Меню

Суммарная погрешность средства измерений



Суммарная погрешность и достоверность измерений

Задача объединения составляющих погрешности может возникнуть как до, так и после выполнения прямых или косвенных измерений какого-либо параметра. Ее решение на уровне классической теории измерений пока находится в стадии осмысления и разработки.

Суммирование составляющих погрешности не требуется при выполнении значительной части технических измерений, когда общие погрешности представлены допускаемой погрешностью (при Р = 1) или классом точности.

Объединение погрешностей (интервалов) потребуется, если условия измерений отличаются от условий передачи единицы, и имеется информация о других источниках неопределенности, представленной, как правило, совокупностью нормированных погрешностей.

Объединение нормированных погрешностей основано на предположении, что разность между измеренным и истинным значением величины могла бы принимать случайные значения величины, равномерно распределенной в пределах нормированного интервала по каждому влияющему фактору. В соответствии с предельной теоремой объединенный закон распределения нескольких случайных величин стремится к нормальному закону.

При суммировании придерживаются принципа «оценки сверху». Предполагается, что оцененная суммарная погрешность (интервал) принимается «чуть» больше расчетной в надежде на то, что вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в этот интервал может оказаться «чуть» выше принятой вероятности.

В основу суммирования составляющих погрешности в современной метрологии положены принципы, заимствованные из теории вероятностей и математической статистики. При суммировании любых составляющих погрешности действует правило: общая дисперсия нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий каждой из них.

Обычное арифметическое суммирование погрешностей дает слишком завышенную погрешность измерений с вероятностью 1. Результат измерений с такими погрешностями считается грубым и имеет заниженную ценность. Тем не менее, существует устойчивая рекомендация:две составляющие систематической погрешности суммировать арифметически.

Существует общая рекомендация по несущественности отдельных составляющих погрешности — отличие дисперсий не менее чем в 10 раз, или различие оценок СКО более чем в 3 раза.

Суммирование случайных погрешностей.

В обычных прямых многократных измерениях выявляют одну случайную составляющую, которую почти всегда объединяют с общей систематической погрешностью. В редком случае, когда случайная составляющая погрешности больше суммарной систематической погрешности в 8 и более раз, то систематические погрешности можно считать несущественными.

В случае измерений, в процессе которых поправки определены экспериментально и их случайные составляющие погрешности оказались существенными и выраженными своими оценками СКО, то оценку СКО суммарной случайной составляющей погрешности измерений величины В определяют по следующей формуле:

, (16)

где i – оценка СКО i-той случайной составляющей погрешности;

n – число случайных составляющих погрешности.

При представлении результата измерений могут быть использованы одна или две или три сигмы, оцененные по формуле (16).

Суммирование систематических погрешностей.

Основные принципы и методы суммирования погрешностей прямых измерений, применяемые в российских документах, были впервые регламентированы ГОСТ 8.207-76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Общие положения».

При прямых однократных измерениях все составляющие систематической погрешности обычно считаются существенными, а случайная погрешность считаются пренебрежимо малой, если она в 8 раз меньше наименьшей систематической составляющей. Обычно рассматривают следующие составляющие систематической погрешности: погрешность переданной и хранимой единицы величины; погрешности, обусловленные отличием рабочих условий измерений от условий, принятых за нормальные условия. Каждая составляющая погрешности может быть выражена пределами допускаемой основной и дополнительной погрешности или оценками погрешности (с вероятностью 0,95).

Принято также считать, что поправки, если бы они были определены для каждой систематической составляющей погрешности, были бы распределенными по равномерному закону в пределах соответствующего интервала.

Суммарную погрешность измерения ΔР вычисляют по формуле:

, (17)

где Δi i-тая систематическая составляющая погрешности;

kР – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью;

m – количество составляющих систематической погрешности.

Коэффициент kРпри разной доверительной вероятности Р для разного количества составляющих m выбирают в соответствии с таблице 3.

Таблица 3 – Коэффициент kРпри разной вероятности Р

Количество составляющих погрешности

2 3 4 5 0,90 0,97 0,95 0,95 0,95 0,95 1,10 1,12 1,12 1,12 0,99 1,27 1,37 1,41 1,42

Доверительную вероятность для вычисления суммарной систематической погрешности рекомендуют принимать той же, что при вычислении случайной погрешности измерения, обычно Р = 0,95.

Рекомендации ISO основаны на суммировании дисперсий составляющих погрешности и использовании предельной теоремы теории вероятностей для оценки доверительного интервала.

