Меню

Теоремы сравнения для несобственных интегралов 1 рода



10. Несобственные интегралы

был построен в предположении, что числа $a,\,b$ конечны и $f(x)$ — непрерывная функция. Если одно из этих предположений нарушается, говорят о несобственных интегралах.

10.1 Несобственные интегралы 1 рода

Несобственный интеграл 1 рода возникает, когда по крайней мере одно из чисел $a,\,b$ бесконечно.

10.1.1 Определение и основные свойства

Рассмотрим сначала ситуацию, когда нижний предел интегрирования конечен, а верхний равен $+\infty$, другие варианты обсудим несколько позднее. Для $f(x)$, непрерывной при всех интересующих нас $x$, рассмотрим интеграл

Прежде всего надо установить смысл этого выражения. Для этого введем функцию

и рассмотрим ее поведение при $N\rightarrow +\infty$.

Определение. Пусть существует конечный предел

Тогда говорят, что несобственный интеграл 1 рода (19) является сходящимся и ему приписывают значение $A$, саму функцию называют интегрируемой на интервале $\left[ a, \, +\infty \right )$. Если же указанного предела не существует или он равен $\pm \infty$, то говорят, что интеграл (19) расходится.

В данном случае известна первообразная подинтегральной функции, так что

Известно, что $arctg N \rightarrow \pi /2 $ при $N \rightarrow +\infty$. Таким образом, $I(N)$ имеет конечный предел, наш несобственный интеграл сходится и равен $\pi /2$.

Сходящиеся несобственные интегралы 1 рода обладают всеми стандартными свойствами обычных определенных интегралов.

1. Если $f(x)$, $g(x)$ интегрируемы на интервале $\left[ a, \, +\infty \right )$, то их сумма $f(x)+g(x)$ также интегрируема на этом интервале, причем \[ \int _a^<+\infty>\left(f(x)+g(x)\right )dx=\int _a^<+\infty>f(x)dx+\int _a^<+\infty>g(x)dx. \] 2. Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, +\infty \right )$, то для любой константы $C$ функция $C\cdot f(x)$ также интегрируема на этом интервале, причем \[ \int _a^<+\infty>C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^<+\infty>f(x)dx. \] 3. Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, +\infty \right )$, причем на этом интервале $f(x)>0$, то \[ \int _a^ <+\infty>f(x)dx\,>\,0. \] 4. Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, +\infty \right )$, то для любого $b>a$ интеграл \[ \int _b^ <+\infty>f(x)dx \] сходится, причем \[ \int _a^<+\infty>f(x)dx=\int _a^ f(x)dx+\int _b^ <+\infty>f(x)dx \] (аддитивность интеграла по интервалу).

Справедливы также формулы замены переменной, интегрирования по частям и т.д. (с естественными оговорками).

В данном случае первообразная известна, так что

при $k = 1$. Рассматривая поведение при $N \rightarrow +\infty$, приходим к выводу, что интеграл (20) сходится при $k>1$, а при $k \leq 1$ — расходится.

Рассмотрим теперь вариант, когда нижний предел интегрирования равен $-\infty$, а верхний конечен, т.е. рассмотрим интегралы

Однако этот вариант можно свести к предыдущему, если сделать замену переменных $x=-s$ и поменять затем пределы интегрирования местами, так что

$g(s)=f(-s)$. Рассмотрим теперь случай, когда имеется два бесконечных предела, т.е. интеграл

причем $f(x)$ непрерывна при всех $x \in \mathbb$. Разобъем интервал на две части: возьмем $c \in \mathbb$, и рассмотрим два интеграла,

Определение. Если оба интеграла $I_1$, $I_2$ сходятся, то интеграл (21) называется сходящимся, ему приписывают значение $I=I_1+I_2$ ( в соответствии с аддитивностью по интервалу). Если хотя бы один из интегралов $I_1$, $I_2$ расходится, интеграл (21) называется расходящимся.

Можно доказать, что сходимость интеграла (21) не зависит от выбора точки $c$.

Несобственные интегралы 1 рода с интервалами интегирования $\left(-\infty, \, c \right]$ или $(-\infty, \, +\infty )$ также обладают всеми стандартными свойствами определенных интегралов (с соответствующей переформулировкой, учитывающей выбор интервал интегрирования).

10.1.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода

Теорема (первый признак сравнения). Пусть $f(x)$, $g(x)$ — непрерывны при $x>a$, причем $0 a$. Тогда

1. Если интеграл \[ \int _a^<+\infty>g(x)dx \] сходится, то сходится и интеграл \[ \int _a^<+\infty>f(x)dx. \] 2. Если интеграл \[ \int _a^<+\infty>f(x)dx \] расходится, то расходится и интеграл \[ \int _a^<+\infty>g(x)dx. \]

Теорема (второй признак сравнения). Пусть $f(x)$, $g(x)$ — непрерывны и положительны при $x>a$, причем существует конечный предел

сходятся или расходятся одновременно.

Подинтегральное выражение — положительная функция на интервале интегрирования. Далее, при $x \rightarrow +\infty$ имеем:

$\sin x$ является «малой» поправкой в знаменателе. Точнее, если взять $f(x)=1/(x+\sin x)$, \, $g(x)=1/x$, то

Применяя второй признак сравнения, приходим к выводу, что наш интеграл сходится или расходится одновременно с интегралом

Как было показано в предыдущем примере, этот интеграл расходится ($k=1$). Следовательно, исходный интеграл расходится.

Вычислить несобственный интеграл или установить его сходимость (расходимость).

Источник

Признак сравнения несобственных интегралов

Теорема

Пусть функции $f$ и $g$ неотрицательны на $[a,b)$ и интегрируемы на каждом отрезке, содержащемся в $[a,b)$. Предположим, что $f(x)\leq g(x)$ для любого $x\in [a,b)$. Тогда:

  1. Из $ 0\leq f(x) \leq g(x)$ следует, что $\int_^<\xi>\leq \int_^<\xi>$ $(1)$, $\xi \in [a,b)$. Если сходится интеграл $I_<2>=\int_^$, т.е. существует конечный $\lim_ <\xi \rightarrow b-0>\int_^<\xi>=I_<2>$, где $I_<2>=sup_$ сходится, то из сходимости интеграла $I_<2>$ следует сходимость интеграла $I_<1>$.
    Ответ: $I_<1>$ сходится.

Признак сравнения в предельной форме

Теорема

Пусть функции $f(x) $ и $g(x) $ неотрицательны на $[a,b)$ и интегрируемы на каждом отрезке, содержащемся в $[a,b)$. Тогда, если для $\forall x \in [a,b)$ выполняются условие $f(x)\sim g(x)$ при $x\rightarrow b-0$ $(\lim_\frac=1)$. Тогда интегралы $I_<1>=\int_^$ и $I_<2>=\int_^$ сходятся или расходятся одновременно (ведут себя одинаково).

Согласно условию $\lim\limits_\frac=1:$ $$\forall \varepsilon >0 \exists \delta _<\varepsilon>>0: b-\delta 0 \exists \delta (\varepsilon)\in [a,b):\forall x \in[\delta (\varepsilon ),b) \rightarrow \left|\frac-1 \right| 1$ и расходится при $\alpha \leq 1$.

