Меню

Тема сравнение рационального числа



Сравнение рациональных чисел, определения и примеры.

Чтобы выполнить сравнение рациональных чисел или сравнение дробей, необходимо знать простые правила. Как сравнивать рациональные числа? Рассмотрим подробнее.

Сравнение рациональных чисел с одинаковыми знаменателями.

Если у рациональных чисел одинаковый положительный знаменатель, то переходим к сравнению числителей.

  1. Если положительные числители у дроби, то та дробь больше у которой числитель больше.
  2. Если отрицательные числители у дроби, то та дробь больше у которой числитель по модулю меньше.
  3. Если у числителей разные знаки, то та дробь больше у которой положительный знак.

Рассмотрим пример:
Сравните рациональные числа: а) \(\frac<3><20>\) и \(\frac<7><20>\) б) \(\frac<-5><13>\) и \(\frac<-7><13>\) в) \(\frac<4><7>\) и \(\frac<-5><7>\)

Решение:
а) Знаменатели одинаковые, переходим к сравнению числителей. У первого числителя число 3 у второго 7.

\(\frac<3> <20>5 у отрицательных чисел наоборот правее, а значит больше -7 \frac<-7><13>\)

в) С дробями у которых разные знаки все просто, всегда больше положительная дробь

Сравнение рациональных чисел с нулем.

Правила сравнения рациональных чисел с нулем.

  1. Если рациональное число положительно, то оно всегда будет больше нуля.
  2. Если рациональное число отрицательно, то оно всегда меньше нуля.

Рассмотрим пример:
Сравните с нулем рациональные числа: а) 0 и \(\frac<-1><33>\) б) \(\frac<3><4>\) и 0

Решение:
а) Дробь \(\frac<-1><33>\) отрицательна, поэтому нуль будет больше рационального числа.

б) Дробь положительна \(\frac<3><4>\), поэтому нуль будет меньше рационального числа.

Сравнение рациональных чисел с одинаковыми числителями и разными знаменателями.

Правило сравнение рациональных чисел с одинаковыми числителями:

Если у рациональных чисел одинаковые положительные числители и разные положительные знаменатели, та дробь больше у которой знаменатель меньше.

Разберем пример:
Сравните рациональные числа с одинаковыми числителями \(\frac<1><4>\) и \(\frac<1><16>\).

Решение:
Рассмотрим рисунок.

Видно, что взятая одна часть из четырех больше по размеру, чем взятая одна часть из 16. Поэтому, \(\frac<1> <4>> \frac<1><16>\)

Если у дробей одинаковые отрицательные числители и разные положительные знаменатели, то та дробь больше у которой знаменатель больше.

Рассмотрим тот же пример:
Сравните дроби с одинаковыми отрицательными числителями \(\frac<-1><4>\) и \(\frac<-1><16>\).

Решение:
Из выше решенной задачи на рисунке мы видели, что 1 часть из 16 по размеру меньше, а значит и числовое значение имеет меньше, чем 1 часть из 4. Но в отрицательных числах меньшее отрицательное число на числовой прямой лежит ближе, то есть левее к нулю чем большее число.

б) Найдем общий знаменатель дробей \(\frac<-5><6>\) и \(\frac<-2><3>\), чтобы сравнить их. Общий знаменатель равен 6.

У отрицательных числителей больше то число, которое по модулю меньше.
|-5|=5
|-4|=4 это число меньше по модулю, поэтому -5 \frac<-4> <6>\\\\
&\frac<-5> <6>> \frac<-2> <3>\\\\
\end\)

в) Эти дроби \(\frac<1><2>\) и \(\frac<-7><10>\) можно не приводить к общему знаменателю, потому что у них разные знаки. Дробь с положительным знаком всегда больше дроби с отрицательным знаком.

\(\begin\frac<1> <2>> \frac<-7><10>\end\)

Одинаковые рациональные числа.

Рациональные числа равны тогда, когда при одинаковых знаменателях равны их числители. Например:

Источник

План-конспект урока математики в 6 классе по теме»Сравнение рациональных чисел»
план-конспект урока по математике (6 класс) на тему

На уроке выводится правило сравнения рациональных чисел, формируется умение сравнивать рациональные числа, приводить примеры, аргументировать ответ.

