Меню

Свойства сравнения чисел 6 класс



Сравнение чисел

Какое число больше

Проведем координатную ось: отметим на прямой точку начала координат (число 0), выберем масштабную единицу и направление.

Рассмотрим два числа a и b. Изобразим на координатной оси точки, соответствующие в выбранном масштабе данным числам.

Из двух чисел большим будет то, которое расположено правее на координатной оси.

Рис. 1. Сравнение двух чисел.

Пример

Рассмотрим числа -1 и 2 и соответствующие им точки на координатной оси.

Рис. 2. Сравнение чисел -1 и 2.

Поскольку число 2 на координатной оси лежит правее числа -1, оно является большим из этих двух чисел.

Обозначение: 2 > -1.

Положительные и отрицательные числа

Все числа, которые на координатной оси лежат правее нуля, называются положительными.

Все числа, которые на координатной оси лежат левее нуля, называются отрицательными.

Число нуль не является ни положительным, ни отрицательным, а его название в переводе с латинского означает «никакой». Впервые нуль как число начали использовать в Индии. А древние римляне, китайцы и греки обходились без него. А в древнем Египте, хотя и не использовали нуль, но обозначали его иероглифом, который означал «прекрасный».

Понятие отрицательного числа ввели китайские математики. Положительные числа они обозначали палочками красного цвета, а отрицательные – палочками черного цвета. Необходимость ввести отрицательные числа возникла при проведении финансовых расчетов. Они использовались при подсчете долгов.

Методика сравнения двух чисел

Рассмотрим возможные случаи сравнения двух чисел. Обозначим их, как a и b.

1) Пусть одно из чисел (a) является положительным, а другое (b) – отрицательным. Тогда бОльшим будет положительное число: a > b.

Таким образом, любое положительное число больше любого отрицательного.

Пример

Сравним числа 5 и -7. Имеем: 5 > -7.

2) Из двух отрицательных чисел меньшим будет то число, модуль которого больше.

Пример

Сравним числа -5 и -7.

Модуль числа -5 равен 5, а модуль числа -7 равен 7. Поскольку 7 > 5, -7 -7.

3) Любое положительное число больше 0, а любое отрицательное число меньше 0.

Пример

Рассмотрим числа 3 и -2. Имеем: 3 > 0, -2 <5 \over 9>,$ имеем: $ <2 \over 3>> <5 \over 9>$.

Двойные неравенства

Пусть для числа a одновременно выполняется два неравенства: a > 6 и a 1 из 5

Источник

Урок 30 Бесплатно Сравнение чисел

В этом уроке мы научимся сравнивать числа как с разными, так и c одинаковыми знаками.

Узнаем, что такое быстрое сравнение с нулем, а также поговорим про то, что касается сравнения чисел и модулей.

Сравнение чисел с одинаковым знаком

Со сравнением двух чисел, оба из которых больше нуля, вы уже знакомы: для этого мы просто смотрим на числа, их разряды и понимаем, какое из них больше. Для нас очевидно еще с начальной школы, что 3 больше, чем 2, 154 больше, чем 145, 1428 больш,е чем 425, и так далее.

Если говорить про отрицательные числа, то для начала приведем аналогию из реальной жизни.

Например, 3-го января температура была равна -10°С , а 4-го января температура была на отметке -7°С , в таком случае мы скажем, что 3-го числа температура была меньше, чем 4-го.

То есть, казалось бы, 10 больше, чем 7, но при этом -10°С меньше, чем -7°С.

Чтобы сравнить два числа, оба из которых отрицательные, надо сравнить их модули, тогда меньше будет то число, у которого модуль больше.

Это же работает и в обратную сторону.

Если два числа отрицательны и модуль первого меньше модуля второго, то первое число больше второго.

Если оба числа отрицательны и их модули равны, то и сами числа равны.

