Меню

Теория погрешностей измерений лабораторная работа



Лабораторная работа № 3

по дисциплине «Управление, сертификация и инноватика

(Метрология, стандартизация и сертификация)»

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ И ПОГРЕШНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЯ

СОДЕРЖАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

1. Погрешности измерений

2. Погрешности средств измерений

Пример решения задачи

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Ответить на все контрольные вопросы, приведенные в конце лабораторной работы;

Составить классификации погрешностей измерений и погрешностей средств измерений.

Основные виды погрешностей измерений; основные положения теории погрешностей;

Погрешности средств измерений;

индивидуально каждый студент должен решить все варианты задач.

отчет выполняется индивидуально каждым студентом в отдельной тетрадке рукописным способом. Тетрадь начинается с титульного листа, где указаны ФИО студента и группа. Отчет по лабораторной работе начинается с названия и даты выполнения.

1. Погрешности измерений

Рассмотрим основные виды погрешностей измерения. В зависимости от формы выражения различают абсолютную и относительную по­грешности.

Абсолютнойназывают погрешность измерений, выражен­ную в тех же единицах, что и измеряемая величина. Её определяют как:

где А— результат измерения;

Хист— истинное значение измеряемой физической величины;

Хд— действительное значение измеряемой величины.

Относительная погрешность измерения() представляет собой отношение абсолютной погрешности измерений к истинному (действительному) значению измеряемой величины. Относительную по­грешность в % определяют по формуле:

Пример. В результате измерения силы электрического тока в цепи I получен ряд значений: i1= 0.55 A; i2= 0.58 A; . in= 0.54 А. Вычислено среднее значение i = 0.56 А.

n= in– i = 0,54-0,56 = -0,02 А являются абсолютными по­грешностями измерений.

Приняв в качестве действительного значения среднее значение, т. е. iД= i, определим относительную погрешность отдельного измерения в ряду измерений:

В зависимости от условий и режимов измерения различают стати­ческие и динамические погрешности.

Статическойназывают погрешность, не зависящую от ско­рости изменения измеряемой величины во времени.

Динамическойназывают погрешность, зависящую от ско­рости изменения измеряемой величины во времени. Динамическая по­грешность обусловлена инерционностью элементов измерительной цепи средства измерения.

В зависимости от характера проявления, возможностей устранения и причин возникновения различают систематические и случайные по­грешности.

Систематической (c) называют составляющую погреш­ности измерения, остающуюся постоянной или закономерно изменяю­щейся при повторных измерениях одной и той же величины.

Причина­ми систематической погрешности могут быть:

— отклонение параметров реального средства измерения от расчет­ных значений, предусмотренных схемой;

— неуравновешенность деталей средства измерений относительно их оси вращения;

— погрешность градуировки или небольшой сдвиг шкалы и др.

Ряд постоянных систематических погрешностей в процессе измере­ния внешне себя не проявляют. Обнаружить их можно в процессе по­верки путем сравнения результатов измерения рабочими средствами и образцовыми.

Случайнойназывают погрешность измерений, изменяю­щуюся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

Случайная погрешность возникает при одновременном воздействии многих источников, каждый из которых сам по себе оказывает незамет­ное влияние на результаты измерений, но суммарное воздействие всех источников может оказаться достаточно сильным.

Как правило, при выполнении измерений случайная и систематиче­ская погрешности проявляются одновременно, поэтому погрешность измерения равна:

.

Заметим, что случайные погрешности представляют собой погреш­ности, в появлении каждой из которых не наблюдается какой-либо за­кономерности. Случайные погрешности неизбежны и неустранимы. Они всегда присутствуют в результате измерения. Они вызывают рас­сеяние результатов при многократном и достаточно точном измерении одной и той же величины при неизменных условиях, вызывая различие их в последних значащих цифрах.

В основе теории погрешностей лежат два положения, подтвер­жденные практикой:

при большом числе измерений случайные погрешности одинако­вого значения, но разного знака встречаются одинаково часто;

большие по абсолютному значению погрешности встречаются реже, чем малые.