Если руководствоваться «оценкой сверху» и считать, что вероятный разброс показаний СИ от каждого систематического эффекта мог бы быть распределенным равномерно и (или) по закону Симпсона, то суммарную погрешность измерения ΔР вычисляют по формуле:

, (18)

где kР – коэффициент охвата, определяемый принятой доверительной вероятностью Р (обычно k0,95 = 2 при Р = 0,95 и k0,997 = 3 при Р = 0,997);

Δi – интервал для i-ой систематической составляющей погрешности при равномерном распределении измеренных значений;

m – количество составляющих систематической погрешности, распределенных равномерно;

Δj – интервал для j-ой систематической составляющей погрешности при распределении измеренных значений по закону Симпсона;

q – количество составляющих систематической погрешности, распределенных по закону Симпсона.

Суммирование систематических и случайных погрешностей.

Читайте также:  Браслет для измерения давления инструкция по применению

Далее анализу подвергаются систематические погрешности, которые имеются всегда. В российских документах они обычно выражены нормированной допускаемой погрешностью средств измерений, указанными в паспорте СИ. Иногда в нормированной погрешности содержится доля собственной случайной погрешности СИ, которая перейдет в будущий разброс измеренных значений, и оставшаяся доля систематической погрешности будет меньше нормированной. Если известны погрешности СИ, указанные, например, в сертификате о его калибровке, то они должны быть приведены к доверительной вероятности оцененной случайной погрешности.

При прямых многократных измерениях все систематические составляющие погрешности считаются существенными и случайная составляющая погрешности меньше суммарной оценки систематической погрешности менее чем в 8 раз. Суммарная оценка систематической погрешности и оценка случайной погрешности должны быть приведены к одной и той же вероятности. Суммарную оценку погрешности измерения находят путем построения композиции распределений показаний, изменяющихся от случайных и систематических эффектов.

Общая суммарная оценка погрешности при ответственных измерениях, например, в научных исследованиях, вычисляется по следующей формуле [19]:

, (19)

где tP – коэффициент Стьюдента при n≤30;

k – коэффициент, использованный при оценивании суммарной систематической погрешности;

Δi – допускаемая i-тая составляющая систематическая погрешность;

σ – оценка СКО случайной погрешности среднего измеренного значения, вычисленная по формуле:

(20)

где Xii-е измеренное значение величины;

– среднее измеренное значение величины;

n – общее количество измеренных значений.

Рекомендация ISO суммирования систематических и случайных составляющих погрешности основана на суммировании дисперсий составляющих погрешности и использовании предельной теоремы для оценки доверительного интервала.

Суммарную погрешность измерения ΔР вычисляют по формуле:

. (21)

где kР – коэффициент охвата, определяемый принятой доверительной вероятностью Р (k0,95 = 2 или k0,997 = 3) и остальные обозначения как в формулах
(16) и (18).

В обоснованных случаях иногда пользуются трапецеидальным законом распределения при добавлении систематической погрешности, обусловленной ее дополнительным источником.

Однако при проведении обычных лабораторных измерений часто пользуются совсем упрощенным способом оценки суммарной погрешности многократных измерений – обычным арифметическим суммированием, всегда обеспечивающим «оценку сверху».

Суммирование составляющих погрешности при выполнении косвенных
измерений.

При выполнении косвенных измерений аргументами функции являются результаты прямых (или других косвенных) измерений со своими измеренными значениями и погрешностями.

Пусть требуется получить результат измерений величины , связанной с результатами измерений других величин ;…; , где погрешности представлены с доверительной вероятностью от 0,99 до 1, некоторой зависимостью, называемой «моделью измерений» [35]:

. (22)

Необходимо найти отдельно и отдельно , чтобы объединить их в один результат измерений.

Оценку погрешности косвенного измерения найдем по формуле:

(23)

Наиболее простым способом объединения погрешностей косвенных измерений с использованием функций, в которых аргументы суммируются или перемножаются или делятся, является следующий способ.

Пусть необходимо найти погрешность ΔZ измеренной величины Z, определяемой через результаты измеренных прямыми методами величин и , где погрешности представлены с доверительной вероятностью 0,99 или 1, как следующие функции:

; , ; .

Тогда погрешность косвенных измерений для этих функций определяется по одной и той же формуле:

, (24)

Если аргументы функции находятся в какой-либо степени, то слагаемые в формуле (24) множатся на показатель степени.

Если аргументов более двух, в формулу (24) добавятся соответствующие слагаемые для новых составляющих погрешности, умноженные на соответствующий показатель степени.

Для более сложных функциональных зависимостей целесообразно выполнить математическое моделирование косвенных измерений, чтобы убедиться в обоснованности полученной оценки погрешности. Для этого необходимо получить разброс измеренных значений косвенно измеряемой величины с перебором хотя бы крайних значений интервала для истинных значений каждого аргумента. Ширина данного разброса является оценкой погрешности косвенного измерения. Обычно такой интервал слишком завышен, так как вероятность того, что истинное значение измеренных аргументов окажется одновременно в крайних положениях соответствующего доверительного интервала, чрезвычайно мала. Поэтому доверительная вероятность для оценок погрешности косвенного измерения по формулам (23) и (24) приближается к 1, даже если доверительная вероятность для оценок погрешности аргументов была принята 0,95 и выше.

