Меню

V 250 5 м3 относительная погрешность измерений равна



Погрешности измерений

Общие сведения об измерениях. Погрешности измерений и средств измерений

Общие сведения об измерениях

Измерение – нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств. Под измерением понимается процесс экспериментального сравнения данной физической величины с однородной физической величиной, значение которой принято за единицу.

Мера – средство измерений, предназначенное для воспроизведения физической величины заданного размера.

Измерительный прибор – средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем. Измерительные приборы классифицируются по различным признакам. Например, измерительные приборы можно построить на основе аналоговой схемотехники или цифровой. Соответственно их делят на аналоговые и цифровые. Ряд приборов, выпускаемых промышленностью, допускают только отсчитывание показаний. Эти приборы называются показывающими. Измерительные приборы, в которых предусмотрена регистрация показаний, носят название регистрирующих.

Погрешности измерений

Погрешность является одной из основных характеристик средств измерений.

Под погрешностью электроизмерительных приборов, измерительных преобразователей и измерительных систем понимается отклонение их выходного сигнала от истинного значения входного сигнала.

Абсолютная погрешность Δa прибора есть разность между показанием прибора ах и истинным значением а измеряемой величины, т.е.

Абсолютная погрешность, взятая с обратным знаком, называется поправкой.

Относительная погрешность δ представляет собой отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины. Относительная погрешность, обычно выражаемая в процентах, равна

Приведенная погрешность γП есть выраженное в процентах отношение абсолютной погрешности Δa к нормирующему значению апр

Нормирующее значение – условно принятое значение, могущее быть равным конечному значению диапазона измерений (предельному значению шкалы прибора).

Погрешности средств измерений

Класс точности прибора указывают просто числом предпочтительного рода, например, 0,05. Это используют для измерительных приборов, у которых предел допускаемой приведенной погрешности постоянен на всех отметках рабочей части его шкалы (присутствует только аддитивная погрешность). Таким способом обозначают классы точности вольтметров, амперметров, ваттметров и большинства других однопредельных и многопредельных приборов с равномерной шкалой.

Класс точности прибора (например, амперметра) дается выражением

При установлении классов точности приборов нормируется приведенная погрешность, а не относительная. Причина этого заключается в том, что относительная погрешность по мере уменьшения значений измеряемой величины увеличивается.

По ГОСТ 8.401-80 в качестве значений класса точности прибора используется отвлеченное положительное число из ряда:

В интервале от 1 до 100 можно использовать в качестве значений класса точности числа:

(α = 0) 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6;

(α = 1) 10; 15; 20; 25; 40; 50; 60.

Т.е. четырнадцать чисел 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6; 10; 15; 20; 25; 40; 50; 60.

Необходимо отметить, классы точности от 6,0 и выше считаются очень низкими.

Примеры решения задач

Задача №1

Определить для вольтметра с пределом измерения 30 В класса точности 0,5 относительную погрешность для точек 5, 10, 15, 20, 25 и 30 В и наибольшую абсолютную погрешность прибора.

Решение

  1. Класс точности указывают просто числом предпочтительного рода, например, 0,5. Это используют для измерительных приборов, у которых предел допускаемой приведенной погрешности постоянен на всех отметках рабочей части его шкалы (присутствует только аддитивная погрешность). Таким способом обозначают классы точности вольтметров, амперметров, ваттметров и большинства других однопредельных и многопредельных приборов с равномерной шкалой.

Приведенная погрешность (выраженное в процентах отношение абсолютной погрешности к нормирующему значению)

постоянна и равна классу точности прибора.

Относительная погрешность однократного измерения (выраженное в процентах отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины)

уменьшается к значению класса точности прибора с ростом измеренного значения к предельному значению шкалы прибора.

Абсолютная погрешность однократного измерения

постоянна на всех отметках рабочей части шкалы прибора.

По условию задачи: Uизм = Ui = 5, 10, 15, 20, 25 и 30 В – измеренное значение электрической величины; Uпр = 30 В – предел шкалы вольтметра.

Наибольшая абсолютная погрешность вольтметра

Источник

Относительная погрешность

Определение относительной погрешности измерений

Относительная погрешность измерений – это отношение абсолютной погрешности измерений к истинному значению измеряемой величины, в долях или процентах:

На практике относительную погрешность округляют до двух значащих цифр, выполняя округление с избытком, т.е. всегда увеличивая последнюю значащую цифру на единицу.

Для x = 1, $7 \pm 0,2$ относительная погрешность измерений

$δ = \frac<0,2> <1,7>\cdot 100 \text <%>\approx 11,8 \text <%>\approx 12 \text<%>$ — погрешность достаточно велика.

Чем меньше относительная погрешность измерения, тем оно точнее.

Примеры

Пример 1. Согласно данным эксперимента, проведенного в 1975 году, скорость света равна $c = 299 792 458 \pm 1,2 м/с$. Найдите относительную погрешность измерений в этом эксперименте в долях и процентах.

$$δ = 4,0 \cdot 10^ <-9>\cdot 100 \text <%>\approx (4,0 \cdot 10^ <-7>) \text <%>$$

Пример 2. В результате школьного эксперимента ускорение свободного падения оказалось равным $g = 10,0 \pm 0,1 м/с^2$. Определите относительную погрешность для данного эксперимента, а также относительную погрешность по отношению к табличной величине $g_0 = 9,81 м/с^2$. Что вы можете сказать о систематической ошибке эксперимента?