Скачать:

Вложение Размер
sravnenie_ratsionalnyh_chisel.doc 796.59 КБ
prilozhenie.doc 352.5 КБ
prilozhenie_2.docx 1.68 МБ

Предварительный просмотр:

Урок математики в 6 классе

Тема: «Сравнение рациональных чисел»

Учитель математики М.Л.Иванова

  • повторить положительные и отрицательные числа; модуль числа; изображение чисел на координатной прямой;
  • сравнение положительных чисел; выведение правил сравнения рациональных чисел;
  • формировать умение сравнивать рациональные числа, приводить примеры;
  • развивать внимание, речь, память, логическое мышление, самостоятельность.
  • воспитывать стремление достигать поставленную цель; уверенности в себе, умение работать в коллективе.

Знать: правила сравнения двух рациональных чисел.

Уметь: сравнивать рациональные числа, аргументируя свой ответ.

Тип урока: изучение нового материала и первичного закрепления.

Оборудование: мультимедиа, бланк ответов ( приложение ).

Настроить учащихся на урок.

Актуализация знаний. Повторение пройденного материала.

Повторить положительные и отрицательные числа, изображение их на координатной прямой, модуль числа, сравнение положительных чисел.

Изучение нового материала.

Выведение правил сравнения чисел.

Снять утомление ребенка, обеспечить активный отдых и повысить умственную работоспособность учащихся.

Закрепление изученного материала.

Формировать умение сравнивать рациональные числа, приводить примеры, аргументировать ответ.

Инструктаж по домашнему заданию.

Подведение итога. Выставление оценок. Рефлексия.

1). Организационный момент.

Настрой на урок

2). Актуализация знаний. Повторение пройденного материала.

— Какую тему изучали на предыдущих уроках?

Положительные и отрицательные числа, координатная прямая, модуль числа, противоположные числа.

— Какую цель будем ставить перед собой?

Повторить положительные и отрицательные числа; определение координатной прямой; изображение точек на координатной прямой; модуля числа; нахождение модуля; противоположных чисел.

Повторим положительные и отрицательные числа

— Приведите примеры положительных чисел.

— Приведите примеры отрицательных чисел.

— Чем отличаются друг от друга положительные и отрицательные числа?

— Что можно сказать про число 0 ?

— Как можно назвать все целые числа и все дроби?

Письменно на листочках (слайд № 1).

1. Из чисел 13; -7.2; 0; 46; -46 выпишите :

а) положительные числа;

б) отрицательные числа;

в) число, которое не относится ни к положительным, ни к отрицательным.

Проверить и подвести итог

  • 5 «+» отметка 5,
  • 4 «+» отметка 4 ,
  • 3 «+» отметка 3.

Повторим про координатную прямую (слайд № 2).

— Дайте определение координатной прямой.

Письменно на листочках:

2. а) Запишите координаты отмеченных точек.

б) Отметьте на координатной прямой точки М(4); N(-3,5); Р(2,5);К(-2).

Проверить и подвести итог

  • 9 «+» отметка 5,
  • 8-7 «+» отметка 4 ,
  • 5-6 «+» отметка 3.

Повторим про противоположные числа, модуль числа

— Дайте определение противоположных чисел и приведите примеры.

— Что называется модулем числа а ?

— Чему равен модуль положительного числа? Пример.

— Чему равен модуль отрицательного числа? Пример.

— Чему равен модуль 0 ?

Письменно на листочках (слайд № 3).

а) Выпишите точки, которые имеют противоположные координаты.

б) Из данных чисел -2,6; 2,05; 2,2; -2,22; 2,53 выберите то, которое имеет наибольший модуль.

в) Вычисли: |-4|1,5; 34 — |- 16|; |+23|+|-8|.

Проверить и подвести итог:

  • 5 «+» отметка 5,
  • 4 «+» отметка 4 ,
  • 3 «+» отметка 3.

Проверим домашнее задание (№956, №958)

— Кто думает, что материал предыдущих уроков усвоил хорошо?

— Кто считает, что надо ещё поработать над этим материалом?

— Кто удовлетворён своими результатами?

3). Изучение нового материала.

А) Подготовительная работа

В домашнем задании вам надо было сравнить числа. Сегодня мы продолжим учиться сравнивать числа.

— Какие числа мы умеем сравнивать?

Натуральные числа, десятичные и обыкновенные дроби.

Каким образом мы сравниваем эти числа?

С помощью координатной прямой (луча).

Устно: сравнить числа (слайд №4) :

— Почему мы не можем сравнить последнюю пару чисел?

— Как называются эти числа?

— Все ли числа мы умеем сравнивать?

— Тогда сформулируйте тему урока. Учащимся предлагается записать число и тему урока в тетрадь » Сравнение чисел » (слайд № 5).

Попробуйте определить цели и задачи урока (учитель может их записать на доске).