Сходится ли интеграл? $$\int\limits_<0>^<1><\frac<\ln(1+x)>>dx>$$
$$\int\limits_<0>^<1><\frac<\ln(1+x)>>dx>=\left[\frac<\ln(1+x)>>\sim \frac>=\frac<1> \right]$$ (можем заменить функцию эквивалентной т.к. $\frac<\ln(1+x)>>\rightarrow 0$). Тогда интеграл $\int_<0>^<1><\frac>=\infty$ расходится (т.к. $\alpha =1$).
Ответ: интеграл расходится.

Источник

Несобственные интегралы

Определение несобственных интегралов.

Интеграл Римана был введен для ограниченных на отрезке функций. Естественно поставить вопрос о распространении понятия интеграла на случай бесконечного промежутка, а также на случай, когда подынтегральная функция является неограниченной.

Интеграл на бесконечном промежутке.

Рассмотрим функцию \(\displaystyle\frac<1><1+x^<2>>\). Эта функция непрерывна на отрезке \([0,\xi]\) при любом \(\xi \geq 0\), и поэтому существует интеграл \(J(\xi) = \displaystyle\int\limits_0^ <\xi>\frac<1+x^<2>> = \operatorname \xi\), откуда следует, что \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow \infty>J(\xi) = \frac<\pi><2>\). В этом случае пишут \(\displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac<1+x^<2>> = \frac<\pi><2>\), а символ \(\displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac<1+x^<2>>\) называют несобственным интегралом от функции \(\displaystyle\frac<1><1+x^<2>>\) на бесконечном промежутке \([0, +\infty)\).

Число \(\displaystyle\frac<\pi><2>\) — можно интерпретировать как площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = \displaystyle\frac<1><1+x^<2>>,\ x \geq 0\), и координатными осями (рис. 38.1).

Рис. 38.1

Рассмотрим несобственный интеграл на бесконечном промежутке от функции \(f\).

Пусть функция \(f(x)\) определена при \(x \geq a\), где \(a\) — заданное число, и интегрируема на отрезке \([a,\xi]\) при любом \(\xi \geq a\). Тогда символ \(\displaystyle\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx\) будем называть несобственным интегралом от функции \(f\) на промежутке \([0, +\infty)\). Если существует конечный \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow +\infty>\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx = A\), то говорят, что несобственный интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx\) сходится и равен \(A\), а функцию \(f\) называют интегрируемой в несобственном смысле на промежутке \([a, +\infty)\). Таким образом, сходящийся несобственный интеграл от функции \(f\) на промежутке \([a, +\infty)\) определяется равенством
$$
\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow +\infty>\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx.\label
$$

Если функция \(\displaystyle\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx\) не имеет конечного предела при \(\xi \rightarrow +\infty\), то говорят, что несобственный интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx\) расходится.

Сходимость интеграла \eqref равносильна сходимости интеграла \(\displaystyle\int\limits_c^ <+\infty>f(x)\ dx\), где \(c\) — любое число из промежутка \((a, +\infty)\), так как
$$
\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx = \int\limits_a^c f(x)\ dx+\int\limits_c^ <\xi>f(x)\ dx.\nonumber
$$

Интеграл на бесконечном промежутке вида \((-\infty, a)\) определяется аналогично:
$$
\int\limits_<-\infty>^a f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow -\infty>\int\limits_<\xi>^a f(x)\ dx.\label
$$

Показать, что интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_<-\infty>^0 xe^<-x^<2>>\ dx\) сходится, и вычислить этот интеграл.

\(\vartriangle\) Обозначим \(F(\xi) = \displaystyle\int\limits_<-\infty>^0 xe^<-x^<2>>\ dx\). Тогда
$$
F(\xi) = \frac<1> <2>\int\limits_0^ <\xi>e^<-x^<2>>\ d(-x^<2>) = \left.\frac<1> <2>e^<-x^<2>>\right|_<0>^ <\xi>= \frac<1><2>(e^<-\xi^<2>>-1).\nonumber
$$
Так как существует конечный \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow -\infty>F(\xi) =-\frac<1><2>\), то согласно определению \eqref интеграл \(J\) существует, причем \(J =-\displaystyle\frac<1><2>\). \(\blacktriangle\)

Определим, наконец, несобственный интеграл на промежутке \(\mathbb\):
$$
\int\limits_<-\infty>^ <+\infty>f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow -\infty\\\eta \rightarrow +\infty>\int\limits_<\xi>^ <\eta>f(x)\ dx.\label
$$
В этом случае предполагается, что функция \(f\) интегрируема (по Риману) на любом отрезке действительной оси, а интеграл \(\displaystyle\int\limits_<-\infty>^ <+\infty>f(x)\ dx\) называется сходящимся в случае существования конечного предела \eqref, причем этот предел не должен зависеть от того, каким способом \(\xi\) и \(\eta\) стремятся соответственно к \(-\infty\) и к \(+\infty\). Иначе говоря, интеграл сходится тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow -\infty>\int\limits_<\xi>^a f(x)\ dx = J_<1>\) и \(\displaystyle\lim_ <\eta \rightarrow +\infty>\int\limits_a^ <\eta>f(x)\ dx = J_<2>\), где \(a \in \mathbb\), и при этом несобственный интеграл по определению равен \(J_<1>+J_<2>\), то есть
$$
\int\limits_<-\infty>^ <+\infty>f(x)\ dx = \int\limits_<-\infty>^a f(x)\ dx+\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx.\nonumber
$$

Показать, что интеграл \(J = \int\limits_<-\infty>^ <+\infty>\frac<1+x+x^<2>>\) сходится, и вычислить этот интеграл.

Исследовать на сходимость интеграл
$$
J(\alpha) = \int\limits_1^ <+\infty>\frac>.\label
$$

\(\vartriangle\) Пусть \(a \neq 1\), тогда
$$
\int\limits_1^ <\xi>\frac> = \left.\frac><1-\alpha>\right|_<1>^ <\xi>= \frac<\xi^<1-\alpha>><1-\alpha>-\frac<1><1-\alpha>.\nonumber
$$
Если \(\alpha > 1\), то существует конечный \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow -\infty>\int\limits_1^ <\xi>\frac> = \frac<1><1-\alpha>\), то есть интеграл \eqref сходится, причем \(J(\alpha) = \displaystyle\frac<1><1-\alpha>\). Если \(\alpha 1\) и расходится при \(\alpha \leq 1\). \(\blacktriangle\)

Интеграл на конечном промежутке.

Рассмотрим функцию \(\displaystyle\frac<1><\sqrt<1-x>>\). Эта функция непрерывна на промежутке \([0, 1)\), но не ограничена на этом промежутке. При любом \(\xi \in [0, 1)\) функция \(\displaystyle\frac<1><\sqrt<1-x>>\) интегрируема на отрезке \([0, \xi]\), причем \(J(\xi) = \displaystyle\int\limits_0^ <\xi>\frac<1><\sqrt<1-x>> = -2\displaystyle\left.\sqrt<1-x>\right|_<0>^<\xi>=2(1-\sqrt<1-\xi>)\), откуда следует, что существует конечный \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow 1-0>F(\xi) = 2\). В этом случае говорят, что несобственный интеграл от функции \(\displaystyle\frac<1><\sqrt<1-x>>\) на промежутке \([0, 1)\) равен 2, то есть \(\displaystyle\int\limits_0^1 \frac<1><\sqrt<1-x>> = 2\). Число 2 можно интерпретировать как площадь заштрихованной на рис. 38.2 фигуры \(G\).