Пример:

Допустим, необходимо сравнить \(\mathbf<-324>\) и \(\mathbf<-245>\)

Первым делом находим модули:

Так как \(\mathbf<324>245>\), делаем вывод, что \(\mathbf<-324 -\frac<5><6>>\)

Также сравним \(\mathbf<-5>\) и \(\mathbf<-5>\)

Мы видим, что модули чисел равны, к тому же, они оба отрицательны, значит эти числа равны.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Сравнение чисел с разными знаками

Сейчас мы познакомимся с одним интересным свойством сравнения, которое позволит нам сравнивать числа с разными знаками вообще без каких-либо усилий с нашей стороны.

Задумывались ли вы раньше, почему если мы знаем, что Борис выше Анны, а Сергей выше Бориса, мы сразу сделаем вывод, что Сергей выше и Анны тоже?

Или если мы знаем, что Ваня пришел раньше Пети, а Петя раньше Ильи, то мы делаем вывод, что Ваня пришел раньше Ильи.

Это свойство называется транзитивностью.

Если говорить абстрактно, то это свойство говорит о следующем: если между объектом А и объектом Б есть транзитивное отношение и между объектом Б и объектом В тоже есть это же транзитивное отношение, то это значит, что это отношение есть между А и В.

Звучит может немного непонятно, но на примере со сравнением сейчас все встанет на свои места.

Отношения «быть больше», «быть равным» и «быть меньше» обладают свойством транзитивности.

Поэтому если мы знаем, что 2 меньше, чем 3, а 3 меньше, чем 4, то мы можем утверждать, что 2 меньше, чем 4.

Зафиксируем эти правила коротко и емко.

1. Если а меньше b и b меньше с, то а меньше с

Читайте также:  Сравнение нокия люмия 630

2. Если a больше b и b больше с, то а больше с

3. Если а равно b и b равно с, то а равно с

Более подробно про отношения говорят на курсах высшей математики, дискретной математики или математической логики, но при этом бояться таких абстрактных понятий не стоит.

Теперь мы можем применить это мощное свойство к сравнению чисел с разными знаками.

Пусть а — отрицательное число, b — равно нулю, а с — положительное число.

Мы знаем, что отрицательные числа меньше нуля.

Также мы знаем, что положительные числа больше или, другими словами, нуль меньше положительных чисел.

Тогда, зная транзитивность отношения «меньше», мы можем прийти к выводу, что a меньше с.

Заметьте, что мы нигде ни для а, ни для с не предполагали конкретных значений, а значит, любое отрицательное число меньше любого положительного.

Те же самые рассуждения можно провести в обратную сторону и получить, что любое положительное число больше любого отрицательного.

Итак, посмотрим, как происходит процесс сравнения чисел с разными знаками на практике.

Пример 1

Сравним \(\mathbf<-5>\) и \(\mathbf<3>\).

\(\mathbf<-5>\)- отрицательное число, \(\mathbf<3>\) положительное.

Значит, \(\mathbf<-5 -1>\), так как любое положительное число больше любого отрицательного.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Урок математики в 6-м классе по теме «Сравнение чисел»

Разделы: Математика

Целевая установка:

Совершенствование навыков и умений сравнения целых чисел, используя
свойства сравнения.

Планируемые результаты (в соответствии с ФГОС)

  • Предметные:
    • упорядочивать и сравнивать целые числа:
    • использовать для записи сравнения целых чисел математические знаки;
    • анализировать и осмысливать текст задачи;
    • проверять ответ на соответствие условию;
    • строить логическую цепочку рассуждений.
  • Метапредметные:
    • Познавательные УУД: умение выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач, делать выводы на основе полученной информации, устанавливать соответствие между объектами и их характеристиками.
    • Личностные УУД: умение соблюдать дисциплину на уроке, уважительно относиться к учителю и одноклассникам.
    • Регулятивные УУД: умение планировать выполнение заданий учителя. Развитие навыков самооценки.
    • Коммуникативные УУД: умение строить эффективное взаимодействие с одноклассниками при выполнении совместной работы.
  • Личностные:
    • умение контролировать процесс и результат учебной деятельности;
    • понимать смысл поставленной задачи, приводить примеры;
    • умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.

Тип урока: интегрированный урок-обобщение.

Оборудование: доска, мультимедийный проектор, презентация

– Здравствуйте, ребята, садитесь!

