Меню

Единица для измерения индуктивности соленоида



Индуктивность катушки, её назначение, характеристики, формулы

Время на чтение:

Индуктивность — это физическая величина, характеризующая магнитные свойства электрической цепи. В некоторых источниках её называют коэффициентом самоиндукции, так как она зависит от текущего в замкнутом контуре тока и создаваемого им магнитного потока. Для определения величины этого показателя применяют несколько вариантов расчёта, которые основываются на различных физических параметрах.

Общие сведения

Для того чтобы понять, от чего зависит индуктивность катушки, необходимо подробно изучить всю информацию об этой физической величине. Первым делом следует рассмотреть принятое международное обозначение параметра, его назначение, характеристики и единицы измерения.

Само понятие индуктивности было предложено известным английским физиком Оливером Хевисайдом, который занимался её изучением. Этот учёный подарил миру и другие известные термины — электропроводимость, магнитная проницаемость и сопротивление, а также ЭДС (электродвижущая сила).

Первая буква фамилии другого знаменитого физика — Эмилия Ленца — была взята в качестве обозначения индуктивности в формулах и при проведении расчётов. В наше время символ L продолжает использоваться при упоминании этого параметра.

Выдающийся американский физик Джозеф Генри первым обнаружил явление индуктивности. В его честь физики назвали единицу измерения в международной СИ, которая чаще всего используется в расчётах. В других системах (гауссова и СГС) индуктивность измеряют в сантиметрах. Для упрощения вычислений было принято соотношение, в котором 1 см равняется 1 наногенри. Очень редко используемая система СГСЭ оставляет коэффициент самоиндукции без каких-либо единиц измерения или использует величину статгенри. Она зависит от нескольких параметров и приблизительно равняется 89875520000 генри.

Среди основных свойств индуктивности выделяются:

  1. Величина параметра никогда не может быть меньше нуля.
  2. Показатель зависит только от магнитных свойств сердечника катушки, а также от геометрических размеров контура.

Способы расчёта

Существует несколько основных способов определить индуктивность катушки. Все формулы, которые будут использоваться в расчётах, легко можно найти в справочной литературе или интернете. Весь процесс вычисления довольно простой и не составит труда для людей, имеющих элементарные математические и физические знания.

Через силу тока

Этот расчёт считается самым простым способом определения индуктивности катушки. Формула через силу тока вытекает из самого термина. Какова индуктивность катушки — можно определить по формуле: L=Ф/I, где:

  • L — индуктивность контура (в генри);
  • Ф — величина магнитного потока, измеряемого в веберах;
  • I — сила тока в катушке (в амперах).

Такая формула подходит только для одновиткового контура. Если катушка состоит из нескольких витков, то вместо величины магнитного потока используется полный поток (суммарное значение). Когда же через все витки проходит одинаковый магнитный поток, то для определения суммарного значения достаточно умножить величину одного из них на общее количество.

Соленоид конечной длины

Соленоид представляет собой тонкую длинную катушку, где толщина обмотки значительно меньше диаметра. В этом случае расчёты ведутся по той же формуле, что и через силу тока, только величина магнитного потока будет определяться следующим образом: Ф=µ0NS/l, где:

  • µ0 — магнитная проницаемость среды, определяющаяся по справочным таблицам (для воздуха, который принимается по умолчанию в большинстве расчётов, она равна 0,00000126 генри/метр);
  • N — количество витков в катушке;
  • S — площадь поперечного сечения витка, измеряемая в квадратных метрах;
  • l — длина соленоида в метрах.

Коэффициент самоиндукции соленоида можно рассчитать и исходя из способа определения энергии магнитного потока поля. Это более простой вариант, но он требует наличия некоторых величин. Формула для нахождения индуктивности — L=2W/I 2 , где:

  • W — энергия магнитного потока, измеряемая в джоулях;
  • I — сила тока в амперах.

Катушка с тороидальным сердечником

В большинстве случаев тороидальная катушка наматывается на сердечник, изготовленный из материала, обладающего большой магнитной проницаемостью. В этом случае для расчётов индуктивности можно использовать формулу для прямого соленоида бесконечной длины. Она имеет такой вид: L=N µ0 µS/2 πr, где:

  • N — число витков катушки;
  • µ — относительная магнитная проницаемость;
  • µ0 — магнитная постоянная;
  • S — площадь сечения сердечника;
  • π — математическая постоянная, равная 3,14;
  • r — средний радиус тора.

