Меню

Вычислить среднее арифметическое значение результатов измерений



Вычислить среднее арифметическое значение результатов измерений

Средняя арифметическая величина выборки

характеризует средний уровень значений изучаемой случайной величины в наблюдавшихся случаях и вычисляется путем деления суммы отдельных величин исследуемого признака на общее число наблюдений:

где — значение конкретного показателя,

— число показателей (случаев).

Практическое задание : рассчитать среднее арифметическое значение измерений силы кисти спортсмена по следующим результатам: 46, 50, 59, 60, 55, 49 кг.

Среднее арифметическое дает возможность:

1) охарактеризовать исследуемую совокупность одним числом;

2) сравнить отдельные величины со средним арифметическим;

3) определить тенденцию развития какого-либо явления;

4) сравнить разные совокупности;

5) вычислить другие статистические показатели, так как многие статистические вычисления опираются на среднее арифметическое.

Однако одно только среднее арифметическое не дает возможности глубоко анализировать сущность того или иного явления и их взаимные различия!

При анализе статистической совокупности одним из важных показателей является расположение значений элементов совокупности вокруг среднего значения (варьирование). Для характеристики варьирования в практике исследовательской работы рассчитывают среднее квадратическое (или стандартное) отклонение , которое отражает степень отклонения результатов от среднего значения, выражается в тех же единицах измерения.

Стандартное отклонение обозначается знаком (сигма) и вычисляется по формуле:

где — ) — сумма разности квадратов между каждым показателем и средней арифметической величиной (сумма квадратов отклонений);

— объем выборки (число измерений или испытуемых).

Если число измерений не более 30, т.е. 30, используется формула:

Порядок вычислений (1 вариант):

1. Заполнить первые две колонки таблицы расчетов (вычисление стандартного отклонения на примере показателей шести результатов измерения кистевой динамометрии).

2. Рассчитать среднюю арифметическую величину:

3. Вычислить разность между каждым показателем и данной средней (третья колонка таблицы).

4. Полученные разности возвести в квадрат и суммировать (четвертая колонка таблицы).

5. Вычислить среднее квадратическое отклонение по формуле:

Порядок вычислений (2 вариант):

Более простой способ вычисления стандартного отклонения осуществляется по следующей формуле:

где — наибольшее значение показателя; Х — наименьшее значение показателя; табличный коэффициент (табл. 3).

Чем меньше величина , тем плотнее результаты около средней, что может говорить как о стабильности показателей одного испытуемого, так и ровности результатов группы или одинаковой подготовленности спортсменов.

Выборка результатов (какой бы она не была большой) не совпадает по абсолютной величине с соответствующими генеральными параметрами. Например, результаты физической подготовленности мастеров спорта одной спортивной школы не могут точно характеризовать результаты всех мастеров спорта страны. Величина отклонения выборочной средней от ее генерального параметра называется статистической стандартной ошибкой выборочного среднего арифметического . Иногда этот показатель называется просто ошибкой средней .

Читайте также:  Единицы измерения электрических величин таблица система си

Этот показатель обозначается символом и рассчитывается по формулам:

где — среднее квадратическое отклонение выборочной совокупности;

— объем выборки (число измерений или испытуемых).

Значение стандартной ошибки средней арифметической ( указывает, насколько изменится среднее значение, если его перенести на всю генеральную совокупность.

Например, при измерениях у 20 спортсменов угла в коленном суставе ноги, стоящей на задней стартовой колодке, был получен следующий результат:

Это обозначает, что полученная средняя арифметическая величина в других аналогичных исследованиях может иметь значения от до .

Практическое задание : студенты рассчитывают m среднего арифметического силы кисти руки спортсмена и делают вывод по следующим исходным данным:

Источник

Среднее арифметическое значение, средняя квадратичная и средняя арифметическая погрешности измеряемой величины

Первой величиной, которую приходится вычислять при обработке результатов опытов, является среднее арифметическое из результатов ряда измерений, которое определяется по формуле (6).

