Меню

Сумма плоских углов при вершине равна 270 все три измерения равны все грани прямоугольники



Тест с ответами: “Многогранники”

1. Из каких равносторонних фигур составлен гексаэдр:
а) четырехугольников +
б) треугольников
в) пятиугольников

2. Вершиной скольких фигур является каждая вершина тетраэдра:
а) 4
б) 3 +
в) 6

3. Сколько плоскостей симметрии имеет тетраэдр:
а) 12
б) 15
в) 6 +

4. Сумма плоских углов при каждой вершине гексаэдра равна:
а) 300
б) 324
в) 270 +

5. Сколько ребер имеет тетраэдр:
а) 8
б) 7
в) 6 +

6. Найти объем куба, если его ребро равно 8 см:
а) 360
б) 512 +
в) 120

7. Необходимо установить соответствие между названием фигуры и количеством ее граней:
Прямоугольный параллелепипед:
а) 20
б) 18
в) 6 +

8. Необходимо установить соответствие между названием фигуры и количеством ее граней:
Тетраэдр:
а) 4 +
б) 14
в) 16

9. Необходимо установить соответствие между названием фигуры и количеством ее граней:
Октаэдр:
а) 12
б) 10
в) 8 +

10. Боковыми гранями пирамиды являются:
а) параллелограммы
б) треугольники +
в) квадраты

11. Сколько вершин имеет тетраэдр:
а) 4 +
б) 2
в) 1

12. Сколько граней имеет тетраэдр:
а) 2
б) 4 +
в) 1

13. Из каких равносторонних фигур составлен тетраэдр:
а) треугольников +
б) пятиугольников
в) четырехугольников

14. Какой из многогранников не имеет центра симметрии:
а) гексаэдр
б) икосаэдр
в) тетраэдр +

15. Сколько существует видов правильных многогранников:
а) 5 +
б) 6
в) 4

16. Необходимо установить соответствие между многогранником и формулой нахождения его объема:
Куб:
а) V = 1/3 Sh
б) V = a^3 +
в) V=Sh

17. Необходимо установить соответствие между многогранником и формулой нахождения его объема:
Призма:
а) V = a^3
б) V = 1/3 Sh
в) V=Sh +

18. Необходимо установить соответствие между многогранником и формулой нахождения его объема:
Пирамида:
а) V = a^3
б) V = 1/3 Sh +
в) V=Sh

19. Четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется:
а) квадрат
б) параллелограмм
в) параллелепипед +

20. Многогранники бывают:
а) вогнутыми
б) выпуклыми +
в) выгнутыми

21. Многогранники бывают:
а) невыпуклыми +
б) неправильные
в) правильные

22. Выберите верное утверждение:
а) Концы рёбер многоугольника называют основой
б) Концы рёбер многоугольника называют вершинами +
в) Начала рёбер многоугольника называют вершинами

23. Выберите верное утверждение:
а) Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его сторонами
б) Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его основаниями
в) Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями +

24. Могут ли диагонали призмы быть неравными:
а) нет
б) зависит от задачи
в) да +

25. Боковая поверхность призмы состоит из:
а) треугольников
б) ромбов
в) параллелограммов +

26. Расстояние между плоскостями оснований призмы называется:
а) высотой +
б) диагональю
в) ребром

27. Грани многогранника параллельны и равны, так ли это:
а) нет +
б) да
в) отчасти

28. Если в основании призмы лежит параллелограмм, то она является:
а) правильной призмой
б) правильным многоугольником
в) параллелепипедом +

29. Основания призмы:
а) параллельны и равны +
б) скрещиваются
в) пересекаются и равны

30. В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте:
а) у наклонной
б) у четырехугольной
в) у прямой +

Источник

Платоновы тела

Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук. Л. Кэррол

Человек всегда проявлял интерес к многогранникам. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие — в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа. Что же такое многогранник? Многогранником называется часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников.

Издавна ученые интересовались «идеальными» или правильными многоугольниками, то есть многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничить часть плоскости. Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним треугольником составляют: квадрат (четыре стороны), пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т.д. Очевидно, что теоретически нет каких-либо ограничений на число сторон правильного многоугольника, то есть число правильных многоугольников бесконечно.

Что же такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? В XIII книге «Началах Эвклида», посвященной правильным многогранникам, или платоновым телам (Платон их рассматривает в диалоге «Тимей») мы находим строгое доказательство того, что существует только пять правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.

Доказательство того, что существует ровно пять правильных выпуклых многогранников, очень простое.

