Меню

Время релаксации затухающих колебаний единица измерения



Затухающие колебания

При выводе уравнения гармонических колебаний мы считали, что колеблющаяся точка находится под действием только квазиупругой силы. Во всякой реальной колебательной системе всегда имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать.

Рассмотрим колебания материальной точки в вязкой среде. В этом случае, кроме квазиупругой силы, на точку будет действовать сила сопротивления среды. Если других сил нет, то такие колебания называются свободными (или собственными) колебаниями. При наличии внешних сил колебания называются вынужденными.

В случае малых скоростей сила сопротивления среды пропорциональна линейной скорости:

. (151)

Коэффициент пропорциональности r называется коэффициентом сопротивления среды. Знак «–» обусловлен тем, что сила сопротивления среды направлена противоположно скорости.

С учетом сопротивления среды уравнение движение точки будет выглядеть следующим образом:

.

, (152)

. (153)

Частота ω является частотой, при которой совершались бы свободные колебания при отсутствии сопротивления среды. Эта частота называется собственной частотой колебаний.

Уравнение движение точки примет следующий вид:

. (154)

Решением этого уравнения является функция

Здесь A – максимальное отклонение точки в начале движения (начальная амплитуда), e – основание натуральных логарифмов. Частота ω определяется выражением:

График функции (155) дан на рис. 52. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки х.

В соответствии с видом функции (155) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты ω с амплитудой, изменяющейся по закону

Верхняя из пунктирных кривых на рис. 43дает график функции A(t), причем величина A представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение х зависит, кроме A, также от начальной фазы α: x =Acosα (рис. 52).

При наличии сопротивления среды колебания уже не являются гармоническими. Амплитуда колебаний уменьшается по экспоненциальному закону (амплитуда модулируется экспонентой). Скорость затухания определяется величиной β, которая называется коэффициентом затухания. За время τ = 1/β амплитуда колебаний уменьшается в e раз. Время τ называется временем релаксации системы.

Согласно формуле (156) период затухающих колебаний определяется выражением

. (157)

При незначительном сопротивлении среды (β 2 2 ) период колебаний мало отличается от периода собственных колебаний. С увеличением сопротивления среды период колебаний увеличивается.

Вообще, отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

. (158)

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания:

. (159)

Последнюю величину обычно используют для характеристики затухания колебаний. Выразив β через λ и T в соответствии с (159), закон убывания амплитуды можно записать в виде

.

За время τ (время релаксации) успевает совершить Ne = τ/Т колебаний. Амплитуда за это время уменьшится в e раз. Из условия

.

Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина

, (160)

называемая добротностью колебательной системы. Как видно из ее определения, добротность пропорциональна числу колебаний Ne, совершаемых системой за то время τ, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Из формулы (157) следует, что при ω 2 – β 2 = 0 период колебании обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. Соответствующий математический анализ дает, что при ω 2 – β 2 ≤ 0 движение носит апериодический (непериодический) характер – выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебании. На рис. 53 показано два возможных способа возвращения системы к положению равновесия при апериодическом движении. Каким из этих способов приходит система в положение равновесия, зависит от начальных условий. Кривая 1 соответствует движению системы из положения, характеризуемой смещением от точки равновесия. Движение, изображаемое кривой 2, получается в том случае, когда система, находясь в положении равновесия, получает некоторый импульс. Такие явления характерны для переходных процессов в различных технических устройствах.

Источник

RK_po_fizike_02_04_2013 / 16-20 — ok / Билеты 16-20

Вопрос №1: Механический принцип относительности Галилея

Ответ: Всякое механическое явление при одних и тех же

начальных условиях протекает одинаково в любой инерциальной системе отсчёта.

Вопрос №2: Дать определение времени релаксации затухающих колебаний. Укажите единицу измерения в СИ.

Ответ: За промежуток времени τ, обратно пропорциональный коэффициенту затухания β, амплитуда затухающих колебаний уменьшается в

е раз. Этот промежуток времени τ = 1/β называется временем релакса-

ции. Измеряется в секундах.

Вопрос №3: Диск диаметром равным 60 см и массой равной 1 кг вращается вокруг оси, проходящей через центр перпендикулярно его плоскости с частотой равной 20 об/с. Какую работу надо совершить, чтобы остановить диск.