Девиз нашего урока:

“Кто ничего не замечает,
Тот ничего не изучает,
Кто ничего не изучает,
Тот вечно хнычет и скучает”.

А нам сегодня скучать не придется, у нас интегрированный урок – обобщения, и нам нужно активно работать на уроке. Откройте тетради, запишите число и тему урока: «Сравнение чисел»

2. Актуализация знаний

– Какую тему изучали на предыдущих уроках? (Положительные и отрицательные числа, координатная прямая, противоположные числа, модуль числа.)
– Какую цель будем ставить перед собой сегодня? (Повторить сравнение положительных и отрицательных чисел; изображение точек на координатной прямой; нахождение модуля.)
– Еще не зная про отрицательные числа мы уже встречались в жизни с ними, как вы думаете, в каких ситуациях? (При измерении температуры на термометре, при получении выигрышных и штрафных очков и др. )
– Сегодня у нас на уроке мы узнаем, где еще мы встречаемся с положительными и отрицательными числами. А пока вспомним:

  • Дайте определение координатной прямой. (Прямую с выбранным на ней началом отчсета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.)
  • Как располагаются положительные и отрицательные числа на координатной прямой? (Положительные располагаются справа от нуля, отрицательные – слева.)
  • Чем отличаются друг от друга положительные и отрицательные числа? (Перед отрицательными числами ставится знак минус, перед положительными знак – плюс.)
  • Что называется модулем числа? (Модулем числа называется расстояние от точки на координатной прямой до начала отсчета.)
  • Как сравнить два числа с разными знаками на координатной прямой? (Из двух различных целых чисел больше то, которое расположено правее на числовой прямой.)
  • Как сравнить два отрицательных числа с помощью сравнения их модулей? (Из двух отрицательных чисел больше то число, у которого меньше модуль.)

3. – Мы вспомнили все, что изучали на прошлых уроках. Выполним следующее задание в тетрадях

№ 1. Из чисел – 4; 8; 9; –1,5; 0; –16; –14; 100; –7; 120; 14; –150; –9; –8; 1; 4; 2,7; –15,9 выписать:

а) отрицательные числа;
б) положительные числа;
в) противоположные числа.

№2. В тетрадях начертить координатную прямую

а) Запишите координаты отмеченных точек.

б) Отметьте на координатной прямой точки М(4); N(–3,5); Р(2,5);К(–2).

Чтобы повторить сравнение чисел выполним самостоятельную работу со взаимопроверкой. У вас на столах листы с работой, выполняем работу, передаем соседу, проверяем и выставляем оценки.

4. Самостоятельная работа с взаимопроверкой

Давайте с вами вспомним, где еще в жизни встречаются положительные и отрицательные числа?
Батарейка с положительным и отрицательным зарядом, прибыль и долг и др..

5. Домашнее задание

1) с 69 №2, №3, №5
2) творческое задание: когда и кем были придуманы отрицательные числа.

Источник

Математика. 6 класс

Конспект урока

Сравнение целых чисел

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Сравнение целых чисел.
  • Правила сравнения целых чисел.
  • Решение различного типа заданий на сравнение целых чисел.

Число 1 – наименьшее натуральное число, так как с него начинается ряд натуральных чисел.

Число – 1 есть наибольшее отрицательное целое число, так как оно самое правое в ряду отрицательных чисел.

Модулем положительного числа называют само это число.

Модулем отрицательного числа называют противоположное ему (положительное) число.

  1. Никольский С. М. Математика. 6 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н.Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.
  1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е.Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
  2. Шарыгин И.Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И.Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Любое положительное число больше 0.

Любое отрицательное число меньше 0.

Любое положительное число больше любого отрицательного.

Используя эти следствия из правила сравнения целых чисел, можно сравнивать целые числа.

Отрицательные числа удобно сравнивать с помощью их модулей. Так как в ряду целых чисел отрицательное число с большим модулем стоит левее, то из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Например, так как

Существует ли наибольшее натуральное число? –

Наибольшего натурального числа не существует. Ряд натуральных чисел продолжается неограниченно вправо.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, …

Существует ли наименьшее натуральное число? –

Число 1 наименьшее натуральное число, так как с него начинается ряд натуральных чисел.

