Тема: Элементы теории ошибок измерений.
1. Классификация ошибок измерений
_______ Измерения в геодезии рассматриваются с двух точек зрения: количественной, выражающей числовое значение измеренной величины, и качественной, характеризующей ее точность. Из практики известно, что даже при самой тщательной и аккуратной работе многократные (повторные) измерения не дают одинаковых результатов. Это указывает на то, что получаемые результаты не являются точным значением измеряемой величины, а несколько отклоняются от него. Значение отклонения характеризует точность измерений.
_______ При геодезических измерениях неизбежны ошибки. Эти ошибки бывают грубые , систематические и случайные .
_______ К грубым ошибкам относятся просчеты в измерениях по причине невнимательности наблюдателя или неисправности прибора, и они полностью должны быть исключены. Это достигается путем повторного измерения.
_______ Систематические ошибки происходят от известного источника, имеют определенный знак и величину и их можно учесть при измерениях и вычислениях.
_______ Случайные ошибки обусловлены разными причинами и полностью исключить их из измерений нельзя. Поэтому возникают две задачи: как из результатов измерений получить наиболее точную величину и как оценить точность полученных результатов измерений. Эти задачи решаются с помощью теории ошибок измерений _______
_______ В основу теории ошибок положены следующие свойства случайных ошибок :
_______ 1. Малые ошибки встречаются чаще, а большие реже.
_______ 2. Ошибки не превышают известного предела.
_______ 3. Положительные и отрицательные ошибки, одинаковые по абсолютной величине, одинаково часто встречаются.
_______ 4. Сумма ошибок, деленная на число измерений, стремится к нулю при большом числе измерений.
_______ По источнику происхождения различают ошибки приборов, внешние и личные. Ошибки приборов обусловлены их несовершенством, например погрешность угла, измеренного теодолитом, неточным приведением в вертикальное положение оси его вращения.
_______ Внешние ошибки происходят из-за влияния внешней среды, в которой протекают измерения, например погрешность в отсчете по нивелирной рейке из-за изменения температуры воздуха на пути светового луча (рефракция) или нагрева нивелира солнечными лучами.
_______ Личные ошибки связаны с особенностями наблюдателя, например, разные наблюдатели по-разному наводят зрительную трубу на визирную цель. Так как грубые погрешности должны быть исключены из результатов измерений, а систематические исключены или ослаблены до минимально допустимого предела, то проектирование измерений с необходимой точностью и оценку результатов выполненных измерений производят, основываясь на свойствах случайных погрешностей.
2. Арифметическая середина
_______ Если одна величина измерена n раз и получены результаты: l 1, l 2, l 3, l 4, l 5, l 6,…. l n , то
 |
_______ Величина x называется арифметической серединой или вероятнейшим значением измеренной величины. Разности между каждым измерением и арифметической срединой называют вероятнейшими ошибками измерений:
 |
_______ Или в общем виде получим:
3. Средняя квадратическая ошибка
_______ Точность результатов измерений оценивается средней квадратической ошибкой. Средняя квадратическая ошибка одного измерения вычисляется по формуле:
 |
где [v 2 ] – сумма квадратов вероятнейших ошибок; n – число измерений. Средняя квадратическая ошибка арифметической середины вычисляется по формуле:
 |
_______ Предельная ошибка не должна превышать утроенной средней квадратической ошибки, т.е. ε = 3 x m.
_______ Иногда о точности измерений судят не по абсолютной величине средней квадратической или предельной погрешности, а по величине относительной ошибки. ___
_______ Относительной ошибкой называется отношение абсолютной ошибки к значению самой измеренной величины. Относительную ошибку выражают в виде простой дроби, числитель которой — единица, а знаменатель — число, округленное до двух-трех значащих цифр с нулями. Например, относительная средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной:
