Меню

Второй закон ньютона единица измерения силы



Законы Ньютона

Ньютон первым обратил внимание на силу, как причину, по которой тела приходят в движение и меняют свою скорость.

Раздел механики, изучающий силы, называется динамикой. По-гречески «динамис», значит «сила».

Что такое сила

Тела действуют друг на друга с помощью сил.

Сила – это мера взаимодействия тел. Измеряя силу, мы измеряем величину взаимного действия тел. В обыденной жизни мы говорим: «как сильно» одно тело действует на другое тело.

Смысл законов Ньютона

Ньютон, в своих законах динамики, хотел сказать следующее:

  • В I законе: Если сила не действует, скорость не меняется. Импульс тела тоже не меняется.
  • Во II законе: Если сила действует, скорость меняется. Импульс тела, также, меняется, появляется ускорение.
  • В III законе: Взаимодействуют два тела — возникают две силы. Они по модулю равны, а по направлению противоположны.

Примечание:

Выражение «векторы равны по модулю», понимаем так: «длины векторов одинаковые».

Перед изучением законов Ньютона рекомендую вспомнить, что такое инерциальные системы отсчета (откроется в новой вкладке).

Первый закон Ньютона

Словесная формулировка первого закона Ньютона:

В инерциальной системе отсчета тело свою скорость не меняет, если на него не действуют другие тела (или действие других тел скомпенсировано).

Формула:

\( F = 0 \) – сила на тело не действует (Может быть и так: на тело действуют несколько сил, но их действие компенсируется);

\( a = 0 \) – ускорение отсутствует;

\( v = const \) – скорость тела не изменяется (остается одной и той же);

\( p = const \) – импульс тела не изменяется (остается одним и тем же);

Важно! По первому закону Ньютона, «двигаться с одной и той же скоростью по прямой» и «покоиться» — это равнозначные виды движения.

Значит, если на тело не действуют другие тела (силы), то

  • тело будет двигаться с одной и той же скоростью по прямой, если оно так двигалось до этого,
  • или будет продолжать покоиться, если покоилось в прошлом.

Второй закон Ньютона

Сформулируем словами второй закон Ньютона:

Ускорение, приобретаемое телом,
прямо пропорционально
приложенной силе
и обратно пропорционально
массе этого тела.

Формула второго закона Ньютона с пояснениями

\( a \left( \frac<\text<м>>> \right) \) – ускорение тела

\( m \left( \text <кг>\right) \) – масса тела

\( F \left( H \right) \) – сила, которую приложили к телу

Примечание: Ускорение отвечает на вопрос: «Как быстро меняется скорость тела?». Значит, если изменяется хотя бы одна из характеристик вектора скорости, ускорение есть. А если скорость не изменяется, ускорения нет \( \vec < a >= 0 \)

Ускорение прямо пропорционально силе:

Чем больше сила, тем больше ускорение тела, тем быстрее тело меняет скорость.

Ускорение обратно пропорционально массе:

Чем больше месса тела, тем труднее изменить его скорость.

Формулу второго закона часто записывают в векторном виде:

Мы можем заменить местами правую и левую части, в таком случае получим:

Расшифруем эту запись: Возьмем вектор «F», умножим его на скаляр (1/m) и получим новый вектор «a».

Дробь \( \displaystyle \frac<1> \) – это скалярная величина.

Примечания:

  1. Вместо слов «направлены в одну и ту же сторону» физики пользуются термином «сонаправлены». Лично мне удобнее пользоваться первой формулировкой.
  2. Часто применяют еще один вид записи, его называют так: «Второй закон Ньютона в импульсной форме».

Третий закон Ньютона

Пусть одно тело действует на второе тело. Тогда это второе тело будет в ответ действовать на первое.

Словами третий закона Ньютона можно сформулировать так:

Силы взаимного действия по модулю равны, а направлены противоположно. Они лежат на прямой, которая соединяет центры тел, действующих друг на друга.

\( F_ <12>\left( H \right) \) – сила, с которой первое тело действует на второе тело.