Длинный проводник

Большинство таких квазилинейных проводников имеет круглое сечение. В этом случае величина коэффициента самоиндукции будет определяться по стандартной формуле для приближённых расчётов: L= µ0l (µelnl/r+ µi/4)/2 π. Здесь используются следующие обозначения:

  • l — длина проводника в метрах;
  • r — радиус сечения провода, измеряемый в метрах;
  • µ0 — магнитная постоянная;
  • µi — относительная магнитная проницаемость, характерная для материала, из которого изготовлен проводник;
  • µe — относительная магнитная проницаемость внешней среды (чаще всего принимается значение для вакуума, которое равняется 1);
  • π — число Пи;
  • ln — обозначение логарифма.

Варианты измерения

Индуктивность катушки в физике определяется путём выполнения вычислений. Однако эту величину можно не только рассчитать, но и измерить. Делается это при помощи прямого или косвенного метода.

Прямой метод

Для измерения индуктивности катушки этим методом необходимо использовать специальные мостовые или прямопоказывающие устройства. С их помощью можно получить максимально точные данные, которые помогут выбрать требуемую катушку для схемы.

Порядок проведения измерений включает в себя следующие этапы:

  1. К прямопоказывающему приспособлению подключают катушку.
  2. После этого постепенно изменяют диапазоны измерений. Это делается до тех пор, пока получаемый результат не будет находиться примерно в середине интервала.
  3. Полученный результат фиксируют и высчитывают с учётом цены деления прибора, а также коэффициента, соответствующего положению переключателя.

Прямой метод измерения можно применить и при определении индуктивности с помощью мостового приспособления. Оно имеет более точную шкалу, поэтому позволяет получить достоверные данные.

Измерение выполняют путём проведения таких действий:

  1. Включённый мостовой прибор подсоединяют к катушке, индуктивность которой необходимо определить.
  2. Аналогично прямопоказывающему устройству проводят переключение интервалов измерений.
  3. После каждого такого действия ручку регулятора балансировки моста поочерёдно перемещают в одно и другое предельное положение.
  4. Как только удалось определить диапазон, в котором мост будет сбалансирован, можно выполнять дальнейшие действия.
  5. На следующем этапе измерений выполняется постепенное перемещение стрелочного индикатора.
  6. После того как в динамике прибора исчезнет звук, необходимо зафиксировать показатели.
  7. Затем их рассчитывают в соответствии с ценой деления шкалы и предусмотренным коэффициентом.

Косвенное определение

Для того чтобы измерить коэффициент самоиндукции, необходимо провести несколько подготовительных мероприятий. В первую очередь нужно собрать измерительную цепь по стандартной схеме, а также подготовить все необходимые приспособления (генератор синусоидального напряжения, частотомер, а также миллиамперметр и вольтметр, рассчитанные на переменный ток).

Порядок определения параметра:

  1. К выходу генератора параллельно подключают вольтметр. Он должен быть переключён в режим, при котором верхнее предельное значение будет соответствовать напряжению в 3−5 вольт.
  2. Аналогично подсоединяют и частотомер.
  3. Отдельно собирают вторую цепь. В ней последовательно соединяют миллиамперметр и катушку, индуктивность которой нужно определить.
  4. Затем обе цепи подключают параллельно друг к другу.
  5. Подключённый генератор устанавливают в режим выработки синусоидального напряжения.
  6. Путём изменения частоты добиваются такой работы приборов, при которой вольтметр будет показывать примерно 2 вольта. При этом сила тока на миллиамперметре будет постепенно уменьшаться.
  7. После этого ручку частотомера перемещают в положение, соответствующее частоте измерений.
  8. Как только эти действия будут выполнены, можно фиксировать значения.

Полученные данные переводятся в СИ, а затем выполняются все необходимые расчёты. Первым делом определяется индуктивное сопротивление. Для этого значения приборов подставляются в следующую зависимость: X=U/I, где U — напряжение, а I — сила тока. Результат расчётов будет выражен в омах.