Для данного эксперимента $δ = \frac<0,1> <10,0>\cdot 100 \text <%>= 1,0 \text <%>$

Относительная погрешность по отношению к табличной величине:

Согласно полученным результатам $9,9 \le g \le 10,1$, табличное значение в этот отрезок не входит. В эксперименте присутствует систематическая ошибка: результаты систематически завышены.

Пример 3. При взвешивании масса слона оказалась равной $M = 3,63 \pm 0,01$ т, а масса муравья $m = 41,2 \pm 0,5$ мг. Какое измерение точнее?

Найдем относительные погрешности измерений:

$$ δ_M = \frac<0,01> <3,63>\cdot 100 \text <%>\approx 0,28 \text <%>$$

$$ δ_m = \frac<0,5> <41,2>\cdot 100 \text <%>\approx 1,21 \text <%>\approx ↑1,3 \text <%>$$

Таким образом, масса слона определена точнее.

Пример 4. Вольтметр измеряет напряжение с относительной погрешностью 0,5%. Найдите границы точного значения величины, если при измерении получено $V_0$ = 5 В.

Абсолютная погрешность измерений данным вольтметром:

$$ \Delta V = V_0 \cdot δ, \Delta V = 5 \cdot 0,005 = 0,025 (В) \approx 0,03(В) $$

Границы точного значения:

$$ V = 5,00 \pm 0,03 (В) или 4,97 \le V \le 5,03 (В) $$

Источник

Погрешности измерений, представление результатов эксперимента

п.1. Шкала измерительного прибора

Примеры шкал различных приборов:


Манометр – прибор для измерения давления, круговая шкала

Вольтметр – прибор для измерения напряжения, дуговая шкала

Индикатор громкости звука, линейная шкала

п.2. Цена деления

Пример определения цены деления:

Определим цену деления основной шкалы секундомера.
Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале: a = 5 c
b = 10 c Между ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления.

Цена деления: \begin \triangle=\frac\\ \triangle=\frac<10-5><24+1>=\frac15=0,2\ c \end

п.3. Виды измерений

Физическую величину измеряют с помощью прибора

Измерение длины бруска линейкой

Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений

Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине

п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Погрешность теории (модели)

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.

В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:

  • определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
  • определение объема с помощью мензурки.

Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:

Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями.
Цена деления такой линейки: \begin \triangle=\frac= \frac<1\ \text<см>><1+1>=0,5\ \text <см>\end Инструментальная погрешность: \begin d=\frac<\triangle><2>=\frac<0,5><2>=0,25\ \text <см>\end Истинное значение: \(L_0=4\ \text<см>\)
Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,00\pm 0,25)\ \text <см>$$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac<0,25><4,00>\cdot 100\text<%>=6,25\text<%>\approx 6,3\text <%>$$
Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями.
Цена деления такой линейки: \begin \triangle=\frac= \frac<1\ \text<см>><9+1>=0,1\ \text <см>\end Инструментальная погрешность: \begin d=\frac<\triangle><2>=\frac<0,1><2>=0,05\ \text <см>\end Истинное значение: \(L_0=4,15\ \text<см>\)
Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,15\pm 0,05)\ \text <см>$$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac<0,05><4,15>\cdot 100\text<%>\approx 1,2\text <%>$$

Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.

п.5. Абсолютная погрешность серии измерений

Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).

Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.

Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.

Составим расчетную таблицу:

№ опыта 1 2 3 Сумма
Масса, г 99,8 101,2 100,3 301,3
Абсолютное отклонение, г 0,6 0,8 0,1 1,5

Сначала находим среднее значение всех измерений: \begin m_0=\frac<99,8+101,2+100,3><3>=\frac<301,3><3>\approx 100,4\ \text <г>\end Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности \(m_0\) и измерения. \begin \triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\\ \triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\\ \triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 \end Находим среднее абсолютное отклонение: \begin \triangle_=\frac<0,6+0,8+0,1><3>=\frac<1,5><3>=0,5\ \text <(г)>\end Мы видим, что полученное значение \(\triangle_\) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: \begin \triangle m=max\left\<\triangle_; d\right\>=max\left\<0,5; 0,05\right\>\ \text <(г)>\end Записываем результат: \begin m=m_0\pm\triangle m\\ m=(100,4\pm 0,5)\ \text <(г)>\end Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): \begin \delta_m=\frac<0,5><100,4>\cdot 100\text<%>\approx 0,050\text <%>\end

п.6. Представление результатов эксперимента

Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.

Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.

п.7. Задачи

Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?

Составим таблицу для расчета цены деления:

№ мензурки a, мл b, мл n \(\triangle=\frac\), мл
1 20 40 4 \(\frac<40-20><4+1>=4\)
2 100 200 4 \(\frac<200-100><4+1>=20\)
3 15 30 4 \(\frac<30-15><4+1>=3\)
4 200 400 4 \(\frac<400-200><4+1>=40\)

Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):

№ мензурки Объем \(V_0\), мл Абсолютная погрешность
\(\triangle V=\frac<\triangle><2>\), мл
Относительная погрешность
\(\delta_V=\frac<\triangle V>\cdot 100\text<%>\)
1 68 2 3,0%
2 280 10 3,6%
3 27 1,5 5,6%
4 480 20 4,2%

Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.

Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка

Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0\pm 0,1)\ \text<м>,\ \ x_2=(4,0\pm 0,03)\ \text <м>$$ Какое из этих измерений точней и почему?

Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: \begin \delta_1=\frac<0,1><4,0>\cdot 100\text<%>=2,5\text<%>\\ \delta_2=\frac<0,03><4,0>\cdot 100\text<%>=0,75\text <%>\end Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: \(\delta_2\lt \delta_1\), второе измерение точней.

Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ \triangle v_1=\frac<10><2>=5\ (\text<км/ч>),\ \ \triangle v_2=\frac<1><2>=0,5\ (\text<км/ч>) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54\pm 5)\ \text<км/ч>,\ \ v_2=(72\pm 0,5)\ \text <км/ч>$$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_<10>+v_<20>,\ \ v_0=54+72=125\ \text <км/ч>$$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ \triangle v=\triangle v_1+\triangle v_2,\ \ \triangle v=5+0,5=5,5\ \text <км/ч>$$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0\pm 5,5)\ \text <км/ч>$$ Относительная погрешность: $$ \delta_v=\frac<5,5><126,0>\cdot 100\text<%>\approx 4,4\text <%>$$ Ответ: \(v=(126,0\pm 5,5)\ \text<км/ч>,\ \ \delta_v\approx 4,4\text<%>\)

Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Инструментальная погрешность линейки \(d=\frac<0,1><2>=0,05\ \text<см>\)
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20\pm 0,05)\ \text<см>,\ \ b=(60,10\pm 0,05)\ \text <см>$$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): \begin \delta_1=\frac<0,05><90,20>\cdot 100\text<%>\approx 0,0554\text<%>\approx \uparrow 0,056\text<%>\\ \delta_2=\frac<0,05><60,10>\cdot 100\text<%>\approx 0,0832\text<%>\approx \uparrow 0,084\text <%>\end Площадь столешницы: $$ S=ab,\ \ S=90,2\cdot 60,1 = 5421,01\ \text<см>^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ \delta_S=\delta_a+\delta_b=0,056\text<%>+0,084\text<%>=0,140\text<%>=0,14\text <%>$$ Абсолютная погрешность: \begin \triangle S=S\cdot \delta_S=5421,01\cdot 0,0014=7,59\approx 7,6\ \text<см>^2\\ S=(5421,0\pm 7,6)\ \text<см>^2 \end Ответ: \(S=(5421,0\pm 7,6)\ \text<см>^2,\ \ \delta_S\approx 0,14\text<%>\)

Источник

РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ОБЪЕМА ТЕЛА ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ

РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ОБЪЕМА ТЕЛА ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ

Цель работы: 1) научится пользоваться измерительнымиприборами;

2) научиться производить приближенныевычисления и определять погрешности.

Теоретические вопросы:Нониус. Точность нониуса. Устройство и методика измерений с помощью штангенциркуля и микрометра. Правила нахождения погрешностей при прямых и косвенных измерениях.

Оборудование: штангенциркуль, микрометр, металлический цилиндр.

Теоретическое введение

Объем тела, имеющего правильную геометрическую форму можно вычислить, измеряя его линейные размеры.

Для тела цилиндрической формы объем определяется по формуле:

где h — высота цилиндра, D — диаметр.

Для правильного определения объема, высоту измеряют штангенцирку­лем, а диаметр микрометром. Тогда относительные погрешности измерений штангенциркулем и микрометром будут одинакового порядка и соответство­вать нужной точности измерений.

Простейшими измерителями линейных величин являются штангенциркуль и микрометр.

Штангенциркуль служит для измерений линейных размеров, не требующих высокой точности. Для измерения с точностью до долей миллиметра пользуются вспомогательной подвижной шкалой, называемой нониусом.

Нониус представляет собой шкалу, скользящую вдоль основной шкалы. Различают линейный, угломерный, спиральный и т.д. нониусы.

В зависимости от количества делений линейного нониуса действи­тельные размеры детали можно определить с точностью 0,1 — 0,02 мм. Например, если шкала нониуса длиной 9 мм разделена на 10 равных частей, то следовательно, каждое деление нониуса равно 9/10 мм, т.е. короче деления на линейке на 1- 0,9= 0,1 мм.

При совмещении нулевого штриха основной шкалы с нулевым штрихом шкалы нониуса, десятый штрих нониуса совпадет с девятым штрихом основной шкалы, первое деление нониуса не дойдет до первого деления линейки на 0,1 мм, второе — на 0,2 мм, третье — на 0,3 мм и т.д. Если передви­нуть нониус таким образом, чтобы первый штрих совпадал с первым штрихом линейки, от зазор между нулевым делением будет 0,1 мм, при совпадении шестого штриха нониуса с любым штрихом линейки зазор будет равен 0,6 мм и т.д.

У штангенциркуля с точностью 0,05 мм шкала нониуса равна 19 мм и разделена на 20 делений. Каждое деление нониуса равно 19/20 = 0.95 мм, короче деления основной шкалы на 1 — 0,95 = 0,05 мм. В растянутом нониусе его шкала равна 39 мм с 20 делениями, т.е. каждое деление нониуса будет на 0,05 мм меньше, чем 2 мм.