_______ l = 110 м, при m = 2 см, равна m/ l = 1/5500.
_______ Линия измерена шесть раз. Определить ее вероятнейшую длину и оценить точность этого результата. Вычисления приведены в таблице:
 |
Таб. 1
_______ По формулам вычислены абсолютные средние квадратические ошибки, а оценивать точность измерения длины линии необходимо по относительной ошибке. Поэтому нужно абсолютную ошибку разделить на длину линии. Для нашего примера относительная ошибка вероятнейшего значения измеренной линии равна
 |
4. Оценка точности измерений
_______ Точность результатов многократных измерений одной и той же величины оценивают в такой последовательности:
_______ 1. Находят вероятнейшее (наиболее точное для данных условий) значение измеренной величины по формуле арифметической середины х = [ l ]/n.
_______ 2. Вычисляют отклонения для каждого значения измеренной величины от значения арифметической средины. Контроль вычислений: [v] = 0;
_______ 3. По формуле вычисляют среднюю квадратическую ошибку одного измерения.
_______ 4. По формуле вычисляют среднюю квадратическую ошибку арифметической средины.
_______ 5. Если измеряют линейную величину, то подсчитывают относительную среднюю квадратическую ошибку каждого измерения и арифметической средины.
_______ 6. При необходимости подсчитывают предельную ошибку одного измерения, которая может служить допустимым значением погрешностей аналогичных измерений.
5. Понятие о неравноточных измерениях
_______ Неравноточными измерениями называются такие, которые выполнены различным числом приемов, приборами различной точности и т.д. Если измерения неодинаковой точности, то для определения общей арифметической середины пользуются формулой:
 |
________ Весом называется число, которое выражает степень доверия к результату измерения. В тех случаях, когда неизвестны веса измеренных величин, а известны их средние квадратические ошибки, то веса можно вычислить по формуле:
 |
т.е. вес результата измерений обратно пропорционален квадрату средней квадратической ошибки.
_______ При неравноточных измерениях средняя квадратическая ошибка измерения, вес которого равен единице, определяется по формуле:
 |
где δ – разность между отдельными результатами измерений и общей арифметической серединой.
Источник
Лекции по дисциплине Геодезия (стр. 3 )
 | Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 |
Такая наука, как геодезия тесно связана с измерениями, которые сопровождаются неизбежными ошибками. Если обозначим:
У – истинное значение измеряемой величины;
у – результат измерений;
— истинная ошибка.
то истинная ошибка 
может быть вычислена по формуле:
(15)
2 Виды ошибок измерений
По источникам и характеру ошибки делятся на грубые, систематические и случайные.
Грубые ошибки являются, как правило, следствие промахов, просчетов в измерениях, неисправностями инструментов и приборов, резким ухудшением внешних условий и пр. Они обнаруживаются при несоблюдении допусков и контролей и исключаются повторными измерениями.
Систематические – те, которые знаком или величиной однообразно повторяются в многократных измерениях. Их источниками являются неисправности в применяемых инструментах, неточная установка инструментов, личные физиологические особенности наблюдателя, влияние внешних факторов и т. п.
Примеры систематических ошибок:
— ошибка в измеренном значении длины линии на местности из-за отклонения мерной ленты от створа;
— ошибка в определении длины мерного прибора (ошибка компарирования).Эта ошибка постоянна и действует пропорционально измеренному расстоянию;
— систематическая ошибка нанесения шрихов лимба теодолита.
Влияние систематических ошибок сводят к допустимому минимуму путем тщательной поверки инструментов, применения соответствующей методики измерений, а также путем введения поправок в результаты измерений.
Некоторые рекомендации по уменьшению влияния систематических ошибок измерения:
— устанавливают закон появления систематической ошибки, после чего ошибку устраняют введением поправки в результаты измерений. Например, эталонирование мерного прибора и введение потом поправок за длину и температуру;
— применяют соответствующую методику измерений, чтобы систематические ошибки меняли знак. Например:
1) отсчитывание по диаметрально противоположным штрихам лимба, что приводит к исключению влияния эксцентриситета алидады;
2) перестановка лимба между приёмами на угол 180˚/n, где n-число приёмов ( при этом ослабевает влияние систематических ошибок штрихов лимба);
— используют определённую методику обработки результатов измерений. Например, углы и координаты вытянутого теодолитного хода уравнивают раздельно. Это ведёт к ослаблению влияния систематических ошибок угловых и линейных измерений.