\( F_ <21>\left( H \right) \) – сила, с которой второе тело отвечает первому.

Пояснить формулу можно с помощью такого рисунка:

Обратите внимание, что длины красного и черного векторов равны.

Не важно, перед каким из векторов находится знак «минус». Этот знак показывает, что векторы направлены в противоположные стороны. Поэтому, формулу третьего закона Ньютона можно записать и так:

Примечания:

  1. Если перед каким-либо вектором записан знак «минус», то этот вектор развернут в противоположную от выбранной нами сторону.
  2. Между векторами находится знак равенства. Это значит, что длины векторов одинаковые (векторы по модулю равны).

Советую прочитать еще две статьи. Так как для решения задач кроме знания трех законов Ньютона нужно дополнительно уметь:

  • находить проекции вектора на оси и
  • составлять векторные силовые уравнения (ссылки открываются в новых вкладках).

Источник

Второй закон Ньютона: формулы, определение, задачи

Кратко о 2 законе Ньютона: формулы, определение, задачи

Ньютон установил связь между ускорением и силой, где F – сила, действующая на тело массой m, вызывает ускорение тела равное – a.

Помни.

  • 2 закон Ньютона называют еще основным законом динамики.
  • Под телом подразумевают материальную точку, движение которой рассматривают в инерциальной системе отсчета.

1. Формулировка

«В инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки»

2. Определение

Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение, причем направления силы и ускорения совпадают.

Если на тело действует сила, то оно приобретает ускорение.

3. Формула

Математически второй закон Ньютона записать в виде:

  • m — масса материальной точки
  • \overrightarrow < F >— сила действующая на тело/ускорение материальной точки
  • \overrightarrow < a >— ускорение тела

Второй закон Ньютона в импульсной форме:

  • \overrightarrow < p >— импульс точки,

\overrightarrow < p >= m \overrightarrow

  • \overrightarrow < v >— скорость точки.
  • \frac < d \overrightarrow < p >>< dt >— производная импульса по времени.

Единица измерения — единица силы — 1 Н (1 ньютон) — сила, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение 1 м/с 2 .

1 Н = 1 кг · 1 м/с 2 = 1 кг · м/с 2 .

Читайте также:  Чем отличается прямое измерение величины от косвенного

Ускорение, приобретаемое материальной точкой в ИСО:

  • Прямо пропорционально действующей на точку силе;
  • Обратно пропорционально массе точки;
  • Направлено в сторону действия силы.

Если на тело одновременно действуют несколько сил — F1,F2 и F3, то под силой в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нужно понимать равнодействующую всех сил:

Задачи с ответами смотри в задании 2 по физике.

Источник

Второй закон Ньютона

ΣF = m·a — Результирующая (суммарная) сила равна произведению массы на ускорение.

С точки зрения физики правильнее выражать второй закон Ньютона следует так:

a = ΣF/m — ускорение объекта прямо пропорционально результирующей силе, и обратно пропорционально массе объекта.

Такая формулировка гораздо более понятна.

Первый закон Ньютона — это частный случай второго закона, когда сумма сил равна нулю, — ведь в этом случае ускорение тела также равно нулю.

Единицы измерения силы

В системе СИ:
ΣF = кг·м/с 2 = ньютон (Н)

В системе СГС:
ΣF = г·см/с 2 = дина

1Н = 100 000 дин

Результирующая сила

Для получения результирующей силы-вектора необходимо сложить все силы-векторы, действующие на тело.

Все знают басню Ивана Крылова о Лебеде, Раке и Щуке, в которой представители животного мира попытались сдвинуть с места воз, который «и ныне там». Напомним, что лебедь тянул воз «в облака», рак — «пятился назад», а щука — «тянула в воду».

Если дело обстояло именно так, то воз вряд ли будет покоиться на месте.