Очевидно, что каждая вершина многогранника может принадлежать трем и более граням. Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника — равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла, помещенные на плоскость, дадут в сумме 180°. Если теперь согнуть эти углы по внутренним сторонам и склеить по внешним, получим многогранный угол тетраэдра – правильного многогранника, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани. Три правильных треугольника с общей вершиной называется разверткой вершины тетраэдра. Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Добавление пятого треугольника даст угол 300° — мы получаем развертку вершины икосаэдра. Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° — эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3×90°=270° — получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° — этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник.

Читайте также:  Методика измерения электрических величин

Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*108°=324° — вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360°.

Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

Таким образом, мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников — тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями.

Пять правильных многогранников или платоновых тел использовались и были известны задолго до времени Платона. Кейт Кричлоу в своей книге «Время остановилось » дает убедительное свидетельство тому, что они были известны людям неолита Британии, по крайней мере, за 1000 лет до Платона. Это заявление основывается на наличии ряда сферических камней, хранящихся в музее Ашмолина в Оксфорде. Эти камни, размеры которых соответствовали тому, что можно уместить в руке, были покрыты геометрически точными сферическими фигурами куба, тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра, также как и некоторые дополнительные сложносоставные и псевдоправильные тела, такие как кубо-октаэдр и ико-додекаэдр. Кричлоу говорит: «То что у нас есть, представляет собой объекты, несомненно указывающие на степень математических способностей, которые до сих пор отрицались в отношении человека неолита некоторыми археологами или историками математики».

Теэтет Афинский (417-369 до н. э.), современник Платона, дал математическое описание правильных многогранников и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

В «Тимее», который, по сравнению со всеми остальными работами Платона, носит наиболее ярко выраженный пифагорейский характер, он утверждает, что четырьмя базовыми элементами в мире являются земля, воздух, огонь и вода, и что каждый из этих элементов соотносится с одной из пространственных фигур. Традиция связывает куб с землей, тетраэдр с огнем, октаэдр с воздухом и икосаэдр с водой. Платон упоминает «некое пятое построение», использованное создателем при сотворении вселенной. Так додекаэдр стал ассоциироваться с пятым элементом: эфиром. Устроитель вселенной Платона установил порядок из первобытного хаоса этих элементов с помощью основополагающих форм и чисел. Приведение в порядок в соответствии с числом и формой на более высоком уровне привело к предначертанному расположению пяти элементов в физической вселенной. Основополагающие формы и числа затем стали действовать в качестве границы раздела между высшим и низшим мирами. Сами по себе и в силу своей аналогии с другими элементами, они обладали способностью формировать материальный мир.

Те же пять правильных тел в соответствии с классической традицией рисуются таким образом, что они содержатся в девяти концентрических шарах, и каждое тело соприкасается со сферой, которая описана вокруг следующего тела, расположенного внутри ее. Такая композиция проявляет немало важных взаимоотношений и заимствована из дисциплины, называемой corpo transparente, относящейся к восприятию сфер, изготовленных из прозрачного материала и размещенных одна в другой. Такое наставление давалось Фра Лукой Паччоли многим великим людям Ренессанса, включая Леонардо и Брунуллески.

В своей книге «Тайна мира» (« Mysterium Cosmographicum» ), которая вышла в свет в 1596 г. Иоганн Кеплер предположил, что существует связь между пятью платоновыми телами и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Расхождение между моделью Кеплера и реальными размерами орбит (порядка нескольких процентов) И. Кеплер объяснял «влиянием материи».

В XX веке платоновы тела были использованы в теории electron shell model Роберта Муна, которая также известна как «теория Муна». [4] Мун заметил, что геометрическое расположение протонов и нейтронов в атомном ядре связано с положением вершин вложенных платоновых тел. Эта концепция была вдохновлена работой И. Кеплера «Mysterium Cosmographicum».

Существует формула Эйлера для многогранников:

В этой формуле F — число граней, V -число вершин, E — число ребер. Эти числовые характеристики для платоновых тел приведены в табл.1.

Источник

Геометрия. 10 класс

Прямая, перпендикулярная к плоскости

Соберите из тайлов изображение.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Подпишите каждое изображение, в каком доказательстве оно используется?

Перпендикулярность прямой и плоскости

Выберите ребра, перпендикулярные плоскости DCС1.

Перпендикулярные прямые в пространстве

Закончите предложения, чтобы получилось верное утверждение, установив соответствие между элементами.

Параллельные прямые, перпендикулярные плоскости

Распределите пары «прямая-плоскость» по категориям.

Параллельны

Перпендикулярны

Признак параллельности прямой и плоскости

Подчеркните лишние элементы в решение задачи

Дано: точка М лежит вне плоскости АВС, $\angle MAC=90^0$, $\angle BAC=90^0$.

Доказать, что прямая АС перпендикулярна плоскости АМВ.