Ответ: Прилагается в фото

Вопрос №1: Стоячая волна. Узлы и пучности.

Ответ: Стоячая волна — это волна, образующаяся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами, а в случае поперечных волн и одинаковой поляризацией. Узел стоячей вода – минимум амплитуды, а пучность – максимум.

Вопрос №2: Дать определение момента силы относительно неподвижной оси. Укажите единицы измерения этой величины СИ

Ответ: Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Mz , равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 2).

Значение момента Мz не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н•м — момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м.

Вопрос №3: Из орудия массой 5 тонн при выстреле вылетает снаряд массой 100 кг. Кинетическая энергия заряда при вылете 8 МДж. Определить кинетическую энергию орудия после выстрела.

Ответ: Прилагается в фото

Вопрос №1: Постулаты специальной теории относительности.

Ответ: А. Эйнштейн пришел к выводу, что обнаруженные им в электромагнитной теории противоречия обусловлены предположением существования абсолютного пространства.

Первый постулат: законы физики имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета. Этот постулат явился обобщением принципа относительности Ньютона не только на законы механики, но и на законы остальной физики. Первый постулат — принцип относительности.

Второй постулат: свет распространяется в вакууме с определенной скоростью с, не зависящей от скорости источника или наблюдателя.

Эти два постулата образуют основу теории относительности А. Эйнштейна.

Вопрос №2: Дать определение кинетической энергии твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси. Указать единицу измерения в СИ

Ответ: Кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде формулы:

Измеряется в джоулях.

Вопрос №3: Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 минуту уменьшилась вдвое. Во сколько раз амплитуда уменьшилась за 3 минуты.

Ответ: Прилагается в фото

Вопрос №1: Сложение гармонических колебаний одного направления и равных частот. Векторная диаграмма.

Ответ: Колеблющееся тело может принимать участие в нескольких колебательных процессах, тогда следует найти результирующее колебание, другими словами, колебания необходимо сложить. В данном разделе будем складывать гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты применяя метод вращающегося вектора амплитуды, построим графически векторные диаграммы этих колебаний (рис. 1). Taк как векторы A1 и A2 вращаются с одинаковой угловой скоростью ω, то разность фаз (φ2 — φ1) между ними будет оставаться постоянной. Значит, уравнение результирующего колебания будет (1) В формуле (1) амплитуда А и начальная фаза φ соответственно определяются выражениями (2) Значит, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает при этом также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ2 — φ1) складываемых колебаний.

Исследуем выражение (2) в зависимости от разности фаз (φ2 — φ1): 1) φ2 — φ1 = ±2mπ (m = 0, 1, 2, . ), тогда A=A1+A2, т. е. амплитуда результирующего колебания А будет равна сумме амплитуд складываемых колебаний; 2) φ2 — φ1 = ±(2m+1)π (m = 0, 1, 2, . ), тогда A=|A1–A2|, т. е. амплитуда результирующего колебания будет равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Читайте также:  Как измерить высоту дома линейкой

Вопрос№2: Объяснить что такое продольная волна. Указать единицы измерения частоты волны в СИ.

Ответ: Продольная волна — волна, в которой движение частиц среды происходит вдоль направления распространения волны. Когда источник колебаний совершает колебания вдоль пружины — разряжения и сжатия, бегущие вдоль пружины представляют продольную волну. Продольные волны могут распространятся в любой среде. Измеряется в герцах(Гц).

Вопрос №3: Канат лежит на столе так, что часть его свешивается со стола. Канат начинает скользить по столу тогда, когда длина свешивающейся части равна 1/4 его длины. Найти коэффициент трения каната о стол.

Ответ: Прилагается в фото

Вопрос №1: Преобразования Лоренца

Ответ: Преобразования координат и времени какого-либо события при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Инерциальная система отсчёта – система отсчёта, движущаяся прямолинейно с постоянной скоростью v. Преобразования Лоренца отражают равноправие всех инерциальных систем отсчёта в описании законов природы. Если инерциальная система отсчёта K’ движется относительно инерциальной системы отсчёта K с постоянной скоростью v вдоль оси x, то преобразования Лоренца имеют вид

y = y’, z = z’, (1)

c — скорость света в вакууме, β = v/c. Формулы, выражающие x’, y’, z’, t’ через x, y, z, t получаются из соотношения (1) заменой v на -v.

