2.5 Веса измерений и их свойства. Веса функций
измеренных величин. Средняя квадратическая
погрешность единицы веса
Обработку неравноточных измерений данных нельзя производить по формулам равноточных измерений, т.к. более точные измерения, очевидно, должны оказывать и большее влияние на окончательный результат.
Различная точность измерений учитывается при совместной обработке их результатов путем введения вспомогательных величин, называемых весами. Чем надежнее результат измерения, тем меньше соответствующая ему средняя квадратическая погрешность и тем больше его вес. Вес – это величина, обратно пропорционалъная квадрату средней квадратической погрешности, характеризующей результат данного измерения:
р = 
(32)
где k – произвольно выбранное число.
1 Вес – понятие относительное, т.е. он не имеет размера.
2 Все веса можно увеличивать или уменьшать в одно и то же количество раз.
3 Веса можно учитывать только сравнивая их друг с другом.
Понятие веса применимо и для любой функции F измеренных величин. Вес рF функции F при известной её средней квадратической погрешности mF вычисляют по формуле
рF = 
(33)
Средние квадратические погрешности неравноточных результатов не дают общей характеристики точности полученных результатов. В этом случае пользуются средней квадратической погрешностью единицы веса , т.е. погрешностью результата с весом, равным единице
р0 = 1 = 
(34)
Установим связь между средней квадратической погрешностью единицы веса и средней квадратической погрешностью m результата измерения с весом р = 
. Отношение весов 
, откуда
, (35)
т.е. средняя квадратическая погрешность единицы веса равна средней квадратической погрешности результата измерения, умноженной на квадратный корень из его веса. Если имеется ряд неравноточных измерений с весами р1, р2, …, рn и средними квадратическими погрешностями m1, m2, … , mn, то для каждого результата погрешности единицы веса будут:
,
,
.
Среднее квадратическое значение из этого ряда будет
2 = 
, откуда
= 
(36)
Если заменить квадраты средних квадратических погрешностей m квадратами истинных или квадратами вероятнейших ошибок V, то формула (36) примет вид
= 
(37)
2.6 Математическая обработка неравноточных
измерений одной и той же величины
При неравноточных измерениях в качестве вероятнейшего значения принимают среднее весовое. Вероятнейшее значение величины, полученное из ряда неравноточных результатов, называют общей арифметической серединой.
Для определения в этом случае в качестве общего результата арифметической середины пользуются формулой
L0 = 
(38)
Порядок математической обработки следующий.
1. Определяют веса результатов измерений. Если уравнивают превышения, то веса определяют по формуле: рi = 
, где Li – длина ходов в км. Если же уравнивают приращения координат, то р = 
, где S — длина хода в км.
2. Имея веса, находят наиболее надежное значение измеренной величины, т.е. среднее весовое из результатов измерений по формуле (38). Для упрощения вычислений используют приближенное значение l0 (фиктивное среднее). Тогда среднее весовое находим по формуле
LB = l0 + 
(39)
где i = li – l0 – уклонение от фиктивного среднего.
3. Вычисляют поправки V:
Контроль вычислений рV = 0 (41)
4. Определяют рV 2 и рV.
Контроль рV 2 = — рV (42)
5. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность единицы веса, т.е. того результата, вес которого равен единице
(43)
6. Находят СКП общей арифметической середины (среднего весового)
МВ = 
(44)
Источник
Веса измерений обладают следующим свойством
Билеты запись закреплена
51. Что характеризует вес измерения?
Ответ:
Вес измерения характеризует относительную точность измерения.
52. Что может приниматься в качестве веса превышения геометрического нивелирования (2 частных случая)?
Ответ:
При обработке результатов геометрического нивелирования за веса принимают:
• величины, обратно пропорциональные числу станций хода ni, т.е.
• величины, обратно пропорциональные числу т.е.
53. Что может приниматься в качестве веса измерения длины стороны полигонометрического хода (частный случай)?
Ответ:
За веса измеренных длин сторон полигонометрических ходов принимают величины, обратно пропорциональные длинам ходов Si.
54. Что может приниматься в качестве веса измерения превышений, полученных из результатов тригонометрического (геодезического) нивелирования (частный случай)?
Ответ:
За веса превышений, полученных из результатов тригонометрического (геодезического) нивелирования, принимают величины, обратно пропорциональные квадратам длин сторон Di.
55. Что принимается в качестве результата неравноточных измерений?
Ответ:
Результатом неравноточных измерений является общая арифметическая середина или весовое среднее.
56. Как определяется весовое среднее (общая арифметическая середина)?
Ответ:
Общая арифметическая середина или весовое среднее X многократно и неравноточной измеренной величины определяется как :
li – неравноточные значения величины X; рi – веса наблюдений величин li равные числам измерений.