Практически число измерений всегда ограничено, поэтому среднее арифметическое не равно истинному значению измеряемой величины , но будет тем ближе к нему, чем больше число выполненных измерений . В теории вероятностей доказывается, что среднее арифметическое из результатов отдель­ных измерений является наиболее вероятным значением измеряемой величины. Это утверждение справедливо при условии, когда все измерения равноточные, а распределение погрешности измерений подчиняется вышеупомянутому закону распределения— закону Гаусса.

Если вместо истинного значения неизвестной величины использовать среднее арифметическое , тогда на основании равенства (1) имеем:

(11)

В (11) погрешность несколько отличается от истинной и называется абсолютной погрешностью единичного измерения

(12)

Лучшим из критериев для оценки погрешностей результатов измерений является средняя квадратичная погрешность, которая характеризует степень (меру) рассеяния результатов отдельных измерений около среднего их значения. Для определения среднеквадратической погрешности единичных изме­рений при ограниченном числе опытов используется формула (7), которая с учетом (12) записывается в виде:

. (13)

Средняя квадратическая погрешность, вычисляемая по формуле (13), характеризует погрешность единичного результата из всего ряда n измерений.

Как уже отмечалось, при увеличении числа n измерений наблюдается взаимная компенсация случайных ошибок. Поэтому усредненная средняя квадратичная погрешность, определяемая по формуле (9) и характеризующая окончательный результат измерений, уменьшается при увеличении числаn повторных измерений искомой величины. Поскольку вычисления величины достаточно громоздки, то в ряде случаев (если не оговорено в условиях решаемой задачи) для оценки ошибки, допущенной при определении средней величины, пользуются средней арифметической погрешностью, которая вычисляется как средняя величина всех величин абсолютных погрешностей единичных измерений (12), взятых по модулю:

. (14)

Так как суммирование в (14) выполняется без учета знака , то формула (14) даёт среднее значение максимальной возможной погрешности.

Читайте также:  Средство измерения длины рулетка

Вопрос о том, какой формулой пользоваться при оценке измерений, решается при планировании эксперимента. Считается, что при числе измерений меньше пяти можно ограничиться вычислением средней абсолютной погрешности по формуле (14).

Средняя абсолютная погрешность даёт возможность указать пределы (интервал), внутри которых заключено истинное значение измеряемой величины.

Сама по себе абсолютная погрешность не даёт достаточно наглядного представления о степени точности измерения, поэтому для оценки точности результата применяется относительная погрешность. Относительная погрешность величины x при ограниченном числе опытов вычисляется по формуле:

. (15)

Источник

Расчет среднеарифметического значения результатов наблюдений

Средние значения и СКО результатов прямых измерений.

Введение

Расчет погрешностей измерений

Курсовой расчет по дисциплине

«Метрология, стандартизация, сертификация»

___________ П.А. Трофимов

«___» ___________ 2013г.

Студент группы И111

___________ Е.А. Федоров

«___» ___________ 2013 г.

Содержание

1. Средние значения и СКО результатов прямых измерений. 4

2. Выявление грубых ошибок. 5

3. Корреляция результатов прямых измерений. 6

4. Предельные инструментальные погрешности. 7

5. Косвенные измерения. 10

Список использованной литературы. 12

В данной курсовой работе с помощью электронно-счетного частотомера Ч3-34 и универсального вольтметра В7-16 будут произведены многократные измерения частоты, сопротивления и напряжения и выполнены соответствующие вычисления. Основные цели курсового расчета это: закрепление теоретических знаний, применение теоретических знаний на практике, приобретение навыков работы с нормативно-технической документацией, закрепление навыков оценки погрешностей косвенных измерений с использованием результатов многократных прямых измерений, практическое использование результатов многократных прямых измерений.