Вопрос №2: Объясните, что такое коэффициент затухания колебаний. Укажите единицы измерения в СИ

Ответ: Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса. Свободные затухающие колебания линейной системы описываются уравнением:

где коэффициент затухания

Вопрос №3: Мяч, летящий со скоростью 15 м/с, отбрасывается ударом ракетки в противоположном направлении со скоростью 20 м/с. Найти изменение импульса мяча, если изменение его кинетической энергии при ударе равно 8,8 Дж.

Источник

Затухающие колебания.

1. Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии ко­лебательной системой.

Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухание свободных ме­ханических колебаний вызывается главным образом трением, сопротивлением окружа­ющей среды и возбуждением в ней упругих волн. Затухание в электрических колеба­тельных системах вызывается тепловыми потерями в проводниках, образующих сис­тему или находящихся в ее переменном электрическом поле, потерями энергии на излучение электромагнитных волн, а также тепловыми потерями в диэлектриках и фер­ромагнетиках вследствие электрического и магнитного гистерезиса.

Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы.

Система называется линейной, если па­раметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса.

Линейные системы описываются линей­ными дифференциальными уравнениями. Например, пружинный маятник, движущий­ся в вязкой среде, представляет собой ли­нейную систему, если коэффициент сопро­тивления среды и упругость пружины не зависят от скорости и смещения маятника. Электрический колебательный контур мож­но считать линейной системой, если его электрическое сопротивление R, электроем­кость С и индуктивность L не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. В боль­шинстве случаев реальные колебательные системы достаточно близки по своим свой­ствам к линейным.

2. Найдем дифференциальное уравнение, описывающее свободные затухающие коле­бания линейной системы. Для этого рас­смотрим два примера линейных систем — механической и электрической, колебания которых сопровождаются диссипацией энергии.

Пример 1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника массы m, движущегося в вязкой среде вдоль оси ОХ. На маятник дей­ствуют две силы: сила упругости пружины Fупр и сила сопротивления среды Fc, которую, как показывает опыт, можно считать в первом при­ближении пропорциональной скорости маятни­ка v и направленной в противоположную v сто­рону: Fc= —bv, где b — постоянный положитель­ный коэффициент пропорциональности, называе­мый коэффициентом сопротивления. По второму закону Ньютона, дифференциальное уравнение движения маятника имеет вид

или (28.1)

где b/(2m),

Пример 2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре. Электри­ческое сопротивление реального контура R≠0, и, согласно (27.22), колебания заряда конденсатора описываются уравнением

(28.2)

Уравнения (28.1) и (28.2) тождествен­ны по форме. Поэтому можно утверждать, что общее дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний рассмот­ренных линейных систем имеет вид

(28.3)

Здесь s — изменяющаяся при колебаниях физическая характеристика системы; — коэффициент затухания;ω — циклическая частота свободных неза­тухающих колебаний той же системы, т. е. в отсутствие потерь энергии (при ).

4. Затухающие колебания не явля­ются периодическими, так как максимальное значениеколеблющейся величины s, достигаемое в некоторый момент време­ни t1, в последующем (при t>t1) никогда не повторяется. Однако при затухающих колебаниях величина s обращается в нуль, изменяясь нa одну и ту же сторону (например, убывая), а также достигает макси­мальных и минимальных значений через равные промежутки времени:

(28.10)

Величины Т и ω поэтому обычно называ­ют периодом (условным периодом) и цикли­ческой частотой (условной циклической частотой) затухающих колебаний.

(28.11)

называется амплитудой затухающих коле­баний, соответственно A— начальной ам­плитудой. Амплитуда затухающих колеба­ний уменьшается с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затуха­ния .

Промежуток времени t, в течение кото­рого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз, называется временем релаксации:

Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний пользуются понятием логариф­мического декремента затухания.