После этого вычисляется индуктивность по формуле L=X/2 πF. В ней используются такие условные обозначения:

  • X — индуктивное сопротивление;
  • π — математическая постоянная (примерно 3,14);
  • F — частота в герцах, при которой проводились измерения.

Индуктивность — это важный физический параметр, позволяющий определить магнитные свойства электроцепи. При точном его измерении и правильном проведении предусмотренных расчётов можно получить достоверные данные, которые понадобятся при выборе катушки.

Источник

Индуктивность

Индуктивность
L <\displaystyle L>
Размерность L 2 MT −2 I −2
Единицы измерения
СИ Гн
СГС см −1 ·с 2
Классическая электродинамика
Электричество · Магнетизм

Индукти́вность (или коэффициент самоиндукции) — коэффициент пропорциональности между электрическим током, текущим в каком-либо замкнутом контуре, и полным магнитным потоком, называемым также потокосцеплением, создаваемым этим током через поверхность [1] , краем которой является этот контур [2] [3] [4] .

Индуктивность является электрической инерцией, подобной механической инерции тел. А вот мерой этой электрической инерции как свойства проводника может служить ЭДС самоиндукции. Характеризуется свойством проводника противодействовать появлению, прекращению и всякому изменению электрического тока в нём.

Ψ <\displaystyle \displaystyle \Psi > — потокосцепление, I <\displaystyle I> — сила тока в контуре, L <\displaystyle L> — индуктивность.

  • Нередко говорят об индуктивности прямого длинного провода (см.). В этом и в других случаях (в особенности таких, к которым не применимо квазистационарное приближение), когда замкнутый контур непросто адекватно и однозначно указать, приведённое выше определение требует особых уточнений; отчасти полезным для этого оказывается упоминаемый ниже подход, связывающий индуктивность с энергией магнитного поля.

Через индуктивность выражается ЭДС самоиндукции в контуре, возникающая при изменении в нём тока [4] :

E i = − d Φ d t = − L d I d t <\displaystyle <\mathcal >_=-<\frac

>=-L<\frac

>> .

Из этой формулы следует, что индуктивность численно равна ЭДС самоиндукции (в вольтах), возникающей в контуре при изменении силы тока на 1 А за 1 с .

При заданной силе тока индуктивность определяет энергию магнитного поля, создаваемого этим током [4] :

W = L I 2 2 <\displaystyle W=<\frac ><2>>> .

Практически участки цепи со значительной индуктивностью выполняют в виде катушек индуктивности [4] . Элементами малой индуктивности (применяемыми для больших рабочих частот) могут быть одиночные (в том числе и неполные) витки или даже прямые проводники; при высоких рабочих частотах необходимо учитывать индуктивность всех проводников [5] .

Для имитации индуктивности, то есть ЭДС на элементе, пропорциональной и противоположной по знаку скорости изменения тока через этот элемент, в электронике используются [6] и устройства, не основанные на электромагнитной индукции (см. Гиратор); такому элементу можно приписать определённую эффективную индуктивность, используемую в расчётах полностью (хотя вообще говоря с определёнными ограничивающими условиями) аналогично тому, как используется обычная индуктивность.

Содержание

Обозначение и единицы измерения

В системе единиц СИ индуктивность измеряется в генри [7] , сокращённо «Гн». Контур обладает индуктивностью в один генри, если при изменении тока на один ампер в секунду на выводах контура будет возникать напряжение в один вольт.

В вариантах системы СГС — системе СГСМ и в гауссовой системе индуктивность измеряется в сантиметрах ( 1 Гн = 10 9 см ; 1 см = 1 нГн ) [4] ; для сантиметров в качестве единиц индуктивности применяется также название абгенри. В системе СГСЭ единицу измерения индуктивности либо оставляют безымянной, либо иногда называют статгенри ( 1 статгенри ≈ 8,987552 × 10 11 генри : коэффициент перевода численно равен 10 −9 от квадрата скорости света, выраженной в см/с).

Символ L , используемый для обозначения индуктивности, был принят в честь Эмилия Христиановича Ленца (Heinrich Friedrich Emil Lenz) [8] [9] . Единица измерения индуктивности названа в честь Джозефа Генри (Joseph Henry) [10] . Сам термин индуктивность был предложен Оливером Хевисайдом (Oliver Heaviside) в феврале 1886 года [11] .