Рис. 38.2

Обратимся к несобственному интегралу на конечном промежутке.

Пусть функция \(f(x)\) определена на конечном промежутке \([a, b)\), интегрируема на отрезке \([a, \xi]\) при любом \(\xi \in [a, b)\).

Если существует конечный \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow b-0>\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx = A\), то говорят, что несобственный интеграл от функции \(f(x)\) на промежутке \([a, b)\) равен \(A\). Его обозначают символом \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\). Таким образом, по определению
$$
\int\limits_a^b f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow b-0>\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx.\label
$$

В случае существования конечного предела \eqref несобственный интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) называют сходящимся, в противном случае — расходящимся; символ \(\int\limits_a^b f(x)\ dx\) употребляют как в случае сходимости, так и в случае расходимости интеграла.

Аналогично, если функция \(f(x)\) определена на конечном промежутке \((a, b]\), интегрируема на отрезке \([\xi, b]\) при любом \(\xi \in (a, b]\), то символ \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) называют несобственным интегралом от функции \(f\) на промежутке \((a, b]\).

Если существует конечный \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow a+0>\int\limits_<\xi>^b f(x)\ dx = A\), то говорят, что несобственный интеграл сходится и равен \(A\), то есть
$$
\int\limits_a^b f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow a+0>\int\limits_<\xi>^b f(x)\ dx.\label
$$

Если функция \(\displaystyle\int\limits_<\xi>^b f(x)\ dx\) не имеет конечного предела при \(\xi \rightarrow a+0\), то несобственный интеграл называют расходящимся.

Определение \eqref несобственного интеграла на конечном промежутке \([a, b)\) является содержательным лишь в случае, когда функция \(f\) неограничена на интервале \((b-\delta, b)\) при любом \(\delta > 0\). В самом деле, если функция \(f\) интегрируема на отрезке \([a, \xi]\) при любом \(\xi \in [a, b)\) и ограничена на \([a, b)\), то, доопределив эту функцию в точке \(b\), получим функцию, которая интегрируема по Риману на отрезке \([a, b]\). При этом интеграл от доопределенной функции равен пределу \eqref и не зависит от значения функции в точке \(b\).

Поэтому в дальнейшем, рассматривая несобственный интеграл \eqref, будем считать, что функция \(f\) является неограниченной на интервале \((b-\delta, b)\) при любом \(\delta > 0\), а точку \(b\) будем называть иногда особой точкой подынтегральной функции \(f\) или интеграла \eqref.

Аналогично, рассматривая несобственный интеграл \eqref, будем считать, что \(a\) — особая точка функции \(f\), то есть предполагать, что функция \(f\) неограничена на интервале \((a, a+\delta)\) при любом \(\delta > 0\).

Исследовать на сходимость интеграл
$$
J = \int\limits_0^1 \frac>.\nonumber
$$

\(\vartriangle\) Обозначим \(F(\xi) = \displaystyle\int\limits_<\xi>^ <1>\frac>\), тогда
$$
F(\xi) = \left\<\begin
\frac<1><1-\alpha>(1-\xi^<1-\alpha>),\ \mbox<если>\ \alpha \neq 1 \\
-\ln \xi,\ \mbox<если>\ \alpha = 1.
\end \right.\nonumber
$$
Поэтому при \(\alpha Замечание 3.

Сходимость несобственного интеграла \eqref равносильна сходимости интеграла \(\displaystyle\int\limits_c^b f(x)\ dx\) при любом \(c \in (a, b)\), так как \(\displaystyle\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx = \int\limits_a^c f(x)\ dx+\int\limits_c^ <\xi>f(x)\ dx\).

Другие типы несобственных интегралов.

Если функция \(f\) определена на конечном интервале \((a, b)\), интегрируема по Риману на отрезке \([\xi, \eta]\) при любых \(\xi,\ \eta\) таких, что \(a

Свойства и вычисление несобственных интегралов.

Будем рассматривать несобственные интегралы вида \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) предполагая, что:

  • функция \(f\) определена на промежутке \([a, b)\), где \(a\) — конечная точка, \(b\) — либо конечная точка, либо символ \(+\infty\);
  • функция \(f\) интегрируема по Риману на отрезке \([a, \xi]\) при любом \(\xi \in [a, b)\).

Согласно определению сходящегося несобственного интеграла
$$
\int\limits_a^b f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow b-0>\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx,\ \mbox<если>\ b \neq +\infty,\nonumber
$$
$$
\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow +\infty>\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx\ \mbox<если>\ b = +\infty.\nonumber
$$

Линейность интеграла.

Если сходятся несобственные интегралы от функций \(f(x)\) и \(g(x)\) на промежутке \([a, b)\), то при любых \(\lambda, \mu \in \mathbb\) сходится интеграл от функции \(\lambda f(x)+\mu g(x)\) на том же промежутке и выполняется равенство
$$
\int\limits_a^ <\xi>(\lambda f(x)+\mu g(x))\ dx = \lambda \int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx+\mu \int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx,\label
$$

\(\circ\) Для любого \(\xi \in [a, b)\) в силу свойств интеграла Римана справедливо равенство
$$
\int\limits_a^ <\xi>(\lambda f(x)+\mu g(x))\ dx = \lambda \int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx+\mu \int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx,\nonumber
$$
правая часть которого имеет по условию конечный предел при \(\xi \rightarrow b-0\), откуда следует существование предела при \(\xi \rightarrow b-0\) в левой части и справедливость формулы \eqref. \(\bullet\)

Формула Ньютона-Лейбница.

Если функция \(f(x)\) непрерывна на промежутке \([a, b)\) и если \(F(x)\) — первообразная для функции \(f(x)\), то несобственный интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) сходится тогда и только тогда, когда существует конечный
$$
\lim_ <\xi \rightarrow b-0>F(\xi) = F(b-0),\label
$$
причем
$$
\int\limits_a^b f(x)\ dx = F(b-0)-F(a).\label
$$

\(\circ\) Так как функция \(f\) непрерывна на отрезке \([a, \xi]\) при любом \(\xi \in [a, b)\), то справедлива формула Ньютона-Лейбница
$$
\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx = F(\xi)-F(a),\nonumber
$$
откуда, переходя к пределу при \(\xi \rightarrow b-0\) и используя соотношение \eqref, получаем формулу \eqref, которую называют формулой Ньютона Лейбница для несобственного интеграла.
Правую часть формулы \eqref часто записывают в виде \(\displaystyle\left.F(x)\right|_^\), если \(b \neq +\infty\). Если \(b = +\infty\), то правую часть формулы \eqref записывают в виде \(\displaystyle\left.F(x)\right|_^<+\infty>\). \(\bullet\)

  1. \(\vartriangle\) Так как \(\displaystyle\frac <\operatornamex><1+x^<2>>\ dx = \operatorname x\ d(\operatorname x) = d \left(\frac<\operatorname^<2>x><2>\right)\), то \(F(x) = \displaystyle\frac <(\operatornamex)^<2>><2>\) является первообразной для функции \(f(x)=\displaystyle\frac <\operatornamex><1+x^<2>>\) и по формуле \eqref получаем \(J_ <1>= \displaystyle\left.\frac<1><2>(\operatorname x)^<2>\right|_<0>^ <+\infty>= \frac<\pi^<2>><8>\), так как \(\operatorname (+\infty) = \displaystyle\lim_ \operatorname x = \frac<\pi><2>,\ \operatorname 0 = 0\).
  2. Ранее было показано, что функция \(F(x) = \displaystyle\frac<\beta \sin \beta x-\alpha \cos \beta x><\alpha^<2>+\beta^<2>>e^<-\alpha x>\) является первообразной для функции \(f(x) = e^ <-\alpha x>\cos \beta x\). По формуле \eqref находим \(J_ <2>= F(x)\vert_<0>^ <+\infty>= F(+\infty)-F(0)\), где \(F(0) = -\displaystyle\frac<\alpha><\alpha^<2>+\beta^<2>>,\ F(+\infty) = 0\), так как \(|\sin \beta x| \leq 1,\ |\cos \beta x| \leq 1\) для всех \(x \in \mathbb,\ \displaystyle\lim_ e^<-\alpha x>\) при \(\alpha > 0\). Следовательно, \(J_ <2>= \displaystyle\frac<\alpha><\alpha^<2>+\beta^<2>>\). \(\blacktriangle\)

Интегрирование по частям.

