиняется закону распределения Стьюдента 1, а абсолютная погрешность рассчитывается по формуле: где — выборочное среднеквадратичное отклонение, а коэффициент Стьюдента, учитывающий конечное число измерений n и доверительную вероятность p, показывающую что отличается от на величину не большую чем Пример: p=0,9 означает, что из 100 измерений величины она 90 раз окажется в интервале ( ), а 10 значений выйдут из этого интервала. p=0,9 (90%) используется в обычных измерениях p=0,95 (95%) используется при точных измерениях p=0,99 (99%) используется при особо ответственных измерениях 1 Распределение Стьюдента введено в 1908 г. В.С. Госсетом, носящим псевдоним «Стьюдент» 6
7 Таблица коэффициентов Стьюдента для разных значений выборок из генеральной совокупности. n p,% ,31 12,71 3 2,92 4,30 4 2,35 3,18 5 2,13 2,78 6 2,02 2,57 7 1,94 2,45 8 1,89 2,36 9 1,86 2, ,83 2, ,81 2, ,80 2, ,78 2, ,77 2, ,76 2, ,75 2, ,75 2, ,74 2, ,73 2, ,73 2, ,67 2, ,66 1,98 1,65 1,96 7
8 Алгоритм определения погрешности прямых измерений 1. Определяется выборка из n измеряемых величин Пусть . 2. Производится оценка погрешности приборов и табличных значений по паспорту прибора ½ цены наименьшего деления по шкале прибора линейка 0,5 см термометр 0,1, 0,05 ½ массы наименьшей гири по классу точности (электроизмерительные приборы) 3. Вычисляется среднеарифметическое измеряемой величины 4. Определяется отклонение каждого измеренного значения от среднего 5. Определяется среднеквадратичное отклонение отдельных измерений 6. Проверка на промахи. Результат считается промахом, если, где коэффициент α определяется из таблицы по размеру выборки. n ,41 1,69 1,87 2,00 2,09 2,17 2,24 2,29 2,34 2,39 2,49 2,62 2,80 3,20 8
9 7. После исключения промахов снова вычисляется среднеарифметическое с измененным. Пусть было 2 промаха — и, тогда 8. Задав доверительную вероятность, по таблице определяется коэффициент Стьюдента, а затем вычисляется абсолютная погрешность результатов измерения. ( ) ( ) В предельных случаях: если, то пренебрегают приборной погрешностью : ; если, то. 9. Рассчитывается относительная погрешность (в %) 10. Записывается окончательный результат с округлением по следующим правилам: сначала округляется погрешность до первой значащей цифры в сторону увеличения. затем округляется сама величина до совпадения ее десятичного разряда с погрешностью. Пример: до округления: F=923,46±0,253 Н после округления: F=923,5±0,3 Н Для физических величин, взятых из справочников, погрешность принимается равной половине единицы последнего десятичного разряда. Пример: π=3,14±0,005 9
10 g=9,81±0,005 м/с 2 Точность измеряемых физических величин зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр, определяемых погрешностью. Алгоритм определения погрешности косвенных измерений. При косвенных измерениях результаты получаются путем вычисления по формулам, в которые входят: результаты прямых измерений табличные величины справочные данные и т.д. определенные с конечной точностью (см. выше). Пусть есть функция ( ), зависящая от непосредственно измеряемых независимых величин ( ), справочных и табличных данных. Пользуясь конкретным видом функции ( ) и имеющимся значениями необходимо оценить среднее значение этой функции и величину погрешности, характеризующую разброс значений ( )относительно. Для определения этих оценок удобно использовать два тождественных по результатам метода. I Метод выборок. Он применяется в тех случаях, когда значения определяются из различных опытов. Статистическое усреднение отдельных величин в этом случае не имеет смысла. Пример: лабораторная работа по определению воздуха методом Клемана Дезорма и лабораторная работа по определению модуля Юнга. 10
11 В этом случае вычисление погрешностей осуществляется по алгоритму аналогичному оценке погрешностей прямых измерений: 1) Определяется ( ) для каждого опыта 2) Находится среднее значение 3) Вычисляются промахи и среднеквадратичное отклонение ( ) ( ) 4) Определяются абсолютная и относительная погрешности II Метод, основанный на применении формулы полного дифференциала. Этот метод используется в тех случаях, когда величины определяются из одного эксперимента и могут быть статистически обработаны до подстановки в формулу ( ). Тогда среднее значение вычисляется по формуле ( ) Используется два варианта расчета. 1 вариант используется, если функция ( ) многочлен. В этом случае на основании формулы полного дифференциала для ( ) C учетом квадратичного усреднения можно получить для абсолютной погрешности следующее выражение: ( ) ( ) ( ) 11