Предположим, что на воз, массой 100 кг действуют силы, указанные на рисунке:

Fлеб = 150 Н; Fрак = 125 Н; Fщука = 65 Н; α = 210°

Давайте попытаемся определить местоположение воза через 10 секунд. Для этого надо:

  1. Найти результирующую силу при помощи операции сложения векторов.
  2. Определить вектор ускорения по формуле: a = ΣF/m
  3. Вычислить пройденное расстояние за 10 секунд по формуле S = V(t1-t) + 1/2a(t1-t) 2

I. Ищем результирующую силу

Находим составляющие векторов. Для первых двух сил это просто (т.к. они направлены по осям X и Y):

Fлеб = (0;150Н); Fрак = (125Н;0)

Для щуки немного сложнее:

Fщука = (Fщx;Fщy) = (Fщ·cosα;Fщ·sinα) = (65·cos210°;65·sin210°) = (65·(-0,87);65·(-0,5)) = (-57Н;-33Н)

Для силы, которую прикладывает щука, получились отрицательные значения. Это подтверждает и вектор на диаграмме — он направлен влево (отрицательные значения X) и вниз (отрицательные значения Y).

Теперь складываем вектора:

Мы нашли не только величину результирующей силы, но и ее направление!

II. Определяем ускорение

a = ΣF/m = (68Н;116Н)/100кг = (0,68м/с 2 ;1,18м/с 2 )

III. Находим расстояние

Но, поскольку изначально воз стоял на месте:

S = 1/2a(t1) 2 = 1/2(0,68м/с 2 ;1,18м/с 2 )·(10) 2 = (34м;59м)

Таким образом, можно утверждать, что через 10 секунд после того, как Лебедь, Рак и Щука начнут тянуть воз (согласно нашей диаграмме), он переместится на расстояние 34 метра вдоль оси X и на 59 метров вдоль оси Y.

Попробуйте самостоятельно решить обратную задачу:

Какую силу необходимо приложить к автомобилю весом 1 тонна, чтобы разогнать его с места до 100 км/ч за 10 секунд? Трением можно пренебречь.

Если вам понравился сайт, будем благодарны за его популяризацию 🙂 Расскажите о нас друзьям на форуме, в блоге, сообществе. Это наша кнопочка:

Код кнопки:
Политика конфиденциальности Об авторе

Источник

Второй закон Ньютона

Второ́й зако́н Нью́то́на — дифференциальный закон механического движения, описывающий зависимость ускорения тела от равнодействующей всех приложенных к телу сил и массы тела. Один из трёх законов Ньютона.

Объектом (телом), о котором идёт речь во втором законе Ньютона, является материальная точка, обладающая неотъемлемым свойством — инерцией [1] , величина которой характеризуется массой. В классической (ньютоновской) механике масса материальной точки полагается постоянной во времени и не зависящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами [2] [3] [4] [5] .

Второй закон Ньютона в его наиболее распространённой формулировке, справедливой для скоростей, много меньших скорости света, утверждает: в инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, не зависит от её природы [6] , совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки [7] .

Содержание

Второй закон Ньютона в классической механике

Возможные формулировки

  • В своём труде «Математические начала натуральной философии» Исаак Ньютон приводит следующую формулировку [8] своего закона:

Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

В инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки.

В инерциальных системах отсчёта производная импульса материальной точки по времени равна действующей на неё силе [9] :

d p → d t = F → , <\displaystyle <\frac >>

>=<\vec >,> где p → = m v → <\displaystyle <\vec

>=m<\vec >> — импульс (количество движения) точки, v → <\displaystyle <\vec >> — её скорость, а t <\displaystyle t> — время.

Область применения закона

Второй закон Ньютона в классической механике сформулирован применительно к движению материальной точки. Предполагается, что масса материальной точки неизменна во времени [10] [11] [12] . Уравнения, соответствующие данному закону, называются уравнениями движения материальной точки или основными уравнениями динамики материальной точки.

Иногда в рамках классической механики предпринимались попытки распространить сферу применения уравнения d p → / d t = F → <\displaystyle d<\vec

>/dt=<\vec >> и на случай тел переменной массы. Однако вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходилось существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила [13] [14] .

