Величины в ФЭЧ и их единицы измерения
Размеры
В физике элементарных частиц изучаются атомные ядра и еще более мелкие частицы. Их размеры удобно выражать в фемтометрах (фм): 1 фм = . Эту единицу измерения называют также ферми: 1 ферми = = 1 фм.
Фемтометр в миллион раз меньше нанометра — типичного размера молекул. Размер протона или нейтрона как раз составляет примерно 1 фм. Существуют составные частицы, размер которых еще меньше; например, ипсилон-мезон, состоящий из кварк-антикварковой пары b–анти-b, имеет размер примерно 0,2 фм. Другие частицы (называемые фундаментальными), например кварки, электроны, нейтрино и т. д., пока считаются точечными; если они и имеют внутреннюю структуру, то эта структура проявится при размерах, меньших, чем тысячная доля фемтометра.
Времена
В отличие от расстояний, характерные времена, использующиеся при описании превращений элементарных частиц, могут быть самые разные.
Для протон-протонных столкновений в качестве базовой единицы времени можно взять время, за которое частица с околосветовой скоростью проходит расстояние, равное размеру протона, — это составляет примерно . Эту единицу можно назвать типичным адронным масштабом времени. Для сравнения, это примерно в миллиард раз меньше, чем период колебаний световой волны.
Когда два протона сталкиваются в коллайдере, именно в течение этого промежутка времени происходит рождение некоего высокоэнергетического сгустка материи и его распад на конечные частицы. Однако сами рожденные частицы могут жить намного дольше. Например, адроны, распадающиеся за счет слабого взаимодействия, живут пикосекунды, наносекунды и иногда даже больше. Рекордсмен тут нейтрон, чье время жизни в свободном состоянии составляет примерно 15 минут. Относительно большое время жизни этих частиц вызвано тем, что распадаются они не за счет сильного, а за счет слабого или электромагнитного взаимодействия. Такие частицы успевают пролететь до распада большие дистанции — миллиметры, метры и больше; эти метастабильные частицы регистрируются непосредственно в детекторе. Частицы, распадающиеся за счет сильного взаимодействия (так называемые адронные резонансы), живут в течение адронного масштаба времени. Такие частицы до детектора не долетают, и они изучаются по следам своего распада.
Энергии
Энергии элементарных частиц измеряют в электронвольтах (эВ) и кратных единицах. По определению, 1 эВ — это энергия, которую приобретет электрон в электрическом поле при прохождении разности потенциалов в 1 вольт; 1 эВ примерно равен . Электронвольт удобен для описания атомных и оптических процессов. Например, молекулы газа при комнатной температуре имеют кинетическую энергию примерно 1/40 электронвольта. Кванты света — фотоны — в оптическом диапазоне имеют энергию около 2 эВ.
Явления, происходящие внутри ядер и элементарных частиц, сопровождаются гораздо большими изменениями энергии. Здесь уже используются мегаэлектронвольты (МэВ, 10 6 эВ), гигаэлектронвольты (ГэВ, 10 9 эВ) и даже тераэлектронвольты (ТэВ, 10 12 эВ). Например, протоны и нейтроны движутся внутри ядер с кинетической энергией в несколько десятков МэВ. Энергия протон-протонных или электрон-протонных столкновений, при которых становится заметна внутренняя структура протона, составляет несколько ГэВ. Для того чтобы родить самые тяжелые из известных на сегодня частиц, топ-кварки, требуется сталкивать протоны с энергией около 1 ТэВ.
Между шкалой расстояний и шкалой энергии можно установить соответствие. Для этого можно взять фотон с длиной волны L и вычислить его энергию: E = c·h/L. Здесь c — скорость света, а h — постоянная Планка, фундаментальная квантовая константа, равная примерно . Это соотношение можно использовать не только для фотона, но и более широко, при оценке энергии, необходимой для изучения материи на масштабе L. В «микроскопических» единицах измерения, 1 ГэВ отвечает размеру примерно 1,2 фм.