Решить последний пример поможет нам координатная прямая (слайд № 6). Замечаем, что по мере «продвижения» вправо от точки О положительные числа увеличиваются, а по мере «продвижения» влево к точке О числа уменьшаются до нуля. Сделайте вывод о расположении больших положительных чисел и меньших положительных чисел на координатной прямой.

  • Из двух положительных чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее, меньше то — которое левее.

Во всех случаях правее на координатной прямой расположено большее число, левее — меньшее. Следовательно, для отрицательных чисел на координатной прямой, сохраняется тот же порядок, что и для положительных. Учащимся предлагается сформулировать правило для рациональных чисел и записать его в тетрадь.

  • Из двух рациональных чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее, меньше то, которое левее.

Теперь мы сможем сравнить последнюю пару чисел и объяснить почему.

Физкультминутка. «Дыхание горкой»

Вдох — выдох — пауза.

  • 2 вдоха — 2 выдоха — пауза.
  • 3 вдоха — 3 выдоха — пауза.
  • 2 вдоха — 2 выдоха — пауза.

Вдох — выдох — пауза.

(Чем длиннее пауза, тем лучше).

Б) Работа над новой темой. (слайд № 7).

  1. Отметьте на координатной прямой точки с координатами -13; -1; 0; 9.

Прежде, чем сравнивать, откройте учебник на стр. 164. и прочитайте, как правильно произносить о сравнении чисел.

Устно сравнивают числа, объясняя по правилу.

  1. Запишите одно положительное и одно отрицательное число. Сравните. Сделайте вывод.

Сравните отрицательное число и нуль. Сделайте вывод.

Сравните положительное число и нуль. Сделайте вывод.

Сравните два отрицательных числа. Сравните их модули.

Правила сравнения чисел:

  1. Любое отрицательное число меньше любого положительного.
  2. Нуль больше любого отрицательного числа.
  3. Нуль меньше любого положительного числа.
  4. Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше.

В) Закрепление изученного материала

— самостоятельно с последующей проверкой (слайд № 8):

Молодцы. А теперь проверим, как вы усвоили новую тему.

3. Выполните тест на листочках (слайд № 9).

1) Из двух рациональных чисел больше то, которое на координатной прямой расположено —

а) правее; б) левее.

2) Из двух рациональных чисел меньше то, которое на координатной прямой расположено —

а) правее; б) левее.

3) Какое из данных чисел 0, -10, 12, -6 на координатной прямой расположено левее?

а) 0; б) -10; в )12; г) -6.

4) Какое из данных чисел 0, -8, -14, 5 имеет наименьший модуль?

а) 0; б) -8; в )-14; г) 5.

5) Запишите числа -5, 0, 11, — 2 в порядке возрастания.

а) 0, 12, -5, 11; б) 11, 0, -2, -5; в ) -5, -2, 0, 11.

Проверить и подвести итог:

  • 5 «+» отметка 5,
  • 4 «+» отметка 4 ,
  • 3 «+» отметка 3.

4. Домашнее задание (слайд № 10).

Стр.163 -правила выучить; № 995, 999

5. Подведение итогов (каждый учащийся выставляет себе оценку за работу на уроке),

Учитель оценивает работу учащихся на уроке и выставляет оценки , собирает листочки.

В конце урока подводится итог работы, уровень достижения цели:

  • Чему сегодня на уроке мы научились?
  • Трудно ли было?
  • Довольны ли вы своей работой на уроке?

Источник

Сравнение рациональных чисел

Продолжаем изучать рациональные числа. В данном уроке мы научимся сравнивать их.

Из предыдущих уроков мы узнали, что чем правее число располагается на координатной прямой, тем оно больше. И соответственно, чем левее располагается число на координатной прямой, тем оно меньше.

Например, если сравнивать числа 4 и 1, то можно сразу ответить, что 4 больше чем 1. Это вполне логичное утверждение и каждый с этим согласится.

В качестве доказательства можно привести координатную прямую. На ней видно, что четвёрка лежит правее единицы

Для этого случая есть и правило, которое при желании можно использовать. Выглядит оно следующим образом:

Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Чтобы ответить на вопрос какое число больше, а какое меньше, сначала нужно найти модули этих чисел, сравнить эти модули, а потом уже ответить на вопрос.