Таким образом, будем считать, что результаты измерений содержат только слуайные ошибки, т. е. такие, размер и характер влияния которых на каждый отдельный результат измерения остается неизвестным.
3 Свойства случайных ошибок
Величину и знак случайных погрешностей 
установить нельзя.
Примеры случайных ошибок:
— ошибки отсчитывания по угломерному кругу;
— часть ошибки визирования, обусловленную колебаниями изображения;
— случайные ошибки нанесения штрихов лимба;
— влияние вибрации сигнала;
— ошибка отсчитывания по нивелирной рейке;
— ошибка за округление чисел при вычислениях.
Если результаты измерений содержат только случайные ошибки (грубые и систематические исключают), то
Чем ближе результат измерений к истинному значению, тем он точнее. Чем меньше ошибки, тем выше точность.
4 Обработка рядя равноточных измерений.
По точности результаты измерений разделяют на равноточные и неравноточные.
Под равноточными понимают однородные результаты, полученные при измерениях одним и тем же инструментом, одинаковым числом приемов, одним и тем же или равноценными методами и в одинаковых условиях.
5 Критерии оценки точности результатов измерений.
В геодезии необходиом уметь оценивать точность результатов измерений. Основным критерием точности в геодезии является средняя квадратическая ошибка 
(СКО). Ее математическое выражение:
, (16)
то есть квадрат СКО равен математическому ожиданию квадрата истинной ошибки.
Для оценки точности отдельного измерения применяется формула Гаусса:
или 
(17)
— случайная ошибка, тоже истинная, но
θ- истинная ошибка в более широком смысле. Она может состоять из случайной и систематической частей.
СПРАВКА: (1777 – 1855гг) – немецкий математик. Автор работ по астрономии. геодезии. физике. Разработал математические основы высшей геодезии, вычисляя погрешности при измерениях, разработал метод наименьших квадратов.
Кроме основной характеристики m, характеризующей влияние случайных ошибок на результаты измерений. иногда применяют дополнительную характеристику – среднюю ошибку
,
но СКО имеет ряд преимуществ по сравнению со средней квадратической погрешностью:
— на величину СКО сильнее влияют большие по абсолютной величине ошибки;
— СКО – устойчивая характеристика, даже при небольшом числе измерений даёт надёжные результаты.
Если 
— среднее арифметическое или арифметическая средина, то СКО арифметической средины М находится по формуле
где n – число измерений;
m – СКО одного измерения.
Для решения практических задач используется предельная ошибка ∆пред. Для серии ошибок в качестве ∆пред принимается утроенная СКО.
Это допуск, предел, больше которого не должно быть ошибки.
На практике во многих работах для повышения требований к точности измерений за предельную ошибку принимают удвоенную СКО.
Все приведённые выше ошибки называются абсолютными ошибками. Кроме абсолютных бывают относительные ошибки fотн, которыми называют отношение абсолютной ошибки к среднему значению измеряемой величины. Относительная ошибка выражается дробью, числитель которой равен 1, а знаменатель – отношение среднего значения измеряемой величины к абсолютной ошибке.
Приведенная выше формула Гаусса 17 применима для случаев, когда известны истинные значения измеряемых величин (или истинные ошибки). Эти случаи в практике редки. Известны они могут быть например, при моделировании, или за истинные значения принимают результаты измерений более высокой точности.