Теоретическое обоснование

Если в проводящем контуре течёт ток, то ток создаёт магнитное поле [4] .

Будем вести рассмотрение в квазистатическом приближении, подразумевая, что переменные электрические поля достаточно слабы либо меняются достаточно медленно, чтобы можно было пренебречь порождаемыми ими магнитными полями.

Ток считаем одинаковым по всей длине контура (пренебрегая ёмкостью проводника, которая позволяет накапливать заряды в разных его участках, что вызвало бы неодинаковость тока вдоль проводника и заметно усложнило бы картину).

По закону Био — Савара — Лапласа, величина вектора магнитной индукции, создаваемой некоторым элементарным (в смысле геометрической малости участка проводника, рассматриваемого как элементарный источник магнитного поля) током в каждой точке пространства, пропорциональна этому току. Суммируя поля, создаваемые каждым элементарным участком, приходим к тому, что и магнитное поле (вектор магнитной индукции), создаваемое всем проводником, также пропорционально порождающему току.

Рассуждение выше верно для вакуума. В случае присутствия магнитной среды [12] (магнетика) с заметной (или даже большой) магнитной восприимчивостью, вектор магнитной индукции (который и входит в выражение для магнитного потока) будет заметно (или даже во много раз) отличаться от того, каким бы он был в отсутствие магнетика (в вакууме). Мы ограничимся здесь линейным приближением, тогда вектор магнитной индукции, хотя, возможно, возросший (или уменьшившийся) в заметное количество раз по сравнению с отсутствием магнетика при том же контуре с током, тем не менее остаётся пропорциональным порождающему его току.

Тогда магнитный поток, то есть поток поля вектора магнитной индукции:

Φ = ∫ S B ⋅ d S <\displaystyle \Phi =\int \limits _\mathbf \cdot \mathbf >

через любую конкретную фиксированную поверхность S (в частности и через интересующую нас поверхность, краем которой является наш контур с током) будет пропорционален току, так как пропорционально току B всюду под интегралом.

Заметим, что поверхность, краем которой является контур, может быть достаточно сложна, если сложен сам контур. Уже для контура в виде просто многовитковой катушки такая поверхность оказывается достаточно сложной. На практике это приводит к использованию некоторых упрощающих представлений, позволяющих легче представить такую поверхность и приближённо рассчитать поток через неё (а также в связи с этим вводятся некоторые дополнительные специальные понятия, подробно описанные в отдельном параграфе ниже). Однако здесь, при чисто теоретическом рассмотрении нет необходимости во введении каких-то дополнительных упрощающих представлений, достаточно просто заметить, что как бы ни был сложен контур, в данном параграфе мы имеем в виду «полный поток» — то есть поток через всю сложную (как бы многолистковую) поверхность, натянутую на все витки катушки (если речь идет о катушке), то есть о том, что называется потокосцеплением. Но поскольку нам здесь не надо конкретно рассчитывать его, а нужно только знать, что он пропорционален току, нам не слишком интересен конкретный вид поверхности, поток через которую нас интересует (ведь свойство пропорциональности току сохраняется для любой).

Итак, мы обосновали:

этого достаточно, чтобы утверждать, введя обозначение L для коэффициента пропорциональности, что

В заключение теоретического обоснования покажем, что рассуждение корректно в том смысле, что магнитный поток не зависит от конкретной формы поверхности, натянутой на контур. (Действительно, даже на самый простой контур может быть натянута — в том смысле, что контур должен быть её краем — не единственная поверхность, а разные, например, начав с двух совпадающих поверхностей, затем одну поверхность можно немного прогнуть, и она перестанет совпадать со второй). Поэтому надо показать, что магнитный поток одинаков для любых поверхностей, натянутых на один и тот же контур.

Но это действительно так: возьмём две такие поверхности. Вместе они будут составлять одну замкнутую поверхность. А мы знаем (из закона Гаусса для магнитного поля), что магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это (с учетом знаков) означает, что поток через одну поверхность и другую поверхность — равны. Что доказывает корректность определения.

