Суммарная неопределенность измерений формула

Содержание
  1. Неопределенность измерений в метрологии
  2. Определения погрешности и неопределенности измерений.
  3. История возникновения термина «неопределенность измерений».
  4. Термины используемые при расчете неопределенности.
  5. Оценка результата измерений в терминах «погрешность измерений».
  6. Оценка результата измерений в терминах «неопределенность измерений».
  7. Расчёт неопределённости с применением приборов.
  8. Выводы.
  9. Суммарная неопределённость
  10. Суммарная неопределённость
  11. Суммарная неопределённость независимых измерений
  12. Суммарная неопределённость зависимых измерений
  13. Расширенная неопределённость
  14. Общий алгоритм расчёта неопределённости
  15. Расчет неопределенности результатов измерений | пример для люксметров «еЛайт»
  16. Введение в расчет неопределенности измерений.
  17. Автоматический расчёт неопределённости измерений в приборе еЛайт01.
  18. Оценка неопределёности в люксметре еЛайт-мини.
  19. Пример расчета неопределенности измерений «вручную».
  20. Вычисление неопределенности.
  21. Результат расчета неопределенности измерений освещенности для люксметра «еЛайт02»:
  22. Понятие и типы неопределенностей. ГОСТ 34100.3-2017
  23. Понятие и типы неопределенностей. Стандартная и расширенная неопределенность измерений | ГОСТ 34100.3-2017
  24. Типы неопределённостей по ГОСТ 34100.3-2017 «неопределённость измерений».
  25. Неопределенность типа А.
  26. Неопределенность типа Б.
  27. Стандартная неопределенность результата измерения.
  28. Суммарная стандартная неопределенность.
  29. Расширенная неопределенность (доверительный интервал) результата измерения.

Неопределенность измерений в метрологии

Определения погрешности и неопределенности измерений.

Погрешность измерения – это отклонение измеренного значения величины от ее «истинного» значения. По своей природе или характеру проявления погрешность может быть «случайной» и «систематической». Метод выражения погрешности измерений – а ± Δа, где а – измеренная величина, Δа – суммарная абсолютная погрешность, определяемая методикой выполнения измерений.
Неопределенность измерения – это «сомнения в истинности полученного результата». Т.е. параметр, связанный с результатом измерения, характеризующий разброс значений, которые могли бы быть обосновано приписаны к измеряемой величине. Метод выражения неопределенности — а ± Uа , где а – измеренная величина, Uа – расширенная неопределенность, определяемая измерителем.

История возникновения термина «неопределенность измерений».

Сразу заметим, что, по сути, оба термина – «погрешность» и «неопределенность» — это выражение в разных терминах, одного и того же понятия – «точность измерений».
В России исторически сложилось так, что при оценке достоверности произведенного измерения использовали погрешность.
За рубежом исходно существовало понятие «error of measurement» — «ошибка измерения». Одной из целей при разработке стандарта качества ISO 9000 было обеспечение безошибочного выполнения всех производственных функций. В рамках ISO 9000 было разработано «Руководство по вычислению неопределенности в измерении» — «Guide to the expression of uncertainty in measurement», в котором описано понятие неопределенности измерений и способы ее вычисления.
Сейчас все чаще требуется оценивать точность проведения измерений (например, такое требование предъявляется при аккредитации лабораторий) в терминах «неопределенности». В связи с вступлением России в ВТО, принято решение перевести правила проведения и оценки качества работ (в том числе и метрологических) в соответствие с международными стандартами ИСО. Все измерительные лаборатории стран-членов ВТО должны оценивать точность результатов измерений в терминах неопределенности. В России о необходимости расчета неопределенности измерений в соответствии с ГОСТ Р ИСО 10576-1-2006 говорится в письме Роспотребнадзора 01/6620-12-32 от 13.06.2012.
«Неопределенность измерений стоило выдумать хотя бы для того, чтобы теперь разъяснять, чем погрешность отличается от неопределенности». Понятие «uncertainty» возникло из дословного перевода документа «Guide to the expression of uncertainty in measurement», ISO-1993. Документ вызвал множество споров и разделил общественность на три лагеря – сторонники «Guide…», противники «Guide…» и специалисты-практики, ожидающие «чем все это закончится».
В итоге, «все закончилось тем», что был выпущен документ РМГ 91-2009 «Совместное использование понятий «погрешность измерения» и «неопределенность измерения» детально разъясняющий соответствие терминов «погрешность» и «неопределенность».