Существует ли наибольшее отрицательное целое число? –

Число – 1 есть наибольшее отрицательное целое число, так как оно самое правое в ряду отрицательных чисел.

…– 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6, …

Существует ли наименьшее отрицательное целое число? –

Наименьшего отрицательного целого числа не существует. Ряд целых чисел продолжается неограниченно влево.

…– 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6, …

Существует ли наибольшее и наименьшее целое число? – Нет. Ряд целых чисел можно неограниченно продолжать вправо или влево.

…– 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6, …

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Восстановление горизонтальной последовательности.

Расставьте числа в порядке возрастания:

900, – 900, 0, 768, 654

Для решения сравним числа между собой и запишем их в порядке от меньшего к большему.

Ответ: – 900, 0, 654, 768, 900

Тип 2. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в текст.

Источник

Урок математики в 6 классе «Сравнение чисел»

Выбранный для просмотра документ Тема.docx

Тема: Сравнение чисел

Тип урока: «открытие» новых знаний

Цель урока: формирование навыка сравнения отрицательных чисел и чисел с разными знаками.

повторить известные правила сравнения чисел;

познакомить учащихся с правилом сравнения отрицательных чисел и чисел с разными знаками

организовать исследовательскую деятельность обучающихся по приобретению умений сравнивать отрицательные и положительные числа;

тренировать способность к использованию выведенного алгоритма;

повторить и закрепить правила по данной теме;

развивать умения обучающихся анализировать, делать выводы, определять взаимосвязь и логическую последовательность мыслей;

развивать умения слушать и исправлять речь своих товарищей;

тренировать способность к рефлексии собственной деятельности и деятельности своих товарищей.

содействовать развитию познавательного интереса обучающихся к предмету;

прививать навыки организации самостоятельной работы, формировать навыки самооценки;

формировать умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.

Формы работы учащихся: фронтальная, в паре, индивидуальная

Мотивация к учебной деятельности

-Какой сегодня замечательный день! Еще будет ветер и снег, но на улице устанавливается все более теплая температура воздуха.

Ребята, чтобы нам легко работалось на уроке, давайте дадим себе установку. Повторяйте за мной: (текст на мультимедийной доске)

Я буду стараться,

У меня всё получится!

Давайте вернемся к погоде.

– Какими числами, мы обозначаем теплую температуру воздуха? (положительными)

– Сразу возникает вопрос: А – холодную? (Отрицательными)

– А как такие числа называются? (противоположные)

А где наглядно мы можем увидеть все эти числа? (при измерении температуры, обозначении глубин и вершин)

Чем отличаются друг от друга положительные и отрицательные числа?

— Что можно сказать про число 0? (число, которое не относится ни к положительным, ни к отрицательным.)

— Какие числа называются противоположными? Приведите примеры.

Читайте также:  Сравнить джили мк кросс с калиной

(Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами)

— Что называется модулем числа а? (Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезка) от начала координат до точки А (а.))

— Чему равен модуль положительного числа? Пример . (Модуль положительного числа равен самому числу)

— Чему равен модуль отрицательного числа? (равен положительному числу)

Чему равен модуль нуля?

Учитель: Молодцы! Хорошо работали. Следующее задание.

Подготовка к усвоению нового материала. Создание проблемной ситуации.

Обсуждение проблемной ситуации

Почему не смогли сравнить последние пары чисел?

( Не умеем сравнивать отрицательные числа между собой и числа с разными знаками. )

3. Постановка учебной задачи

-Как вы думаете, какая тема урока сегодня будет ? ( Сравнение отрицательных чисел и чисел с разными знаками. )

-Запишите число и тему урока ( Записывают в тетрадях число и тему урока. )

-Какие цели поставим на сегодняшний урок, чему вы хотели бы сегодня научиться?

( Вместе с детьми формулируются цели урока).

Определяют учебные задачи урока.

1.Научиться сравнивать отрицательные числа и числа с разными знаками.

2.Повторить правила сравнения положительных чисел.