Свойства индуктивности

  • Индуктивность [13] всегда положительна.
  • Индуктивность зависит только от геометрических размеров контура и магнитных свойств среды (сердечника). [14]

Индуктивность одновиткового контура и индуктивность катушки

Величина магнитного потока, пронизывающего одновитковый контур, связана с величиной тока следующим образом [4] :

где L <\displaystyle L> — индуктивность витка. В случае катушки, состоящей из N витков предыдущее выражение модифицируется к виду:

где Ψ = ∑ i = 1 N Φ i <\displaystyle \Psi =\sum \limits _^<\Phi _>> — сумма магнитных потоков через все витки (это так называемый полный поток, называемый в электротехнике потокосцеплением, именно он фигурирует в качестве магнитного потока вообще в случае для катушки в общем определении индуктивности и в теоретическом рассмотрении выше; однако для упрощения и удобства для многовитковых катушек в электротехнике пользуются отдельным понятием и отдельным обозначением), а L <\displaystyle L> — уже индуктивность многовитковой катушки. Ψ <\displaystyle \Psi > называют потокосцеплением или полным магнитным потоком [15] . Коэффициент пропорциональности L <\displaystyle L> иначе называется коэффициентом самоиндукции контура или просто индуктивностью [4] .

Если поток, пронизывающий каждый из витков одинаков (что довольно часто можно считать верным для катушки в более или менее хорошем приближении), то Ψ = N Φ <\displaystyle \Psi =N\Phi > . Соответственно, L N = L 1 N 2 <\displaystyle L_=L_<1>N^<2>> (суммарный магнитный поток через каждый виток увеличивается в N раз — поскольку его создают теперь N единичных витков, и потокосцепление ещё в N раз, так как это поток через N единичных витков). Но в реальных катушках магнитные поля в центре и на краях отличаются, поэтому используются более сложные формулы.

Индуктивность соленоида

Соленоид — длинная, тонкая катушка, то есть катушка, длина которой намного больше, чем её диаметр (также в дальнейших выкладках здесь подразумевается, что толщина обмотки намного меньше, чем диаметр катушки). При этих условиях и без использования магнитного материала плотность магнитного потока (или магнитная индукция) B <\displaystyle B> , которая выражается в системе СИ в тесла [Тл], внутри катушки является фактически постоянной и (приближённо) равна

B = μ 0 N i / l <\displaystyle \displaystyle B=\mu _<0>Ni/l>

B = μ 0 n i , <\displaystyle \displaystyle B=\mu _<0>ni,>

где μ 0 <\displaystyle \mu _<0>> − магнитная постоянная, N <\displaystyle N> − число витков, i <\displaystyle i> − ток, записанный в амперах [А], l <\displaystyle l> − длина катушки в метрах [м] и n <\displaystyle n> — плотность намотки витков в [м -1 ]. Пренебрегая краевыми эффектами на концах соленоида, получим [16] , что потокосцепление через катушку равно плотности потока B <\displaystyle B> [Тл], умноженному на площадь поперечного сечения S <\displaystyle S> [м 2 ] и число витков N <\displaystyle N> :

Ψ = μ 0 N 2 i S / l = μ 0 n 2 i V , <\displaystyle \displaystyle \Psi =\mu _<0>N^<2>iS/l=\mu _<0>n^<2>iV,>

где V = S l <\displaystyle V=Sl> − объём катушки. Отсюда следует формула для индуктивности соленоида (без сердечника):

L = μ 0 N 2 S / l = μ 0 n 2 V . <\displaystyle \displaystyle L=\mu _<0>N^<2>S/l=\mu _<0>n^<2>V.>

Если катушка внутри полностью заполнена магнитным материалом (сердечником), то индуктивность отличается на множитель μ <\displaystyle \mu > — относительную магнитную проницаемость [17] сердечника:

L = μ 0 μ N 2 S / l = μ 0 μ n 2 V . <\displaystyle \displaystyle L=\mu _<0>\mu N^<2>S/l=\mu _<0>\mu n^<2>V.>

В случае, когда >1>»> μ >> 1 <\displaystyle \mu >>1> > 1″/> , можно (следует) под S понимать площадь сечения сердечника [м 2 ] и пользоваться данной формулой даже при толстой намотке, если только полная площадь сечения катушки не превосходит площади сечения сердечника во много раз.