Доверительная вероятность служит показателем достоверности измерений.

5.6 Представление погрешности в результате измерений.
Правила округления

Рекомендации по формам представления результатов измерений даны в МИ 1317-2004 и в правилах ПМГ 96-2009.

Поскольку измеренное значение (показание прибора) это всегда случайная величина, то результат измерений должен быть представлен всей совокупностью возможных значений измеряемой величины. Поэтому полная информация об измеряемой величине может быть представлена только интервалом на числовой оси с указанием функции распределения плотности вероятности.

При представлении результата воспроизведения единицы величины первичным государственным эталоном принято разделять оценки погрешности на систематические и случайные составляющие (например, оценка СКО случайной погрешности, систематическая погрешность при заданной доверительной вероятности и стабильность за установленный интервал времени). Такой же подход целесообразно использовать при представлении сведений о любых эталонах единиц величин разных разрядов. В особо ответственных случаях (при установлении физических констант, при определении постоянных коэффициентов (функций) влияния, при дальнейшем использовании результатов измерений в других измерениях) также целесообразно указывать и систематические и случайные погрешности.

Читайте также:  Калькулятор единицы измерения данных

В таблице 4 приведено сопоставление различных вариантов представления погрешности и показателей неопределенности в результатах измерений.

Таблица 4 – Сопоставление вариантов представления показателей
неопределенности измерений в терминах погрешности и неопределенности

Показатели точности (неопределенности) измерений Представление результата измерений в терминах погрешности Представление результата измерений в терминах неопределенности
Суммарная погрешность при заданной вероятности (расширенная суммарная неопределенность)
Оценка среднего квадратического отклонения систематической погрешности (суммарная стандартная неопределенность по типу В) В=(Визм±σс)·[B]
Стандартное отклонение случайной погрешности (стандартная неопределенность по типу А)
Оценка среднего квадра-тического отклонения суммарной погрешности; (суммарная стандартная неопределенность)
Нормированная погрешность или целевая неопределенность В=(Визм±ΔР=1)

При представлении результата измерений должно быть разумное сочетание значащих цифр в измеренном значении величины и в погрешности измерений.

Нормированную допускаемую погрешность (вероятность всегда 1) выражают числом, содержащим одну значащую цифру, если она от 3 до 8, или двумя значащими цифрами, первая из которых 1 или 2. Использование одной цифры 9 не рекомендуется (округляют до 10). В случае нормированной допускаемой погрешности числовое значение погрешности не требует изменения (округления).

Оцененную погрешность при любой выбранной вероятности выражают числом, содержащим одну значащую цифру, если она после округления от 5 до 9, или двумя значащими цифрами, первая из которых от 1 до 4. В таком случае числовое значение погрешности округляют в большую сторону (увеличивают на 1), если отбрасываемая цифра равна или более 5, и в меньшую сторону (оставляют без изменения), если она менее 5. Для высокоточных измерений погрешность выражают двумя любыми значащими цифрами.

После округления оцененной погрешности реальное значение вероятности будет отличаться от ранее выбранного значения. При округлении погрешности в большую сторону выбранную вероятность можно оставить без изменения, а при округлении в меньшую сторону декларируемую вероятность рекомендуется уменьшить.

Округление погрешности производится лишь при представлении окончательного результата. Все предварительные вычисления производят с тремя излишними значащими цифрами.

Измеренное значение округляют до той же цифры, которой заканчивается округленное значение оцененной абсолютной погрешности или значение допускаемой погрешности. Излишние цифры в целых числах заменяют нулями, а в десятичных дробях отбрасывают.

Дата добавления: 2018-06-01 ; просмотров: 1227 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Оценка погрешностей результатов измерений

Оценка погрешностей результатов измерений

Погрешности измерений и их типы

Любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями, связанными с ограниченной точностью измерительных приборов, неправильным выбором, и погрешностью метода измерений, физиологией экспериментатора, особенностями измеряемых объектов, изменением условий измерения и т. д. Поэтому в задачу измерения входит нахождение не только самой величины, но и погрешности измерения, т. е. интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Например, при измерении отрезка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с можно сказать, что истинное значение его находится в интервале от с до с. Таким образом, измеряемая величина всегда содержит в себе некоторую погрешность , где и X – соответственно истинное и измеренное значения исследуемой величины. Величина называется абсолютной погрешностью (ошибкой) измерения, а выражение , характеризующее точность измерения, называется относительной погрешностью.