Термины используемые при расчете неопределенности.

Соотношение терминов теории неопределенности с терминами классической теории точности (в скобках):

  • Неопределенность результата измерения (погрешность результата измерения),
  • Неопределенность типа А (случайная погрешность),
  • Неопределенность типа Б (систематическая погрешность),
  • Стандартная неопределенность (стандартное отклонение погрешности) результата измерения,
  • Расширенная неопределенность (доверительные границы) результата измерения,
  • Вероятность охвата, вероятность покрытия (доверительная вероятность),
  • Коэффициент охвата, коэффициент покрытия (коэффициент распределения погрешности)

Подробно о типах определённости и их расчётах рассказано в статье «Понятие и типы неопределенностей. ГОСТ 34100.3-2017»

Оценка результата измерений в терминах «погрешность измерений».

Как уже упоминалось выше, термин «погрешность» привязан к истинному значению измеряемой величины. Однако, это исходное «истинное значение» неизвестно. И при проведении измерений указывают интервал, в котором это «истинное значение» находится с определенным уровнем вероятности – Х = А ± Δ , Р = 0,95 (где Р – доверительная вероятность).
То есть, интервал от (А – Δ) до (А + Δ) с вероятностью Р содержит в себе:
1) «истинное» значение измеряемой величины.
2) погрешность измерений величины

Рис.1. Диапазон возможных значений при погрешности

Оценка результата измерений в терминах «неопределенность измерений».

Термин «неопределенность» привязан к измеренному значению величины А, а не к ее абстрактному «истинному» значению. Также, как для «погрешности», результат измерения записывается в виде интервала Х = А ± Δ , Р = 0,95 (Р – вероятность охвата).
То есть, интервал от (A – U) до (A + U) содержит бОльшую долю ( Р ) значений, которые могли бы быть приписаны к измеряемой величине.

Рис.2. Диапазон возможных значений при неопределенности

Рис.3. Интервал значений при расчете неопределенности

Расчёт неопределённости с применением приборов.

В следующей статье «Расчет неопределенности результатов измерений | пример для люксметра «еЛайт»» мы рассмотрим практический пример как вручную вычислить неопределенность измерений освещенности, используя люксметр-пульсметр-яркомер еЛайт02. В некоторых современных приборах такой расчёт неопределённости уже осуществляется автоматически, как, например, в самом доступном люксметре с поверкой еЛайт-мини.

Рис.4. Профессиональный измеритель освещённости еЛайт01 с функцией автоматического расчёта неопределённости измерений.

Рис.5. Термоанемометр-гигрометр-барометр ЭкоТерма Максима 01 с функцией автоматического расчёта неопределённости измерений.

Выводы.

Отличие понятия «погрешности» от «неопределенности»:

  • «погрешность» привязана к некоторому «истинному» значению, которое точно неизвестно;
  • «неопределенность» привязана к измеренному значению;
  • «погрешность» относится к конкретному измерению, сделанному конкретным средством измерения;
  • «неопределенность» — это степень сомнения в истинности полученного результата измерения;
  • «погрешностью» характеризуются параметры точности средств измерений.