У штангенциркулей с точностью 0,02 мм шкала нониуса равна 49 мм разделена на 50 делений. Каждое деление нониуса составляет 49/50 = 0,98 мм, т.е. короче деления основной шкалы на 1 — 0,98= 0,02 мм.

Измерение с помощью нониуса производится следующим образом: измеряемый предмет располагается так, чтобы один конец совпадал с нулем масштаба, нуль нониуса совмещается с другим концом измеряемого тела.

Для определения длины тела нужно измерить расстояние между нулем масштаба и нулем нониуса. Число целых делений отсчитывается по масштабу между нулем масштаба и нулем нониуса, число десятых делений — по номеру делений нониуса, совпадающего с делением масштаба. Например, длина тела равна 4 мм плюс отрезокАВ. Длину отрезка АВ находят по нониусу.

Микрометр служит для измерения длин, не превышающих 25 — 30 мм, с точностью 0,01 мм. Микрометр имеет форму тисков, в которых измеряемый предмет зажимается с помощью микрометрического винта. Наиболее расп­ространены микрометры, в которых шаг винта равен 0,5 мм. А т.к. на круговой шкале микрометра имеется 50 делений, то цена одного деления круговой шкалы соответствует 0,5/50= 0,01 мм. Полное число оборотов отсчитываются по неподвижной шкале микрометра, дробная часть оборотов по круговой шкале.

Порядок выполнения работы

1. Измерить высоту h цилиндра штангенциркулем не менее 5 раз в разных местах; столько же раз измерить диаметр D цилиндра микрометром в разных местах. Результаты измерений занести в таблицу.

2. Вычислить среднее значение высоты и диаметра по формуле:

,

,

где n — число измерений.

3. Найти абсолютную погрешность каждого измерения, и занести в таблицу:

№ п/п h (мм) Dh (мм) D (мм) DD (мм) V (мм 3 )
1. 2. 3. 4. 5.
Сумма
Сред. знач.

4. Максимально возможные погрешности при n числе измерений D и h соответственно равны:

, .

5. Подсчитать объем тела по средним значениям h и D

6. Найти абсолютную и относительную погрешности косвенного изме­рения объема по формуле:

7. Окончательный результат запишите в виде:

Контрольные вопросы

1. Что такое относительная и абсолютная погрешность?

2. Что такое приборная погрешность?

3. Что такое прямое и косвенное измерение?

4. Уметь пользоваться микрометром и штангенциркулем.

5. Классификация ошибок измерений физических величин.

Теоретическое введение

Баллистический маятник представляет собой цилиндр, заполненный пластилином, и подвешенный на четырех длинных нитях к потолку(Рисунок 1). Под цилиндром помещается шкала отсчета. Пружинный пистолет закрепляется специальным зажимом.

1. После выстрела пуля массой m и со скоростью υ застревает в пластилине и продолжает движение с цилиндром со скоростью u. На основании закона сохранения импульса имеем:

где υ — скорость пули до удара, L

u — скорость пули с цилиндром

после удара, M — масса цилиндра. Н

При отклонении маятника в край-

нее положение, его кинетическая S

энергия переходит в потенциальную. Рисунок 1

(m + M)u 2 /2 = (m + M)gH, (2)

Из рисунка 1 (при L >> H и малом угле α ) можно найти

где S – горизонтальное перемещение цилиндра вдоль шкалы,

. (5)

Решая совместно (1), (3), 4) и (5) найдем скорость пули:

. (6)

Относительная погрешность определения скорости рассчитывается по формуле

(7)

Абсолютную погрешность определим:

. (8)

Считая удар пули о пластилин в цилиндре центральным неупругим ударом, а систему неизолированной, можно записать на основании закона сохранения энергии

mυ 2 /2 = (m + M)u 2 /2 + A, (9)

где A — энергия, затрачиваемая на деформацию тела, т.е. работа деформации. Решая совместно (1) и (8) найдем работу деформации

, (10)

где υ — скорость пули, определяемая по формуле (6).

Абсолютную погрешность для работы деформации можно рассчитать по формуле

. (11)

Порядок выполнения работы

1. Отметить на шкале положение стрелки при неподвижном цилиндре.

2. Зарядить пистолет.

3. Произвести выстрел и отметить положение стрелки при максималь­ном отбросе цилиндра. Одновременно с помощью секундомера заметить вре­мя 10 полных колебаний. Опыт произвести не менее 5 раз. Результаты за­нести в таблицу.

4. Из 10 полных колебаний определить период маятника T = t/10 для каждого опыта.

5. Подсчитав Sср, Тср определить среднюю скорость пули υср. по формуле (6) и работу деформации Aср по формуле (10). Рассчитать погрешности определения этих величин по формулам (7), (8) и (11).

6. Окончательный результат записать в виде

№ п/п Si [м] DS=|Si-Sср| [м] ti (c) Ti (c) DT=|Ti-Tср| (c) υср (м/c) A (Дж)
1. 2. 3. 4. 5.
сумма
сред. знач.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте и запишите закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

2. Какая система называется изолированной ?

3. Что такое импульс тела, импульс силы ?

