Меню

Угол сравнения углов биссектриса



Биссектриса угла. Свойства

Определение 1. Биссектриса угла − это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол в два равных угла.

Докажем следующую теорему:

Теорема 1. 1) Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. 2) Каждая точка, которая находится внутри угла и равноудалена от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Доказательство. 1) На биссектрисе угла BAC отметим произвольную точку D. Проведем от точки D перпендикуляры DK и DL к прямым AB и AC, соответственно (Рис.1). Докажем, что DK=DL. Рассмотрим прямоугольные треугольники AKD и ALD. Они равны по гипотенузе и острому углу т.е. \( \small ∠1=∠2 \) , AD общая (см. статью Прямоугольный треугольник). Следовательно DK=DL.

2) Пусть точка D лежит внутри угла BAC и равноудалена от его сторон AB и AC. Докажем, что AD является биссектрисей угла BAC (Рис.1). Проведем перпендикуляры DK и DL к прямым AB и AC. Прямоугольные треугольники AKD и ALD равны по катету и гипотенузе. Действительно, гипотенуза AD общая и по условию DK=DL. Но тогда прямоугольные треугольники AKD и ALD равны. Следовательно \( \small ∠1=∠2 \). А это означает, что луч AD является биссектрисей угла BAC.

Исходя из теоремы 1, можно дать другое определение биссектрисы:

Определение 2. Биссектриса угла − это геометрическое место точек внути угла, равноудаленных от сторон этого угла.

Свойство 1. Угол между биссекстрисами смежных углов равна 90°.

Доказательство. Даны смежные углы CAB и BAD (Рис.2). Покажем, что \( \small ∠EAF=90° \) или . Действительно:

Источник

«Углы. Сравнение и измерение углов. Биссектриса угла»

Тема: «Углы. Сравнение и измерение углов. Биссектриса угла»

    повторить и отработать ранее изученные определения: угол, смежные и вертикальные углы; начать знакомство учащихся с биссектрисой угла; способствовать развитию у учащихся внимательности, логического мышления, навыков самостоятельной и коллективной работы, развивать математическую речь; учить собранности, умению ценить учебное время.

Оборудование: дидактические карточки, таблицы с готовыми чертежами на парту, таблицы на доске, чертежные инструменты.

I. Постановка целей и задач урока

Сегодня мы с вами продолжим изучение темы «Углы». Сначала мы вспомним все, что уже знаем об углах, а затем поработаем с понятием биссектрисы угла.

II. Повторение ранее изученного материала

а) Назвать углы, начерченные на доске

Какие из этих углов являются острыми, тупыми, прямыми?

б) Устно решить задачи:

Один из углов 500, а другой 1000. Могут ли они быть смежными? Один из углов 120, а другой 1780. Могут ли они быть смежными? Один из углов 90, а другой 1710. Могут ли они быть смежными? Один из углов 250, а другой 1550. Могут ли они быть вертикальными? Один из углов 90, другой 90. Могут ли они быть вертикальными?

в) Назовите все углы на чертеже (чертеж на доске)

1. Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности, называется …

2. Если прямая пресекает окружность в двух точках, то она называется …

3. Сумма … углов равна 1800.

4. Две прямые называются пересекающимися, если …

5. назовите смежные углы на чертеже

6. назовите вертикальные углы на чертеже

1. Отрезок, соединяющий любые две точки окружности, называется …

2. Если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она называется …

4. Две прямые называются параллельными, если …

5. назовите смежные углы на чертеже

6. назовите вертикальные углы на чертеже

После выполнения диктанта учащиеся обмениваются тетрадями с соседом по парте и проверяют карандашом правильность выполнения (правильные ответы записаны на обратной стороне доски). В конце выполнения учащиеся выставляют баллы по количеству правильно выполненных заданий.

4. они имеют общую точку

5. ∟ 2 и ∟ 4, ∟ 2 и ∟ 1, ∟4 и ∟3, ∟3 и ∟1

Читайте также:  Хонор 30 сравнение с другими

4. они лежат в одной плоскости и не пересекаются

5. ∟ 1 и ∟ 4, ∟3 и ∟ 1, ∟4 и ∟2, ∟3 и ∟2

2. Конструирование (работа со спичками)

а) Положите три спички так, чтобы получились три угла – острый, прямой и тупой. Сделайте чертеж.

б) Положите три спички так, чтобы получились три острые и два тупых угла. Сделайте чертеж.

Эту задачу учащимся предлагается выполнить дома.

