Меню

Три измерения длина ширина высота прямоугольного параллелепипеда



Объем параллелепипеда

О чем эта статья:

Понятие объема

Чтобы без труда вычислить объём любой фигуры, нужно разобраться с определениями.

Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.

Другими словами, это то, сколько места занимает предмет.

Объём измеряется в единицах измерения объема (единицах измерения размера пространства, занимаемого телом), то есть в кубических метрах, сантиметрах, миллиметрах.

За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (см3), кубический миллиметр (1 мм3), кубический метр (1 м3).

Объём всегда выражается в положительных числах. Это число показывает, какое именно количество единиц измерения есть в теле. Например, сколько воды в бассейне, вина в бочке, земли в клумбе.

Два свойства объёма

  1. У равных тел равные объёмы. Если два тела одинаковы, и имеют равное количество единиц измерения — их объёмы равны. Например, у двух одинаковых пакетов сока равные объемы.
  2. Если геометрическое тело состоит из нескольких геометрических тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Любое объемное тело имеет объем. Получается, при желании мы можем вычислить объем кружки, смартфона, вазы, кота — чего угодно.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Давайте вспомним, какие виды параллелепипедов бывают.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань которой называется параллелограмм.

Призма — это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а его боковые грани — это параллелограммы.

Какие бывают призмы:

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Прямоугольным параллелепипедом называют параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, найдите произведение его длины, ширины и высоты:

V = a * b * h

Чтобы не запутаться в формулах, запоминайте табличку с условными обозначениями.

Источник

Урок 30 Бесплатно Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда

Вокруг нас находится огромное множество объектов — «физических тел».

Все реальные тела занимают некоторое место в пространстве, поэтому часто приходиться сталкиваться с таким понятием как объем.

На этом уроке мы попытаемся выяснить, что такое объем.

Определим его основные свойства.

Узнаем, в каких единицах измерения объем выражается.

Выясним, как взаимосвязаны между собой единицы объема.

Научимся находить объем прямоугольного параллелепипеда и применим эти знания при решении задач.

Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда

Итак, любое тело в пространстве характеризуется объемом.

Давайте разберемся, что же такое объем.

Объем слово многозначное.

Выделяют два основных значения слова «объем».

1. Объемом называют величину, которая характеризует содержание чего-либо или количество содержащегося.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Приведем несколько примеров:

Объем книги- это количество листов. Он измеряется условными единицами- листами (печатными, авторскими, учетно-издательскими).

Объем книги характеризуется количеством текста и иллюстраций.

Объем производства- результат деятельности предприятия по производству продукции или предоставлению услуг.

Объем производства может выражается в натуральных, трудовых или стоимостных единицах.

Объем работ- это количество различных действий и операций и частота их выполнения.

Часто объем выполненных работ приходится определять при строительстве, ремонте и других работах, что позволяет заказчику отслеживать и контролировать выполнение каждого этапа этих работ.

Объем крови- количество крови в теле человека.

Зависит от возраста, половой принадлежности, массы, роста, состояния и массы мышц.

Например, у спортсмена объем крови в организме больше, чем у того, кто ведет малоподвижный образ жизни; у мужчины немного больше, чем у женщин.

Измерение объема крови осуществляется в литрах.

Определять объем крови необходимо при донорстве или перед проведение операции для расчета анестезии.

Объем легких (по-другому, легочная емкость)- это количество воздуха, который проходит через легкие.

Емкость легкого измеряют в литрах.

В медицине часто измеряют объем легких для диагностирования различных легочных заболеваний и в других медицинских исследованиях.

Объем информации (объем данных) определяется количеством символов, заключенных в тексте, и количеством информации, которой обладает каждый символ.

Объем информации выражают в специальных единицах памяти компьютера: битах, байтах и т.д

В математике объем имеет несколько другое значение.

Рассмотрим понятие объема с геометрической точки зрения.

2. Объем- это величина, характеризующая размер тела в пространстве.

Другими словами, объем- это величина, которая показывает сколько места тело занимает в пространстве.

Обычно объем обозначается латинской буквой V (от лат. volume- объем, наполнение).

Объем тела определяется его формой и размером.

Объем, как и любую другую величину, можно измерять.

Известно, чтобы измерить величину некоторой фигуры, необходимо определить сколько раз в ней помещается другая фигура, принятая за единицу измерения.

На прошлых уроках мы выяснили, что при измерении длины используют линейные меры длины (1 мм, 1 см, 1 дм и т.д.), площадь измеряют квадратными единицами длины (1 мм 2 , 1 см 2 , 1 дм 2 и т.д.).

Квадратная единица представляет собой квадрат, стороны которого выражены линейными единицами.

Общее количество таких единичных квадратов, содержащихся в фигуре, — это площадь фигуры.