Пусть функции \(u(x)\), \(v(x)\) определены на промежутке \([a, b)\), имеют непрерывные производные на отрезке \([a, \xi]\) для любого \(\xi \in (a, b)\). Если существует конечный предел
$$
\lim_ <\xi \rightarrow b-0>[u(\xi)v(\xi)] = u(b-0)v(b-0) = uv|_<\xi = b-0>,\label
$$
и интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b vu’\ dx\) сходится, то и интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b uv’\ dx\) сходится и справедлива формула интегрирования по частям
$$
\int\limits_a^b uv’\ dx = uv|_^-\int\limits_a^b vu’\ dx.\label
$$

\(\circ\)Так как функции \(u'(x)\), \(v'(x)\) непрерывны на отрезке \([a, \xi]\) при любом \(\xi \in (a, b)\), то справедлива формула интегрирования по частям
$$
\int\limits_a^ <\xi>uv’\ dx = u(\xi)v(\xi)-u(a)v(a)-\int\limits_a^ <\xi>vu’\ dx.\label
$$
Правая часть равенства \eqref по условию имеет при \(\xi \rightarrow b-0\) конечный предел, равный правой части формулы \eqref. Следовательно, существует конечный предел и в левой части \eqref, то есть сходится интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b uv’\ dx\), и при этом справедлива формула \eqref.

Отметим, что при наличии конечного предела \eqref несобственные интегралы \(\displaystyle\int\limits_a^b vu’\ dx\) и \(\displaystyle\int\limits_a^b uv’\ dx\) сходятся или расходятся одновременно. \(\bullet\)

Вычислить несобственный интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>xe^<-x>\ dx\).

\(\vartriangle\) Применяя формулу \eqref, получаем
$$
J = \left.\int\limits_0^ <+\infty>x(-e^<-x>)’\ dx = -xe^<-x>\right|_<0>^<+\infty>+\int\limits_0^ <+\infty>e^<-x>\ dx.\nonumber
$$
Так как \(xe^ <-x>= 0\) при \(x = 0\), а \(\displaystyle\lim_ xe^ <-x>= 0\), то \(J = \displaystyle\left.\int\limits_0^ <+\infty>e^<-x>\ dx = -e^<-x>\right|_<0>^ <+\infty>= 1\). \(\blacktriangle\)

Замена переменного.

Если функция \(f(x)\) непрерывна на промежутке \([a, b)\), а функция \(x = \varphi(t)\) непрерывно дифференцируема на промежутке \([\alpha, \beta)\), строго возрастает и удовлетворяет условиям \(\displaystyle\varphi(\alpha) = a,\ \lim_ \varphi(t) = b\), то справедлива формула замены переменного
$$
\int\limits_a^b f(x)\ dx = \int\limits_<\alpha>^ <\beta>f(\varphi(t))\varphi'(t)\ dt.\label
$$
при условии, что хотя бы один из интегралов в \eqref сходится.

\(\circ\) Пусть \(\tau \in [\alpha, \beta),\ \varphi(\tau) = \xi\). Тогда \(\varphi(\tau) \rightarrow b\) при \(\tau \rightarrow \beta-0\). Применяя формулу замены переменного для интеграла Римана, получаем
$$
\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx = \int\limits_<\alpha>^ <\tau>f(\varphi(t))\varphi'(t)\ dt.\label
$$
Так как функция \(x = \varphi(t)\) строго возрастает и непрерывна на \([\alpha, \beta)\), то обратная функция строго возрастает и непрерывна на \([a, b)\). Поэтому если существует конечный предел при \(\tau \rightarrow \beta-0\) правой части равенства \eqref, то существует конечный предел при \(\xi \rightarrow b\) в левой части (и наоборот), и при этом справедлива формула \eqref. \(\bullet\)

Формула \eqref остается справедливой и в случае, когда \(\alpha > \beta\), если функция \(\varphi(t)\) непрерывно дифференцируема на промежутке \((\beta, \alpha)\), строго убывает, причем \(a = \displaystyle\lim_ \varphi(t),\ b = \lim_ \varphi(t)\). При этом по аналогии с интегралом Римана по определению полагают, что \(\displaystyle\int\limits_<\alpha>^ <\beta>g(t)\ dt = -\int\limits_<\beta>^ <\alpha>g(t)\ dt\) при \(\alpha > \beta\), если интеграл \(\displaystyle\int\limits_<\alpha>^<\beta>g(t)\ dt\) сходится.

Вычислить интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac<(x^<2>+1)^<3/2>>\).

\(\vartriangle\) Положим \(x = \operatorname t\), где \(0 Пример 8.

Вычислить интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac+1><(x^<4>+1)>\ dx\).

\(\vartriangle\) Преобразуем интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac<(1+1/x^<2>)dx><(x-1/x)^<2>+2>\ dx\) и положим \(\displaystyle x-\frac<1> = t\); тогда
$$
J = \int\limits_<-\infty>^<+\infty>\frac

+2> = \left.\frac<1><\sqrt<2>> \operatorname \frac<\sqrt<2>>\right|_<-\infty>^ <+\infty>= \frac<\pi><2>.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Вычислить интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac+1>\).

\(\vartriangle\) Для вычисления интеграла можно использовать первообразную для подынтегральной функции \(f(x) = \displaystyle\frac<1>+1>\) (см. пример здесь). Рассмотрим другой способ вычисления, не требующий нахождения первообразной для функции \(f(x)\). Полагая \(x = \displaystyle\frac<1>\), получаем
$$
J_ <1>= -\int\limits_<+\infty>^0 \frac

\left(1+\displaystyle\frac<1>>\right)> = \int\limits_0^ <+\infty>\frac><1+t^<4>> dt = \int\limits_0^ <+\infty>\frac><1+x^<4>> dx.
$$

Таким образом, \(J_ <1>= \displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac+1> = \int\limits_0^ <+\infty>\frac><1+x^<4>> dx\), откуда, используя пример 8, находим J\(J_ <1>= \displaystyle\frac<1> <2>\int\limits_0^ <+\infty>\frac+1><(x^<4>+1)>\ dx = \frac<1><2>J = \frac<\pi><2\sqrt<2>>\) Итак, \(\displaystyle\int\limits_0^ <+\infty>\frac+1> = \frac<\pi><2\sqrt<2>>\). \(\blacktriangle\)

Интегрирование неравенств.