Индуктивность тороидальной катушки (катушки с кольцевым сердечником)

Для тороидальной катушки, намотанной на сердечнике из материала с большой магнитной проницаемостью, можно приближённо пользоваться формулой для бесконечного прямого соленоида (см. выше):

L = N 2 ⋅ μ 0 μ S 2 π r , <\displaystyle L=N^<2>\cdot <\frac <\mu _<0>\mu S><2\pi r>>,\,>

где 2 π r <\displaystyle 2\pi r> — оценка длины соленоида ( r <\displaystyle r> — средний радиус тора). Лучшее приближение дает формула

L = N 2 ⋅ μ 0 μ h 2 π ⋅ ln ⁡ R r , <\displaystyle L=N^<2>\cdot <\frac <\mu _<0>\mu h><2\pi >>\cdot \ln <\frac >,\,>

где предполагается сердечник прямоугольного сечения с наружным радиусом R и внутренним радиусом r, высотой h.

Индуктивность длинного прямого проводника

Для длинного прямого (или квазилинейного) провода кругового сечения индуктивность выражается приближённой формулой [18] :

L = μ 0 2 π l ( μ e l n l r + 1 4 μ i ) , <\displaystyle L=<\frac <\mu _<0>><2\pi >>l<\Big (>\mu _\mathrm <\frac >+<\frac <1><4>>\mu _<\Big )>,>

где μ 0 <\displaystyle \mu _<0>> − магнитная постоянная, μ e <\displaystyle \mu _> — относительная магнитная проницаемость внешней среды (которой заполнено пространство (для вакуума μ e = 1 <\displaystyle \mu _=1> ), μ i <\displaystyle \mu _> — относительная магнитная проницаемость материала проводника, l <\displaystyle l> — длина провода, r l <\displaystyle r — радиус его сечения.

Таблица индуктивностей

Символ μ 0 <\displaystyle \mu _<0>> обозначает магнитную постоянную ( 4π × 10 −7 Гн/м ). В высокочастотном случае ток течёт в поверхности проводников (скин-эффект) и в зависимости от вида проводников иногда нужно различать индуктивность высокой и низкои частоты. Для этого служит постоянная Y: Y = 0 , когда ток равномерно распределён по поверхности провода (скин-эффект), Y = 1 4 , когда ток равномерно распределён по поперечному сечению провода. В случае скин-эффекта нужно учитывать, что при маленьких расстояниях между проводниками в поверхностях текут дополнительные вихревые токи (эффект экранирования), и выражения, содержащие Y, становятся неточными.

Коэффициенты самоиндукции некоторых замкнутых контуров

Вид Индуктивность Комментарий
соленоид
с тонкой обмоткой [19]
μ 0 r 2 N 2 3 l [ − 8 w + 4 1 + m m ( K ( m 1 + m ) − ( 1 − m ) E ( m 1 + m ) ) ] <\displaystyle <\frac <\mu _<0>r^<2>N^<2>><3l>>\left[-8w+4<\frac <\sqrt <1+m>>>\left(K\left(<\sqrt <\frac <1+m>>>\right)-\left(1-m\right)E\left(<\sqrt <\frac <1+m>>>\right)\right)\right]>

= μ 0 r 2 N 2 π l [ 1 − 8 w 3 π + ∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! 2 n ! 4 ( n + 1 ) ( 2 n − 1 ) 2 2 n ( − 1 ) n + 1 w 2 n ] <\displaystyle =<\frac <\mu _<0>r^<2>N^<2>\pi >>\left[1-<\frac <8w><3\pi >>+\sum _^<\infty ><\frac <\left(2n\right)!^<2>>\left(n+1\right)\left(2n-1\right)2^<2n>>>\left(-1\right)^w^<2n>\right]>
= μ 0 r 2 N 2 π l ( 1 − 8 w 3 π + w 2 2 − w 4 4 + 5 w 6 16 − 35 w 8 64 + . . . ) <\displaystyle =<\frac <\mu _<0>r^<2>N^<2>\pi >>\left(1-<\frac <8w><3\pi >>+<\frac ><2>>-<\frac ><4>>+<\frac <5w^<6>><16>>-<\frac <35w^<8>><64>>+. \right)> для w = μ 0 r N 2 [ ( 1 + 1 32 w 2 + O ( 1 w 4 ) ) ln ⁡ ( 8 w ) − 1 / 2 + 1 128 w 2 + O ( 1 w 4 ) ] <\displaystyle =\mu _<0>rN^<2>\left[\left(1+<\frac <1><32w^<2>>>+O\left(<\frac <1>>>\right)\right)\ln(8w)-1/2+<\frac <1><128w^<2>>>+O\left(<\frac <1>>>\right)\right]> для w >> 1