2. Решение задач

Задачи из учебника «Геометрия 8» Шлыков

№ 11-13 стр. 62, [№ 30 стр. 65]

III. Изложение нового материала

Сказка «Мышкина тропинка». Учащиеся читают по ролям.

Затем в справочник делается запись определения биссектрисы угла.

Закрепляется понятие биссектрисы решением задач из учебника № 17, 18, 22 стр. 63 [№ 15 стр. 63].

IV. Определение домашнего задания

Обязательно: № 14 стр. 62

Желательно: № 26, 27 стр. 64

Мечтательно: № 31 стр. 65 + задача со спичками

Домашнее задание поясняется.

V. Подведение итогов урока

Итак, что же нового вы сегодня узнали на уроке? Какое из заданий понравилось больше всего? Выставление оценок учащимся.

Источник

Угол. Биссектриса. Виды углов.

теория по математике 📈 планиметрия

Угол – геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, которые исходят из этой точки. Лучи – стороны угла, а точка – вершина.

Обозначение углов: можно обозначать тремя заглавными латинскими буквами (в середине записи – буква, которая обозначает вершину угла); можно обозначать одной заглавной латинской буквой; также используется обозначение двумя прописными латинскими буквами.

Рассмотрим обозначение на рисунках, где на рисунке 1 показан угол АОС, на рисунке 2 – угол М, на рисунке 3 – угол (hc).

Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3

Измерение углов. Виды углов

Обычно за единицу измерения углов принимают градус – угол, равный одной стовосьмидесятой части развернутого угла. Эта единица измерения введена до нашей эры много веков назад и используется в наше время.

Число, которое указывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называется градусной мерой угла.

Определенные части градуса носят такие названия, как минута и секунда, где минута – это 1/60 часть угла, а секунда – это 1/60 часть минуты.

Запись и чтение осуществляется следующим образом: 78 0 (78 градусов); 24 0 32 / 45 // — это 24 градуса 32 минуты 45 секунд. Определение

Угол называется развернутым, если обе его стороны лежат на одной прямой.

Также можно сказать, что одна сторона развернутого угла является продолжением другой стороны этого угла. На рисунке показан развернутый угол С. Его величина равна 180 градусам (180 0 ).

Определение

Угол, градусная мера которого равна 90 градусов, называется – прямой.

На рисунке показан угол К, равный 90 0 . Определение Угол, градусная мера которого меньше 90 градусов, называется – острый. На рисунке угол (сm) – острый. Определение Угол, градусная мера которого больше 90 градусов, называется – тупой. На рисунке угол P – тупой.

Биссектриса угла

Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины и делящий его на два равных угла. На рисунке показан луч ML, который делит угол KMN пополам, то есть угол KML равен углу LMN.

Смежные углы

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

На рисунке показаны углы ABD и DBC, которые являются смежными, у них сторона BD общая, а стороны АВ и ВС являются продолжениями одна другой.

По рисунку мы видим, что эти два смежных угла образуют развернутый угол. Таким образом, сумма смежных углов равна 180 градусов. Это свойство смежных углов.

Смежные углы

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла. Другими словами, при пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов.

Читайте также:  Боковые желудочки головного мозга новорожденного ребенка по сравнению со взрослыми

На рисунке показаны две пары вертикальных углов, это пара углов 1 и 2, а также вторая пара – это 3 и 4.

По рисунку мы видим, что угол 4 смежный с углом 1 и 2. По свойству смежных углов: сумма углов 1 и 4 равна 180 0 , а сумма углов 4 и 2 тоже равна 180 0 . Значит, углы 1 и 2 равны, углы 4 и 3 тоже равны. Таким образом, получим свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Источник

Угол. Виды углов. Биссектриса угла. 5-й класс

Разделы: Математика

Класс: 5

Тип урока:урок ознакомления с новым материалом.

Цели урока: Создать условия для ознакомления с понятиями угол, виды углов, биссектриса угла;

  • развивающая: совершенствовать навыки графических действий, умение сравнивать и делать выводы;
  • воспитательная: продолжить формирование эвристического и системного мышления.

Методы:эвристическая беседа и практическая деятельность с элементами исследования.

Ход урока

I. Организационный момент.

Подготовка учащихся к работе на уроке. Проверить наличие необходимых инструментов (объявлено заранее).

Тема урока формулируется в виде загадки.

«Я с «л» смягченным – под землей,
Бываю каменный и бурый.
А с твердым – в комнате твоей
И в геометрии фигура». (Угол)
Агеева И.