Если сходятся интегралы \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) и \(\displaystyle\int\limits_a^b g(x)\ dx\) и для всех \(x \in [a, b)\) выполняется неравенство
$$
f(x) \leq g(x),\nonumber
$$
то
$$
\int\limits_a^b f(x)\ dx \leq \int\limits_a^b g(x)\ dx.\label
$$

\(\circ\) Неравенство \eqref получается из неравенства
$$
\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx \leq \int\limits_a^ <\xi>g(x)\ dx,\quad a \leq \xi \leq b,\nonumber
$$
с помощью перехода к пределу при \(\xi \rightarrow b-0\). \(\bullet\)

Несобственные интегралы от неотрицательных функций.

Будем рассматривать несобственные интегралы вида \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) предполагая, что:

  • функция \(f\) определена на промежутке \([a, b)\), где \(a\) — конечная точка, \(b\) — либо конечная точка, либо символ \(+\infty\);
  • функция \(f\) интегрируема по Риману на отрезке \([a, \xi]\) при любом \(\xi \in [a, b)\).

Согласно определению сходящегося несобственного интеграла
$$
\int\limits_a^b f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow b-0>\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx,\ \mbox<если>\ b \neq +\infty,\nonumber
$$
$$
\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx = \lim_ <\xi \rightarrow +\infty>\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx\ \mbox<если>\ b = +\infty.\nonumber
$$

Если для всех \(x \in [a, b)\) выполняется неравенство
$$
f(x) \geq 0,\label
$$
то для сходимости несобственного интеграла \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) необходимо и достаточно, чтобы функция \(\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx\) была ограничена сверху, то есть
$$
\exists\ C: \forall \xi \in [a,b) \rightarrow \int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx \leq C.\label
$$

\(\circ\) Заметим, что \(F(\xi) = \displaystyle\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx\) — возрастающая функция. В самом деле, из условия \eqref и свойств интеграла Римана следует, что
$$
\forall\ \xi_<1>,\ \xi_ <2>\in [a, b): \xi_ <2>> \xi_ <1>\rightarrow F(\xi_<2>)-F(\xi_<1>) = \int\limits_<\xi_<1>>^<\xi_<2>> f(x)\ dx \geq 0.\nonumber
$$

Если интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) сходится, то есть существует конечный \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow b-0>F(\xi) = \int\limits_a^b f(x)\ dx = J\), то по теореме о пределе монотонной функции \(J = \sup_ F(\xi)\), откуда согласно определению точной верхней грани следует, что для всех \(\xi \in [a, b)\) справедливо неравенство
$$
\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx \leq \int\limits_a^b f(x)\ dx,\nonumber
$$
то есть выполняется условие \eqref.

Обратно: если выполняется условие \eqref, то в силу теоремы о пределе монотонной функции (\(F\) — возрастающая функция) существует конечный
$$
\lim_ <\xi \rightarrow b-0>F(\xi) = F(b-0) = \sup_
F(\xi),\nonumber
$$
то есть интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) сходится. \(\bullet\)

Если для всех \(x \in [a, b)\) выполняется условие
$$
0 \leq f(x) \leq g(x),\label
$$
то:

  1. из сходимости интеграла \(J_ <2>= \displaystyle\int\limits_a^b g(x)\ dx\) следует сходимость интеграла \(J_ <1>= \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\);
  2. из расходимости интеграла \(J_<1>\) следует расходимость интеграла \(J_<2>\).
  1. \(\circ\) Из условия \eqref в силу правила оценки интеграла Римана следует, что
    $$
    \int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx \leq \int\limits_a^ <\xi>g(x)\ dx,\quad \xi \in [a, b).\label
    $$
    Если сходится интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b g(x)\ dx\), то есть существует конечный \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow b-0>\int\limits_a^ <\xi>g(x)\ dx = J_<2>\), где \(J_ <2>= \displaystyle\sup_
    \int\limits_a^ <\xi>g(x)\ dx\) (теорема 1), то из \eqref следует, что для любого \(\xi \in [a, b)\) выполняется неравенство \(\displaystyle\int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx \leq J_<2>\). Таким образом, для неотрицательной функции \(f(x)\) выполняется условие \eqref, и по теореме 1 интеграл \(J_<1>\) сходится.
  2. Если интеграл \(J_<1>\) расходится, то интеграл \(J_<2>\) тоже должен расходиться: в случае сходимости интеграла \(J_<2>\) сходился бы по доказанному выше интеграл \(J_<1>\). \(\bullet\)

Исследовать на сходимость интеграл
$$
\int\limits_1^ <+\infty>\frac <\cos^<4>3x><\sqrt[5]<1+x^<6>>>dx.\nonumber
$$

\(\vartriangle\) Так как \(\displaystyle0 \leq \frac <\cos^<4>3x><\sqrt[5]<1+x^<6>>> \leq \frac<1>>\) при \(x \geq 1\), то по теореме сравнения из сходимости интеграла \(\displaystyle\int\limits_1^ <+\infty>\frac>\) (мы уже исследовали этот интеграл на сходимость здесь) следует сходимость интеграла \(J\). \(\blacktriangle\)

Если для всех \(x \in [a, b)\) выполняются условия
$$
f(x) > 0,\qquad g(x) > 0,\label
$$
и, кроме того,
$$
f(x)

g(x)\ \mbox<при>\ x \rightarrow b-0,\label
$$
то интегралы \(J_ <1>= \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) и \(J_ <2>= \displaystyle\int\limits_a^b g(x)\ dx\) сходятся или расходятся одновременно.

\(\circ\) Если выполнены условия \eqref и \eqref, то \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow b-0>\frac = 1\), то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta (\varepsilon) \in [a, b): \forall x \in [\delta (\varepsilon), b) \rightarrow \left|\frac-1\right| 0\) равносильно неравенству
$$
\frac<1><2>g(x) 1\) и расходится при \(\alpha \leq 1\).

\(\triangle\) Рассмотрим три возможных случая: \(\alpha > 1\), \(\alpha = 1\), \(\alpha 1\).Если \(\alpha > 1\), то \(\alpha = 1+2\delta\), где \(\delta > 0\). Представим подынтегральную функцию \(f(x)\) в следующем виде:
$$
f(x) = \frac<1>>g(x),\ \mbox<где>\ g(x) = \frac\ln^<\beta>x>.\nonumber
$$Так как \(\displaystyle\lim_ <\xi \rightarrow +\infty>x^ <\alpha>\ln^<\beta>x = +\infty\) при \(\alpha > 0\) и любом \(\beta\) (см. пример 5 здесь), то существует число \(x_ <0>> 2\) такое, что \(0 2\), \(\delta > 0\), по теореме сравнения следует сходимость интеграла от \(f\) на промежутке \([x_<0>, +\infty)\), а это равносильно сходимости интеграла \(J\). Итак, если \(\alpha > 1\), то интеграл \(f\) сходится при любом \(\beta\).