6 Арифметическая средина и ее средняя квадратичная ошибка
Как правило, истинные значения измеряемых величин неизвестны, но из измерений можно получить наиболее надежный результат – арифметическую средину 
по формуле:
(18)
= 
Вычислив уклонение отдельных измерений от арифметической средины
, (19)
можно СКО одного измерения определить по формуле Бесселя:
(20)
Справка: (1784 – 1846гг) – немецкий астроном. член Берлинской АН. Он один из первых определил расстояние до звёзд. Реформировал методы учёта инструментальных и других ошибок, что повысило точность астрономических измерений.
7Средние квадратичные ошибки функций измеренных величин.
Формулы Гаусса и Бесселя определяют СКО непосредственно измеренных величин. Если определяемая величина является функцией других непосредственно измеряемых величин, то СКО функции может быть найдена по формуле:
где 
— СКО функции;
— функция многих независимых аргументов 
;
— частные производные от функции по каждой переменной (результату измерений);
— СКО каждого результата измерений.
8 Неравноточные измерения.
9 Понятие о весе.
На практике часто производятся неравноточные измерения, которые выполнены в различных условиях, приборами различной точности, различным числом приемов и т. д. В этом случае уже нельзя ограничиваться простым арифметическим средним, а необходимо учитывать степень надежности каждого результата измерений. Надежность результата, выраженная числом, называется его весом. Чем надежнее результат, тем больше его вес. Следовательно, вес связан с точностью результата измерения, которая характеризуется СКО. Поэтому вес результата измерения принимают обратно пропорциональным квадрату СКО, то есть:
, (22)
где 
— некоторая постоянная величина, коэффициент пропорциональности;
— СКО 
измерения.
Таким образом, вес – относительная характеристика точности измерений. Использование веса вместо СКО облегчает. упрощает формулы математической обработки в случае неравноточных измерений. Необходим вес и потому, что более точные измерения в большей степени должны влиять на окончательный результат. (Для облегчения задачи отыскивания весов обычно вес какого-либо результата принимают за единицу и относительно его вычисляют веса остальных неизвестных.)
Если вес результат какого-либо измерения принять равным единице, а СКО измерения его обозначить через 
, то общее выражение веса примет вид:
, (23)
где — ср. кв. ош-ка единицы веса.
В практике геодезических работ в качестве весов принимают:
— при обработке результатов угловых измерений одним и тем же прибором – величины, пропорциональные количеству измерений каждого угла; для суммы углов в ходе, имеющем ni вершин,
— при обработке линейных измерений одним и тем же мерным прибором вес вычисляется по формуле
где si – длина линии;
— при обработке превышений из геометрического нивелирования — величины, обратно пропорциональные длине ходов или числу станций;
— при тригонометрическом нивелировании вес вычисляется по формуле
где si – расстояние между пунктами.
Принципы уравнивания геодезических сетей
1 Уравнивание геодезических сетей по МНК коррелатным способом.
2 Средняя квадратичная ошибка единицы веса
Геодезические измерения характерны тем, что их всегда больше, чем необходимо для определения искомых величин. Необходимыми называют такие измерения, которые позволяют однократно, бесконтрольно найти определяемые величины. Избыточными измерениями называются те, которые выполняют сверх необходимых. Например, для решения треугольника измеряют три угла, тогда как было бы достаточно измерить два угла.
Избыточные измерения позволяют:
— проконтролировать результаты измерений;
— в среднем повысит точность определяемых величин;
— выполнить оценку точности этих величин.
Число избыточных измерений 
определяется по формуле 
, (24)
где 
— число всех измерений в сети;
— число необходимых измерений.
Геодезические измерения ведутся в создаваемых на местности геодезических построениях, истинные элементы которых, в том числе и измеряемые, связаны между собой Математическими зависимостями.
Каждое избыточное измерение приводит к появлению математического соотношения с другими измеренными величинами. Неизбежные ошибки в измерениях приводят к появлению невязок в этих соотношениях. Для устранения невязок необходимо уравнивание результатов измерений.