В случае, когда на материальную точку действует несколько сил, каждая из них сообщает точке ускорение, определяемое вторым законом Ньютона так, как если бы других сил не было (принцип независимости действия сил). Поэтому результирующее ускорение материальной точки можно определить по второму закону Ньютона, подставив в него равнодействующую силу [15] .

Уравнение второго закона Ньютона F → = m a → <\displaystyle <\vec >=m<\vec >> предполагает скалярную аддитивность масс [16] .

Читайте также:  Как измерить переменный ток амперметром для постоянного тока

Помимо материальной точки, уравнение второго закона Ньютона применимо также для описания механического движения центра масс механической системы. Центр масс движется, как материальная точка, имеющая массу, равную массе всей системы, и находящаяся под действием всех внешних сил, приложенных к точкам системы (теорема о движении центра масс системы).

Второй закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчёта [17] [18] . Тем не менее, добавляя к силам, действующим со стороны других тел, силы инерции, для описания движения в неинерциальных системах отсчёта можно пользоваться уравнением второго закона Ньютона [19] . В таком случае для неинерциальной системы отсчёта уравнение движения записывается в той же форме, что и для инерциальной системы: масса тела, умноженная на его ускорение относительно неинерциальной системы отсчёта, равна по величине и направлению равнодействующей всех сил, включая и силы инерции, приложенные к телу [20] [21] .

Логическая роль второго закона Ньютона

В ньютоновском изложении классической механики законы Ньютона ниоткуда не «выводятся», они имеют статус аксиом, базирующихся на совокупности экспериментальных фактов. Как и аксиомы математики, аксиомы ньютоновской динамики можно сформулировать немного по-разному.

При одном подходе второй закон Ньютона позиционируется как экспериментально проверяемое утверждение о пропорциональности ускорения вызывающей его силе и, одновременно, определение инертной массы тела через отношение величин силы и ускорения [22] [23] . Тогда основная идея второго закона состоит в декларации линейности соотношения «сила—ускорение», то есть что именно эти величины (а не, скажем, сила и скорость) и именно таким образом (а не квадратично и т. п.) связаны между собой.

При другом подходе можно ввести инертную массу независимо от второго закона Ньютона, через массу определённого тела, принимаемого за эталон. Тогда второй закон содержит два независимо экспериментально проверяемых утверждения: о пропорциональности ускорения силе и обратной пропорциональности массе [24] .

Уравнение второго закона Ньютона F → = m a → <\displaystyle <\vec >=m<\vec >> рассматривается как уравнение связи между физическими величинами при определении единиц силы в системах СИ, СГС и других [25] . Единица силы определяется как такая сила, которая материальной точке с массой, равной единице массы, принимаемой в качестве основной, сообщает ускорение, равное единице ускорения, определённой ранее в качестве производной единицы [26] . (При независимом выборе единиц массы, силы и ускорения выражение второго закона нужно писать в виде m a → = k F → <\displaystyle m<\vec >=k<\vec >> , где k <\displaystyle k> — коэффициент пропорциональности, определяющийся выбором единиц измерения [27] [28] [29] [30] ).

Во многих практических и учебных задачах второй закон Ньютона позволяет вычислять силу. Но данный закон не является дефиницией силы [31] (высказывание типа «по определению, сила есть произведение массы на ускорение» неуместно), иначе он превратился бы в тавтологию.

В случае отсутствия воздействия на тело со стороны других тел ( F → = 0 <\displaystyle <\vec >=0> ), из второго закона Ньютона следует, что ускорение тела равно нулю. Отсюда может показаться, что первый закон Ньютона входит во второй как его частный случай. Однако, это не так, поскольку именно первым законом постулируется существование инерциальных систем отсчёта, что является самостоятельным содержательным утверждением. Соответственно, первый закон Ньютона формулируется независимо от второго [32] .