Логарифмическим декрементом затуха­ния называется безразмерная величина , равная натуральному логарифму отноше­ния значений амплитуды затухающих коле­баний в моменты времени t и t+T (T-условный период колебаний):

(20.12)

где N — число колебаний, в течение кото­рых амплитуда уменьшается в е раз. ,

Найдем связь между циклической часто­той затухающих колебаний системы и ло­гарифмическим декрементом затухания .

и T=2 / ,

то (28.13)

Вынужденные механические колебания

1. Переменная внешняя сила, приложен­ная к системе и вызывающая ее вынужден­ные механические колебания, называется вынуждающей, или возмущающей силой.

Дифференциальное уравнение вынуж­денных колебаний простейшей линейной системы— пружинного маятника, происхо­дящих вдоль оси ОХ под влиянием пере­менной внешней силы F (t), отличается от (28.1) только правой частью, равной отно­шению Fx (t) к массе маятника m

(28.18)

Если Fx (t) — периодическая функция времени, то после приложения этой силы к маятнику вначале возникает переходный режим вынужденных колебаний, при кото­ром маятник одновременно участвует в двух колебаниях:

Первый член соответствует свобод­ным затухающим колебаниям маятника (28.9) 1) :

где

Второй член соответствует незатухаю­щим периодическим колебаниям маятника с частотой, равной частоте возмущающей силы Fx (t).

Амплитудное значение х1 (t), равное A β t , более или менее быстро уменьшается после начала вынужденных колебаний:за время τ =4,6/β амплитуда х1 (t) умень­шается в 100 раз. Следовательно, через некоторое время т после начала колебаний свободные колебания маятника практически прекращаются: х (t) x2 (t). Маятник переходит в состояние установив­шихся вынужденных колебаний, совершаю­щихся с частотой возмущающей силы.

2. Рассмотрим вынужденные колебания пружинного маятника, происходящие под действием возмущающей силы, которая из­меняется по гармоническому закону с цик­лической частотой Ω:

где F — амплитуда возмущающей силы.

Покажем, что установившиеся вынуж­денные колебания маятника будут тоже гармоническими с той же частотой, т. е. найдем такие значения А и φ, чтобы выражение

х=А cos (Ωt + φ) (28.21) обращало уравнение (28.18) в тождество. Из (28.21) следует,

d 2 x/dt 2 =-AΩ 2 cos (Ωt + φ)= AΩ 2 (Ωt + φ +π). (28.22)

Подставим (28.21) и (28.22) в (28.18):

Здесь использованы следующие сокращенные обозначения:

Уравнение (28.23) показывает, что сумма трех одинаково направленных гармоничеcких

колебаний с амплитудами А1, А2, Аз, одинаковой циклической частотой Ωи раз­личными начальными фазами (φ +π), (φ +π/2) должна совпадать с гармониче­ским колебанием, происходящимно закону ВcosΩt. Для сложения этих трех колеба­ний мы воспользуемся методом векторных диаграмм. На рис. 28.3 изображены векто­ры амплитуд всех четырех колебаний в начальный момент времени А1(0), А2(0), Аз(0)и В(0). Эти векторы должны удовлет­ворять условию (28.23), т.е.

Из рис. 28.3 и формул (28.24′) следует, что амплитуда А установившихся вынужден­ных колебаний и сдвиг фаз φ

Читайте также:  Приборы для измерения габаритов

между смешением маятника из положения равно­весия и вынуждающей силой зависят от соотношения между циклическими часто­тами вынужденных колебаний Ωи свобод­ных незатухающих колебаний ω, а также от коэффициента затухания β:

При Ω = 0 получим φ(0)=0 и А(0)=A= F/(mω 2 )=F /k — статическое сме­шение маятника из положения равновесия под действием постоянной силы Fx=Fo. При Ω амплитуда А (Ω) и tg φ0 , а φ0 . Графики зависимости A (Ω) и φ (Ω) при различных значениях коэффи­циента затухания β показаны на рис. 28.4 и 28.5.

Сложением колебаний

1. Под сложением колебанийпонимают нахождение закона результирующих коле­баний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвуете несколь­ких колебательных процессах. Различают два предельных случая: сложение колеба­ний одинакового направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Первый случай соответствует, например, колебаниям грузика 1 (рис. 27.7), который колеблется относительно грузика 2 на пру­жине а и вместе с ним на пружине b. Этот же случай реализуется при наложении ко­лебаний скалярных физических характери­стик колебательной системы (давления, температуры, плотности, тока и т. п.).