Уравнивание – это математическая обработка результатов измерений, позволяющая:
— найти наиболее надежные (вероятнейшие) значения неизвестных с оценкой точности полученных результатов;
— исключить все математические противоречия в зависимостях, существующих между измеряемыми величинами.
ВЫВОД: сама задача уравнивания может быть поставлена только при наличии в сети избыточных измерений.
Целью уравнивания является:
— нахождение таких поправок к результатам измерений, которые не только компенсировали бы невязки, но и наилучшим образом приблизили уравненные значения измеренных величин к их истинным значениям;
— повышение точности всех измеренных величин;
— выполнение оценки точности по материалам уравнивания.
Может быть найдено множество систем поправок (множество вариантов), ликвидирующих невязки, но только одна система поправок позволяет найти вероятнейшие (т. е. наиболее приближённые к истинным) значения определяемых величин (и их функций).
Такая система поправок находится под условиями 25 и 26:
— для равноточных измерений,
(условие Лежандра) (25)
-для неравноточных измерений)
(условие Гаусса) (26)
Первое условие – сумма квадратов поправок в непосредственные измерения должна быть минимальной.
Второе условие – сумма произведений квадратов поправок на веса соответствующих результатов измерений должна быть минимальной.
Уравнивание под условиями 25 и 26 называют уравниванием по методу наименьших квадратов (МНК), а условия (25) и (26) – принципом наименьших квадратов.
Уравнивание по МНК – строгое. Другие способы нахождения поправок – приближённое уравнивание.
Для решения задачи уравнивания по МНК применяются два основных способа:
— коррелатный, основанный на способе Лагранжа с неопределенными множителями для нахождения условного экстремума;
— параметрический – способ абсолютного экстремума, при котором все измеренные величины представляют в виде функций некоторых независимых неизвестных параметров.
Существуют также комбинированные способы уравнивания – коррелатный с дополнительными неизвестными и параметрический с избыточными параметрами.
1 Уравнивание геодезических сетей по МНК коррелатным способом
Пусть выполнено измерений их которых — необходимых.
— результаты измерений;
— истинные значения измеренных величин;
— установленная система весов результатов измерений;
— обратные веса.
Связь между ними может быть выражена следующими соотношениями:
, (27)
где 
— случайные ошибки;
. (28)
Число избыточных измерений , где 
.
Каждое избыточное измерение приводит к математическому соотношению между истинными значениями измеренных величин, т. е. в геодезической сети возникает условий:
, (29)
где 
( т. е. здесь r функций: 
).
Эта исходная система условных уравнений связи включает только независимые уравнения, число которых равно 
Вследствие неизбежных ошибок в измерениях, эти же функции, но от измеренных величин примут вид:
где 
— невязки.
Это выражение называется системой условных уравнений связи от измеренных значений.
(31)
Отдельные ошибки неизвестны, но их совокупность (сумма) в каждом условии может быть вычислена.
Необходимо найти такие поправки к результатам измерений, которые ликвидируют невязки, то есть должно выполняться равенство:
, (32)
где 
поправки к результатам измерений;
Уравненные результаты измерений находят по формуле:
(33)
Тогда система условных уравнений связи от уравненных значений примет вид:
(34)
где 
В правой части опять нули, т. к. невязки компенсировались поправками.
Систему (34) приводят к линейному виду, раскладывая каждое уравнение в ряд Тейлора, и пренебрегая при этом малыми (нелинейными) членами разложения:
Первое слагаемое согласно формуле (30) является невязкой , поэтому выражение (35) примет вид:
Обозначим частные производные от первой функции буквой 
, от второй —
, от третьей —
и т. д. То есть:
, 
,…,
;
, 
,…, 
(37)
, 
,…,
С учетом (37) система (36) примет вид:
(38)
Это система условных уравнений поправок. В ней:
— невязки;
— коэффициенты при поправках;
— неизвестные поправки, которые надо найти, решив систему (38).