Понравился материал? Поделитесь им в соцсетях:

Источник

Суммарная неопределённость

В данной статье описаны теоретические основы расчёта суммарной неопределённости, примеры расчёта смотрите в следующей статье

Суммарная неопределённость

Рассмотрим результат измерения Y, выраженный функцией других измерений X1, X2, . Xn

Суммарная неопределённость независимых измерений

Суммарная неопределённость является комбинацией всех измерений, при этом результаты измерения могут быть независимыми или коррелировать друг с другом. Для независимых измерений, суммарная дисперсия (uc 2 (y)) определяется по формуле:

uc 2 (y) = Σ n i=1[df/dxi] 2 u 2 (xi)
Где f — модель измерения, ui — неопределённость типа А или Б.

В случае, если нелинейность функции f критична, ряд Тейлора для производной df/dxi должен включать старшие степени:
Σ n i=1Σ n j=1[½[d 2 f/(dxidxj)] 2 + df/dxi d 3 f/dxidxj 2 ]u 2 (xi)u 2 (xj)

Частные производные модели измерения вычисленные в точке μ(xi), называются коэффициентами чувствительности и описывают изменение математического ожидания y в зависимости от математического ожидания независимых величин измерения. В частности, изменение y, вызванное небольшим изменением Δxi, выражается так: (Δy)i = (df/dxi)(Δxi). Если причиной данного изменения является неопределённость математического ожидания xi, изменение y выражается как (df/dxi)u(xi). Суммарная дисперсия uc 2 (y) может быть выражена как сумма дисперсий каждого из xi, отсюда:

Суммарная неопределённость может быть вычислена заменив ciu(xi) на следующее выражение:

Таким образом, мы рассчитываем изменения y в результате изменения xi в интервале между +u(xi) и -u(xi). Значение ui(y) может быть принято |Zi|, соответствующий коэффициент чувствительности ci равен Zi/u(xi).

Коэффициент чувствительности ci также может быть получен в результате измерения y при фиксированных значениях x, изменяя xi, при этом будет теряться истинная природа значения функции f, так как значение ci будет получено эмпирически.

Суммарная неопределённость зависимых измерений

В случае, когда величины xi имеют корреляционную зависимость, необходимо изменить формулу суммарной дисперсии:

r ∈ [-1,1], если математические ожидания xi и xj независимы, то r=0.

Расширенная неопределённость

Расширенная неопределённость (U) определяется доверительным интервалом суммарной неопределённости: U = kuc(y). На практике, когда количеством степеней свободы uc(y) можно пренебречь, используют значения k=2 для доверительного интервала 95% и k=3 для доверительного интервала 99%. Когда число степеней свободы известно, а неопределённости подчиняются закону нормального распределения, в качестве критерия k используется критерий Стьюдента.

Общий алгоритм расчёта неопределённости

1. В первую очередь необходимо составить модель измерений Y = f(X1, X2, . Xn). Модель измерений должна включать все величины и все коррекционные значения, которые могут повлиять на результат измерения.

2. Определить статистическую оценку среднего значения Xi с помощью статистического анализа или других методов.

3. Выразить значение неопределённости u(xi) каждой статистической оценки среднего значения xi. Если среднее значение было получено статистическим анализом, то используется неопределённость типа А, в остальных случаях неопределённость типа Б.

4. Выразить значения ковариации для всех измеряемых величин, имеющих корреляционную зависимость.

5. Посчитать результат измерения: статистическая оценка y измеряемой величины Y на основе модели измерения f, используя в качестве статистических оценок Xi значения xi, полученные на втором этапе.

6. Определить суммарную неопределённость uc(y) результата измерений, y, основываясь на неопределённостях и ковариации статистических оценок средних значений.

7. В случае необходимости, вычислить расширенную неопределённость U.

Источник

Расчет неопределенности результатов измерений | пример для люксметров «еЛайт»

Введение в расчет неопределенности измерений.

В статье «Неопределенность измерений в метрологии | Отличие погрешности от неопределенности. Применение» мы рассказали о терминах «погрешность» и «неопределенность» измерений, истории их возникновения и взаимосвязи. Как уже говорилось в этой статье, сейчас, в связи с вступлением в ВТО и приведением российских нормативов в соответствие международным стандартам, требуется оценивать качество проведенных измерений не в привычных терминах «погрешности», а в какой-то, для большинства людей непонятной, «неопределенности».