  • Второй случай: \(\alpha = 1\).В этом случае \(J = \displaystyle\int\limits_2^ <+\infty>\fracx> = \int\limits_<\ln 2>^ <+\infty>\frac
    >\). Поэтому при \(\alpha = 1\) интеграл \(J\) сходится, если \(\beta > 1\), и расходится при \(\beta \leq 1\) (пример 3).
  • Третий случай: \(\alpha 0\). Запишем подынтегральную функцию \(f(x)\) в виде \(f(x) = \displaystyle\frac>\), где \(g(x) = x^<\delta>(\ln x)^ <-\beta>\rightarrow +\infty\) при \(x \rightarrow +\infty\), откуда следует, что \(g(x) > 1\) при \(x \geq x_ <0>> 2\). Поэтому \(f(x) > \displaystyle\frac<1>>\) при \(x \geq x_<0>\) и по теореме сравнения из расходимости интеграла \(\displaystyle\int\limits_>^ <+\infty>\frac>\), где \(\delta > 0\), следует расходимость интеграла от \(f\) на промежутке \([x_<0>, +\infty)\), откуда заключаем, что интеграл \(J\) расходится.Итак, интеграл расходится, если \(\alpha 1\) (\(\beta\) любое) и при \(\alpha = 1\), если \(\beta 1\), и расходится при других значениях \(\alpha\) и \(\beta\).

    Исследовать на сходимость интеграл
    $$
    J = \int\limits_>^ <+\infty>\frac<\ln (e^-x)>>\ dx.\nonumber
    $$

    \(\vartriangle\) Подынтегральная функция \(f(x) = \displaystyle\frac<\ln (e^-x)>>\) неотрицательна при \(x > 0\), так как \(e^ > 1+x\) при \(x > 0\), и непрерывна на промежутке \((0, +\infty)\). Интеграл \(J\) сходится тогда и только тогда, когда сходятся интегралы \(J_ <1>= \displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\ dx\) и \(J_ <2>= \displaystyle\int\limits_1^ <+\infty>f(x)\ dx\).

    1. Исследуем поведение функции при \(x \rightarrow 0\).Так как \(e^ = 1+x+\displaystyle\frac><2>+o(x^<2>)\) при \(x \rightarrow 0\), \(\ln(1+t) = t+o(t)\) при \(t \rightarrow 0\), то \(\ln (e^-x) = \displaystyle\ln \left(1+\frac><2>+o(x^<2>)\right) = \frac><2>+o(x^<2>)\), и поэтому \(f(x) \sim \displaystyle\frac<1><2x^<\alpha-2>>\). Следовательно, интеграл \(J_<1>\) сходится тогда и только тогда, когда \(\alpha-2 1\) и расходится при \(\beta \leq 1\), то интеграл \(J_<2>\) сходится тогда и только тогда, когда \(\alpha-1 > 1\), то есть при \(\alpha > 2\).

    Таким образом, интеграл \(J\) сходится в том и только том случае, когда выполняются условия \(\alpha 2\), то есть при \(2 Пример 13.

    \(\vartriangle\) Подынтегральная функция \(f(x)\) положительна и непрерывна на интервале (0,1). Интеграл \(J\) сходится тогда и только тогда, когда сходятся интегралы от \(f(x)\) по промежуткам (0,1) и (1, \(+\infty\)). Обозначим эти интегралы \(J_<1>\) и \(J_<2>\) соответственно.

      Если \(x \rightarrow 0\), то \(\displaystyle\sqrt> = \sqrt<\sqrt(1+\sqrt)> = \sqrt[4](1+\sqrt)^ <1/2>\sim \sqrt[4]\). Учитывая, что \(\ln (1+t) \sim t\) при \(t \rightarrow 0\), \(\ln (1+u) \sim \ln u\) и при \(u \rightarrow +\infty\), получаем следующие асимптотические формулы для \(f(x)\) при \(x \rightarrow +0\):
      $$
      f(x) \sim \left\<\begin
      x^<\alpha-1/4>,\ \mbox<при>\ \alpha > 0, \\
      x^ <-1/4>\ln 2,\ \mbox<при>\ \alpha = 0,\\
      \alpha x^<-1/4>\ \ln x,\ \mbox<при>\ \alpha 0, \\
      x^ <-1/2>\ln 2,\ \mbox<при>\ \alpha = 0,\\
      x^<\alpha-1/2>,\ \mbox<при>\ \alpha 1\), то есть при \(\alpha Теорема 3.

    Для сходимости несобственного интеграла
    $$
    J = \int\limits_a^b f(x)\ dx\nonumber
    $$
    необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши
    $$
    \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta_ <\varepsilon>\in (a, b): \forall \xi’, \xi″ \in (\delta_<\varepsilon>, b) \rightarrow \left|\int\limits_<\xi’>^ <\xi″>f(x)\ dx\right| Доказательство.

    \(\circ\) Обозначим
    $$
    F(\xi) = \int\limits_a^ <\xi>f(x)\ dx,\ a \leq \xi 0\ \exists \tilde<\delta>_ <\varepsilon>\in (a, b): \forall \xi’, \xi″ \in (\tilde<\delta>_<\varepsilon>, b) \rightarrow \left|F(\xi″)-F(\xi’)\right| Замечание 5.

    Если условие Коши \eqref не выполняется, то есть
    $$
    \exists \varepsilon_ <0>> 0\ \forall \delta_ <\varepsilon>\in (a, b): \exists \xi_<\delta>’, \xi_<\delta>″ \in (\delta_<\varepsilon>, b) \rightarrow \left|\int\limits_<\xi_<\delta>’>^<\xi_<\delta>″> f(x)\ dx\right| \geq \varepsilon_<0>,\label
    $$
    то интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) расходится.

    Исследовать на сходимость интеграл
    $$
    J(\alpha) = \int\limits_1^ <+\infty>\frac <\sin^<2>x>>\ dx.\label
    $$

    1. \(\vartriangle\) Если \(\alpha > 1\), то интеграл \(J\) сходится, так как \(\displaystyle 0 \leq \frac <\sin^<2>x>> \leq \frac<1>>\).
    2. Докажем, что при \(\alpha \geq 1\) интеграл расходится. Достаточно показать, что для этого интеграла выполняется условие \eqref. Для \(\delta > 1\) выберем число \(n \in \mathbb\) таким, чтобы выполнялось неравенство \(\pi n > \delta\), и возьмем \(\xi_<\delta>’ = \pi n\), \(\xi_<\delta>″ = 2\pi n\), тогда
      $$
      \left|\int\limits_<\xi_<\delta>’>^<\xi_<\delta>″> \frac <\sin^<2>x>>\ dx\right| = \int\limits_<\pi n>^ <2\pi n>\frac <\sin^<2>x>>\ dx \geq \int\limits_<\pi n>^ <2\pi n>\frac <\sin^<2>x>\ dx \geq\\ \geq \frac<1><2\pi n>\int\limits_<\pi n>^ <2\pi n>\frac<1-\cos 2x><2>\ dx = \frac<1><4\pi n>\pi n = \frac<1><4>= \varepsilon_<0>.\nonumber
      $$
      Таким образом, условие \eqref выполняется, и поэтому при \(\alpha \geq 1\) интеграл \eqref расходится. \(\blacktriangle\)

    Так как \(|\sin x| \geq \sin^ <2>x\), то по теореме сравнения из расходимости интеграла \eqref при \(\alpha \leq 1\) следует, что интеграл \(\displaystyle\int\limits_1^ <+\infty>\frac <\sin^<2>x>>\ dx\) расходится при \(\alpha \leq 1\).

    Абсолютно и условно сходящиеся интегралы.