Шкалу энергий можно также связать и со шкалой времен: E = h/T. Физический смысл этого соотношения в квантовой механике таков: процесс, сопровождающийся неопределенностью энергии E, длится примерно в течение времени T. Например, если частица распадается в течение типичного адронного масштаба времени, то неопределенность ее массы составляет порядка 1 ГэВ.
Массы
Согласно знаменитой формуле Эйнштейна , энергия покоя и масса тесно взаимосвязаны. В мире элементарных частиц эта связь проявляется самым непосредственным образом: при столкновении частиц с достаточной энергией могут рождаться новые тяжелые частицы, а при распаде покоящейся тяжелой частицы разница масс переходит в кинетическую энергию получившихся частиц. По этой причине массы частиц тоже принято выражать в электронвольтах (а точнее, в электронвольтах, деленных на скорость света в квадрате). 1 эВ соответствует массе всего в . Электрон в этих единицах весит 0,511 МэВ, а протон 0,938 ГэВ. Открыто множество и более тяжелых частиц; рекордсменом пока остается топ-кварк с массой около 170 ГэВ. Самые легкие из известных частиц с ненулевой массой — нейтрино — весят всего несколько десятков мэВ (миллиэлектронвольт).
Частота событий
Обсуждая вероятность того или иного процесса на коллайдере, физики обычно приводят две величины: сечение процесса и светимость коллайдера. Именно их произведение определяет, насколько часто происходит столкновение того или иного типа на данном коллайдере.
Сечение (или, по-старинному, эффективное сечение) — это, грубо говоря, та поперечная площадь в частице-мишени, в которую надо попасть налетающей частице, чтобы произошла нужная реакция. Однако не стоит понимать эти слова буквально: будто поверхность протона разделена на области: попадешь в одну — произойдет одна реакция, попадешь в другую — другая. Так могло бы быть в классической механике, но в мире квантовых частиц самые разные процессы протекают с какой-то вероятностью даже при совершенно идентичных столкновениях. Просто эти вероятности удобно выражать в виде неких сечений, отвечающих тому или иному процессу, и измерять их в единицах площади. Стандартная единица измерения сечений в физике элементарных частиц — барн (b); .
Светимость — это «инструментальная» характеристика коллайдера, характеризующая интенсивность пучков. Светимость зависит от количества частиц в каждом пучке и от того, насколько плотно частицы собраны. Чем больше светимость, тем чаще происходят столкновения частиц из встречных пучков.
Светимость выражается в . Для того чтобы узнать, как часто (то есть сколько раз в секунду) будет происходить какой-то процесс на данном коллайдере, надо умножить сечение процесса на светимость коллайдера. Например, при проектной светимости LHC, равной процесс рождения хиггсовского бозона с массой 200 ГэВ, имеющий сечение 20 pb (= ), будет происходить со средней частотой один раз в пять секунд.
Далее, частота, с которой детектор будет регистрировать данный тип событий, обычно меньше частоты, с которой это событие происходит. Так получается потому, что вовсе не на каждое событие детектор «срабатывает» нужным образом, то есть у детектора неидеальная эффективность регистрации. Например, родившиеся частицы могут пролететь мимо детектора и избежать регистрации (впрочем, благодаря высокой герметичности современных детекторов вероятность этого мала). Либо энергия частицы одной из частиц может оказаться маленькой, и детектор просто не учтет эту частицу, примет ее за случайный шум. Либо детектор может неправильно идентифицировать рожденную частицу, приняв ее за другую и на основании этого отбросив событие как неинтересное.
Все эти процессы необходимо учитывать при сравнении реально полученных данных с теоретическими расчетами. Обычно это делается путем сложного численного моделирования процессов, протекающих внутри детектора при прохождении сквозь него частиц.
Наконец, число событий, отобранных для анализа какого-то конкретного процесса (то есть та статистика, на основе которой физики, например, заявляют об открытии новой частицы), обычно намного меньше числа реально зарегистрированных событий этого типа. Дело в том, что обычно искомые события происходят довольно редко, и их приходится вылавливать из мешанины самых разнообразных фоновых процессов. Для того чтобы увеличить надежность результатов, физики обычно отбирают только самые четкие события-кандидаты, наиболее непохожие на последствия фоновых процессов. Подробнее про эту методику см. в популярной статье Анатомия одной новости, или Как на самом деле физики изучают элементарные частицы.