В этой статье мы рассмотрим практический пример расчета неопределенности выполненных измерений на примере обычного люксметра-пульсметра еЛайт02.

Расчёт неопределённости измерений достаточно трудоёмкое занятие, даже если использовать калькулятор или формулы, забитые в электронные таблицы. Обычно, при работе с обычным прибором, пользователь вынужден вручную производить несколько измерений в каждой точке, из которых потом также вручную рассчитывает неопределенность измерений. Однако сейчас уже выпускаются измерительные приборы, в которых реализован встроенный калькулятор для расчёта неопределенности измерений. Например профессиональный прибор для измерения освещённости «еЛайт01» или совсем недорогой профессиональный цифровой люксметр «еЛайт-мини». Это стало возможным совсем недавно, благодаря использованию в таких приборах цифровой обработки сигнала, позволяющей обрабатывать тысячи промежуточных измерений и сопровождающих их факторов для получения итогового результата.

Автоматический расчёт неопределённости измерений в приборе еЛайт01.

На рисунке представлен результат автоматического расчёта неопределённостей измерений прибором «еЛайт01», а именно:

  1. Максимальное значение измеренной освещённости,
  2. Минимальное значение измеренной освещённости,
  3. Среднее значение измеренной освещённости,
  4. Неопределенность измерений освещённости по типу Б,
  5. Неопределенность измерений освещённости по типу А,
  6. Суммарная стандартная неопределённость измерения освещённости,
  7. Расширенная неопределённость результата измерения освещённости,
  8. Максимальное значение измеренного коэффициента пульсации,
  9. Минимальное значение измеренного коэффициента пульсации,
  10. Среднее значение измеренного коэффициента пульсации,
  11. Неопределенность измерений коэффициента пульсации по типу Б,
  12. Неопределенность измерений коэффициента пульсации по типу А,
  13. Суммарная стандартная неопределённость измерения коэффициента пульсации,
  14. Расширенная неопределённость результата измерения коэффициента пульсации

Оценка неопределёности в люксметре еЛайт-мини.

В недорогом цифровом люксметре с поверкой «еЛайт-мини» оценка неопределённости выглядит попроще, чем в еЛайт01 но, тем не менее, предоставляет исчерпывающий результат:

Все перечисленные выше типы неопределённостей и способы их расчёта подробно описаны в статье «Понятие и типы неопределенностей. ГОСТ 34100.3-2017»

Пример расчета неопределенности измерений «вручную».

Для вычисления неопределенности результатов измерений необходимо выполнить многократные измерения величины.

Исходные данные:

  • случайная погрешность;
  • приборная погрешность;
  • погрешность отсчета;
  • влияние сторонних факторов (температура, питающее напряжение, сторонняя засветка или затенение фотодатчика);
  • влияние присутствия человека.

Например, если при измерениях освещенности на рабочем месте использовать обычный прибор — люксметр-пульсметр «еЛайт02» (допускаемая основная относительная погрешность измерений освещенности – 8%), то придется провести несколько замеров. Например, пусть на указанном рабочем месте получены следующие 6 значений осещённости: 388, 377, 369, 369, 370, 372 лк.

Вычисление неопределенности.

1. Вычисляем среднее арифметическое значение освещенности из всех измерений в данной точке:

$$ E=\frac <1> \sum_^n E_i \qquad (1) $$

$$ E=\frac <1> <6>(388 + 377 + 369 + 369 + 370 + 372) = \frac <2245> <6>= 374 \,лк $$

2. Для источников неопределенности случайного характера вычисляем неопределенность по типу А:

3. Для источников неопределенности систематического характера (приборная погрешность) вычисляем неопределенность по типу Б:

где ±ΔЕ – пределы допускаемой приборной погрешности,а качестве значения освещенности берем среднее значение освещенности 374 лк, вычисленное в п.1 , с учетом погрешности 8% прибора «еЛайт02».