Найдем среднее значение для U1. Воспользуемся формулой среднего арифметического и вычислим средние значения измеренных величин:

, (1.1)

где хi — результат i-го наблюдения измеряемой величины;

n – число наблюдений.

Пример расчета для U1:

U1 = Ui = 1,120 В

U2 = Ui = 411,140 мВ

R = Ri = 0,228 кОм

f = fi = 7,251 кГц

Рассчитаем СКО:

Пример расчета для U1:

σU2 = = 0,140 мВ

σR = = 0,004 кОм

σf = = 0,029 кГц

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения

Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений.

Обработка результатов прямых многократных измерений

Прямые измерения могут быть многократными и однократными. В первом случае производится ряд наблюдений измеряемой величины при одинаковых условиях. Иногда такие наблюдения называют параллельными. Во втором случае ограничиваются одним измерением. Многократные измерения обычно проводят в лабораторных условиях с целью получения высокой точности результата или при недостаточности априорных сведений. Однократные измерения преобладают на производстве и предполагают наличие значительного объема предварительной информации как об измеряемой величине, так и о средствах измерений.

Читайте также:  Схема для измерения мощности переменного тока

В соответствии с ГОСТ 8.207-76 “Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений.” статистическую обработку ряда наблюдений следует выполнять в следующей последовательности:

В соответствии с приведенной программой обработки результатов измерений распишем по пунктам процедуру ее выполнения.

Обнаружение и исключение систематических погрешностей производится посредством методов и приемов, описанных в разделе 2.3.

После исключения из каждого результата наблюдений известных систематических погрешностей вычисляют основные характеристики исправленного ряда наблюдений. Среднее арифметическое ряда наблюдений (результатов наблюдений) определяют по формуле

, (3.35)

где — i-й результат наблюдения,

— среднее арифметическое исправленного ряда наблюдений,

N — число результатов наблюдений.

Предполагается, что среднее арифметическое является наиболее вероятным значением измеряемой величины.

Источник

Как посчитать среднее значение, квадратическое отклонение и погрешность

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 24 человек(а).

Количество просмотров этой статьи: 59 142.

После сбора данных их нужно проанализировать. Обычно нужно найти среднее значение, квадратичное отклонение и погрешность. Мы расскажем вам, как это сделать.

Запишите числовые значения, которые вы собираетесь анализировать. Мы проанализируем случайно подобранные числовые значения в качестве примера.

  • Например, 5 школьникам был предложен письменный тест. Их результаты (в баллах по 100 бальной системе): 12, 55, 74, 79 и 90 баллов.

Для того чтобы посчитать среднее значение, нужно сложить все имеющиеся числовые значения и разделить получившееся число на их количество.

  • Среднее значение (μ) = Σ/N, где Σ сумма всех числовых значений, а N количество значений.

То есть, в нашем случае μ равно (12+55+74+79+90)/5 = 62.

Мы будем считать среднее отклонение. Среднее отклонение = σ = квадратный корень из [(Σ((X-μ)^2))/(N)].

  • Для вышеуказанного примера это квадратный корень из [((12-62)^2 + (55-62)^2 + (74-62)^2 + (79-62)^2 + (90-62)^2)/(5)] = 27,4. (Обратите внимание, что если это выборочное среднеквадратическое отклонение, то делить нужно на N-1, где N количество значений.)

Считаем среднюю погрешность (среднего значения). Это оценка того, насколько сильно округляется общее среднее значение. Чем больше числовых значений, тем меньше средняя погрешность, тем точнее среднее значение. Для расчета погрешности надо разделить среднее отклонение на корень квадратный от N. Стандартная погрешность = σ/кв.корень(n).

  • Если в нашем примере 5 школьников, а всего в классе 50 школьников, и среднее отклонение, посчитанное для 50 школьников равно 17 (σ = 21), средняя погрешность = 17/кв. корень(5) = 7.6.

Источник