Например, сравним те же числа 4 и 1, применяя вышеприведенное правило

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули:

Отвечаем на вопрос:

Для отрицательных чисел существует другое правило, выглядит оно следующим образом:

Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Например, сравним числа −3 и −1

Находим модули чисел

Сравниваем найденные модули:

Отвечаем на вопрос:

Нельзя путать модуль числа с самим числом. Частая ошибка многих новичков. К примеру, если модуль числа −3 больше, чем модуль числа −1, это не означает, что число −3 больше, чем число −1.

Число −3 меньше, чем число −1 . Это можно понять, если воспользоваться координатной прямой

Видно, что число −3 лежит левее, чем −1 . А мы знаем, что чем левее, тем меньше.

Если сравнивать отрицательное число с положительным, то ответ будет напрашиваться сам. Любое отрицательное число будет меньше любого положительного числа. Например, −4 меньше, чем 2

Мы рассмотрели в качестве примера целые числа, вида −4, −3 −1, 2. Сравнить такие числа, а также изобразить на координатной прямой не составляет особого труда.

Намного сложнее сравнивать другие виды чисел, такие как обыкновенные дроби, смешанные числа и десятичные дроби, некоторые из которых являются отрицательными. Здесь уже в основном придётся применять правила, потому что точно изобразить такие числа на координатной прямой не всегда возможно. В некоторых случаях, число надо будет видоизменять, чтобы сделать его более простым для сравнения и восприятия.

Пример 1. Сравнить рациональные числа

Итак, требуется сравнить отрицательное число с положительным. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что меньше, чем

Пример 2. Сравнить рациональные числа и

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа

Пример 3. Сравнить числа 2,35 и

Требуется сравнить положительное число с отрицательным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем что 2,35 больше, чем

2,35 >

Пример 4. Сравнить рациональные числа и

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём в неправильные дроби и приведём к общему знаменателю

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа

Пример 5. Сравнить рациональные числа 0 и

Требуется сравнить ноль с отрицательным числом. Ноль больше любого отрицательного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 больше, чем

Пример 6. Сравнить рациональные числа 0 и

Требуется сравнить ноль с положительным числом. Ноль меньше любого положительного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 меньше, чем

Пример 7. Сравнить рациональные числа 4,53 и 4,403

Требуется сравнить два положительных числа. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Сделаем в обеих дробях количество цифр после запятой одинаковым. Для этого в дроби 4,53 припишем в конце один ноль

Далее применим правило сравнения положительных чисел.

Находим модули чисел

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число 4,53 больше, чем 4,403 потому что модуль числа 4,53 больше, чем модуль числа 4,403

Пример 8. Сравнить рациональные числа и

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём смешанное число в неправильную дробь, затем приведём обе дроби к общему знаменателю:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа

Сравнивать десятичные дроби намного проще, чем обыкновенные дроби и смешанные числа. В некоторых случаях, посмотрев на целую часть такой дроби, можно сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше.

Чтобы сделать это, нужно сравнить модули целых частей. Это позволит быстро ответить на вопрос в задаче. Ведь как известно, целые части в десятичных дробях имеют вес больший, чем дробные.

Пример 9. Сравнить рациональные числа 15,4 и 2,1256

Модуль целой части дроби 15,4 больше, чем модуль целой части дроби 2,1256

поэтому и дробь 15,4 больше, чем дробь 2,1256

Другими словами, нам не пришлось тратить время на дописывание нулей дроби 15,4 и сравнивать получившиеся дроби, как обычные числа

Правила сравнения остаются всё теми же. В нашем случае мы сравнивали положительные числа.

Пример 10. Сравнить рациональные числа −15,2 и −0,152

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей

Видим, что модуль целой части дроби −15,2 больше, чем модуль целой части дроби −0,152.

А значит рациональное −0,152 больше, чем −15,2 потому что модуль целой части числа −0,152 меньше, чем модуль целой части числа −15,2

Пример 11. Сравнить рациональные числа −3,4 и −3,7

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей. Но проблема в том, что модули целых чисел равны:

В этом случае придётся пользоваться старым методом: найти модули рациональных чисел и сравнить эти модули

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное −3,4 больше, чем −3,7 потому что модуль числа −3,4 меньше, чем модуль числа −3,7

Пример 12. Сравнить рациональные числа 0,(3) и

Требуется сравнить два положительных числа. Причем сравнить периодическую дробь с простой дробью.

Переведём периодическую дробь 0,(3) в обыкновенную дробь и сравним её с дробью . После перевода периодической дроби 0,(3) в обыкновенную, она обращается в дробь

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно приведём к общему знаменателю:

Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число больше, чем 0,(3) потому что модуль числа больше, чем модуль числа 0,(3)

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Источник

Читайте также:  Сравнение длин строк python