57. Как определяются уклонения непосредственно измеренных величин от их общей арифметической середины?
Ответ:
Уклонения и непосредственно измеренных величин l от их общей арифметической середины X определяются по формуле :
Х – истинное значение измеряемой величины
и = l — X
58. Свойства уклонений непосредственно измеренных величин от их общей арифметической середины (2 свойства)?
Ответ:
Уклонения и непосредственно измеренных величин l от их общей арифметической середины X обладают следующим свойством:
• сумма произведений уклонений иi на соответствующий вес равна нулю т. е. [ pu ] = 0.
• сумма произведений квадратов уклонений иi на соответствующий вес pi есть минимум. [ pu2 ] = min.
59. Как определяется средняя квадратическая погрешность единицы веса, выраженная через истинные погрешности?
Ответ:
Средняя квадратическая погрешность единицы веса, выраженная через истинные погрешности, определяется по формуле:
р – веса измерений; ? – истинные погрешности измерений; n – число измерений.
60. Как определяется средняя квадратическая погрешность единицы веса, выраженная через уклонения от весового среднего?
Ответ:
Средняя квадратическая погрешность единицы веса, выраженная через уклонения от весового среднего, определяется по формуле:
р – веса измерений; u – уклонения (вероятнейшие погрешности); n – число измерений
61. Как оценивается надежность СКП единицы веса, выраженной через уклонения от весового среднего?
Ответ:Надежность mµ средней квадратической погрешности единицы веса, выраженной через уклонения от весового среднего, определяется как
62. Как определяется СКП весового среднего?
Ответ:
Средняя квадратическая погрешность весового среднего M0 определяется
по формуле :
р – веса измерений; µ – средняя квадратическая погрешность единицы веса
M0 = µ / (корень) [ р]
63. Как определяется СКП среднего весового, выраженная через вероятнейшие погрешности?
Ответ:
Средняя квадратическая погрешность среднего весовогоM0, выраженная через вероятнейшие погрешности u, определяется как:
р – веса измерений; u – вероятнейшие погрешности; n – число измерений.
M0 =(корень) [ рu2] / [ р]( n-1)
64. Чему равен вес весового среднего (общей арифметической середины)?
Ответ:
Вес весового среднего (общей арифметической середины) равен сумме весов неравноточных измерений.
65. Чему равен вес простой арифметической середины?
Ответ:
Вес простой арифметической середины x равен числу измерений, т.е. P = n .
66. Последовательность математической обработки ряда неравноточных измерений одной и той же величины.
Ответ:
Математическая обработка ряда неравноточных измерений одной и той же
величины выполняется в следующей последовательности :
1Находят веса результатов измерений.
2Вычисляют наиболее надежное значение измеряемой величины (весовое среднее).
3Вычисляют уклонения результатов измерений от весового среднего.
4Контролируют правильность вычисления весового среднего и уклонений.
5Определяют среднюю квадратическую погрешность единицы веса и оценивают ее надежность.
6Находят среднюю квадратическую погрешность весового среднего и ее надежность.
7Вычисляют средние квадратические погрешности отдельных измерений.
67. Приведите примеры двойных неравноточных измерений.
Ответ:
• измерения превышения методом геометрического и тригонометрического нивелирования
• измерения превышений геометрического нивелирования секций в прямом и обратном направлениях
• измерения длин линий в полигонах в прямом и обратном направлениях
68. Как определяется средняя квадратическая погрешность единицы веса по разностям двойных неравноточных измерений, в случае НЕзначимости систематических погрешностей?
Ответ:
Средняя квадратическая погрешность единицы веса разностей двойных неравноточных измерений, в случае НЕ значимости систематических погрешностей (?c), определяется как:
d – разности двойных неравноточных измерений, p – вес каждой разности, n – число двойных измерений
69. Как определяется средняя квадратическая погрешность единицы веса разностей двойных неравноточных измерений, в случае значимости систематических погрешностей?
Ответ:
Средняя квадратическая погрешность единицы веса разностей двойных неравноточных измерений, в случае значимости систематических погрешностей (?c), определяется как:
d? – разности двойных неравноточных измерений, освобожденные от влияния систематических погрешностей (?c), p – вес каждой разности, n – число двойных измерений
Веса функций измеренных величин
70. Чему равен вес функции вида y = x1 ± x2 + с? (где с – const)
Ответ:
71. Чему равен вес функции вида y = с ? x? (где с – const)
Ответ:
Вес функции вида y = с ? x ? определяется как:
рy – вес функции, pх – вес аргумента, с– постоянная величина
1/ рy = 1/ pх *с2
72. Чему равен вес функции вида y = x/с? (где с – const)
Ответ:
73. Чему равен вес функции вида у = k1x1 + k2x2 + . + knxn? (где k1 — kn – const)
Ответ:
Вес функции вида у = k1x1 + k2x2 + . + knxn определяется как:
рy – вес функции, pi– веса аргументов (i = 1, 2, …, n), ki– постоянные величины
1/ рy =1/ p1*k12+1/ p2*k22 +…+1/pn*kn2
74. Чему равен вес функции общего вида у = f (x1 , x2 , . xn) ?