N: Число витков
r: Радиус
l: Длина
w = r/l
m = 4w 2
E,K: Эллиптический интеграл
Коаксиальный кабель,
высокая частота
μ 0 l 2 π ln ⁡ ( a 1 a ) <\displaystyle <\frac <\mu _<0>l><2\pi >>\ln \left(<\frac >>\right)> a1: Радиус
a: Радиус
l: Длина
единичный
круглый виток [18] [20]
μ 0 r ⋅ ( ln ⁡ ( 8 r a ) − 2 + Y + O ( a 2 / r 2 ) ) <\displaystyle \mu _<0>r\cdot \left(\ln \left(<\frac <8r>>\right)-2+Y+O\left(a^<2>/r^<2>\right)\right)> r: Радиус витка
a: Радиус проволоки
прямоугольник [18] [21] [22] μ 0 π ( b ln ⁡ ( 2 b a ) + d ln ⁡ ( 2 d a ) − ( b + d ) ( 2 − Y ) + 2 b 2 + d 2 ) <\displaystyle <\frac <\mu _<0>><\pi >>\left(b\ln \left(<\frac <2b>>\right)+d\ln \left(<\frac <2d>>\right)-\left(b+d\right)\left(2-Y\right)+2<\sqrt +d^<2>>>\right)>

− μ 0 π ( b ⋅ arsinh ⁡ ( b d ) + d ⋅ arsinh ⁡ ( d b ) + O ( a ) ) <\displaystyle \;\;-<\frac <\mu _<0>><\pi >>\left(b\cdot \operatorname \left(<\frac >\right)+d\cdot \operatorname \left(<\frac >\right)+O\left(a\right)\right)>

Источник

Индуктивность катушки, её назначение, характеристики, формулы

Время на чтение:

Индуктивность — это физическая величина, характеризующая магнитные свойства электрической цепи. В некоторых источниках её называют коэффициентом самоиндукции, так как она зависит от текущего в замкнутом контуре тока и создаваемого им магнитного потока. Для определения величины этого показателя применяют несколько вариантов расчёта, которые основываются на различных физических параметрах.

Общие сведения

Для того чтобы понять, от чего зависит индуктивность катушки, необходимо подробно изучить всю информацию об этой физической величине. Первым делом следует рассмотреть принятое международное обозначение параметра, его назначение, характеристики и единицы измерения.

Само понятие индуктивности было предложено известным английским физиком Оливером Хевисайдом, который занимался её изучением. Этот учёный подарил миру и другие известные термины — электропроводимость, магнитная проницаемость и сопротивление, а также ЭДС (электродвижущая сила).

Первая буква фамилии другого знаменитого физика — Эмилия Ленца — была взята в качестве обозначения индуктивности в формулах и при проведении расчётов. В наше время символ L продолжает использоваться при упоминании этого параметра.

Выдающийся американский физик Джозеф Генри первым обнаружил явление индуктивности. В его честь физики назвали единицу измерения в международной СИ, которая чаще всего используется в расчётах. В других системах (гауссова и СГС) индуктивность измеряют в сантиметрах. Для упрощения вычислений было принято соотношение, в котором 1 см равняется 1 наногенри. Очень редко используемая система СГСЭ оставляет коэффициент самоиндукции без каких-либо единиц измерения или использует величину статгенри. Она зависит от нескольких параметров и приблизительно равняется 89875520000 генри.

Среди основных свойств индуктивности выделяются:

  1. Величина параметра никогда не может быть меньше нуля.
  2. Показатель зависит только от магнитных свойств сердечника катушки, а также от геометрических размеров контура.