Источник
Атомные единицы Хартри — Hartree atomic units
В атомные единицы Хартри представляют собой систему из натуральных единиц измерения, что особенно удобно для атомной физики и вычислительной химии расчетов. Они названы в честь физика Дугласа Хартри . В этой системе числовые значения следующих четырех фундаментальных физических констант по определению равны единице:
- Приведенная постоянная Планка :, также известная как атомная единица действия ℏ знак равно 1 <\ displaystyle \ hbar = 1>
- Элементарный заряд : также известный как атомная единица заряда е знак равно 1 <\ displaystyle e = 1>
- Радиус Бора :, также известный как атомная единица длины а 0 знак равно 1 <\ displaystyle a_ <0>= 1>
- Масса электрона : также известна как атомная единица массы. м е знак равно 1 <\ displaystyle m _ <\ text
> = 1>
В атомных единицах Хартри скорость света приблизительно равна 137.036 атомных единиц скорости. Атомные единицы часто обозначают аббревиатурой «au» или «au», не путать с той же аббревиатурой, которая используется также для астрономических единиц , произвольных единиц и единиц поглощения в других контекстах.
СОДЕРЖАНИЕ
Определение констант
Каждую единицу в этой системе можно выразить как произведение степеней четырех физических констант без постоянной умножения. Это делает его согласованной системой единиц , а также делает численные значения определяющих констант в атомных единицах равными единице.
| Имя | Символ | Значение в единицах СИ |
|---|---|---|
| приведенная постоянная Планка | ℏ <\ displaystyle \ hbar>  | 1,054 571 817 . × 10 −34 Дж⋅с |
| элементарный заряд | е <\ displaystyle e> | 1,602 176 634 × 10 −19 С |
| Радиус Бора | а 0 <\ displaystyle a_ <0>> | 5,291 772 109 03 (80) × 10 -11 м |
| масса покоя электрона | м е <\ displaystyle m _ <\ mathrm | 9,109 383 7015 (28) × 10 −31 кг |
Обратите внимание, что после переопределения базовых единиц СИ в 2019 году постоянная Планка определяется точно в единицах СИ как час <\ displaystyle h> 6,626 070 15 × 10 -34 Дж⋅с , и поэтому, хотя приведенная постоянная Планка является точной, она также иррациональна в единицах СИ . Заряд электрона также точен. ℏ знак равно час / 2 π <\ displaystyle \ hbar = h / 2 \ pi> е <\ displaystyle e>
В этой системе в качестве единиц обычно используются пять символов, из которых только четыре являются независимыми:
| Измерение | Символ | Определение |
|---|---|---|
| действие | ℏ <\ displaystyle \ hbar> | ℏ <\ displaystyle \ hbar> |
| электрический заряд | е <\ displaystyle e> | е <\ displaystyle e> |
| длина | а 0 <\ displaystyle a_ <0>> | 4 π ϵ 0 ℏ 2 / ( м е е 2 ) <\ displaystyle 4 \ pi \ epsilon _ <0>\ hbar ^ <2>/ (m _ <\ text |
| масса | м е <\ displaystyle m _ <\ text | м е <\ displaystyle m _ <\ text |
| энергия | E час <\ displaystyle E _ <\ text | ℏ 2 / ( м е а 0 2 ) <\ Displaystyle \ hbar ^ <2>/ (м _ <\ текст <е>> а_ <0>^ <2>)> |
Единицы
Ниже перечислены единицы, которые могут быть получены в системе. Некоторым даны имена, как указано в таблице.