    Несобственный интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) называется:

    • абсолютно сходящимся, если сходится интеграл \(\tilde = \int\limits_a^b |f(x)|\ dx\); в этом случае говорят, что функция \(f\) абсолютно интегрируема на промежутке \([a, b)\);
    • условно сходящимся, если интеграл \(J\) сходится, а интеграл \(\tilde\) расходится.

    Если несобственный интеграл \(\tilde = \displaystyle\int\limits_a^b |f(x)|\ dx\) сходится, то интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) также сходится и выполняется неравенство
    $$
    \left|\int\limits_a^b f(x)\ dx\right| \leq \int\limits_a^b |f(x)|\ dx.\label
    $$

    \(\circ\) Из сходимости интеграла \(\tilde\) по теореме 3 (необходимое условие) следует, что для него выполняется условие Коши \eqref, то есть
    $$
    \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta_ <\varepsilon>\in (a, b): \forall \xi’, \xi″ \in (\delta_<\varepsilon>, b) \rightarrow \left|\int\limits_<\xi’>^ <\xi″>|f(x)|\ dx\right| Пример 15.

    Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость интеграл
    $$
    J(\alpha) = \int\limits_1^ <+\infty>\frac<\sin x>>\ dx.\label
    $$

    1. \(\vartriangle\) Пусть \(\alpha > 1\). Так как \(\displaystyle\left|\frac<\sin x>>\right| \leq \frac<1>>\), то в силу сходимости интеграла \(\displaystyle\int\limits_1^ <+\infty>\frac>\) по теореме сравнения сходится интеграл \(\tilde(\alpha) = \displaystyle\int\limits_1^ <+\infty>\frac<\sin x>>\ dx\), то есть интеграл \(J\) сходится абсолютно (откуда следует сходимость самого интеграла \(J\) по теореме 4).
    2. Пусть \(0 1\) выберем число \(n \in \mathbb\) таким, чтобы выполнялось условие \(2\pi n > \delta\), и возьмем \(\xi_<\delta>’ = 2\pi n+\displaystyle\frac<\pi><6>\), \(\xi_<\delta>″ = 2\pi n+\displaystyle\frac<5\pi><6>\). Так как при \(x \in [\xi_<\delta>’, \xi_<\delta>″]\) выполняется неравенство \(\sin x \geq \displaystyle\frac<1><2>\) и, кроме того, \(\displaystyle\frac<1>> \geq 1\) при \(x \geq 1\) и \(\alpha \leq 0\), то
      $$
      \left|\int\limits_<\xi_<\delta>’>^<\xi_<\delta>″> \frac<\sin x>>\ dx\right| = \int\limits_<\pi/6+2\pi n>^ <5\pi/6+2\pi n>\frac<\sin x>>\ dx \geq \frac<1><2>\int\limits_<\pi/6+2\pi n>^<5\pi/6+2\pi n>\ dx = \frac<\pi><3>,\nonumber
      $$
      то есть выполняется условие \eqref, и поэтому при \(\alpha \leq 0\) интеграл \eqref расходится.

    Итак, интеграл \eqref:

    • абсолютно сходится при \(\alpha > 1\);
    • условно сходится при \(0 Замечание 7.

    Аналогично можно показать, что интеграл
    $$
    \int\limits_1^ <+\infty>\frac<\cos x>>\ dx\nonumber
    $$
    абсолютно сходится при \(\alpha > 1\), условно сходится при \(\alpha \in \) (0,1] и расходится при \(\alpha \leq 0\).

    При исследовании сходимости интегралов часто может оказаться полезным следующее утверждение.

    Если функция \(g(x)\) абсолютно интегрируема на промежутке \([a, b)\), то есть несобственный интеграл \(\tilde = \displaystyle\int\limits_a^b |g(x)|\ dx\) сходится, то несобственные интегралы \(J_ <1>= \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\ dx\) и \(J_ <2>= \displaystyle\int\limits_a^b (f(x)+g(x))\ dx\) либо оба абсолютно сходятся, либо оба условно сходятся, либо оба расходятся.

    \(\circ\) Обозначим \(J = \displaystyle\int\limits_a^b g(x)\ dx\), \(\tilde_ <1>= \displaystyle\int\limits_a^b |f(x)|\ dx\), \(\tilde_ <2>= \displaystyle\int\limits_a^b |(f(x)+g(x))|\ dx\)

    1. Из неравенства \(|f+g| \leq |f|+|g|\) и критерия Коши следует, что если интегралы \(\tilde_<1>\) и \(\tilde\) сходятся, то интеграл \(\tilde_<2>\) также сходится.Аналогично, используя неравенство \(|f| \leq |f+g|+|g|\), докажем, что из сходимости интегралов \(\tilde\) и \(\tilde_<2>\) следует сходимость интеграла \(\tilde_<1>\).
    2. Пусть интеграл \(J_<1>\) сходится, а интеграл \(\tilde_<1>\) расходится.Тогда интеграл \(J_<2>\) сходится (это следует из сходимости интегралов \(J_<1>\) и \(J\)), а интеграл \(\tilde_<2>\) расходится, так как в противном случае из неравенства \(|f| \leq |f+g|+|g|\) и сходимости интеграла \(\tilde\) следовала бы сходимость интеграла \(\tilde_<1>\).Аналогично доказывается, что из условной сходимости интеграла \(J_<2>\) следует условная сходимость интеграла \(J_<1>\).
    3. Из расходимости интеграла \(J_<1>\) следует расходимость интеграла \(J_<2>\) (в противном случае из равенства \(f = (f+g)-g\) и сходимости интеграла \(J\) следовала бы сходимость интеграла \(J_<1>\)).Аналогично из расходимости интеграла \(J_<2>\) следует расходимость интеграла \(J_<1>\). \(\bullet\)

    Теорему 5 коротко можно сформулировать так: прибавление (вычитание) под знаком интеграла абсолютно интегрируемой функции не влияет ни на сходимость интеграла, ни на характер сходимости (абсолютная, условная сходимость).

    Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов.

    Пусть функция \(f\) непрерывна, а функция \(g\) имеет непрерывную производную на промежутке \([a, +\infty)\) и выполняются следующие условия:

    1. функция \(F(x) = \displaystyle\int\limits_a^x |f(t)|\ dt\) (первообразная для \(f\)) ограничена на \([a, +\infty)\), то есть
      $$
      \exists M > 0: \forall x \in [a, +\infty) \rightarrow |F(x)| \leq M.\label
      $$
    2. функция \(g'(x)\) не меняет знака на промежутке \([a, +\infty)\), то есть
      $$
      g'(x) \leq 0.\label
      $$
      или
      $$
      g'(x) \geq 0.\label
      $$
    3. $$
      \lim_ g(x) = 0.\label
      $$

    Тогда интеграл
    $$
    J = \int\limits_a^ <+\infty>f(x)g(x)\ dx\label
    $$
    сходится.