Из первого положения следует важный для практики вывод, что при увеличении числа измерений случайная погрешность результата, полученного из ряда измерений, уменьшается вследствие того, что сумма погрешностей отдельных измерений данного ряда измерений стремится к нулю, т. е.

Читайте также:  Предельное значение относительной погрешности измерения

.

В ряду измерений выделяют также грубые погрешности и промахи, которые возникают из-за ошибок и неправильных действий оператора, а также при кратковременных, резких изменениях условий проведения измерений (появление вибрации, поступление хо­лодного воздуха и т. д.).

При автоматических измерениях грубые погрешности и промахи автоматически исключаются в процессе обработки измерительной ин­формации.

Источник

Теория погрешностей измерений лабораторная работа

Лабораторная работа №1. теория погрешностей

Ознакомиться с основными положениями теории погрешностей. Провести вычислительные эксперименты, иллюстрирующие эти положениями.

Основные источники погрешностей

Численные методы в настоящее время относятся к основным методам решения задач математики и различных ее приложений. Они характеризуются тем, что сводят процесс решения математической задачи к некоторой конечной последовательности операций над числами и приводят к результатам, представленным в виде чисел, числовых векторов и матриц, числовых таблиц и т. п. Их значение возрастает параллельно с развитием вычислительной техники.

В то же время полученные численными методами результаты обычно содержат погрешности, являясь лишь приближениями к искомым ответам. Вызвано это рядом объективных причин, среди которых есть не связанные непосредственно с методами вычислений. Чтобы разобраться в них, проанализируем основные этапы математического решения прикладных задач, а именно:

Построение математической модели задачи.

Определение исходных данных.

Решение полученной математической задачи.

Погрешности, внесенные на этапе решения математической задачи численными методами, как правило, обусловлены двумя основными причинами:

ограниченность разрядной сетки вычислительных устройств.

применение приближенных методов

В процессе вычислений обязательно следует вести учет погрешностей, поскольку приближенные результаты решения задач бесполезны без информации о степени их точности.

Пусть — точное значение, а — приближенное значение некоторой величины.

Абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина . Так как, значение как правило неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида . Величину называют верхней границей (или просто границей) абсолютной погрешности.

Абсолютная погрешность дает ценную информацию о неизвестном точном значении : оно находится от известного приближения а на расстоянии, не большем чем .

При приближенных измерениях и вычислениях возникает потребность в характеристике качества проделанной работы. Для этой цели знание только абсолютной погрешности оказывается недостаточным.

Пример: Найдена масса одного предмета кг. с точностью до 0,1 кг. и с такой же точностью определена масса кг. другого предмета. Хотя , ясно, что первое измерение выполнено лучше, чем второе

Для оценки качества измерений или вычислений вводится понятие относительной погрешности. Относительной погрешностью значения (при ) называется величина . Она является безразмерной величиной и потому часто выражается в процентах

Величину называют верхней границей (или просто границей) относительной погрешности:

При вычислениях часто приходится иметь дело с числами, содержащими большое количество значащих цифр. Независимо от того, точные эти числа или приближенные, часть цифр иногда целесообразно отбрасывать. Минимальную погрешность округления дает следующее правило:

Правило округления чисел. Чтобы округлить число до значащих цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие справа от значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов чисел, заменяют их нулями. При этом:

если первая (слева) отбрасываемая цифра меньше 5, то все сохраняемые цифры остаются без изменения;

если первая отбрасываемая цифра больше 5 или если она равна 5, но среди остальных отбрасываемых цифр есть ненулевые, то к последней сохраняемой цифре прибавляется единица;

если первая отбрасываемая цифра равна 5 и все остальные отбрасываемые цифры являются нулями, то последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Читайте также:  Какая единица измерения используется для измерения электрического заряда

Влияние погрешностей аргументов на значение функции

Пусть дифференцируемая функция своих аргументов, вычисление которой производится при приближенно заданных значениях

Тогда для абсолютной погрешности функции справедлива следующая оценка

Для относительной погрешности функции справедливо следующее приближенное равенство , где

Можно также воспользоваться равенством

Задача 1. Дан ряд . Найти сумму ряда аналитически. Вычислить значения частичных сумм ряда и найти величину абсолютной погрешности при значениях .