| Атомная единица | Имя | Выражение | Значение в единицах СИ | Другие эквиваленты |
|---|---|---|---|---|
| 1-я гиперполяризуемость | е 3 а 0 3 / E час 2 <\ displaystyle e ^ <3>a_ <0>^ <3>/ E _ <\ text | 3.206 361 3061 (15) × 10 −53 C 3 m 3 ⋅J −2 | ||
| 2-я гиперполяризуемость | е 4 а 0 4 / E час 3 <\ displaystyle e ^ <4>a_ <0>^ <4>/ E _ <\ text | 6.235 379 9905 (38) × 10 −65 C 4 m 4 ⋅J −3 | ||
| действие | ℏ <\ displaystyle \ hbar> | 1,054 571 817 . × 10 −34 Дж⋅с | ||
| обвинять | е <\ displaystyle e> | 1,602 176 634 × 10 −19 С | ||
| плотность заряда | е / а 0 3 <\ displaystyle e / a_ <0>^ <3>> | 1.081 202 384 57 (49) × 10 12 См -3 | ||
| Текущий | е E час / ℏ <\ displaystyle eE _ <\ text | 6,623 618 237 510 (13) × 10 −3 А | ||
| электрический дипольный момент | е а 0 <\ displaystyle ea_ <0>> | 8,478 353 6255 (13) × 10 -30 См · м | ≘ 2,541 746 473 D | |
| электрическое поле | E час / ( е а 0 ) <\ displaystyle E _ <\ text | 5,142 206 747 63 (78) × 10 11 В · м −1 | 5,142 206 747 63 (78) ГВ · см −1 , 51,422 067 4763 (78) В · Å -1 | |
| градиент электрического поля | E час / ( е а 0 2 ) <\ displaystyle E _ <\ text | 9,717 362 4292 (29) × 10 21 В · м −2 | ||
| электрическая поляризуемость | е 2 а 0 2 / E час <\ displaystyle e ^ <2>a_ <0>^ <2>/ E _ <\ text | 1,648 777 274 36 (50) × 10 −41 C 2 m 2 ⋅J −1 | ||
| электрический потенциал | E час / е <\ displaystyle E _ <\ text | 27.211 386 245 988 (53) В | ||
| электрический квадрупольный момент | е а 0 2 <\ displaystyle ea_ <0>^ <2>> | 4,486 551 5246 (14) × 10 −40 C · м 2 | ||
| энергия | Хартри | E час <\ displaystyle E _ <\ text | 4,359 744 722 2071 (85) × 10 −18 Дж | 2 р ∞ час c <\ displaystyle 2R _ <\ infty>hc> , , α 2 м е c 2 <\ Displaystyle \ альфа ^ <2>м _ <\ текст <е>> с ^ <2>> 27.211 386 245 988 (53) эВ |
| сила | E час / а 0 <\ displaystyle E _ <\ text | 8,238 723 4983 (12) × 10 −8 Н | 82,387 нН , 51,421 эВ · Å −1 | |
| длина | Бор | а 0 <\ displaystyle a_ <0>> | 5,291 772 109 03 (80) × 10 -11 м | ℏ / ( м е c α ) <\ Displaystyle \ hbar / (м _ <\ текст <е>> с \ альфа)> , 0,529 177 210 903 (80) Å |
| магнитный дипольный момент | е ℏ / м е <\ Displaystyle е \ hbar / м _ <\ текст <е>>> | 1.854 802 015 66 (56) × 10 −23 Дж⋅Т −1 | 2 μ B <\ displaystyle 2 \ mu _ <\ text >> | |
| плотность магнитного потока | ℏ / ( е а 0 2 ) <\ displaystyle \ hbar / (ea_ <0>^ <2>)> | 2.350 517 567 58 (71) × 10 5 т | ≘ 2,350 517 567 58 (71) × 10 9 G | |
| намагничиваемость | е 2 а 0 2 / м е <\ displaystyle e ^ <2>a_ <0>^ <2>/ m _ <\ text | 7.891 036 6008 (48) × 10 −29 Дж⋅Т −2 | ||
| масса | м е <\ displaystyle m _ <\ mathrm | 9,109 383 7015 (28) × 10 −31 кг | ||
| импульс | ℏ / а 0 <\ displaystyle \ hbar / a_ <0>> | 1,992 851 914 10 (30) × 10 −24 кг · м · с −1 | ||
| диэлектрическая проницаемость | е 2 / ( а 0 E час ) <\ displaystyle e ^ <2>/ (a_ <0>E _ <\ text | 1,112 650 055 45 (17) × 10 −10 Ф · м −1 | 4 π ϵ 0 <\ displaystyle 4 \ pi \ epsilon _ <0>> | |
| давление | E час / а 0 3 <\ displaystyle E _ <\ text | 2,942 101 5697 (13) × 10 13 Па | ||
| сияние | E час 2 / ℏ а 0 2 <\ displaystyle E _ <\ text | 6,436 409 9007 (19) × 10 19 Вт⋅м −2 | ||
| время | ℏ / E час <\ displaystyle \ hbar / E _ <\ text | 2,418 884 326 5857 (47) × 10 -17 с | ||
| скорость | а 0 E час / ℏ <\ displaystyle a_ <0>E _ <\ text | 2,187 691 263 64 (33) × 10 6 м · с −1 | α c <\ displaystyle \ alpha c> |