4. Напишите формулу механической работы.

5. Период колебаний математического маятника?

6. Виды деформаций. Закон Гука.

7. Закон изменения количества движения.

Теоретическое введение

Колебаниями называются процессы, характерной особенностью которых является повторяемость. Это могут быть качания маятников и сооружений, тепловые колебания ионов или молекул в узлах кристаллической решетки, и т.д. Колебания любой природы подчиняются общим законам. Простейшими колебаниями являются гармонические колебания, происходящие по законам синуса или косинуса.

X = Asin(wt + jo), или X = Acos(wt + jo), (1)

гдеX- смещение от положения равновесия; t- время колебательного процесса; A- максимальное смещение от положения равновесия или амплитуда ко­лебаний; wt+ jo — фаза колебания; jo — начальная фаза колебания.

За время равное периоду колебания (t=T) фаза изменяется на 2p. Периодом колебания Т называется длительность одного полного колебания. Величина n= 1/Т показывающая, сколько раз в секунду повторяются колебания, называется частотой и измеряется в [Герцах]. Величина w = 2p/T показы­вающая, сколько раз за 2p секунд повторяется колебание, называется цик­лической частотой и измеряется в [ рад /сек].

Причиной, вызывающей гармонические колебания, являются действия упругих или квазиупругих сил. Упругая сила определяется по закону Гука:

где к- коэффициент упругости (жесткости).

Второй закон Ньютона в этом случае имеет вид

F = ma = mdv/dt = md 2 x/dt 2 = — kх. (3)

Разделив обе части равенства на m получим выражение:

d 2 x/dt 2 = — kх/m.

Обозначим k/m =w 2 , тогда d 2 x/dt 2 = w 2 х или d 2 x/dt 2 + w 2 х = 0. Это есть динамическое уравнение колебаний пружинного маятника под действием упругих сил. Решением этого уравнения является уравнение:

Т.к. w=2p/Т, то период колебания пружинного маятника выражается формулой:

. (4)

Отсюда коэффициент упругости (жесткости) пружинного маятника:

. (5)

Изучим характеристики колебаний физического маятника. Физическим маятником является любое твердое тело, имеющее неподвижную ось враще­ния, если ось вращения не проходит через центр масс тела.

По второму закону Ньютона для вращающегося тела:

Здесь J — статический момент инерции тела, e = d 2 j/dt 2 — угловое ускорение, М = Fr = — mgr = -mgLsinj -момент вращающей силы относительно оси вращения (скалярная величина числено равная произведению силы при­ложенной к телу на кратчайшее расстояние между осью вращения тела и вектором приложенной силы, считается, если тело вращается против часовой стрелки относительно оси вращения, то момент вращающей силы берется со знаком минус).

Тогда J(d 2 j/dt 2 ) = — mgLsinj, разделив обе части выражения на J и предположив, что sinj = j для малых углов, получим выражение динамического уравнения колебаний физического маятника:

d 2 j/dt 2 +(mgLj)/J= 0,

обозначив (mgL)/J= w 2 имеем

d 2 j/dt 2 +w 2 j=0. (7)

Решением этого уравнения является функция:

Период колебания физического маятника вычисляется по формуле:

. (9)

Отсюда статический момент инерции физического маятника, вращающегося относительно неподвижной оси вычисляется по формуле:

. (10)

Порядок выполнения работы

Задание 1.

1. На штативе укрепить пружину и подвесить к ней груз известной массой.(m = 1кг, ∆ m = 0,001кг)

2. Оттянув груз, возбудить малые колебания. С помощью секундомера определить время десяти полных колебаний и записать в таблицу. Измерения повторить не менее трех раз. Найти среднее значение времени.

3. Подсчитать период колебания: Т= t/N, где N- число колебаний.

4. По формуле определить коэффициент жесткости пружины.

5. Определить абсолютную погрешность измерений Dt, DT,

, где .

6. Определить относительную погрешность косвенного измерения коэффициента жесткости пружины по формуле:

7. Запишите результаты измерений в виде: m = (m ± Dm), t = (tср ± Dtмах), K=(Kср ± DKмах), eк.

№ п/п ti (c) Dti =êti — tср êс Ti (c) DTi =|Ti— Tcp |(c) K (Н/м)
1. 2. 3. 4. 5.
Сумма
Среднее значение

Задание 2.

1. Физический маятник (стержень) установить на опоре и вывести его из положения равновесия.

2. Измерить время 10 полных колебаний и записать в таблицу. Изме­рения производить не менее 5-ти раз, найти среднее значение.

3. Рассчитать значение периода Т=t/N, абсолютную погрешность DТ. N — количество колебаний

4. Измерить расстояние от точки подвеса до центра масс.

5. По формуле подсчитать момент инерции стержня.

6. Подсчитать абсолютную погрешность измерения момента инерции.

7. Определить относительную погрешность измерения момента инерции

8. Записать результат измерений в виде: e J [%], J =(Jср ± DJ).

№ п/п ti (с) Dti(с) Тi(c) i(c) J (кг . м 2 )
Сумма
Ср.зн.

Контрольные вопросы

1. Основные виды колебаний.

2. Уравнение гармонических колебаний. Скорость и ускорение гармонических колебаний.

3. Сложение гармонических колебаний.