Формула второго закона Ньютона a → = F → / m <\displaystyle <\vec >=<\vec >/m> выражает принцип причинности классической механики. Координаты и скорости материальной точки в момент времени t + Δ t <\displaystyle t+\Delta t> (где Δ t → 0 <\displaystyle \Delta t\to 0> ) непрерывно и однозначно определяются через их значения в момент времени t <\displaystyle t> и заданную силу F → <\displaystyle <\vec >> , действующую на материальную точку. Разлагая в ряд Тейлора и ограничиваясь малыми первого порядка по t <\displaystyle t> , получаем [33] : r → ( t + Δ t ) = r → ( t ) + v → Δ t <\displaystyle <\vec >(t+\Delta t)=<\vec >(t)+<\vec >\Delta t> , v → ( t + Δ t ) = v → ( t ) + a → Δ t <\displaystyle <\vec >(t+\Delta t)=<\vec >(t)+<\vec >\Delta t> . Форма, в которой в механике реализуется причинность, называется механистическим или лапласовским детерминизмом [34] .

Второй закон Ньютона устанавливает связь между динамическими и кинематическими величинами [35] .

Запись закона в разных системах координат

Векторная запись второго закона Ньютона m a → = F → <\displaystyle m<\vec >=<\vec >> верна для любой инерциальной системы координат, относительно которой определяются входящие в этот закон величины (сила, масса, ускорение) [36] . Однако, разложение на компоненты (проекции) будет различным для декартовой, цилиндрической и сферической систем. Интерес также представляет разложение на нормальную и тангенциальную составляющие.

m x ¨ = F x <\displaystyle m<\ddot >=F_> , m y ¨ = F y <\displaystyle m<\ddot >=F_> , m z ¨ = F z <\displaystyle m<\ddot >=F_> , где F → = F x i → + F y j → + F z k → <\displaystyle <\vec >=F_<\vec >+F_<\vec >+F_<\vec >> , а орты декартовой системы i → <\displaystyle <\vec >> , j → <\displaystyle <\vec >> , k → <\displaystyle <\vec >> направлены по осям координат (в сторону возрастания конкретной координаты),

m ( ρ ¨ − ρ φ ˙ 2 ) = F ρ <\displaystyle m(<\ddot <\rho >>-\rho <\dot <\varphi >>^<2>)=F_<\rho >> , m ( ρ φ ¨ − 2 ρ ˙ φ ˙ ) = F φ <\displaystyle m(\rho <\ddot <\varphi >>-2<\dot <\rho >><\dot <\varphi >>)=F_<\varphi >> , m z ¨ = F z <\displaystyle m<\ddot >=F_> , где F → = F ρ e → ρ + F φ e → φ + F z e → z <\displaystyle <\vec >=F_<\rho ><\vec >_<\rho >+F_<\varphi ><\vec >_<\varphi >+F_<\vec >_> , а орты e → ρ <\displaystyle <\vec >_<\rho >> , e → φ <\displaystyle <\vec >_<\varphi >> , e → z <\displaystyle <\vec >_> цилиндрической системы берутся в точке приложения силы и направлены, соответственно, от оси z <\displaystyle z> под 90 0 к ней, по окружности в плоскости x y <\displaystyle xy> с центром на оси, и вдоль z <\displaystyle z> (в сторону возрастания конкретной координаты),

m ( r ¨ − r φ ˙ 2 sin 2 ⁡ θ − r θ ˙ 2 ) = F r <\displaystyle m(<\ddot >-r<\dot <\varphi >>^<2>\sin ^<2>\theta -r<\dot <\theta >>^<2>)=F_> , m ( [ r φ ¨ + 2 r ˙ φ ˙ ] sin ⁡ θ + 2 r φ ˙ θ ˙ cos ⁡ θ ) = F φ <\displaystyle m([r<\ddot <\varphi >>+2<\dot ><\dot <\varphi >>]\sin \theta +2r<\dot <\varphi >><\dot <\theta >>\cos \theta )=F_<\varphi >> , m ( 2 r ˙ θ ˙ + r θ ¨ − r φ ˙ 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) = F θ <\displaystyle m(2<\dot ><\dot <\theta >>+r<\ddot <\theta >>-r<\dot <\varphi >>^<2>\sin \theta \cos \theta )=F_<\theta >> , где F → = F r e → r + F φ e → φ + F θ e → θ <\displaystyle <\vec >=F_<\vec >_+F_<\varphi ><\vec >_<\varphi >+F_<\theta ><\vec >_<\theta >> , а орты e → r <\displaystyle <\vec >_> , e → φ <\displaystyle <\vec >_<\varphi >> , e → θ <\displaystyle <\vec >_<\theta >> сферической системы берутся в точке приложения силы и направлены, соответственно, от центра O <\displaystyle O> , по «параллелям», и по «меридианам» (в сторону возрастания конкретной координаты).