( По мере постановки учащимися учебных задач учитель записывает их на доску)

4. Открытие новых знаний (сам. работа, работа в паре)

— Ребята, как легче справиться с какой-то проблемой в одиночку или сообща?

— Сейчас вы выступите в роли исследователей и попробуйте сформулировать правило сравнения чисел с разными знаками.

— У вас на партах лежат листы с заданиями. Работаем в парах, и проговорите правило друг другу, предложите свои примеры.

Решить данное задание поможет нам координатная прямая. Вы уже умеете сравнивать положительные числа с помощью координатной прямой. Давайте его вспомним .(Помните, что по мере «продвижения» вправо от точки О положительные числа увеличиваются, а по мере «продвижения» влево к точке О числа уменьшаются до нуля.)

— Это правило распространяется на положительные и на отрицательные числа.

1. На координатной прямой отметьте точки, соответствующие

2. Зная, что из двух чисел больше то, которое на координатной прямой изображается точкой, расположенной правее , сравните:

3. Сделайте вывод , закончив предложение:

Нуль ……………. ….… любого отрицательного числа.

1. На координатной прямой отметьте точки, соответствующие числам:; -1;

2. Зная, что из двух чисел больше то, которое на координатной прямой изображается точкой, расположенной правее, сравните:

3. Сделайте вывод, закончив предложение:

Любое отрицательное число………………. положительного.

1. На координатной прямой отметьте точки, соответствующие числам:; -1;

2. Зная, что из двух чисел больше то, которое на координатной прямой изображается точкой, расположенной правее, сравните:

3. Сделайте вывод, закончив предложение:

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль ……………. или которое расположено ………………

Итак(ребята делают выводы)

Сделайте вывод , закончив предложение:

1. Любое отрицательное число ________________ нуля.

2. Любое отрицательное число _______________ положительного.

3. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого ______________________________

Давайте вернемся к заданию:

— Теперь мы сможем сравнить последние пары чисел? Давайте это сделаем.

— Давайте еще раз повторим правило сравнения отрицательных чисел и чисел с разными знаками

Физминутка . (1 мин)

Устали? Сделаем перерыв. Сидя, поднимите руки вверх. Сожмите кисти в кулак, разожмите. Повторите 6-8 раз. Затем расслабленно руки опустите вниз, потрясите кистями. Головой покачайте влево, вправо, вперёд, назад.)

Молодцы! Передохнули, продолжим. Я хотела бы напомнить о том, как важно следить за осанкой. Правильная осанка не только делает фигуру стройной, но и придаёт человеку бодрость, уверенность в себе. Рене Декарт, который дал геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел, был не только математиком и физиком, но и философом. Одно из его изречений на доске: « Наблюдайте за вашим телом, если хотите, чтобы ум работал правильно». Давайте примем правильную осанку и продолжим работу.

5. Первичное закрепление во внешней речи

а) 8,9 9,2 г) -5,5 -7,2 ж) —

б) -240 3,2 д) -96,9 -90,3 з) -2 -4

в) 4,5 -800 е) -1000

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу

8,9 и — 9,2 -5,5 и -7,2 -45,1 и 8,31

-13,8 и 13,7 -240 и 3,2 -1000 и 0

-45,3 и -57,8 4,5 и -800 0 и −45;

-76,9 и 57,1 -96,9 и -90,3 506 и −509;

− 370 и 0; −370 и 0; –348 и — 30 ;

-17 и -2 -21 и -2 -17 и -2

— Поднимите руки у кого всё выполнено правильно? У кого «4», «3»? На какое правило больше ошибок. Разбор ошибок.

7. Включение нового знания в систему знаний и повторений

8. Рефлексия учебной деятельности

— Какую цель ставили на уроке?

— Достигли ли вы этой цели?

«Я знаю, что любое положительное число…..»

«Я знаю, что нуль больше….»

«Я знаю, что из двух отрицательных чисел меньше то…..»

Домашнее задание ( обязательно прокомментировать)

Вы можете записать домашнее задание на выбор:

П.29, правило на стр. 163

2) придумать творческое задание по теме (тест, сказка)

Если вы хотите участвовать в большой жизни,

Источник