Ответ:
Вес функции общего вида у = f (x1 , x2 , . xn) определяется как:
Py – вес функции, pi– веса аргументов (i = 1, 2, …, n)
1/ рy = (?f / ?x1)2*1/ p1 +(?f / ?x2)2*1/ p2+…+(?f / ?xn)2*1/pn
Раздел 2. Основы метода наименьших квадратов
Оценка точности по невязкам в полигонах и ходах
75. Как определяется средняя квадратическая погрешность суммы углов треугольника в сети триангуляции?
Ответ:
Выражение для нахождения средней квадратической погрешности суммы углов треугольника в сети триангуляции:
f? – угловая невязка в треугольнике; N – количество треугольников в сети
mсум = (корень)[ f?2] / N
76. Как определяется средняя квадратическая погрешность измерения одного угла в сети триангуляции?
Ответ:
Выражение для нахождения средней квадратической погрешности измерения одного угла в сети триангуляции:
f? – угловая невязка в треугольнике; N – количество треугольников в сети
m? = (корень)[ f?2] / 3N
77. Как определяется средняя квадратическая погрешность измерения одного угла в сети теодолитных ходов?
Ответ:
Выражение для нахождения средней квадратической погрешности измерения одного угла в сети теодолитных ходов:
f? – угловая невязка в треугольнике; N – количество полигонов (ходов); n – число углов в полигоне
µ = (корень)([ f?2] /n) / N
78. Чему равна средняя квадратическая погрешность превышения на 1 км хода в сети геометрического нивелирования?
Ответ:
Выражение для нахождения средней квадратической погрешности превышения на 1 км хода в сети геометрического нивелирования:
fh– угловая невязка в треугольнике; N – количество полигонов (ходов); L – периметр полигона(в километрах)
µ=(корень)([ fh2] /L) / N
79. Чему равна средняя квадратическая погрешность превышения на 1 км хода в сети тригонометрического нивелирования?
Ответ:
Выражение для нахождения средней квадратической погрешности превышения на 1 км хода в сети тригонометрического нивелирования:
fh– угловая невязка в треугольнике; N – количество полигонов (ходов); D – периметр полигона(в километрах)
µ=(корень)([ fh2] /D2) / N
80. Что является целью прямой задачи теории погрешностей измерений?
Ответ:
Целью прямой задачи теории погрешностей измерений является: нахождение погрешности окончательного результата (функции) по известным погрешностям отдельных измерений.
81. Что является целью обратной задачи теории погрешностей измерений?
Ответ:
Целью обратной задачи теории погрешностей измерений является: нахождение погрешности отдельных измерений по известной погрешности функции измеренных величин.
82. В чем заключается сущность принципа равных влияний?
Ответ:
Сущность принципа равных влияний заключается: в требовании равенства слагаемых в формуле средней квадратической погрешности функции общего вида
83. В основу чего положен принцип равных влияний?
Ответ:
Принцип равных влияний положен в основу: решения обратных задач по теории погрешностей измерений
Уравнительные вычисления
84. В чем заключается задача уравнивания геодезической сети?
Ответ:
Задача уравнивания геодезической сети заключается: в исключении невязок, т.е. в отыскании поправок к измеренным величинам, так чтобы исправленные поправками измерения удовлетворяли всем геометрическим условиям сети.
85. Что называется невязкой?
Ответ:
Невязкой называется: ошибка функций измеренных значений величин.
86. По какому правилу определяется невязка?
Ответ:
Невязка определяется по правилу: то, что «Есть» минус, то, что «должно быть»
87. Что такое триангуляция?
Ответ:
Триангуляцией называется: метод определения взаимного планового положения геодезических пунктов путем построения на местности систем смежно расположенных треугольников, в которых измеряют все углы.
88. В чем заключается принцип наименьших квадратов для равноточных измерений?
Ответ:
Сущность принципа наименьших квадратов для равноточных измерений
заключается в выборе такого варианта уравнивания, при котором:
поправки менее всего бы искажали результаты измерений, т.е. получаемые при условии ?i=1n ? i2=[ ?2]=min
89. В чем заключается принцип наименьших квадратов для неравноточных измерений?
Ответ:
Сущность принципа наименьших квадратов для неравноточных измерений
заключается в выборе такого варианта уравнивания, при котором:
поправки менее всего бы искажали результаты измерений, т.е. получаемые при условии ?i=1nр? i2=[р?2]=min
90. Виды геометрических фигур триангуляции.