2 Сложение двух одинаково направлен­ных гармонических колебаний

можно произвести, воспользовавшись мето­дом векторных диаграмм. На рис. 27.8 по­казаны векторы А1(t) и А2 (t) амплитуд первого и второго колебаний в произвольный момент времени t, когда фазы этих колебаний равны Ф1(t) = ω1t+ф1 и Ф2 (t) =ω2t + φ2. Результирующим колебаниям s = s1 +s2 соответствует вектор А(t)= A1 (t) + А2(t), проекция которого на ось ОК

s = A (t) sin Ф (t). (27.30)

По теореме косинусов,

Два колебательных процесса называют­ся когерентными колебаниями, если они со­гласованно протекают во времени, так что разность их фаз остается постоянной.

Разность фаз двух гармонических колебаний s1 и s2 равна

Следовательно, два гармонических ко­лебания когерентны, если их циклические частоты одинаковы, т. е.любой момент времени разность фаз когерент­ных гармонических колебаний равна разно­сти их начальных фаз: Ф2 (t)—Ф1 (t)=(ω21)t+(φ2 – φ1).

Соответственно результирующие колебания — гармонические с той же циклической частотой ω, т. е.

(27.31 ‘ )

В зависимости от разности начальных фаз складываемых колебаний амплиту­да А результирующих колебаний изменяет­ся в пределах

где где m=0,1,2…— любое целое неотрица­тельное число. Если φ2 – φ1=±2mπ, то колебания синфазны(находятся водной фазе), а если φ2 –φ1= ± (2m+1)π

то находятся в противофазе.

9. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с циклическими частотами рω и qω, где p,q— целые числа:

Значения координат х u у колеблющейся точки М одновременно повторяются через одинаковые промежутки времени T, равные общему наименьшему кратному Т1 = 2π/(pω) и T2 = 2π(qω) —периодов ко­лебаний вдоль осей ОХ и OY. Поэтому тра­ектория точки М — замкнутая кривая, форма которой зависит от соотношения ам­плитуд, частот и начальных фаз складывае­мых колебаний. Такие замкнутые траектории точки М, одновременно совершающей гар­монические колебания в двух взаимно

перпендикулярных направлениях, называются фигурами Лиссажу. Фигуры Лиссажу впи­сываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат ОХ и OY и расположены по обе стороны от них на расстояниях, соответственно равных A2 и A1.Отношение частот рω и складывае­мых колебаний равно отношению числа ка­саний соответствующей им фигуры Лисса­жу со стороной прямоугольника, параллель­ной оси OY, и со стороной, параллельной оси ОХ. На рис. 27.12 показан вид фигур Лиссажу при трех различных значениях отношения q/p (2:1, 3:2, 4:3) и разности начальных фаз ∆ φ =φ1 – φ2=π/2.

1.Что изменится в уравнении гармонических колебаний, если в векторной диаграмме вра­щать вектор амплитуды по направлению часо­вой стрелки?

2.От чего зависят амплитуда и начальная фаза гармонических механических колебаний?

3. Можно ли с помощью векторной диаграммы найти результат сложения трех одинаково направленных гармонических колебаний од­ной частоты?

4. Как получить эллиптически поляризованные колебания?

5. Как по виду фигуры Лиссажу найти отношение частот складываемых колебаний? В каких слу­чаях это можно сделать?

6. Что понимают под спектром колебаний?

Упругая волна

называется продольной, если частицы среды колеблются в направле­нии распространения волны.

Продольные волны связаны с объемной деформацией упругой среды и потому могут распространяться в любой среде — твердой, жидкой и газообразной. Примером таких волн являются звуковые волны в воздухе.

Упругая волна называется поперечной, если частицы среды колеблются, оставаясь в плоскостях, перпендикулярных направле­нию распространения волны.

Поперечные волны связаны с деформа­цией сдвига упругой среды и, следователь­но, могут образовываться ираспростра­няться только в средах, обладающих упру­гостью формы, т. е. в твердых телах. Примером поперечных волн могут служить волны, распространяющиеся вдоль струн музыкальных инструментов.