II. Актуализация опорных знаний.

Повторение ранее изученного материала.

1. По рисунку ответьте на вопросы:

а) какие точки принадлежат прямой АВ?
б) какие точки не принадлежат прямой АВ?
в) какие точки принадлежат отрезку АВ?

2. Назовите отрезки, прямую и лучи изображенные на рисунке.

3. Выберите точки, которые лежат на прямой а и не принадлежат отрезку DF?

4. Сколько треугольников изображено на рисунке?

5. Назовите лучи изображенные на рисунке. Назовите начало каждого луча. Чем отличается расположение лучей на рисунках?

III. Изучение нового материала.

Учащимся предлагается дать название фигуры, изображенной на рис.1 и сформулировать определение угла.

1. Учитель предлагает сравнить данное определение с текстом учебника

2. Ввести обозначение угла: А – вершина, АВ и АС – стороны угла. Обратить внимание на правило прочтения. Учитель объясняет способы записи данного угла: ВАС, САВ, А.

«Три буквы угол обозначают,
Но помни правило отныне:
Вторая буква словно часовой
Всегда дежурит на его вершине».

Учащиеся фиксируют внимание на том, что любой угол имеет вершину и две стороны.

3. Учащиеся выполняют №1613 (на доске и в тетрадях)

4. Учитель предлагает ученикам взять лист бумаги и согнуть его пополам, затем разогнуть. На линии сгиба отметить точку О. Сколько лучей с началом в точке О можно провести вдоль линии сгиба? (два) До какой фигуры дополняют эти лучи друг друга? (до прямой)Можно ли назвать данную фигуру углом? (да – работа сопределением развернутого угла).

5. Согните лист пополам дважды. Разверните его. Линии сгиба образовали четыре равных угла. Обозначим их. Каждый из них равен половине развернутого угла и называется прямой угол.

6. Расставьте по две точки, которые лежат внутри СОВ, на его сторонах и вне угла.

7. Проведите луч, выходящий из точки О и проходящий между сторонами угла СОВ (задание выполняется в тетрадях и на доске). Запишите получившиеся углы.

8. Вырежьте углы: АОG, GOB, FOD, DOB.

9. Попробуйте совместить их наложением. AОD и DOD совместились, значит они равные. BOG укладывается на BOD, значит BOG BOD.

10. Как бы вы назвали угол, который больше прямого? (тупой) Его стороны похожи на раскрытый веер, он не принесет вам неприятностей.

«До тупого еще не дорос,
А острый уже перерос.
Знают все, что угол такой
Называют все люди…(прямой)»

11. Приведите примеры прямых, развернутых, острых и тупых углов в окружающих нас предметах.

IV. Первичное закрепление изученного материала.

Выполнить из учебника:

№1613 (разбить углы по видам),

№1614 Сколько различных углов получилось на чертеже?

Читайте также:  Сравните модуль силы взаимодействия двух разноименных

Запишите названия этих углов?

На сколько частей делят плоскость эти углы?

№1615 и №1617 выполнить устно.

V. Понятие биссектрисы угла.

1. Прочитайте все углы, которые вы видите на чертеже.

Назовите прямые, острые, тупые, развернутые углы.

Что вы можете сказать об углах КВS и SВС? АВК и СВК?(они равны).

Равные углы на чертеже обозначают равным количеством дуг.

2. Возьмите вырезанные углы и согните их так, чтобы стороны совпали. Разверните, проведите линию сгиба. Что получили? (луч разделил угол на два равных угла).

3. Этот луч называют биссектрисой угла. Учитель предлагает сформулировать определение биссектрисы. (Биссектриса – луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части.Это название произошло от латинских слов: bi –двойное, sektio – разрезание).

4. На каком из рисунков изображена биссектриса угла. Ответ объясните.

«Биссектриса угла – это луч
Из вершины летит он могуч.
Потому что, пусть помниться нам,
Делит угол он пополам».

VI. Подведение итогов урока.

VII. Домашнее задание.

п. 41, №1638, 1639, 1640, 1642(а)

По желанию учащихся можно сочинить стихотворение, рассказ или сказку об углах и биссектрисе.

Литература:

  1. Н.Я. Виленкин и др., «Математика 5», «Мнемозина», Москва, 2010.
  2. Л.О. Рослова Методика преподавания наглядной геометрии учащимся 5-6 классов.- М.: педагогический университет «Первое сентября», 2009.

Источник

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

  • CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
  • CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
  • DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Источник