Читайте также:  Как измерить площадь помещения жилого

В соприкасающейся плоскости ускорение a → = a n → + a t → <\displaystyle <\vec >=<\vec >>+<\vec >>> материальной точки массой m <\displaystyle m> и действующую на неё силу F → = F n → + F t → <\displaystyle <\vec >=<\vec >>+<\vec >>> можно разложить на нормальную (перпендикулярную касательной к траектории в соприкасающейся плоскости) F n → = m a n → <\displaystyle <\vec >>=m<\vec >>> и тангенциальную (параллельную касательной к траектории в соприкасающейся плоскости) F t → = m a t → <\displaystyle <\vec >>=m<\vec >>> составляющие.

Абсолютная величина нормальной силы равна F n = m a n = m v 2 / R <\displaystyle F_=ma_=mv^<2>/R> , где R <\displaystyle R> — радиус кривизны траектории материальной точки, v <\displaystyle v> — абсолютная величина её скорости. Нормальная сила направлена к центру кривизны траектории материальной точки. В случае круговой траектории радиуса R <\displaystyle R> абсолютная величина нормальной силы F n = m ω 2 R <\displaystyle F_=m\omega ^<2>R> , где ω <\displaystyle \omega > — угловая скорость обращения точки. Нормальную силу также называют центростремительной.

Тангенциальная составляющая силы равна F t = m a t = m d 2 s d t 2 <\displaystyle F_=ma_=m<\frac s>>>> , где s = s ( t ) <\displaystyle s=s(t)> — дуговая координата по траектории точки [37] . Если 0>»> d 2 s d t 2 > 0 <\displaystyle <\frac s>>>>0> 0>»/> , то сила F t → <\displaystyle <\vec >>> совпадает по направлению с вектором скорости v → <\displaystyle <\vec >> и её называют движущей силой. Если d 2 s d t 2 0 <\displaystyle <\frac s>>> , то сила F t → <\displaystyle <\vec >>> противоположна по направлению вектору скорости v → <\displaystyle <\vec >> и её называют тормозящей силой.

Второй закон за пределами классической механики

В релятивистской динамике

Второй закон Ньютона в виде m a → = F → <\displaystyle m<\vec >=<\vec >> приближённо справедлив только для скоростей, много меньших скорости света, и в инерциальных системах отсчёта.

В виде d p → d t = F → <\displaystyle <\frac >>

>=<\vec >> второй закон Ньютона точно справедлив также в инерциальных системах отсчёта специальной теории относительности и в локально инерциальных системах отсчёта общей теории относительности, однако при этом вместо прежнего выражения для импульса используется равенство p → = m v → 1 − v 2 c 2 <\displaystyle <\vec

>=<\frac >><\sqrt <1-<\frac <\displaystyle v^<2>><\displaystyle c^<2>>>>>>> , где c <\displaystyle c> — скорость света [38] .

Существует и четырёхмерное релятивистское обобщение второго закона Ньютона. Производная четырёхимпульса P → <\displaystyle <\vec <\mathrm

>>> по собственному времени τ <\displaystyle \tau > материальной точки равна четырёхсиле Φ → <\displaystyle <\vec <\Phi >>> [39] :

Φ → = d P → d τ <\displaystyle <\vec <\Phi >>= <\frac >>>>> .