Особое место занимают поверхностные волны— распространяющиеся вдоль сво­бодной поверхности жидкости (или повер­хности раздела двух несмешивающихся жидкостей) возмущения этой поверхности, возникающие под влиянием внешнихвоз­действий (падения тел, движения судов, ветра и т. п.). В образовании и распростра­нении этих волн определяющую роль играют силы поверхностного натяжения и тяжести. В поверхностных волнах частицы жидкости одновременно совершают поперечные и про­дольные колебания, описывая эллиптиче­ские или более сложные траектории.

Среда называется однородной, если ее физические свойства, существенные в рас­сматриваемых задачах, неизменяются от точки к точке.

§ 29.2.

1. Уравнением упругой волны называется зависимость от координат и времени ска­лярных или векторных величин, характери­зующих колебания среды при прохождении в ней рассматриваемой волны.

Например, для волн в твердой среде такой величиной может служить вектор сме­щения частицы среды из положения равно­весия или три его проекции на оси коорди­нат. Для характеристики продольных волн в газе или жидкости обычно пользуются из­быточным давлением колеблющейся среды, равным разности между ее переменным и равновесным давлениями.

Распространение в упругой среде меха­нических возмущений, возбуждаемых ис­точником волн, связано с переносом волна­ми энергии. Поэтому такие волны в отличие от стоячих волн (см. § 29.6) называют бе­гущими волнами.

Линия, касательная к которой в каждой ее точке совпадает с направлением распро­странения волны, т. е. с направлением пе­реноса энергии волной, называется лучом.

В однородной среде лучи имеют вид прямых линий.

5. Уравнение плоской синусоидальной вол­ны,распространяющейся в непоглощающей среде вдоль положительного направле­ния оси ОХ,

s = A sin [2πt/T -2πx/ (Tv) + φ] (29.4′)

где A=const — амплитуда колебаний, на­зываемая амплитудой волны;

ω = 2л/Т — циклическая (круговая) частота волны;

Т— период колебаний; φ— начальная фа­за колебаний в точках координатной плос­кости х = 0. Величина Ф =ωt — ωt/v + φравная фазе колебаний в произвольной точ­ке с координатой х, называется фазой плос­кой волны.

Расстояние λ=vТ, на которое распро­страняется синусоидальная волна за время, равное периоду колебаний, называется дли­ной волны.

Длина волны равна расстоянию между двумя ближайшими точками среды, в кото­рых разность фаз колебаний равна 2π.

6.Наряду с длиной волны используется другая характеристика синусоидальной вол­ны — волновое число,которое показыва­ет, сколько длин волн укладывается на от­резке длиной 2 π:

k=2 π / λ = 2 π / (vT) =ω/v. (29.5)

Следовательно, уравнение плоской си­нусоидальной волны (29.4) можно также представить в виде

Соответственно фаза этой плоской волны

Волновым вектором называется век­тор к, по модулю равный волновому числу k и направленный вдоль луча в рассмат­риваемой точке М среды,

Волновой вектор плоской синусоидаль­ной волны не зависит от выбора точ­ки М. Для плоской волны, распространяю­щейся вдоль положительного направления оси OX, k — k i (i — орт оси ОХ), поэтому kх =kг, где г — радиус-вектор точки М, и уравнение плоской волны (29.6) можно за­писать в форме

Основываясь на формуле (27.5), урав­нение волны (29,7) можно записать в экспо­ненциальной форме, удобной для диффе­ренцирования:

s = Ae i ( ω t— kr + δ) (29.7′)

где i = и δ = φ—π/2.

Физический смысл имеет только действительная часть комплексной величины š, т. е. величина s = Reš. Пользуясь š для нахождения ка­кой-либо характеристики волны, нужно по­сле выполнения всех математических операций отбросить мнимую часть полученного комплексного выражения.

