Урок радианное измерение углов

«Радианное измерение углов и дуг. Вращательное движение»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Открытый урок по учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» по теме: «Радианное измерение углов и дуг. Вращательное движение»

Скачать:

Вложение	Размер
конспект урока по математике по теме:«Радианное измерение углов и дуг. Вращательное движение»	136.43 КБ

Предварительный просмотр:

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

по учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»

« Радианное измерение углов и дуг. Вращательное движение »

Согласовано с методистом

Рассмотрено на заседании

№______ от___________ 2017 г.

У Т В Е Р Ж ДА Ю

Зам.директора по УМР

«______» ______________2017 г.

Преподавателю учебных дисциплин «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» и «Физика» Селиной Е.М. провести в группе 1 ПК ( 1 курс, по профессии : «19.01.17 «Повар, кондитер») 04 апреля 2017 г. открытый урок по математике по теме:

« Радианное измерение углов и дуг. Вращательное движение »

Председатель предметной цикловой комиссии

Общеобразовательные дисциплины и дисциплины цикла ОГСЭ».

___________ Е.М. Селина

Ногинск, 2017 год

Радианное измерение углов и дуг .

Тип занятия: Занятие-лекция с решением задач практического содержания.

Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал.

1. просмотр презентации;

2. самоконтроль и самоанализ обучающихся;

1. аналитическая беседа;

3. системного подхода к изучению материала.

• изучить формулы перехода от градусной меры угла к радианной и от радианной к градусной,
• сформировать умение пользоваться радианным измерением углов на уровне выполнения упражнений по образцу, в измененной и новой ситуации.

• развивать внимание, умение рассуждать,
• развивать логическое мышление, умение выделять существенные признаки математического понятия, сравнивать и обобщать

• воспитывать ценностное отношение к предмету, интерес к его изучению и понимание значимости предмета, через иллюстрацию прикладного характера математики,
• воспитывать аккуратность, добросовестное отношение к работе, уважительное отношение к товарищам, умение работать самостоятельно, в парах
  и коллективе,
• формировать систему нравственного отношения к одногрупникам.

Компетенции по ФГОС:

• применять математические методы для решения профессиональных и прикладных задач;
• использовать приемы и методы математического анализа в различных профессиональных ситуациях;
• анализировать результаты измерения величин с допустимой погрешностью, представлять их графически.

Содержание учебной деятельности

Преподаватель приветствует группу и проверяет ее готовность к занятию.

Обучающиеся приветствуют преподавателя. Староста группы сообщает о явке студентов на занятие.

Постановка дидактической цели

Добрый день! Расскажу Вам одну легенду.

Однажды мастер Золотого века искусства создал скульптуру. Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Чтобы его творение увидело больше людей, мастер построил высокий пьедестал. Однако после поднятия статуи на фундамент, статуя смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Мастер потерпел фиаско.

Обучающиеся слушают рассказ преподавателя.

Мотивация предстоящей деятельности

Давайте подумаем, в каких областях нашей профессиональной деятельности нам потребуются знания измерения углов? (сначала ответы аудитории)

— как вы заметили из легенды, знания об измерении углом нам потребуются не только в математике, но и в искусстве. Почему люди не смогли увидеть всю красоту скульптуры? Зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы, тем самым найдем точку зрения. Ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту, поэтому расстояние от верхушки статуи до глаз человека увеличивается, следовательно и синус угла падения увеличивается. А этого скульптор не учел!

Многие задаются вопросами: зачем нужна тригонометрия? Как она используется в нашем мире? С чем может быть связана тригонометрия? И вот ответы на эти вопросы. Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов), в морской и воздушной навигации, в электронике, в теории вероятности, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации, например, компьютерной томографии, в архитектуре, в разработке игр и многих других областях.

Обучающиеся дополняют преподавателя и рассказывают о том, как тригонометрия используется в жизни, где может применяться тригонометрическая функция, рассказывают о небесных объектах и планетах которые они знают.

Приводят примеры применения тригонометрии в строительстве, в морской и воздушной навигации, в электронике, в теории вероятности, в статистике, в биологии, в медицине, в архитектуре, в разработке игр, телефонных приложений и других областях.

— знания об углах нам понадобятся и в пожарной службе. При пожаре необходимо быстро и точно рассчитать угол на который нужно поднять пожарную лестницу к зданию и при этом попасть на нужный этаж.

— в авиации очень важно правильно рассчитать угол, под которым поднимается самолет, чтобы не задеть верхушки деревьев и ближайших построек.

— даже в биологии движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y = tgx

Немного из истории…

1. Древние вавилоняне и египтяне изучали тригонометрию как часть астро-номии; разделили окружность на 360 °

2. Древние индийцы: ввели названия «синус», «косинус», составили таблицы синусов, косинусов

3. IX-XVвв – Средний и Ближний восток: составляли таблицы котангенса, тангенса, косеканса; ввели понятие единичной окружности

4. Насир ад-Дин Мухаммад ат-Туси (1201-1274) выделил раздел тригонометрии из астрономии

5. Лев Герсонид (1288-1344) – открыл теорему синусов

6. XVII-XIXвв: применение тригономет-рии в механике, физике, технике, как часть математического анализа (Виетт, Бернулли) – тригонометрические символы, графики – синусоиды

7. Л.Эйлер: придал тригонометрии современный вид

Давайте начнем с заданий – разминки. Ответьте на вопросы:

1. Чему равен угол квадрата? (90 0 )
2. На какой угол поворачивается солдат по команде «кругом»? (180 0 )

1. Чему равен угол между минутной и часовой стрелками на часах, когда они показывают 2ч? (60 0 )

Все ответы вы дали в градусах. Но это не единственная единица измерения углов.