4. Вычисляем суммарную стандартную неопределенность:

5. Для доверительной вероятности (вероятности охвата) P = 0.95 (рекомендуется в Руководстве по расчету неопределенности) задаем коэффициент охвата k = 2 и вычисляем расширенную неопределенность измерений:

$$ u = ku_c \qquad (5)$$

$$ u = 2 \times 17.55 = 35.1\,лк\;(или \frac <35.1> <374>= 9.4\%) $$

Результат расчета неопределенности измерений освещенности для люксметра «еЛайт02»:

Расширенная неопределенность результатов измерений освещенности прибором «еЛайт02» U(E) = 9.4%

Понравился материал? Поделитесь им в соцсетях:

Источник

Понятие и типы неопределенностей. ГОСТ 34100.3-2017

Понятие и типы неопределенностей. Стандартная и расширенная неопределенность измерений | ГОСТ 34100.3-2017

В статье «Неопределённость измерений в метрологии» мы рассмотрели общее описание и историю возникновения термина «неопределённость» его отличие и сходство со «старой доброй» погрешностью. «Официальное» понятие неопределённости, существующие типы неопределённостей содержатся в ГОСТ 34100.3-2017 «Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения». (ISO/IEC Guide 98-3:2008, IDT). Это ОЧЕНЬ тяжёлый для восприятия документ. Мы попробовали перевести его основные положения на «человеческий язык».

Начнём с того, что любое измерение проводят для того, чтобы узнать «истинное» значение измеряемой величины. Перед проведением любого измерения нам нужно точно определиться:

  • что измеряем (определение измеряемой величины),
  • чем измеряем (метод измерений),
  • как измеряем (методика измерений).

В результате проведения измерений и возникает понятие неопределённости из-за того, что любую величину нельзя измерить абсолютно точно – то есть у нас всегда будут возникать «сомнения в истинности результата». Причины возникновения таких сомнений (факторы неопределённости) могут быть совершенно разными, например:

  • ошибка (погрешность) измерения прибора,
  • постоянно изменяющиеся внешние условия измерений,
  • непрерывно изменяющаяся сама измеряемая величина,
  • влияние оператора на результат измерения (начиная от субъективности считывания показаний, вплоть до «дрожания рук»),
  • и так далее.

Поэтому, чтобы итоговый результат измерений был максимально полным, необходимо одновременно указывать некую связанную с ним оценку «сомнения в результате», которая будет учитывать такие факторы неопределенности. По определению в ГОСТ неопределенность характеризует разброс измеренных значений, в пределах которого они могут быть объективно приписаны к измеряемой величине.
Мы видим, что одна часть факторов неопределённости могут носить случайный характер (изменение внешних условий, «дрожание рук» и т.п.) – случайная погрешность. Случайную погрешность можно уменьшить, увеличив количество измерений одной и той же величины. Другая часть факторов неопределенности определена достаточно чётко (например, «погрешность прибора») – систематическая погрешность. Влияние известной систематической погрешности можно уменьшить, применив соответствующий поправочный коэффициент к результатам измерений.
Определение различных факторов неопределённости и их взаимный учёт и стандартизация приводят нас к понятию «типы неопределенностей», которые сформулированы в упомянутом ГОСТ по неопределённости измерений.

Типы неопределённостей по ГОСТ 34100.3-2017 «неопределённость измерений».

Далее мы приведём типы неопределённостей из «руководства по выражению неопределенности измерения» (ГОСТ 34100.3-2017) и общие формулы расчёта всех типов неопределённостей. Практический пример «живого» расчёта всех типов неопределённостей «вручную» на примере люксметра-пульсметра еЛайт02 приведён в статье «Расчет неопределенности результатов измерений | Пример для люксметров «еЛайт»». Следует заметить, что некоторые современные профессиональные измерительные приборы имеют «встроенный калькулятор расчёта неопределённости» – например, цифровой люксметр с поверкой «еЛайт-мини» — это значительно экономит силы и время при проведении измерений.
Для некоторых типов неопределённости мы укажем близкие к ним понятия типа погрешности. Это мы делаем исключительно для облегчения понимания, т.к. ГОСТ по неопределённости измерений настоятельно не рекомендует путать понятия неопределённости и погрешности измерений.