    \(\circ\) Покажем, что функция \(fg\) удовлетворяет на промежутке \([a, +\infty)\) условию Коши \eqref. Согласно формуле интегрирования по частям для \(\xi’ > a\), \(\xi″ > a\) получаем
    $$
    \int\limits_<\xi’>^ <\xi″>f(x)g(x)\ dx = F(x)g(x)|_<\xi’>^<\xi″>-\int\limits_<\xi’>^ <\xi″>F(x)g'(x)\ dx.\label
    $$
    Из условия \eqref следует, что
    $$
    \left|\left.(Fg)\right|_<\xi’>^<\xi″>\right| \leq M(|g(\xi’)|+|g(\xi″)|),\label
    $$
    $$
    \left|\int\limits_<\xi’>^ <\xi″>F(x)g'(x)\ dx\right| \leq M\left| \int\limits_<\xi’>^ <\xi″>|g'(x)|\ dx\right|.\label
    $$
    Заметим, что \(|g'(x)| = -g'(x)\), если выполнено условие \eqref, и \(|g'(x)| = g'(x)\), если выполнено условие \eqref. Поэтому в первом случае \(J_ <1>= \displaystyle\int\limits_<\xi’>^ <\xi″>|g'(x)|\ dx = -\int\limits_<\xi’>^ <\xi″>g'(x)\ dx = g(\xi’)-g(\xi″)\), а во втором случае \(J_ <1>= g(\xi″)-g(\xi’)\). Следовательно,
    $$
    |J_<1>| = \left|\int\limits_<\xi’>^ <\xi″>|g'(x)|\ dx\right| = |g(\xi″)-g(\xi’)| \leq |g(\xi’)+g(\xi″)|.\label
    $$
    Поэтому из равенства \eqref, используя оценки \eqref-\eqref, получаем неравенство
    $$
    \left|\int\limits_<\xi’>^ <\xi″>f(x)g(x)\ dx\right| \leq 2M (|g(\xi’)+g(\xi″)|).\label
    $$
    Согласно условию \eqref
    $$
    \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta_ <\varepsilon>> a: \forall x \in [\delta_<\varepsilon>, +\infty) \rightarrow |g(x)| Замечание 8.

    Условия \eqref-\eqref означают, что функция \(g(x)\) монотонно стремится к нулю при \(x \rightarrow +\infty\).

    Следствие (признак Абеля).

    Если функция \(f\) непрерывна на промежутке \(\Delta = [a, +\infty)\), интеграл \(J = \displaystyle\int\limits_a^ <+\infty>f(x)\ dx\) сходится, а функция \(g(x)\) ограничена на \(\Delta\) и ее производная \(g'(x)\) не меняет знака на \(\Delta\) (удовлетворяет условию \eqref или \eqref), то интеграл \eqref сходится.

    \(\circ\) По теореме о пределе монотонной функции существует конечный \(\displaystyle\lim_<\substack> g(x) = g(+\infty)\), и поэтому функция \(g_<1>(x) = g(x)-g(+\infty)\) монотонно стремится к нулю при \(x \rightarrow +\infty\). Из сходимости интеграла \(J\) следует, что функция \(f\) имеет ограниченную первообразную. По признаку Дирихле интеграл от функции \(f(x)g_<1>(x)\) по промежутку \(\Delta\) сходится. Так как \(f(x)g(x) = f(x)g(+\infty)+f(x)g_<1>(x)\), то интеграл \eqref сходится. \(\bullet\)

    Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость интеграл
    $$
    J = \int\limits_0^ <+\infty>(e^+x) \cos e^<2x>\ dx.\nonumber
    $$

    \(\vartriangle\) Положим \(e^ <2x>= t\). Тогда \(x = \displaystyle\frac<1> <2>\ln t\), \(dx = \displaystyle\frac

    <2t>\), и поэтому
    $$
    J = \frac<1> <2>\int\limits_1^ <+\infty>\frac<\cos t><\sqrt>dt+\frac<1> <4>\int\limits_1^ <+\infty>\frac<\ln t> \cos t\ dt.\label
    $$

    Оба интеграла в формуле \eqref сходятся по признаку Дирихле, так как функция \(\cos t\) имеет ограниченную первообразную \(\displaystyle\left(\left|\int\limits_1^ <\xi>\cos t\ dt\right| \leq 2 \right)\), а функции \(\displaystyle\frac<1><\sqrt>\) и \(\displaystyle\frac<\ln t>\) монотонно стремятся к нулю при \(t \rightarrow +\infty\). Покажем, что \(\tilde = \displaystyle\int\limits_1^ <+\infty>\varphi(t) |\cos t|\ dt\), где \(\varphi(t) = \displaystyle\frac<1><2>\left(\frac<1><\sqrt>+\frac<\ln t><2t>\right)\), расходится. В самом деле, \(\varphi(t) \geq \displaystyle\frac<1><2t>\) при \(t \geq 1\), \(|\cos t| \geq \cos^ <2>t = \displaystyle\frac<1+\cos 2t><2>\), откуда следует неравенство \(\varphi(t)|\cos t| \geq \displaystyle\frac<1+\cos 2t><4t>\). Так как интеграл \(\displaystyle\int\limits_1^ <+\infty>\frac<1+\cos 2t><4t>dt\) расходится (это следует из сходимости по признаку Дирихле интеграла \(\displaystyle\int\limits_1^ <+\infty>\frac<\cos 2t><4t>dt\) и расходимости интеграла \(\displaystyle\int\limits_1^ <+\infty>\frac

    <4t>\)), то по теореме сравнения интеграл \(\tilde\) расходится. Таким образом, интеграл \(J\) сходится условно. \(\blacktriangle\)

    Исследовать на сходимость интеграл
    $$
    J = \int\limits_4^ <+\infty>\frac<\sin x><\sqrt-\sin x>dx.\nonumber
    $$

    \(\vartriangle\) Признак Дирихле применить нельзя, так как \(g(x) = \displaystyle\frac<1><\sqrt-\sin x>\) не является монотонной при \(x \geq 4\). Запишем функцию \(g(x)\) в следующем виде: \(g(x) = \displaystyle\frac<1><\sqrt>\left(1-\frac<\sin x><\sqrt>\right)^<-1>\), где \(\displaystyle\left|\frac<\sin x><\sqrt>\right| \leq \frac<1><2>\), так как \(x \geq 4\). Положим \(\varphi(t) = (1-t)^<-1>\), \(|t| \displaystyle\leq \frac<1><2>\). По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа получаем
    $$
    \varphi(t) = 1+t+\frac<\varphi″(\xi)><2!>t^<2>,\nonumber
    $$

    Отсюда следует, что если \(x \geq 4\), то
    $$
    \left(1-\frac<\sin x><\sqrt>\right)^ <-1>= 1+\frac<\sin x><\sqrt>+h(x),\nonumber
    $$
    где \(|h(x)| \leq 2^ <3>\displaystyle\left|\frac<\sin x><\sqrt>\right| \leq \frac<8>\). Поэтому \(\displaystyle\frac<\sin x><\sqrt-\sin x> = \frac<\sin x><\sqrt>+\frac <\sin^<2>x><\sqrt>+\frac<\sin x><\sqrt>h(x)\), где функция \(\psi(x) = \displaystyle\frac<\sin x><\sqrt>h(x)\) не влияет на сходимость интеграла \(J\) (теорема 5), так как \(\psi(x) \leq \displaystyle\frac<8>>\), а интеграл \(\displaystyle\int\limits_4^ <+\infty>\frac<8>>dx\) сходится. Из сходимости интеграла \(\displaystyle\int\limits_4^<+\infty>\frac<\sin x><\sqrt>dx\) (пример 15) и расходимости интеграла \(\displaystyle\int\limits_4^<+\infty>\frac <\sin^<2>x><\sqrt>dx\) (пример 14) следует, что интеграл \(J\) расходится. \(\blacktriangle\)

    Источник

  • Читайте также:  Беспроводные наушники сравнение размеров