В квантовой механике

Законы ньютоновской динамики, в том числе второй закон Ньютона, неприменимы, если длина волны де Бройля рассматриваемого объекта соизмерима с характерными размерами области, в которой изучается его движение. В этом случае необходимо пользоваться квантовомеханическими законами [40] .

Тем не менее, второй закон Ньютона при определённых условиях актуален применительно к движению волнового пакета в квантовой механике. Если потенциальная энергия волнового пакета пренебрежимо мало изменяется в области нахождения пакета, то производная по времени среднего значения импульса пакета будет равна силе, понимаемой как градиент потенциальной энергии, взятый с обратным знаком (теорема Эренфеста).

Видоизменённый второй закон Ньютона используется и при квантовомеханическом описании движения электронов в кристаллической решётке. Взаимодействие электрона с периодическим электромагнитным полем решётки при этом учитывается введением понятия эффективной массы.

Научно-историческое значение закона

Оценивая значение второго закона Ньютона, А. Эйнштейн писал:

Дифференциальный закон является той единственной формой причинного объяснения, которая может полностью удовлетворять современного физика. Ясное понимание дифференциального закона есть одно из величайших духовных достижений Ньютона… Только переход к рассмотрению явления за бесконечно малое время (т. е. к дифференциальному закону) позволил Ньютону дать формулировку, пригодную для описания любого движения… Так Ньютон пришёл… к установлению знаменитого закона движения:

Вектор ускорения × Масса = Вектор силы.

Это — фундамент всей механики и, пожалуй, всей теоретической физики.

Все законы природы для сил в зависимости от свойств тел, их состояний и движений получаются из опытов и устанавливаются всегда и только на основе решения уравнения F → = m a → <\displaystyle <\vec >=m<\vec >> , которое употребляется для выражения силы [41] .

Лагранжево и гамильтоново обобщения закона

В аналитической механике существует два аксиоматических подхода. При одном подходе в качестве аксиомы принимается второй закон Ньютона и из него выводятся уравнения Лагранжа. При другом подходе в качестве аксиомы принимаются уравнения Лагранжа. Тогда второй закон Ньютона рассматривается как следствие из них [42] .

Из уравнений Лагранжа для произвольной голономной системы, на которую действуют как потенциальные ( Q i p <\displaystyle Q_^

> ), так и непотенциальные ( Q i n <\displaystyle Q_^> ) обобщённые силы, d d t ( ∂ L ∂ q ˙ i ) − ∂ L ∂ q i = Q i n <\displaystyle <\frac

>\left(<\frac <\partial L><\partial <\dot >_>>\right)-<\frac <\partial L><\partial q_>>=Q_^> следует, что производная по времени обобщённого импульса p i = ∂ L ∂ q ˙ i <\displaystyle p_=<\frac <\partial L><\partial <\dot >_>>> равна суммарной обобщённой силе Q i = Q i p + Q i n = ∂ L ∂ q i + Q i n <\displaystyle Q_=Q_^

+Q_^=<\frac <\partial L><\partial q_>>+Q_^> :

p ˙ i = Q i <\displaystyle <\dot

>_=Q_> .

Записанные так в декартовых координатах уравнения Лагранжа называются уравнениями движения в форме Ньютона [43]

Теорема об изменении обобщённого импульса обобщает и включает как частные случаи теоремы ньютоновской динамики об изменении количества движения и об изменении кинетического момента [44] .

p ˙ i = − ∂ H ∂ q i <\displaystyle <\dot

>_=-<\frac <\partial H><\partial q_>>> ,

где, как и выше, p i = ∂ L ∂ q ˙ i <\displaystyle p_=<\frac <\partial L><\partial <\dot >_>>> — обобщённый импульс, через H = ∑ i = 1 s p i q ˙ i − L <\displaystyle H=\sum _^p_<\dot >_-L> обозначена функция Гамильтона, а L = L ( q i , q ˙ i , t ) <\displaystyle L=L(q_,<\dot >_,t)> — лагранжиан, то есть разность кинетической и потенциальной энергий системы.

Источник