Так как в системе (38) число уравнений меньше числа неизвестных поправок 
, то такая система имеет множество решений, т. е. не решается однозначно. Чтобы из множества вариантов выбрать один, наилучший, необходимо поставить дополнительное условие. Это условие:
(39)
является принципом наименьших квадратов.
Вывод нормальных уравнений коррелат представляется в матричной форме. Система (38) условных уравнений поправок
решается под условием (39) МНК
,
где 
— матрица коэффициентов при поправках условных уравнений поправок;
— вектор поправок;
— трансформированный вектор поправок;
— вектор свободных членов;
— матрица весов результатов измерений;
Используя метод Лагранжа с неопределенными множителями, называемыми в геодезии коррелатами, представленными в виде вектора коррелат 
(40)
составляют функцию Лагранжа 
(41)
чтобы найти min, находят производную от этой функции 
(42)
, (43)
(44)
где 
— трансформированная матрица коэффициентов при поправках;
— вектор коррелат.
Полагая, что 
, как симметричная матрица, получим коррелатное уравнение поправок, выражающее поправки в виде функций коррелат
(45)
— матрица обратных весов результатов измерений;
— обратный вес результата измерений;
— единичная матрица – т. е. уравнение (45) можно представить в виде
(46)
Выражение (46) является коррелатным уравнением поправок.
Подставив (46) в (38), получают систему нормальных уравнений коррелат:
(47)
,
где 
— матрица коэффициентов нормальных уравнений.
Коэффициенты, стоящие на главной диагонали, называются квадратичными, они всегда положительны, остальные – неквадратичные.
(48)
В системе нормальных уравнений коррелат (48) 
— неизвестные коррелаты. Их число r, как и число уравнений, поэтому система (48) решается однозначно.
Способы решения могут быть различны:
— по схеме Гаусса;
— методом исключения, когда из последнего уравнения выражается последнее неизвестное, подставляется в предыдущее уравнение и т. д.;
— на ЭВМ, по готовым программам.
Из решения нормальных уравнений находят коррелаты , а по ним поправки:
(49)
Выражение (49) называется коррелатным уравнением поправок.
Контролем вычисления поправок является равенство:
(50)
После этого вычисляют уравненные значения результатов измерений
, (
) (51)
и делают контроль уравнивания путем подстановки уравненных измерений в условные уравнения связи
(52)
2 Средняя квадратическая ошибка единицы веса
Оценка точности по результатам уравнивания, то есть по поправкам, может быть выполнена по формуле:
, (53)
где — средняя квадратическая ошибка единицы веса, то есть ошибка измерения с весом 
.
Чтобы оценить какой-либо элемент сети (отметку, координату, угол и т. д.) необходимо составить функцию, то есть математически выразить этот элемент.
(54)
где — средняя квадратическая ошибка функции;
— вес функции.
1 Уравнивание одиночного нивелирного хода коррелатным способом
Рассмотрим нивелирный ход
Рисунок 9 — Нивелирный ход
— исходные пункты;
— отметки исходных пунктов;
— измеренные превышения;
— длины секций;
— определяемые пункты, отметки которых необходимо найти.
Уравнивание нивелирного хода начинается с подсчета числа избыточных измерений по формуле
(55)
В ходе, представленном на рисунке 9, число измеренных превышений 
. Число необходимых измерений 
— по числу определяемых пунктов. Поэтому 
.
Контроль вычисления производится по формуле 
, (56)
где 
— число замкнутых полигонов;
— число исходных пунктов.
Таким образом, в нивелирном ходе возникает только одно условие и соответственно одно условное уравнение связи:
(57)
где 
— невязка.
Так как 
, то, согласно общей теории уравнивания, составляется одно нормальное уравнение коррелат
, (58)
где 
— обратные веса;
при 
, обратные веса 
;
— коэффициенты при поправках условного уравнения поправок
(59)
Коэффициенты находятся как частные производные от функции 
по результатам измерений 
, т. е. 
, 
,…, 
.
Источник