Кто-нибудь знает в чем еще измеряются углы? (в радианах)

Обучающиеся слушают рассказ преподавателя. Предлагают свои варианты ответов.

Изучение нового материала

Записывают тему занятия « Радианное измерение углов и дуг. Вращательное движение ». Обучающиеся записывают новый материал в тетрадь.

Градусная мера. Здесь единицей измерения является градус (обозначение °) – это поворот луча на 1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°.

1/60 часть градуса называется минутой (обозначают 1 ‘ ).

1/60 часть минуты называется секундой (обозначают 1 » ).

Радианная мера измерения угла есть отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к радиусу дуги.

Градусная мера угла в 1 радиан равна: Так как дуга длиной π R (полуокружность), стягивает центральный угол в 180 ° , то дуга длиной R, стягивает угол в π раз меньший, т.е.

Так как π = 3,14, то 1 рад = 57,3°

Если угол содержит α радиан, то его градусная мера равна

Наиболее активные студенты участвуют при решении примеров на поиск радианной и градусной меры угла.

Найти радианную меру угла равного 1) 30°, 2)135°

1) 30° = 30·π / 180 = π/6

2) 135° = 135·π/180 = 3π/4

Найти градусную меру угла выраженного в радианах 1) π/3 , 2) 4·π/5

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №29. Радианная мера угла

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) Понятие тригонометрической окружности;

2) Поворот точки вокруг начала координат;

3) Длина дуги окружности и площадь кругового сектора.

Глоссарий по теме

Окружность – это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиус окружности – отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Дуга окружности – кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками.

Круговой сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами.

Угол в 1 радиан – центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На уроках геометрии мы с вами изучали окружность, её элементы, свойства. Повторим понятие окружности. Это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

На окружности можно выделить дугу. А если рассмотреть круг — часть плоскости, ограниченной окружностью — то можно выделить круговой сектор.

«Окружность бесконечно большого круга и прямая линия – одно и то же» Г. Галилей

Действительно, и окружность и прямая – бесконечны. Рассмотрим окружность радиуса, равному 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической. (рис.1)

Длина этой окружности (в предыдущей задаче велотрека), как мы помним из уроков геометрии, . А учитывая, что R=1, , осями координат она поделена на четыре дуги, которые находятся соответственно в I, II, III и IV координатных четвертях.

Вычислите длину каждой дуги.

Ответ. длина каждой дуги равна части окружности или

Длина полуокружности равна А так как образовался развернутый угол, то 180.

Рассмотрим дугу, равную по длине радиусу единичной окружности. Полученный центральный угол РОМ равен длине дуги МР=R.

рис.3

Определение. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

;

α рад=(180/π α)° (1)

Длину дуги l окружности радиуса R (рис.4)

можно вычислять по формуле(3)

А площадь S кругового сектора радиуса R и дугой рад (рис.5)

находят по формуле: , где (4)

Вернёмся к единичной окружности в координатной плоскости.

Каждая точка этой окружности будет иметь координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1≤ х ≤ 1; -1≤ у ≤ 1.

Введём понятие поворота точки. (рис.2)

1. Пусть Тогда точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности против часовой стрелки. Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0) до точки В. Говорят, точка В получена из точки А поворотом на угол
2. Пусть точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности по часовой стрелки . Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0)до точки С. Говорят, точка С получена из точки А поворотом на угол — α.

При повороте на 0 рад точка остаётся на месте.

Давайте рассмотрим такой пример:

при повороте точки М(1;0) на угол получается точка N (0;1). В эту же точку можно попасть из точки М(1;0) при повороте на

угол (рис.6)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Найти градусную меру угла, равного рад.

Решение: Используя формулу (1),

находим .

Так как , то рад, тогда (2)

Ответ: .

Пример 2. Найти радианную меру угла, равного 60.

Вычисляем по формуле (2): рад

рад

При обозначении мер угла, наименование «рад» опускают.

Ответ: рад, рад.

Пример 3. Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её радианная мера .

Решение: Используя формулу (3),

получим:

Ответ: .

Пример 4. Найти площадь сектора, если радиус окружности 10 м, а радианная мера центрального угла .

По формуле (4) вычисляем

Ответ: 45 м 2

Пример 5. Найти координаты точки М, полученной из точки N(1;0) поворотом на угол, равный .

Решение: Абсцисса точки М равна отрезку ОК, ордината отрезку ОТ=МК. Так как то

прямоугольный равнобедренный треугольник ОМК имеет равные катеты и гипотенузу ОМ=R=1. По теореме Пифагора можно найти длины катетов. Они равны Учитывая, что точка М находится в I координатной четверти, её координаты положительны.

На окружности можно найти координаты любой точки.

Ответ:

Источник