4. Энергия гармонических колебаний.

5. Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс.

Теоретическое введение

Представим некоторое твердое тело массой m, которое может вращать­ся вокруг неподвижной оси. Разобьем его на отдельные бесконечно малые элементы с массами dm, вращающиеся около выбранной оси с общей для тела скоростью: w. Если расстояние от одного из таких элементов до оси вращения Ri то его кинетическая энергия:

W = dmv 2 /2 = dm(Riw 2 /2 = dmRi 2 w 2 /2.

Просуммировав энергии всех элементов, на которые было разбито те­ло, получим кинетическую энергию всего вращающегося тела

.

(1)

сумма произведений массы каждого элемента на квадрат его расстояния до оси вращения называется моментом инерции тела относительно оси вращения. Момент инерции является количественной мерой инертности вращающегося тела.

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела определяется по формуле:

Расчет момента инерции по формуле (1) для тел правильной геометрической формы приводит к простым выражениям: для сплошного диска (маховика) с массой Mм и радиусом Rм

момент инерции маховика с кольцом будет равен сумме их моментов инерции:

Предположим, что на вращающееся около некоторой оси твердое тело с моментом инерции J действует постоянный момент M, который равен сумме моментов отдельных сил, действующих на тело. Под действием этого вращающегося момента твердое тело приобретает угловое ускорение e равное e = M/ J равенство М = J e (6) называют основным уравнением динамики вращательного движения.

Описание установки

Установка для определения момента инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, представляет собой металлический диск 1 радиуса R и массы Mм, который может вращаться вокруг неподвижной оси ОО / под действием падающего груза 3 массой mг. Груз в виде гири подвешивается к нити, второй конец которой закреплен на втулке 2, вращающейся вместе с диском (см рис. 1) Для определения момента инерции несимметричных тел относительно оси, проходящей через центр симметрии пользуются динамическим методом основанным на применении уравнения динамики

вращательного движения: J = M/e (7)

Cилами трения в подшипниках оси и

сопротивлением воздуха пренебречь.

Если F — сила, вызывающая вращение;

r — плечо (оно равно радиусу втулки,

на которую наматывается нить) , то

согласно второму закону Ньютона,

величина силы, вызывающей равноускоренное Рисунок 1

движение груза в данном случае, вращение диска) с ускорением at равна:

Считая нить нерастяжимой и исключая ее проскальзывание по шкиву, можно принять, что скорость и ускорение периферийных точек шкива равны по величине скорости и ускорению опускающегося груза. Тогда для случая равноускоренного падения груза:

где h — высота падающей гири, t — время падения.

Подставляя равенства (9 — 11) в (7) получим

, mг= 0,75 кг. (12)

По формуле (12) получим экспериментально момент инерции системы J.

Этот момент инерции можно определить и другим путем – складывая моменты инерции маховика и шкива

Порядок выполнения работы

1. C помощью штангенциркуля измерить диаметр d шкива, а с помощью линейки — диаметр D маховика 5 раз в разных местах и рассчитать значения r и R, и занести в таблицу.

2. Намотать нить на втулку (груз поднимется в верхнее положение). С помощью секундомера 5 раз измерить время t, в течении которого груз падает с высоты h. Полученные данные занести в таблицу.

Масса диска маховика Mм = 15,8 кг, масса шкива mшк = 0,2 кг.

3. По формулам (12) и (13) определить средние значения момента инерции и сравнить их между собой.

4. Рассчитать абсолютную погрешность измерения момента инерции по формуле (14)

, (14)

n – количество измерений.

5. Рассчитать относительную погрешность определения момента инерции

6. Записать окончательные результаты: J = J ср ± D J, r = rср ± Drmax,

№ п/п di (мм) ri (мм) Dr = |ri-rср| (мм) Di (мм) Ri (мм) DR=|Ri-Rср| (мм) ti (с) Dt=|ti-tср| (с) J кг м 2
1. 2. 3. 4. 5.
сумма
ср.зн.

Контрольные вопросы

1. Что такое линейная и угловая скорости? Какова связь между ними?

2. Что такое момент силы, момент инерции, момент импульса ?

3. Как определяются моменты инерции симметричных тел — шара, диска, цилиндра?

4. Основное уравнение динамики вращательного движения.

5. Закон сохранения и изменения моментов импульса.

Теоретическое введение

Молекулярно-кинетическая теория позволила получить формулы, связывающие макроскопические параметры газа (давление, объем, температура) с его микроскопическими параметрами ( размеры и масса молекулы, ее скорость, средняя длина свободного пробега молекул). Пользуясь этими формулами на основании измеренных параметров газа можно найти его микроскопические параметры.

Для нахождения средней длины свободного пробега можно воспользо­ваться формулой, выражающей зависимость коэффициента внутреннего трения газа η отλ и υ:

, (1)

, (1а)

где: ρ — плотность газа, υ — средняя арифметическая скорость молекул газа равна:

(2)

здесь R= 8,31 Дж/моль∙К газовая постоянная, Т — абсолютная температура газа, М — молярная масса газа. Плотность ρ газа можно найти из уравне­ния Клапейрона-Менделеева.

(3)

здесь: Р- давление газа при данных условиях.