12 где,, погрешности прямых измерений, а численные значения производных берутся для средних значений Затем вычисляется относительная погрешность: Пример расчета погрешности по первому варианту: Формула ( ) многочлен ( ) 1) Находятся частные производные: 2) Вычисляется абсолютная погрешность ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3) Определяется относительная погрешность где 2 вариант используется расчета используется, если функция ( ) имеет логарифмируемый вид (т.е. независимые переменные входят как сомножители). Если разделить абсолютную погрешность на, то можно сразу получить выражение для относительной погрешности 12
13 ( ) ( ) ( ) Учитывая, что, ( ), ( ) ( ) ( ) Затем можно получить формулу абсолютной погрешности Пример расчета погрешности косвенных измерений 2-м способом: Формула ( ) одночлен ( ) 1) Осуществляется логарифмирование формулы для разделения переменных: ( ) ( ) Здесь 2) Находятся частные производные : ( ) ( ) При численном вычислении частных производных используются средния значения 3) Определяются относительная и абсолютная погрешности ( ) ( ) ( ) 13
14 Построение графиков и графические методы обработки результатов В экспериментальной физике графиками пользуются: а) для наглядности, когда таблицы не выявляют характерных особенностей изучаемых процессов и требуется сравнить полученные результаты с теорией; б) для графической интерполяции, т.е. определения промежуточных значений аргумента, при которых измерения не проводились; в) для графической экстраполяции, когда значение искомой величины, меняющейся по линейному закону, лежит за пределами измерений. Для построения графиков используется линейный масштаб (для функции вида: y=кx+в), полулогарифмический (y= ) и логарифмический (для y= ). 1) Масштаб должен быть простым, т.е. одно деление шкалы должно соответствовать и т.д. единиц измеряемой величины. 2) Масштаб выбирается так, чтобы точки не сливались друг с другом. 3) График должен занимать все координатное поле. На осях координат указывается название или символ величины, а десятичный множитель относить к единице измерения. Деления на графике обозначаются цифрами 1, 2, 3 10, 20, 30 и т.д. по оси абсцисс откладывается независимая переменная аргумент, а по оси ординат зависимая переменная функция. 4) Изображение экспериментальных результатов зависит от определения абсолютных погрешностей измерения. Если они неизвестны, то результаты изображаются точками, а если известны, то погрешности указываются в виде отрезков, полуразмеры которых соответствуют величинам абсолютных погрешностей. Через экспериментальные значения проводятся кривые так, чтобы возможно больше точек легко на эту линию, а остальные распределились равномерно выше и ниже ее. Если какая-либо точка выпадает из графика ее отбрасывают, а измерения проверяют на промах. Недопустимо наносить на координатные оси точки, отражающие значения самих измеряемых величин! 14
15 Библиографический список 1. Голубев В.И., Методические указания по статистической обработке результатов измерений в лабораториях физического практикума / В.И. Голубев, Г.Д. Павлова, Г.И. Успенская, Т.Ф. Фёдорова — Нижний Новгород: НГПИ, Зейдель А.Н. Ошибки измерений физических величин / А.Н. Зейдель. — М.: Наука,
Источник
Статистическая обработка результатов измерений.
Статистическая обработка результатов измерений – обработка измерительной информации с целью получения достоверных данных. Разнообразие задач, решаемых с помощью измерений, определяет и разнообразие видов статистической обработки их результатов.
Задача статистической обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится истинное значение.
Статистическая обработка используется для повышения точности измерений с многократными наблюдениями, а также определения статистических характеристик случайной погрешности.
Для прямых однократных измерений статистическая обработка менее сложна и громоздка, что значительно упрощает оценку погрешностей.
Статистическую обработку результатов косвенных измерений производят, как правило, методами, основанными на раздельной обработке аргументов и их погрешностей, и методом линеаризации.
Наиболее распространенные совместные измерения обрабатываются разными статистическими методами. Среди них широко известен и часто применяется метод наименьших квадратов.
Прямые измерения с многократными наблюдениями.