Ответ:
• геодезический четырехугольник
• центральная система
• цепь треугольников между двумя исходными сторонами
• вставка пунктов в угол
91. Виды условных уравнений в типовых фигурах триангуляции.
Ответ:
Условное уравнение фигуры ?1 +? 2+…+?8 +Wф = 0
Условное уравнение горизонта ?in ? i(с) +WГ = 0
Условное уравнение дирекционного угла ± ?1(с) ± ?2(с)±…± ?N(с) ±W?=0
Условное уравнение базиса ?iN ?Ai ?(A) — ?iN ?Bi ?(B) + WБ = 0
92. Условное уравнение фигуры для геодезического четырехугольника.
Ответ:
?i – поправки в приведенные углы (i = 1, 2, 3, …, 8); Wф – невязка условного уравнения фигуры
?1 +? 2+…+?8 +Wф = 0
93. Выражение для вычисления невязки условного уравнения фигуры геодезического четырехугольника.
Ответ:
Выражение для вычисления невязки Wф условного уравнения фигуры геодезического четырехугольника:
?i– приведенные углы (i = 1, 2, 3, … 8); N – число сторон
Wф= ?i=18?i – 180о(N-2)
94. Условное уравнение горизонта.
Ответ:
?i – поправки в приведенные углы (i = 1, 2, 3, …, n); Wг – невязка условного уравнения горизонта
?in ? i(с) +WГ = 0
95. Выражение для вычисления невязки условного уравнения горизонта.
Ответ:
Сi– углы при центральном пункте (i = 1, 2, 3, …, n); n – число углов
Wг= ?i=1nСi – 360о
96. Условное уравнение дирекционного угла в цепочке треугольников.
Ответ:
?i– поправки в углы Сi (i = 1, 2, 3, … N), N – число треугольников, W? – невязка условного уравнения дирекционного угла
± ?1(с) ± ?2(с)±…± ?N(с) ±W?=0
97. Выражение для вычисления невязки условного уравнения дирекционного угла.
Ответ:
W?=?нач+ ?iN(±Сj)+( 180о;0о)- ?кон
98. Базисное условное уравнение в цепочке треугольников.
Ответ:
?iN ?Ai ?(A) — ?iN ?Bi ?(B) + WБ = 0
99. Выражение для вычисления невязки базисного условного уравнения в цепочке треугольников.
Ответ:
WБ = (lg b1 + ?iN lg sin Ai ) – (lg b2 + ?iN lg sin Вi)
Параметрический способ уравнивания
100. Система условных уравнений геодезической сети.
101. Система параметрических уравнений поправок.
102. Оценка точности по результатам параметрических уравнения.
Коррелатный способ уравнивания
103. Система коррелатных уравнений поправок.
104. Система нормальных уравнений коррелат.
105. Оценка точности по результатам коррелатного уравнения.
Раздел 3. Упрощённые способы уравнивания съёмочных сетей
Упрощенное уравнивание типовых фигур триангуляции
106. Последовательность уравнивания центральной системы.
Ответ:
1: ввод поправок за условие фигур
2: ввод поправок за условие горизонта
3: ввод поправок за полюсное условие
4: окончательное решение треугольников
5: вычисление координат пунктов сети триангуляции
6: составление отчетной схемы сети триангуляции
107. Порядок решения уравнений центральной системы.
Ответ:
Невязка условного уравнения фигуры
Невязка условного уравнения горизонта
Невязка условного уравнения полюса
условные уравнения фигур
условное уравнение горизонта
условное уравнение полюса
108. Какие углы, при уравнивании центральной системы, называются уравненными?
Ответ:
При уравнивании центральной системы уравненными углами считаются приведенные углы с введенными первичными и вторичными поправками.
109. Последовательность уравнивания четырехугольника.
Ответ:
Упрощенное уравнивание геодезического четырехугольника выполняется в
следующей последовательности:
1: ввод поправок за условие фигур
2: ввод поправок за полюсное условие
3: окончательное решение треугольников
4: вычисление координат пунктов сети триангуляции
5: составление отчетной схемы сети триангуляции
110. Уравнивание системы съёмочных ходов с одной узловой точкой.
Ответ:
111. Оценка точности уравнивания системы съёмочных ходов с одной узловой точкой
Ответ:
112. Уравнивание съёмочной сети из трёх нивелирных ходов с одной узловой точкой
Ответ:
113. Уравнивание съёмочной сети из трёх теодолитных ходов с одной узловой точкой
Ответ:
114. Уравнивание системы съёмочных ходов с несколькими узловыми точками способом последовательных приближений.
Ответ:
115. Уравнивание свободной съёмочной сети по способу профессора В.В. Попова. Особенности уравнивания теодолитной сети, состоящей из
нескольких полигонов.
Источник