Вполне естественно стремление экспериментатора произвести всякое измерение с наибольшей достижимой точностью, однако такой подход не всегда целесообразен. Чем точнее мы хотим измерить ту ил иную величину, тем сложнее приборы мы должны использовать, тем больше времени потребуют эти измерения. Поэтому точность окончательного результата должна соответствовать цели проводимого эксперимента. Теория погрешностей дает рекомендации, как следует вести измерения и как обрабатывать результаты, чтобы величина погрешности была минимальной.

Все возникающие при измерениях погрешности обычно разделяют на три типа – систематические, случайные и промахи, или грубые ошибки.

Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью изготовления приборов (приборные погрешности), недостатками выбранного метода измерений, неточностью расчетной формулы, неправильной установкой прибора и т. д. Таким образом, систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Величина этой погрешности систематически повторяется либо изменяется по определенному закону. Некоторые систематические ошибки могут быть исключены (на практике этого всегда легко добиться) путем изменения метода измерений, введение поправок к показаниям приборов, учета постоянного влияния внешних факторов.

Хотя систематическая (приборная) погрешность при повторных измерениях дает отклонение измеряемой величины от истинного значения в одну сторону, мы никогда не знаем в какую именно. Поэтому приборная погрешность записывается с двойным знаком

Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин (изменением температуры, давления, сотрясения здания и т. д.), действия которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Случайные погрешности происходят также из-за несовершенства органов чувств экспериментатора. К случайным погрешностям относятся и погрешности обусловленные свойствами измеряемого объекта.

Исключить случайны погрешности отдельных измерений невозможно, но можно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат путем проведения многократных измерений. Если случайная погрешность окажется значительно меньше приборной (систематической), то нет смысла дальше уменьшать величину случайной погрешности за счет увеличения числа измерений. Если же случайная погрешность больше приборной, то число измерений следует увеличить, чтобы уменьшить значение случайной погрешности и сделать ее меньше или одного порядка с погрешностью прибора.

Читайте также:  Таблица для измерение куба древесины

Промахи, или грубые ошибки, — это неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись отсчета и т. п. Как правило, промахи, обусловленные указанными причинами хорошо заметны, так как соответствующие им отсчеты резко отличаются от других отсчетов. Промахи должны быть устранены путем контрольных измерений. Таким образом, ширину интервала в котором лежат истинные значения измеряемых величин, будут определять только случайные и систематические погрешности.

2. Оценка систематической (приборной) погрешности

При прямых измерениях значение измеряемой величины отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора. Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической погрешности считают равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Например, при измерении штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм величина приборной погрешности измерения принимают равной 0,025 мм.

Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими величин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает значение20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна мВ.

Систематические погрешности возникают и при использовании постоянных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной половине последнего значащего разряда. Например, если в таблице значение плотности стали дается величиной, равной 7,9∙103 кг/м3, то абсолютная погрешность в этом случае равна кг/м3.

Некоторые особенности в расчете приборных погрешностей электроизмерительных приборов будут рассмотрены ниже.

При определении систематической (приборной) погрешности косвенных измерений функциональной величины используется формула

, (1)

где — приборные ошибки прямых измерений величины , — частные производные функции по переменной .

В качестве примера, получим формулу для расчета систематической погрешности при измерении объема цилиндра. Формула вычисления объема цилиндра имеет вид

.

Частные производные по переменным d и h будут равны

, .

Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении объема цилиндра в соответствии с имеет следующий вид

,

где и приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра

3. Оценка случайной погрешности.

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Для подавляющего большинства простых измерений достаточно хорошо выполняется так называемый нормальный закон случайных погрешностей (закон Гаусса), выведенный из следующих эмпирических положений.

1) погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

2) при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,

3) чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.

График нормального закона распределения Гаусса представлен на рис.1. Уравнение кривой имеет вид

, (2)

где — функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки , σ – средняя квадратичная ошибка.

Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.

Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического . Величина которой определяется по формуле

, (3)

где — результат i-го измерения; — среднее арифметическое полученных значений; n – число измерений.

Чем больше число измерений, тем меньше и тем больше оно приближается к σ. Если истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений , а случайная абсолютная погрешность , то результат измерений запишется в виде .

Интервал значений от до , в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом. Поскольку является случайной величиной, то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется доверительной вероятностью, или надежностью измерений. Эта величина численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции. (см. рис.)

Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение вероятностей Стьюдента. Это распределение вероятностей случайной величины , называемой коэффициентом Стьюдента, дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического .

. (4)

Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ2, а существенно зависит от числа опытов n. С увеличением числа опытов nраспределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.

Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n, и столбца, соответствующего доверительной вероятности α

Источник