Необходимость в многократных наблюдениях некоторой физической величины возникает при наличии в процессе измерений значительных случайных погрешностей. При этом задача обработки состоит в том, чтобы по результатам наблюдений определить наилучшую (оптимальную) оценку измеряемой величины и интервал, в котором она находится с заданной вероятностью. Данная задача может быть решена способом статистической обработки результатов наблюдений, основанным на гипотезе о распределении погрешностей результатов по нормальному закону.
Порядок такой обработки должен соответствовать государственному стандарту и рекомендациям по метрологии.
Итак, рассмотрим группу из n независимых результатов наблюдений случайной величины x, подчиняющейся нормальному распределению. Оценка рассеяния единичных результатов наблюдений в группе относительно их среднего значения вычисляется по формуле:
Поскольку число наблюдений в группе, на основании результатов которых выполнено вычисление среднего арифметического, ограничено, то, повторив заново серию наблюдений этой же величины, мы получили бы новое значение среднего арифметического. Повторив многократно наблюдения и вычисляя каждый раз их среднее арифметическое значение, принимаемое за результат наблюдений (измерений), обнаружим рассеяние среднего арифметического значения.
Характеристикой этого рассеяния является средний квадрат отклонения среднего арифметического:
Среднее квадратичное отклонение среднего арифметического используется для оценки погрешности результата измерений с многократными наблюдениями.
Теория показывает, что если рассеяние результатов наблюдения в группе подчиняется нормальному закону, то и их среднее арифметическое тоже подчиняется нормальному закону распределения при достаточно большом числе наблюдений (n>50). Отсюда при одинаковой доверительной вероятности доверительный интервал среднего арифметического в 
ỳже, чем доверительный интервал результата наблюдений. Теоретически случайную погрешность результата измерений можно было бы свести к 0, однако практически это невозможно, да и не имеет смысла, так как при уменьшении значения случайной погрешности определяющим в суммарной погрешности становится значение не исключенных остатков систематической погрешности.
При нормальном законе распределения плотности вероятностей результатов наблюдений и небольшом числе измерений среднее арифметическое подчиняется закону распределения Стьюдента с тем же средним арифметическим 
. Особенностью этого распределения является то, что доверительный интервал с уменьшением числа наблюдений расширяемся по сравнению с нормальным законом распределения при этой же доверительной вероятности. В формуле для оценки доверительных границ случайной погрешности это отражается введением коэффициента tq вместо t:
Коэффициент распределения Стьюдента зависит от числа наблюдений и выбранной доверительной вероятности и находится по таблице. Например, для n=4 и 
=0,95 tq=3,182; n=5 при =0,95 tq=2,776; для n=10 tq=2,262; n=15 tq=2,145 при той же =0,05.
Правила обработки результатов измерения с многократными наблюдениями учитывают следующие факторы:
— обрабатывается группа из n наблюдений (то есть группа ограничена);
— результаты наблюдений могут содержать систематическую погрешность;
— в группе наблюдений могут встречаться грубые погрешности;
— распределение случайных погрешностей может отличаться от нормального.
Обработка результатов наблюдения производится в следующей последовательности:
1) Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдения (введением поправки);
2) Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат наблюдений:
3) Вычислить оценку среднего квадратичного отклонения результата наблюдения:
4) Вычислить оценку среднего квадратичного отклонения среднего арифметического 
по формуле:
5) Проверить гипотезу о том, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению.
6) Вычислить доверительные границы e случайной погрешности результата измерения при заданной вероятности P:
,
где 
— коэффициенты Стьюдента
7) Вычислить границы суммарной неисключенной систематической погрешности (НСП) результата измерения.
При равномерном распределении НСП границы НСП вычисляют по формуле:
,
где 
— граница i-той НСП, k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при =0,95 
=1,1); m – число неисключенных составляющих систематической погрешности.
8) Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения.
границы погрешности результата измерения вычисляют по формуле:
,
где k – коэффициент, определяемый как
9) Записать результат измерения в регламентированной стандартом форме:
а) при симметричном доверительном интервале погрешности результата измерения 
, где x – результат измерения;
б) при отсутствии данных о виде функции распределения составляющих погрешности результата или при необходимости использования данных для дальнейшей обработки результатов, результат представляют в форме: 
Дата добавления: 2018-06-01 ; просмотров: 4174 ; Мы поможем в написании вашей работы!
Источник