Коэффициент вязкости можно определить, пользуясь законом Пуазейля. Исходя из которого коэффициент вязкости газа η зависит от параметров капиллярной трубки, через которую проходит газ, и разности давлений ΔP, поддерживаемой на концах этой трубки, т.е.:

(4)

где: r — радиус, L — длина трубки, V — объем газа, проходящего через трубку за время τ, ΔP — разность давлений на концах трубки.

Подставляя выражения (4),(3) и (2) в формулу (1а), получим

(5)

(6)

Эффективный диаметр молекулы можно определить из формулы, выражающей зависимость средней длины свободного пробега молекулы от концентрации молекул n и эффективного диаметра молекулы dэф

(7)

По основному уравнению молекулярно-кинетической теории газов

, (8)

где:Р — давление газа (атмосферное давление); n — концентрация молекул

воздуха; k=1,38∙10 -23 Дж/K — постоянная Больцмана.

Из формул (7),(8) получаем:

(9)

Для проведения измерения собираем установку состоящую из аспиратора, из него начнет выливаться вода, давление в нем понижается, через капилляр и осушительный фильтр в него засасывается воздух.

Вследствие внутреннего трения, давление на концах не одинаково, что фиксируем манометр. Объем прошедшего через капилляр воздух за время t равен объему вылившейся из аспиратора воды, которой измеряется мензуркой.

Порядок выполнения работы

1. Наполняют баллон аспиратора водой. Осторожно открывают кран аспиратора так, чтобы вода из него текла тонкой струей, давление в нем понижается, через капилляр и осушительный фильтр в него засасывается воздух. Через некоторое время установится стационарное течение и манометр покажет некоторую постоянную разность на концах трубки. Записывают показание манометра в таблицу и определяют разность делений:

,

здесь: ρжид — плотность жидкости в манометре, q- ускорение свободного падения, (h2+ h1) — разность высот столбов жидкости в манометре.

2. Подставляют под струю мензурку и замеряют время t с помощью секундомера, в течение которого вытекает объем жидкости 50 — 100 см 3 .

Объем прошедшего через капилляр воздуха за это время равен объему вылившейся из аспиратора воды.

3. Опыт повторяют еще два раза при различных истечениях воды.

Результаты заносят в таблицу.

4. По формулам (5) и (4) рассчитывают λ и η. По формуле (9) определяют dэф.

5. Полученные результаты сравнивают с табличными значениями.

Таблица измерений

N n/n P (Па) Т (К) h1 (мм) h2 (мм) DP (Па) t (с) V (м 3 ) h Па*с l (м) dэф (м)
cр.

Контрольные вопросы

1. Основные положения МКТ и их опытное обоснование.

2. Основное уравнение МКТ газов.

3. Скорость молекул идеального газа.

4. Средняя длина свободного пробега молекул.

5. Внутреннее трение (вязкость) в газах. Коэффициент внутреннего трения.

6. Закон Пуазейля.

Теоретическое введение

Внутренняя энергия одного моля идеального газа может быть выражена уравнением:

, (1)

где: R — универсальная газовая постоянная, T — абсолютная температура, i — число степеней свободы.

Числом степеней свободы твердого тела называют число независимых координат, с помощью которых можно полностью описать его положение в пространстве. В общем случае молекула газа, рассматриваемая в виде жестко связанных атомов, может перемещаться в пространстве совершенно произвольно, т.е. участвовать в шести одновременных независимых движениях (рисунок 1) трех вращательных вокруг трех взаимно перпендикулярных осей ά, β, γ, проходящих через центр тяжести молекулы, и трех поступательных движений вдоль трех осей прямоугольной системы координат x, y, z. Таким образом в общем случае молекула газа может иметь шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных. Однако молекулы содержат различное число атомов, что и отражается на общем числе степеней свободы.

Частица одноатомного газа рас- z γ β

сматривается в виде материальной

точки. Поступательное движение та- α

кой точки определяется тремя коор-

динатами, а при ее вращении она не x

изменяет своего положения в прост- y Рисунок 1

ранстве. Следовательно, частица одноатомного газа имеет три поступательные степени свободы.

Двухатомную молекулу можно представить в виде двух жестко связанных между собой атомов (рисунок 3а). Такая молекула будет иметь три поступательные степени свободы и две вращательные вокруг двух осей β, γ перпендикулярных к линии связи между атомами. При вращении вокруг оси α совпадающей с линией связи, двухатомная молекула не меняет своего положения в пространстве. Таким образом двухатомная молекула имеет пять степеней свободы: три поступательных и две вращательных.

В трехатомной молекуле все атомы жестко связаны между собой (рисунок 3б). Такая молекула будет иметь шесть степеней свободы: три пос­тупательных и три вращательных. Такое же число степеней свободы будет иметь и все молекулы с числом атомов больше трех. После этого отступ­ления возвратимся вновь к рассматриваемому вопросу о внутренней энергии газа.

Приращение внутренней энергии газа ΔЕ при изменении его темпера­туры на ∆Т в соответствии с равенством (1) примет вид:

. (2)

Если идеальный газ нагревается при постоянном объеме, то вся подведенная теплота затрачивается на увеличение его внутренней энергии.

Отношение приращения внутренней энергии ΔЕµ к изменению температуры ΔТ, вызвавшему это приращение энергии, называют мольной теплоемкостью:

.