1. Найдем выражение для скорости и про­дольной волны в однородной газообразной среде. Пусть газ находится в длинном гори­зонтальном цилиндрическом сосуде с под­вижным поршнем площадью s. Первона­чально поршень находился в покое, а в мо­мент времени t пришел в движение и за малый промежуток времени dt приобрел скорость dv1, сместившись при этом на рас­стояние dv1, dt/2. Возмущающее действие поршня за время dt распространится в газе на расстояние v dt и охватит область среды объемом Sv dt, относительная объемная де­формация которой

Читайте также:  Контрольная работа по математике 5 класс измерение отрезков

dε= (29.12)

Добавочное давление dp, производимое на газ движущимся поршнем, можно найти из закона Гука (29.1), где (DV/V) = dε:

dp = (29.13)

Под действием силы dF = S dp возмущен­ный поршнем газ приобретает за время dt импульс, равный dm dv1/2, где dm =ρSv dt, ρ — плотность газа. По второму закону Ньютона,

откуда искомая скорость продольной волны в газе

v= (29.14)

Заметим, что при выводе формулы (29.14) предполагалось, что плотность газа ρ —const. В газах это условие соблюда­ется, если избыточное давление, связанное с распространением волны, во много раз меньше равновесного давления невозму­щенногогаза.

Формула (29.14) справедлива также для продольных волн в жидкостях.

|1.Упругая среда, в которой распространя­ются механические волны, обладает как кинетической энергией колебательного дви­жения частиц, так и потенциальной энер­гией, обусловленной деформацией. Если v1—скорость колебаний частиц среды, то объемная плотность кинетической энергии среды

wk = (29.21)

где ρ — плотность среды; dWK— кинетиче­ская энергия всех частиц в малом объеме dV среды, выбранном таким обра­зом, что в его пределах скорость v1\ всюду одинакова.

Можно доказать, что объемная плот­ность потенциальной энергии упругодеформированной среды

wn = (29.22)

где dWn— потенциальная энергия однород­но деформированного малого участка среды объемом dV; v—фазовая скорость волны в среде; ε— относительная деформация.

Покажем справедливость формулы (29.22) на примере продольной волны в га­зе. Элементарная работа, совершаемая внешними силами давления при объемной деформации, δ A’= — р dV. По закону Гука (29.1),

Эта работа идет на увеличение потенциаль­ной энергии упругодеформированной среды:

Соответственно при конечной относительной деформации среды ε =ΔV/V

Wn=

где в соответствии с законом Гука (29.1] ρ= —Кε. Следовательно, объемная плот­ность потенциальной энергии среды

Wn=

Если учесть, что, согласно (29.12), К=ρv 2 , то это выражение можно переписать в форме (29.22).

Под объемной плотностью энергии упру­гих волн понимают объемную плотность w механической энергии среды, обусловлен­ную распространением этих волн и равную сумме wк и wп:

3. Скорость переноса энергии волной рав­на скорости перемещения в пространстве поверхности, соответствующей максималь­ному значению объемной плотности w энер­гии волны. Для синусоидальных волн эта скорость равна фазовой скорости v.

Потоком энергии dФw сквозь малую пло­щадку dS называется отношение энер­гии dW, передаваемой через эту площадку за малый промежуток времени, к его дли­тельности dt:

Если v — вектор скорости переноса энергииволной, то dW равно энергии, за­ключенной внутри показанного на рис. 29.2 косого цилиндра с основанием площадью dS и образующей длиной vdt:

dW = wv dt dS cos α = w (v dS) dt,

где w — объемная плотность энергии вол­ны; dS = n dS — вектор площадки dS; n — единичный вектор нормали к площад­ке; а — угол между v и dS.

Вектор плотности потока энергии

называется вектором Умова,так как впер­вые был введен Н. А. Умовым (1874). Век­тор направлен в сторону переноса энергии волной, а по модулю равен отношению пото­ка энергии w сквозь малую площадку dS

к площади dS — dS cosα проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению переноса энергии:

Поток энергии через произвольную по­верхность S, мысленно проведенную в сре­де, охваченной волновым движением, равен потоку вектора Умова через эту поверх­ность:

Фw= (29.30)

3. Простейшей группой волн является ква­зисинусоидальная плоская волна, получаю­щаяся в результате наложения двух рас­пространяющихся вдоль оси ОХ плоских волн с одинаковыми амплитудами и близки­ми по значению частотами и волновыми числами:

Зависимость s (x) в некоторый фиксиро­ванный момент времени t показана на рис. 29.4. Эта волна отличается от синусои­дальной тем, что ее амплитуда

— медленно изменяющаяся функция коор­динаты х и времени t.