Неопределенность типа А.

Аналог – «случайная погрешность». Объединяет в себе факторы неопределённости случайного характера – изменение внешних условий, «дрожание рук» и т.п. Для оценки неопределённости по типу А используют статистические методы – то есть, необходимо провести несколько измерений одной и той же величины, которые затем подвергнуть статистической обработке. В результате такой обработки, в идеале, влияние случайных факторов неопределённости на результат измерений будет минимизировано.
Неопределённость типа А количественно характеризуется дисперсией и стандартным отклонением:
$$ \sigma^2 = \frac <\sum_^n (X_i — \bar X)^2> $$
, где \( X_i \) очередное измерение, \( n \) – количество измерений, \( \bar X \) – среднее арифметическое значение, которое считается по формуле:
$$ \bar X = \frac <\sum_^n X_i> $$

Неопределенность типа Б.

Аналог — «систематическая погрешность». Объединяет в себе факторы неопределённости заведомо известного характера (постоянные или переменные величины, изменяющиеся по известным законам). Например:

  • погрешность прибора,
  • погрешность калибровки,
  • погрешность методики измерения,
  • известная зависимость результата от контролируемых внешних условий (климатические условия, время суток, года и т.п.).

Производится оценка достоверности измерений на основе нестатистической информации. Для наиболее точного вычисления неопределенности типа Б необходимо, по возможности, использовать всю доступную надёжную информацию о факторах неопределённости, влияющих на точность измерения и оценке уверенности в появлении каждого из этих событий (субъективная вероятность). Обычно, такая информация указывается в технической документации на измерительный прибор. Например, значения погрешности утверждённой методики измерения (МИ) содержатся в руководстве по эксплуатации (РЭ) на прибор для измерения освещённости еЛайт01.

Стандартная неопределенность результата измерения.

Аналог – «стандартное отклонение погрешности». Неопределенность, представленная в виде стандартного отклонения. Стандартное отклонение считается по формуле:
$$ \sigma = \sqrt <\sigma^2>= \sqrt <\frac <\sum_^n (X_i — \bar X)^2> > $$
(см. п. «Неопределенность по типу А») и показывает на сколько сильно разбросаны измеренные значения величины от её среднего арифметического значения.

Суммарная стандартная неопределенность.

Суммарная стандартная неопределенность результата измерения одновременно учитывает влияние случайных и известных факторов неопределённости. По сути, суммирует все факторы неопределённости, с учётом их вклада в результат измерений. Вычисляется по следующей формуле:
$$ u_c = \sqrt < \sum_^n > $$
, где \( u_i \) \(i \)-ый фактор неопределённости, \( k_i \) – его вес, \( n \) – количество факторов неопределённости,

Расширенная неопределенность (доверительный интервал) результата измерения.

Это интервал вокруг результата измерения, в который, как ожидается, попадает бОльшая часть значений, приписанных к измеряемой величине. Расширенная неопределённость измерений применяется в ряде областей промышленности и торговли, в области здравоохранения и обеспечения безопасности. Расширенную неопределенность вычисляют по формуле:
$$ u = k u_c $$
, где \( k\) – коэффициент охвата
Обычно значения \( k\) принимают от 2 до 3. Коэффициент \( k\) выбирают в зависимости от уровня доверия, в котором ожидается нахождение преобладающей части результатов измерений. Например, для \( k = 2\) вероятность охвата составляет 95% результатов измерений (доверительная вероятность Р=0,95). Но в общем случае, при выборе вероятности охвата, необходимо иметь представление о виде закона распределения неопределенности.

Понравился материал? Поделитесь им в соцсетях:

Источник

Поделиться с друзьями
Моя стройка
Adblock
detector