Аналогично дело обстоит с измерением объема фигуры.

Однако, чтобы определить размеры фигуры на плоскости, необходимо знать только две величины: ширину и длину, а для определения размеров пространственной фигуры кроме длины и ширины необходимо знать третью линейную меру — высоту.

Объем измеряют кубическими единицами.

Кубическая единица представляет собой куб, стороны которого выражены линейными единицами. Другими словами, объем измеряется кубическими единицами длины.

Измерить объем фигуры- это значит найти сколько кубических единиц содержится в данной фигуре.

Определим объем уже известной нам пространственной фигуры- прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед- это объемная геометрическая фигура, многогранник, состоящий из шести граней-прямоугольников, причем противоположные грани его попарно равны.

Объем прямоугольного параллелепипеда- это число, которое показывает, какое количество кубических единиц помещается в этот прямоугольный параллелепипед.

Таким образом, если разбить фигуру на n равных единичных кубиков, то объем будет равен n кубических единиц.

Пусть прямоугольный параллелепипед имеет следующие размеры:

Ширина а = 3 (ед. длины)

Длина b = 6 (ед. длины)

Высота h = 2 (ед. длины)

Высота прямоугольного параллелепипеда- это расстояние между нижним и верхним основанием.

Выложим на нижнее основание прямоугольного параллелепипеда вдоль самой длинной стороны ряд из единичных кубиков (ребро каждого такого кубика равно одной единице длинны).

В такой ряд поместиться 6 единичных кубиков.

Чтобы закрыть все нижнее основание прямоугольного параллелепипеда, необходимо выложить 3 таких ряда по 6 кубиков в каждом.

Количество единичных кубиков, выложенных в основании, будет определяться выражением 6 ∙ 3.

Найдем значение данного выражения:

6 ∙ 3 = 18 (ед. кубиков).

Слой кубиков, из которых выложено дно прямоугольного параллелепипеда, состоит из 18 единичных кубиков.

Сколько таких слоев можно поместить в прямоугольный параллелепипед зависит от его высоты.

В нашем случае высота прямоугольного параллелепипеда равна двум единицам длины.

Следовательно, в измеряемом прямоугольном параллелепипеде можно уместить 2 слоя (каждый по 18 единичных кубиков).

Общее количество единичных кубиков будет определяться выражением 2 ∙ 18.

Найдем значение данного выражения:

2 ∙ 18 = 36 (ед. кубиков).

Следовательно, объем всего прямоугольного параллелепипеда равен 36 кубическим единицам.

По сути, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нам пришлось перемножить длины трех его сторон: ширины а = 3 (ед. длины), длины b = 6 (ед. длины), высоты h = 2 (ед. длины).

V =a b h = 3 ∙ 6 ∙ 2 = 36 (кубических единиц).

Запишем правило нахождения объема прямоугольного параллелепипеда.

Правило: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений (трех его сторон: ширины а, длины b, высоты h), выраженных в одинаковых единицах измерения.

Запишем правило в виде формулы.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда выглядит так:

Таким образом, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, не обязательно разбивать его на кубические единицы и считать их общее количество, необходимо просто знать длину, ширину и высоту этой фигуры.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Нам известно, что нижняя грань прямоугольного параллелепипеда с ребрами a и b— это его нижнее основание, и оно прямоугольной формы.

Так как основание параллелепипеда- это прямоугольник, то произведение (a b)- это ничто иное, как площадь основания прямоугольного параллелепипеда.

Sосн = a b— площадь основания прямоугольного параллелепипеда.

Заменим в формуле объема прямоугольного параллелепипеда V = (a b) h произведение (a b) на Sосн , получим правило:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.

Запишем правило в виде формулы.

Выясним, как выглядит формула объема для куба.

Известно, что куб- это прямоугольный параллелепипед, состоящий из шести одинаковых квадратов, следовательно, все ребра куба равны между собой; значит, ширина, длина и высота имеют одинаковые значения.

Таким образом, вычислить объем куба довольно просто, если знать значение его ребра.

Пусть а— это длина ребра куба.

Тогда для куба справедливо следующее: b = а, h = а.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда V = a b h для куба примет вид:

V = a ∙ а ∙ а = а 3

Умножив ширину на длину и на высоту, получим произведение трех равных по значению множителей.

Произведение трех множителей — это куб числа.

Правило: чтобы вычислить объем куба, нужно перемножить значения трех его ребер или просто возвести ребро куба в третью степень.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Прямоугольный параллелепипед. Что это такое?

О чем эта статья:

Определение параллелепипеда

Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.

На рисунке два параллелограмма АВСD и A1B1C1D1. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA1, ВB1, CC1, DD1 параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.

Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.

Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.

Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.

Параллелепипед — это:

Правильный параллелепипед на то и правильный, что два его измерения равны. Две грани такого правильного параллелепипеда — квадраты.