За скорость распространения этой неси­нусоидальной волны принимают скорость и перемещения точки М, в которой амплиту­да А имеет какое-либо фиксированное зна­чение (например, A=0 или A = 2Aо). Сле­довательно, точка М движется по закону tdω — xdk = const, откуда

u = (29.38)

Величина и называется групповой ско­ростью. Она равна скорости переноса

энергии квазисинусоидальной волной. Группо­вая скорость u = d/dk пригодна для опи­сания переноса энергии (передачи сигнала) посредством несинусоидальных волн, имею­щих иной спектр частот, при условии, что спектр не очень широк, а дисперсия волн в среде для этих частот мала.

Найдем связь между групповой и фазо­вой скоростями волны. Так как t

ω= vk, a k = 2π/λ и dk=—2πdλ/λ 2 , где λ — длина волны, то

(29.38)

§ 29.6.

5. Частным случаем интерференции волн являются стоячие волны.

Стоячей волной называется волна, об­разующаяся в результате наложения двух бегущих синусоидальных волн, которые распространяются навстречу друг другу и имеют одинаковые частоты и амплитуды, в случае поперечных волн еще и одинако­вую поляризацию (§ 29.2).

Поперечная стоячая волна образуется, например, на натянутой упругой нити, один конец которой закреплен, а другой приво­дится в колебательное движение.

При наложении двух когерентных бегу­щих плоских волн вида

где α — разность фаз волн в точках плоско­сти x = O, образуется плоская синусоидаль­ная стоячая волна, описываемая уравнением

Амплитуда стоячей волны Aст в отличие от амплитуды А бегущих волн является периодической функцией координаты х:

Точки, в которых амплитуда стоячей волны Aст = 0, называются узлами стоячей волны, а точки, в которых амплитуда Aст максимальна (Aст =2А), называются пуч­ностями стоячей волны.

Положение узлов и пучностей находится из условий

kx +α/2=(2m+1) π/2(узлы)

kx +α/2=mπ (пучности),

где m = 0, 1, 2. Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседни­ми пучностями одинаковы и равны половине длины волны бегущих волн. Эту величину называют длиной стоячей волны: λст = λ/2. Расстояние между соседними узлом и пуч­ностью стоячей волны равно λст /2.

7. В стоячей волне (29.47) скорость коле­бательного движения частиц среды

а относительная деформация среды

Таким образом, в отличие от бегущей волны, для которой справедливо соотноше­ние (29.24), в стоячей волне ε опережает v1 по фазе на л/2, так что в те моменты време­ни, когда vt достигает амплитудного значе­ния, ε обращается в нуль, и наоборот. Кроме того, амплитуды v1 и ε зависят от координа­ты х и притом различным образом:

в пучностях стоячей волны располагаются пучности скорости частиц и узлы деформа­ции среды, а в узлах стоячей волны — пучности деформации и узлы скорости.

В упругой стоячей волне энергия перио­дически преобразуется из потенциальной энергии, локализованной в основном вблизи пучностей деформации, в кинетическую, ло­кализованную в основном вблизи пучностей скорости, и обратно. Поэтому энергия пери­одически мигрирует от узлов стоячей волны к се пучностям и обратно. Однако в самих узлах и пучностях плотность потока энергии тождественно равна нулю. Среднее за пери­од значение плотности потока энергии рав­но нулю в любой точке стоячей волны, так как две бегущие волны, образующие стоя­чую, переносят за период равную энергию в прямо противоположных направлениях. Именно поэтому стоячие волны и получили свое название.

1. Возможно ли образование сходящейся сфе­рической волны?

2. Что понимается под уравнением волны и под волновым уравнением?

3. От чего зависит фазовая скорость волн в уп­ругой среде?

&. Каковы должны быть свойства среды, чтобы для механических волн в этой среде выпол­нялся принцип суперпозиции?

5. Как связаны между собой амплитуда синусои­дальной волны в упругой среде и объемная плотность энергии этой волны?

6. Каков физический смысл групповой скорости?

7. Чем принципиально отличается бегущая волна, от стоячей? Чему равен вектор Умова в узлах и пучностях стоячей волны? Чему равна интен­сивность стоячей волны?

Источник