$AC \perp AB$ (по условию), $AC \perp AM$ (по условию)

$AB \subset (AMB)$, (AMC);

$AM \subset (AMB)$, (AMC);

$AB \subset AM$ = А, В,

следовательно $AC \perp (АМВ)$, (АМС) (по признаку параллельности прямой и плоскости.

Что и требовалось доказать.

Прямая, перпендикулярная к плоскости

Точки A, М и О лежат на прямой a, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, B, С и D лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: АОВ, МОС, DAM, DOA, BMO?

Читайте также:  Как производятся измерения земельного участка

Прямая a ⊥ , поэтому прямая a перпендикулярна к любой прямой лежащей в плоскости . Чтобы прямая плоскости α, необходимо, чтобы точки прямой принадлежали плоскости α.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Выберите верные утверждения

В кубе $ABCDA_ <1>B_ <1>C_ <1>D_<1>$ проведено сечение плоскостью $A_ <1>B_<1>C$. Тогда:

Углом между секущей плоскостью и прямой $AC$ является угол между прямыми $AС$ и $A_<1>C$.

Плоскость $CBB_<1>$ перпендикулярна линии пересечения секущей плоскости и плоскости $ABC$.

Угол между секущей плоскостью и плоскостью $ABC$ равен углу $BCA_<1>$.

Угол между секущей плоскостью и плоскостью $ABC$ равен $45^<0>$.

Прямоугольный параллелепипед

Укажите верные и неверный свойства, которыми обладает прямоугольный параллелепипед. Для каждого утверждения укажите: да или нет

Сумма плоских углов при вершине равна 270°

Все три измерения равны

Все грани – прямоугольники

Диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам

Диагонали перпендикулярны основаниям

Все диагонали равны

Свойства прямоугольника

Прямая РQ параллельна плоскости α. Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Докажите, что PQ = P1Q1.

Выберите элементы, пропущенные в тексте.

Две прямые и перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, эти прямые параллельны между собой. Пусть через них проходит плоскость β. В плоскости β прямые PQ и P1Q1 параллельны, так как по условию PQ параллельна α.

Рассмотрим прямоугольник . В прямоугольнике РР1Q1Q противоположные стороны равны, значит, PQ = P1Q1, что и требовалось доказать.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Решите задачу. Запишите ответ.

Проведенная к плоскости перпендикулярная прямая пересекает плоскость в точке O.

На прямой отложен отрезок AD, точка O является серединной точкой этого отрезка.

Определи вид и периметр треугольника ABD, если AD = 4 см, а OB = 2 см (ответ округли до одной десятой).

Прямая, перпендикулярная к плоскости

Введите правильные данные в решение задачи.

Плоскости α и β пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям α и β. Прямая a пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС ⊥ a.

Прямая МА плоскости α. Прямая а в плоскости α. Значит, прямая МА перпендикулярна прямой а.

Прямая МB плоскости β. Прямая а лежит в плоскости β. Значит, прямая МB перпендикулярна прямой а.

Прямая а перпендикулярна двум прямым из плоскости АВМ. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости АВМ. Прямая СМ лежит в плоскости АВМ. Значит, прямой МС, что и требовалось доказать.

Источник

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок № 16. Правильные многогранники

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • определение правильного многогранника;
  • виды правильных многогранников;
  • симметрия в пространстве;
  • элементы симметрии правильных многогранников.

Глоссарий по теме

Правильный многогранник – выпуклый многогранник, все грани которого равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Правильный тетраэдр – многогранник, составленный из четырех равносторонних треугольников.

Правильный октаэдр – многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников.

Правильный икосаэдр – многогранник, составленный из двадцати равносторонних треугольников.

Куб (гексаэдр) – многогранник, составленный из шести квадратов.

Правильный додекаэдр – многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников.

Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1.

Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку.

Точки Аи А1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 368 с.: ил. (128 с. – 131 с.)

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. (68 с. – 73 с.)

Открытые электронные ресурсы:

Многогранники.ru – сайт о создании моделей многогранников из бумаги https://www.mnogogranniki.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Отметим, что поскольку все грани — равные правильные многоугольники, то все ребра правильного многогранника равны.

Вам уже известны примеры некоторых правильных многогранников. Например, куб. Все его грани — равные квадраты и к каждой вершине сходится три ребра.

Также нам уже знаком правильный тетраэдр.

Заметьте, что правильный тетраэдр и правильная треугольная пирамида – это различные многогранники!

Напомним, что пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром многоугольника. Таким образом, в правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны друг другу, но могут быть не равны ребрам основания пирамиды, а в правильном тетраэдре все ребра равны.

Правильных многогранников существует всего 5. Перечислим их.

Правильный тетраэдр – многогранник, составленный из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников, значит сумма плоских углов при каждой вершине равна 180.