Порядок решения задачи:

1. Найти сумму ряда S аналитически как предел частичных сумм ряда.

,. .

2. Используя функцию , вычислить значения частичных сумм ряда при указанных значениях .

3. Для каждого вычислить величину абсолютной погрешности и определить количество верных цифр в .

4. Представить результаты в виде гистограммы.

Задача 2. Дана матрица . В каждый из диагональных элементов матрицы A по очереди внести погрешность в 1\%. Как изменился определитель матрицы А? Указать количество верных цифр и вычислить величину относительной погрешности определителя в каждом случае.

Задача 3. Дано квадратное уравнение . Предполагается, что один из коэффициентов уравнения (в индивидуальном варианте помечен *) получен в результате округления. Произвести теоретическую оценку погрешностей корней в зависимости от погрешности коэффициента. Вычислить корни уравнения при нескольких различных значениях коэффициента в пределах заданной точности. Сравнить полученные результаты.

Варианты заданий приведены в таблицах 1.1, 1.2, 1.3.

Источник

Лабораторная работа №1. «Изучение теории расчёта погрешностей прямых однократных измерений»

Лабораторная работа №1.

«Изучение теории расчёта погрешностей прямых однократных измерений».

Цель работы: ознакомиться с причинами погрешностей при измерении физических величин и методами обработки результатов измерений.

Приборы и оборудование: штангенциркуль, линейка.

Измерить какую-либо величину – значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу измерения. Различают прямые измерения и косвенные. Прямыми называются измерения, цель которых состоит в определении измеряемой величины непосредственно или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах. Косвенными называются измерения, при которых искомая величина определяется по результатам прямых измерений других величин, связанных с этой величиной определенной функциональной зависимостью. Измерения любых величин не могут быть абсолютно точными по разным причинам. Поэтому результаты измерений дают не истинное, а приближенное значение измеряемой величины. Погрешности или ошибки, возникающие при измерениях, делятся на группы: систематические, случайные и промахи (таблица 1).

Систематические погрешности, которые

Неточность метода измерения

Переход к более совершенному методу измерения

Недостаточно полный учет факторов, влияющих на измеряемую величину

Введение поправок к его

Несовершенство теории опыта

Повысить качество разработки теории опыта

Случайные — это погрешности, появление

Увеличить число измерений, при разработке результатов использовать статистические закономерности

Субъективные возможности экспериментатора (слух, зрение, опыт)

Изменение условий измерения

Нарушение нормальной работы измерительной аппаратуры

измерения, отбросив ошибочные данные

Неправильные действия экспериментатора

В зависимости от того, с какой точностью требуется произвести измерения, используют технические или лабораторные методы.

Прямые однократные измерения и их погрешности

При использовании технических методов надо произвести одно измерение. В этом случае точность измерения определяется погрешностью прибора и погрешностью отсчёта. Результатом измерения служит запись в виде: N=No ± ∆N, где: No – отсчет по прибору; ∆N – абсолютная погрешность измерения. Абсолютная погрешность прямого технического измерения при несовпадении указателя со штрихом шкалы равна сумме абсолютной погрешности прибора, которая определяется исходя из класса точности прибора и границы погрешности отсчёта, т. е.:

Класс точности прибора характеризует приведенная погрешность прибора εПР, которая равна отношению абсолютной ∆прибора погрешности прибора к предельному значению NПР измеряемой величины (т. е. к ее максимальному значению по шкале прибора), выраженному в процентах:

Приведенная погрешность прибора является по существу относительной погрешностью. По приведенной погрешности приборы делятся на:

Читайте также:  Погрешность измерений физических факторов

1) технические — класса точности 1; 1,5; 2,5; 4;

2) лабораторные — класса точности 0,1; 0,2; 0,5.