c <\ displaystyle c> это скорость света ϵ 0 <\ displaystyle \ epsilon _ <0>> это вакуумная диэлектрическая проницаемость р ∞ <\ displaystyle R _ <\ infty>> является постоянной Ридберга час <\ displaystyle h> является постоянной Планка α <\ displaystyle \ alpha> является постоянная тонкой структуры μ B <\ displaystyle \ mu _ <\ text >> является магнетон Бора ≘ обозначает соответствие между величинами, поскольку равенство не применяется.
Использование и обозначения
Атомные единицы, как и единицы СИ , имеют единицы массы, длины и т. Д. Однако использование и обозначения несколько отличаются от СИ.
Предположим, что частица с массой m в 3,4 раза больше массы электрона. Значение m можно записать тремя способами:
- » «. Это наиболее четкая запись (но наименее распространенная), в которой атомарная единица включена явно как символ. м знак равно 3,4 м е <\ displaystyle m = 3,4
m _ <\ text
« » («аи» означает «выражено в атомных единицах»). Это обозначение неоднозначно: здесь это означает, что масса m в 3,4 раза больше атомной единицы массы. Но если бы длина L была в 3,4 раза больше атомной единицы длины, уравнение выглядело бы так же » « Размер должен быть выведен из контекста. м знак равно 3,4 au <\ displaystyle m = 3,4
<\ text L знак равно 3,4 au <\ displaystyle L = 3,4
<\ text
» «. Это обозначение аналогично предыдущему и имеет ту же размерную неоднозначность. Это происходит от формальной установки атомных единиц на 1, в данном случае так . м знак равно 3,4 <\ displaystyle m = 3,4>м е знак равно 1 <\ displaystyle m _ <\ text 3,4 м е знак равно 3,4 <\ displaystyle 3.4
m _ <\ text
Физические константы
Безразмерные физические константы сохраняют свои значения в любой системе единиц. Следует отметить постоянную тонкой структуры , которая появляется в выражениях как следствие выбора единиц измерения. Например, числовое значение скорости света , выраженное в атомных единицах, имеет значение, связанное с постоянной тонкой структуры. α знак равно е 2 ( 4 π ϵ 0 ) ℏ c ≈ 1 / 137 <\ displaystyle \ alpha = <\ frac
| Имя | Символ / Определение | Значение в атомных единицах |
|---|---|---|
| скорость света | c <\ displaystyle c> | ( 1 / α ) а 0 E час / ℏ ≈ 137 а 0 E час / ℏ <\ displaystyle (1 / \ alpha) \, a_ <0>E _ <\ text |
| классический радиус электрона | р е знак равно 1 4 π ϵ 0 е 2 м е c 2 <\ displaystyle r _ <\ mathrm | α 2 а 0 ≈ 0,0000532 а 0 <\ displaystyle \ alpha ^ <2>\, a_ <0>\ приблизительно 0,0000532 \, a_ <0>> |
| приведенная комптоновская длина волны электрона | ƛ е знак равно ℏ м е c <\ displaystyle = <\ frac <\ hbar> | α а 0 ≈ 0,007297 а 0 <\ displaystyle \ alpha \, a_ <0>\ приблизительно 0,007297 \, a_ <0>> |
| Радиус Бора | а 0 знак равно 4 π ϵ 0 ℏ 2 м е е 2 <\ displaystyle a_ <0>= <\ frac <4 \ pi \ epsilon _ <0>\ hbar ^ <2>> | 1 а 0 <\ displaystyle 1 \, a_ <0>> |
| масса протона | м п <\ Displaystyle м _ <\ mathrm >> | м п ≈ 1836 г. м е <\ displaystyle m _ <\ mathrm > \ около 1836 г. \, m _ <\ text |
Модель Бора в атомных единицах
Атомные единицы выбраны, чтобы отразить свойства электронов в атомах. Это особенно хорошо видно из классической модели Бора из атома водорода в его основном состоянии . Электрон в основном состоянии, вращающийся вокруг ядра водорода, имеет (в классической модели Бора):
- Масса = 1 а.е. массы
- Орбитальный радиус = 1 а.е. длины
- Орбитальная скорость = 1 а.е. скорости
- Период обращения = 2 π а.е. времени
- Орбитальная угловая скорость = 1 радиан за а.е. времени
- Орбитальный угловой момент = 1 а.е. количества движения.