Читайте также:  Как измерить диаметр иголки

Рисунок 1 — Правильный тетраэдр

Правильный октаэдр – многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников, значит, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240.

Рисунок 2 — Правильный октаэдр

Куб (гексаэдр) – многогранник, составленный из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов, значит, сумма плоских углов при

каждой вершине равна 270.

Правильный икосаэдр – многогранник, составленный из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников, значит, сумма плоских углов при каждой равна 300.

Рисунок 4 – Правильный икосаэдр

Правильный додекаэдр – многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников, значит, сумма плоских углов при каждой равна 324.

Рисунок 5 – Правильный додекаэдр

Название каждого правильного многогранника происходит от греческого наименования «эдра» — грань; «тетра» — 4; «гекса» — 6; «окта» — 8; «икоса» — 20; «додека» -12.

Докажем, что правильных многогранников существует ровно 5, то есть что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n≥6.

Действительно, угол правильного n-угольника при n≥6 не меньше 120 0 . С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани — правильные n-угольники при n≥6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше 360 0 . Но это не возможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360 0 .

По этой причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, либо четырех, либо пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников.

Симметрия в пространстве

Одно из интересных свойств правильных многогранников – это элементы симметрии.

Прежде чем мы их выделим давайте определим симметрию в пространстве.

Вам уже знакома симметрия из курса планиметрии. Там мы рассматривали фигуры симметричные относительно прямой и точки. В стереометрии же рассматривают симметрию относительно точки, прямой и плоскости.

Будем говорить, что точки А и А1 симметричны относительно точки О (рис. 6), если О – середина отрезка АА1. В таком случае О будет являться центром симметрии и будет симметрична сама себе.

Рисунок 6 – Центральная симметрия

Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этом отрезку (рис. 7). Прямая а называется осью симметрии, а каждая ее точка считается симметричной самой себе.

Рисунок 7 – Осевая симметрия

Точки АА1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку (рис. 8). Плоскость α называется плоскостью симметрии, а каждая ее точка считается симметричной самой себе.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией.

Рисунок 8 – Зеркальная симметрия

Рисунок 9 – Элементы симметрии куба

Примером фигуры, обладающей и центральной, и осевой и зеркальной симметрией является куб (рис. 9).

Фигура может иметь один или несколько центров (осей, плоскостей) симметрии. Так, например, у куба один центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии.

В геометрии центр, ось и плоскость симметрии многогранника называют элементами симметрии многогранников.

С симметрией мы часто можем встретиться в природе, архитектуре, быту.

Например, многие кристаллы имеют центр ось или плоскость симметрии.

Многие здания симметричны относительно плоскости. Примером такого здания является здание Московского государственного университета.

Рисунок 10 – Здание Московского государственного университета

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1 Выберите неверные утверждения

1) правильный додекаэдр состоит из 8 правильных треугольников

2) тетраэдр имеет 4 грани

3) гексаэдр состоит из шести параллелограммов

4) правильный октаэдр состоит из правильных пятиугольников

Утверждение под номером 1 неверно, так как название «додекаэдр» с греческого означает «двенадцать граней». В действительности, додекаэдр состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

Утверждение 2 верно. Тетраэдр с греческого означает 4 грани и состоит тетраэдр из 4-х треугольников.

Гексаэдр, он же куб состоит из квадратов, которые в свою очередь являются параллелограммами, поэтому утверждение 3 верно.

С греческого «октаэдр» означает 8 граней, состоять в таком случае из пятиугольников он не может. Октаэдр состоит из восьми треугольников. Утверждение 4 неверно.

№ 2 Установите соответствие между правильными многогранниками и их развертками.

1) 2) 3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Для выполнения этого задания необходимо понять, из каких многоугольников составлен многогранник.

Итак, куб состоит из квадратов. Единственная развертка, состоящая из квадратов это развертка под номером 6. Проверить себя можно и мысленно сложив из развертки кубик.

Многогранник под номером 2 – тетраэдр, состоит из четырех треугольников. Поэтому ему будет соответствовать развертка под номером 7. Мысленно сложите из развертки тетраэдр.

Октаэдр состоит из 8 треугольников, в этом несложно убедиться исходя из изображения. Развертка под номером 8 как раз состоит из 8 треугольников.

Многогранник под номером 4 состоит также из треугольников, а единственная развертка, состоящая из треугольников, осталась под номером 10. Попробуйте вырезать такую развертку из бумаги и собрать свой икосаэдр!

Многогранник под номером 5 состоит из пятиугольников. Оставшаяся развертка 9 тоже состоит из пятиугольников. Осталось проверить, что количество совпадает.

Источник