Класс точности прибора указан на шкале прибора. Абсолютная погрешность, которую дает прибор, определяется из выражения (2):

где: εПР — класс точности прибора; NПР — предельное значение измеряемой величины по шкале прибора.

Если на шкале класс точности не обозначен, то абсолютная погрешность прибора принимается равной половине цены деления наименьшего значения шкалы прибора.

Погрешности приборов не зависят от числа измерений, они зависят от конструкции прибора. Для более точных измерений либо подбирают приборы более высокого класса точности, либо используют лабораторные методы измерений.

Основные правила оценки границы абсолютной погрешности при проведении прямых измерений:

1. Определить основную погрешность прибора и выразить ее через цену деления шкалы прибора.

2. Сравнить основную погрешность прибора с наибольшим значением погрешности отсчёта. Если выполняется условие, то общая граница абсолютной погрешности равна погрешности отсчёта: .

3. Если выполняется условие, то можно считать общую границу абсолютной погрешности равной основной погрешности прибора: .

4. Если соотношение между ценой деления и погрешностью прибора не подчиняется условиям 2 или 3, то можно считать, что общая граница погрешности равна:

5. Сложение границы погрешности отсчёта с погрешностью прибора, два слагаемых в формуле для оценки границ погрешности результата измерений цифровым прибором иллюстрирует общий фундаментальный принцип теории погрешностей: если процесс измерения некоторой величины сопровождается погрешностями разного вида d1, d2, d3, …, dn, то погрешность результата d определяется суммой частных погрешностей в соответствии с квадратичным законом сложения:

6. В общем виде можно записать выражение для расчёта абсолютной погрешности:

Цель: отработка навыков прямых однократных измерений и расчёта их погрешностей.

Задача: изучение штангенциркуля, линейки для технического метода измерения линейных величин.

Штангенциркуль (от нем. Stangenzirkel) — универсальный инструмент, предназначенный для высокоточных измерений наружных и внутренних размеров, а также глубин отверстий. Штангенциркуль — один из самых распространенных инструментов измерения благодаря простой конструкции, удобству в обращении и быстроте в работе.

2. подвижная рамка;

4. губки для внутренних измерений;

5. губки для наружных измерений;

6. линейка глубиномера;

7. нониус – шкала на подвижной рамке;

8. винт для зажима рамки.

Порядок определения размера следующий:

1. Первая («нулевая») насечка нониуса отсекает на линейке количество целых миллиметров.

2. На фотографии «нулевая» отметка нониуса находится правее 1,5 см. Следовательно, размер объекта от 15 до 16 мм. Теперь определяем размер с точностью до десятых долей миллиметра, для этого:

· находим на штангенциркуле класс точности прибора; для данного штангенциркуля он составляет 0,1 мм;

· смотрим, какая насечка нониуса совпадает со шкалой линейки (на фото это седьмая насечка);

· умножив номер насечки на класс точности прибора получим десятые доли миллиметра: 7 · 0,1 = 0,7 мм;

· складывая целую часть с дробной получаем истинный размер: 15 + 0,7 = 15,7 мм;

· абсолютную погрешность, которую даёт прибор, рассчитываем по формуле (2):

· граница погрешности отсчёта определяется половиной цены деления, т. е. ;

· проверить пункты 2,3,4 основных правил оценки границы абсолютной погрешности при проведении прямых измерений;

· т. к. выполняется пункт 3, то ;

· результат записываем в виде: N=No ± ∆N, N=(15,7±0,145) мм, но т. к. границу абсолютной погрешности необходимо округлить до одной значащей цифры, то окончательный результат имеет вид: N=(15,7±0,1) мм.

Тренировочное задание №1.

Используя фотографию, определить диаметр металлического шарика и записать результат измерения с учётом погрешности прибора.

Тренировочное задание №2.

Используя линейку, класс точности которой не указан, определить длину карандаша или ручки и записать результат измерения с учётом погрешности прибора.

Источник