- Энергия ионизации = 1 / 2 а.е. энергии
- Электрическое поле (связанное с ядром) = 1 а.е. электрического поля.
- Сила электрического притяжения (из-за ядра) = 1 а.е. силы
Нерелятивистская квантовая механика в атомных единицах
Уравнение Шредингера для электрона в единицах СИ имеет вид
— ℏ 2 2 м е ∇ 2 ψ ( р , т ) + V ( р ) ψ ( р , т ) знак равно я ℏ ∂ ψ ∂ т ( р , т ) <\ displaystyle - <\ frac <\ hbar ^ <2>> <2m _ <\ text .
То же уравнение в атомных единицах выглядит так:
— 1 2 ∇ 2 ψ ( р , т ) + V ( р ) ψ ( р , т ) знак равно я ∂ ψ ∂ т ( р , т ) <\ displaystyle - <\ frac <1><2>> \ nabla ^ <2>\ psi (\ mathbf .
Для особого случая электрона вокруг атома водорода гамильтониан в единицах СИ:
ЧАС ^ знак равно — ℏ 2 2 м е ∇ 2 — 1 4 π ϵ 0 е 2 р <\ displaystyle <\ hat ,
в то время как атомные единицы преобразуют предыдущее уравнение в
ЧАС ^ знак равно — 1 2 ∇ 2 — 1 р <\ displaystyle <\ hat .
Сравнение с единицами Планка
И единицы Планка, и атомные единицы являются производными от определенных фундаментальных свойств физического мира и имеют небольшой антропоцентрический произвол, но все же включают в себя произвольный выбор определяющих констант. Атомные единицы были разработаны для расчетов в атомном масштабе в современной Вселенной, в то время как единицы Планка больше подходят для квантовой гравитации и космологии ранней Вселенной . И атомные единицы, и единицы Планка нормализуют приведенную постоянную Планка . Помимо этого, единицы Планка нормализуют к 1 две фундаментальные константы общей теории относительности и космологии: гравитационную постоянную и скорость света в вакууме . Атомные единицы, напротив, нормализуют до 1 массы и заряда электрона, и, как следствие, скорость света в атомных единицах большое значение, . Орбитальная скорость электрона вокруг небольшого атома порядка 1 в атомных единицах, поэтому расхождение между единицами скорости в двух системах отражает тот факт, что электроны вращаются вокруг небольших атомов примерно на 2 порядка медленнее, чем скорость света. грамм <\ displaystyle G> c <\ displaystyle c> 1 / α ≈ 137 <\ displaystyle 1 / \ alpha \ приблизительно 137>
Для некоторых других единиц различия намного больше. Например, единица массы в атомных единицах — это масса электрона, а единица массы в единицах Планка — это масса Планка , масса настолько велика, что, если бы одна частица имела такую массу, она могла бы коллапсировать в черную дыру. . Планковская единица массы на 22 порядка больше атомной единицы массы. Точно так же есть много порядков, отделяющих планковские единицы энергии и длины от соответствующих атомных единиц.
Источник