Вставляя в это равенство значение ΔЕµ из (2), получим:

. (3)

Если идеальный газ нагревается при постоянном давлении, то в этом случае затрачивается дополнительное количество тепла, идущее на совер­шение работы при расширении газа. Следовательно мольная теплоемкость газа при постоянном давлении Сp будет больше его теплоемкости Сv на величину внешней работы А, т.е. Cp = Cv + A.

Величина А = Р ΔV = Р ( Vμ‘ — Vμ ), где: Р — давление, Vμ‘- мольный обьм газа после нагревания на один градус, Vμ— мольный обьем газа при температуре Т , т.е. при Т+1 = Т’.

По уравнению Клапейрона-Менделеева значения РVμ и РVμ‘ для температур Т и Т’ выразится так

Вставляя эти значения в выражение работы А, а затем в уравнение теплоемкости Ср получим

Выражение (4) называется уравнением Майера.

Отношение теплоемкостей γ=Ср/ Сν в соответствии с равенствами (3) и (4) примет вид

. (5)

Полученное соотношение теплоемкостей (5) в дальнейшем будет применено для сопоставления с результатами экспериментального измерения.

Порядок выполнения работы

1. Для экспериментального определения по рассмотренному методу поступают следующим образом. Открывают кран 3 и при закрытом кране 2 с помощью насоса медленно создают в сосуде давление до тех пор, пока уровень жидкости в левом колене манометра не достигнет определенного значения (120-140мм). После этого кран 3 закрывают и наблюдают за показанием манометра. Через некоторое время давление немного понизится, а затем стабилизируется. Теперь отсчитывают положение менисков жидкости в обоих коленах манометра и определяют давление по высоте столбов жидкости (разность их уровней) h1 . Полученное значение h1 заносят в таблицу.

2. Далее резко открывают на очень короткое время (пока слышен шум выходящего воздуха) кран 2 и тут же его закрывают. При открытии крана давление быстро спадает и жидкость в манометре, немного поколебавшись, установится на одном уровне. После того, как кран 2 закрыт, начинают наблюдение за манометром. Постепенно давление будет возрастать и наконец достигнет предельного значения. Величину этого давления определяют по установившейся разности уровня в обоих коленах манометра. Найденное значение h2 заносят в таблицу.

3. Рассмотренный эксперимент по определению h1 и h2 повторяют 5 п.

Таблица измерений

N h1 h2 γ Δγ γ ±Δγ E , %
ср.зн.

Контрольные вопросы

1. Число степеней свободы. Чему равно это число у одноатомной, двухатомной и трехатомной молекул? Почему ?

2. Физический смысл универсальной газовой постоянной.

3. Как зависят теплоемкости многоатомных газов от температуры?

4. Внутренняя энергия газа.

Теоретическое введение

Для того, чтобы увеличить поверхность жидкости необходимо, чтобы часть молекул изнутри жидкости вышла на поверхность, на это перемещение против молекулярного давления должна быть затрачена некоторая работа. Работа, затрачиваемая на образование единицы поверхности, называется коэффициентом поверхностного натяжения.

Старое определение, встречающееся в литературе, предполагает, что поверхность жидкости как бы покрыта натянутой пленкой, в этом случае поверхностное натяжение определяют как силу, с которой натянута пленка, отнесенную к единице длины.

Вследствие существования поверхностного натяжения всякая кривая поверхность жидкости испытывает некоторое дополнительное давление ока­зываемое на жидкость.

Для сферической поверхности это давление равно

где: σ- поверхностное натяжение, R- радиус кривизны поверхности. Пусть через трубку небольшого диаметра, погруженную одним концом в жидкость на малую глубину, продавливают воздух в виде пузырьков. Конец трубки помещают непосредственно над поверхностью жидкости, чтобы избежать дополнительного сопротивления продавливанию воздуха, обусловленного гидростатическим давлением столба жидкости, находящегося под концом трубки.

Когда на конце трубки f касающейся поверхности жидкости, начинает образовываться пузырек воздуха С ‘ , и радиус становится R больше радиуса трубки r. В этот момент давление воздуха внутри трубки превышает внешнее давление, согласно формуле (1), на величину :∆Р=2σ/R.

По мере увеличения давления внутри трубки пузырек увеличивается, а радиус его уменьшается, что влечет за собой увеличение дополнительного давления, оказываемого кривой поверхностью жидкости, уравновеши­вающего давление внутри трубки f.

Этот процесс происходит до тех пор, пока радиус пузырька C » не сделается равным радиусу трубки r. Дополнительное давление, обусловленное кривой поверхностью жидкости начинает уменьшатся, перестает уравновешивать избыточное давление внутри трубки. Таким образом пузырек под действием избыточной силы внутри трубки f увеличивается в размере до тех пор, пока не оторвется от конца трубки. Избыточное давление, при котором произойдет отрыв пузырька воздуха от трубки f, будет превосходить на бесконечно малую величину дополнительное давление, рассчитанное по формуле (1), где r следует положить равным радиусу трубки. Таким образом, избыточное ( по отношению к внешнему ) давление, при котором отрывается пузырек воздуха, будет пропорционально поверхностному натяжению

Источник

Читайте также:  Измерение характеристик изоляции тангенса угла диэлектрических потерь