Чтобы запомнить все правила и определения, приходите заниматься математикой в онлайн-школу Skysmart. Ваш ребенок будет решать задачки в интерактивном формате и с заботливыми учителями, отслеживать прогресс в личном кабинете и гордиться своими успехами.

Свойства параллелепипеда

Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.

Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:

  1. Противолежащие грани параллелепипеда равны и параллельны друг другу.
  2. Все 4 диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
  3. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
  4. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Прямой параллелепипед

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.

Свойства прямого параллелепипеда:

  1. Основания прямого параллелепипеда — одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.
  2. Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.
  3. Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.
  4. Противолежащие боковые грани прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.
  5. Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.

На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.

Формулы прямого параллелепипеда:

  • Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда
    Sб = Ро*h
    Ро — периметр основания
    h — высота
  • Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда
    Sп = Sб+2Sо
    Sо — площадь основания
  • Объем прямого параллелепипеда
    V = Sо*h

Прямоугольный параллелепипед

Определение прямоугольного параллелепипеда:

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.

  1. Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
  2. Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.
  3. Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.
  4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
  5. В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
  6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
  7. Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.
  8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы прямоугольного параллелепипеда:

  • Объем прямоугольного параллелепипеда
    V = a · b · h
    a — длина, b — ширина, h — высота
  • Площадь боковой поверхности
    Sбок = Pосн·c=2(a+b)·c
    Pосн — периметр основания, с — боковое ребро
  • Площадь поверхности
    Sп.п = 2(ab+bc+ac)

Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема

Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.

Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Доказать теорему.

Доказательство теоремы:

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора

ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора

d² = d₁² + c² = a² + b² + c²

d² = a² + b² + c²

Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.

У нас есть отличные дополнительные онлайн занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайся!

Куб: определение, свойства и формулы

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.

Каждая грань куба — это квадрат.

Свойства куба:

  1. В кубе 6 граней, каждая грань куба — квадрат.
  2. Противолежащие грани параллельны друг другу.
  3. Все углы куба, образованные двумя гранями, равны 90°.
  4. У куба четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делятся пополам.
  5. Диагонали куба равны.
  6. Диагональ куба в √3 раз больше его ребра.
  7. Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.

Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.

Формулы куба:

  • Объем куба через длину ребра a
    V = a3
  • Площадь поверхности куба
    S = 6a2
  • Периметр куба
    P = 12a

Решение задач

Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.

Для наглядного решения обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: a — длина, b — ширина, c — высота. Тогда a = 10, b = 5, c = 8.

Так как в прямоугольном параллелепипеде всего по 4 — высота, ширина и длина, и все измерения равны между собой, то:
1) 4 * 10 = 40 (см) — сумма длин параллелепипеда;
2) 4 * 5 = 20 (см) — суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) — сумма высот параллелепипеда;
4) 40 + 20 + 32 = 92 (см) — сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.

Отсюда можно вывести формулу по нахождению суммы длин всех сторон ПП:
X = 4a + 4b + 4c (где X — сумма длин ребер).

Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.

Нужно найти длину ребра A1B1.

В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°. Против равных сторон лежат равные углы.

По теореме Пифагора:
BD1 2 = DD1 2 + BD 2
BD 2 = BD1 2 – DD1 2
BD 2 = 26 – 9 = 17
BD = √17
В треугольнике ADB угол А = 90°.
BD 2 = AD 2 + AB 2
AB 2 = BD 2 — AD 2 = (√17)2 — 4 2 = 1
A1B1 = AB.

Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.

AB = 4
AD = 6
AA1= 5
Нужно найти отрезок BD1.

В треугольнике ADB угол A = 90°.

По теореме Пифагора:
BD 2 = AB 2 +AD 2
BD 2 = 4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD1 угол D = 90°.
BD1 2 = 52 + 25 = 77.

Самопроверка

Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.

Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.

Вычислите длину ребра AA1.

Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:

  • прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию;
  • параллелепипед называется прямоугольным, когда его боковые ребра перпендикулярны к основанию;
  • основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник;
  • три измерения прямоугольного параллелепипеда: длина, ширина, высота;
  • диагональ параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.

Решить задачку по геометрии — дело нехитрое, а вот почувствовать момент, когда уже не параллелограмм, но еще не параллелепипед, надо уметь. Всем тонкостям, премудростям и фишкам вашего ребенка обучат на уроках математики в онлайн-школе Skysmart.

Записывайтесь на бесплатный вводный урок и занимайтесь в удовольствие уже завтра.

Источник

Читайте также:  Измерить скорость соединения 2ip

Сравнить или измерить © 2021
Внимание! Информация, опубликованная на сайте, носит исключительно ознакомительный характер и не является рекомендацией к применению.