Способы расчёта

Существует несколько основных способов определить индуктивность катушки. Все формулы, которые будут использоваться в расчётах, легко можно найти в справочной литературе или интернете. Весь процесс вычисления довольно простой и не составит труда для людей, имеющих элементарные математические и физические знания.

Через силу тока

Этот расчёт считается самым простым способом определения индуктивности катушки. Формула через силу тока вытекает из самого термина. Какова индуктивность катушки — можно определить по формуле: L=Ф/I, где:

  • L — индуктивность контура (в генри);
  • Ф — величина магнитного потока, измеряемого в веберах;
  • I — сила тока в катушке (в амперах).

Такая формула подходит только для одновиткового контура. Если катушка состоит из нескольких витков, то вместо величины магнитного потока используется полный поток (суммарное значение). Когда же через все витки проходит одинаковый магнитный поток, то для определения суммарного значения достаточно умножить величину одного из них на общее количество.

Соленоид конечной длины

Соленоид представляет собой тонкую длинную катушку, где толщина обмотки значительно меньше диаметра. В этом случае расчёты ведутся по той же формуле, что и через силу тока, только величина магнитного потока будет определяться следующим образом: Ф=µ0NS/l, где:

  • µ0 — магнитная проницаемость среды, определяющаяся по справочным таблицам (для воздуха, который принимается по умолчанию в большинстве расчётов, она равна 0,00000126 генри/метр);
  • N — количество витков в катушке;
  • S — площадь поперечного сечения витка, измеряемая в квадратных метрах;
  • l — длина соленоида в метрах.

Коэффициент самоиндукции соленоида можно рассчитать и исходя из способа определения энергии магнитного потока поля. Это более простой вариант, но он требует наличия некоторых величин. Формула для нахождения индуктивности — L=2W/I 2 , где:

  • W — энергия магнитного потока, измеряемая в джоулях;
  • I — сила тока в амперах.

Катушка с тороидальным сердечником

В большинстве случаев тороидальная катушка наматывается на сердечник, изготовленный из материала, обладающего большой магнитной проницаемостью. В этом случае для расчётов индуктивности можно использовать формулу для прямого соленоида бесконечной длины. Она имеет такой вид: L=N µ0 µS/2 πr, где:

  • N — число витков катушки;
  • µ — относительная магнитная проницаемость;
  • µ0 — магнитная постоянная;
  • S — площадь сечения сердечника;
  • π — математическая постоянная, равная 3,14;
  • r — средний радиус тора.

Длинный проводник

Большинство таких квазилинейных проводников имеет круглое сечение. В этом случае величина коэффициента самоиндукции будет определяться по стандартной формуле для приближённых расчётов: L= µ0l (µelnl/r+ µi/4)/2 π. Здесь используются следующие обозначения:

  • l — длина проводника в метрах;
  • r — радиус сечения провода, измеряемый в метрах;
  • µ0 — магнитная постоянная;
  • µi — относительная магнитная проницаемость, характерная для материала, из которого изготовлен проводник;
  • µe — относительная магнитная проницаемость внешней среды (чаще всего принимается значение для вакуума, которое равняется 1);
  • π — число Пи;
  • ln — обозначение логарифма.

Варианты измерения

Индуктивность катушки в физике определяется путём выполнения вычислений. Однако эту величину можно не только рассчитать, но и измерить. Делается это при помощи прямого или косвенного метода.

Прямой метод

Для измерения индуктивности катушки этим методом необходимо использовать специальные мостовые или прямопоказывающие устройства. С их помощью можно получить максимально точные данные, которые помогут выбрать требуемую катушку для схемы.

Порядок проведения измерений включает в себя следующие этапы:

  1. К прямопоказывающему приспособлению подключают катушку.
  2. После этого постепенно изменяют диапазоны измерений. Это делается до тех пор, пока получаемый результат не будет находиться примерно в середине интервала.
  3. Полученный результат фиксируют и высчитывают с учётом цены деления прибора, а также коэффициента, соответствующего положению переключателя.

Прямой метод измерения можно применить и при определении индуктивности с помощью мостового приспособления. Оно имеет более точную шкалу, поэтому позволяет получить достоверные данные.

Измерение выполняют путём проведения таких действий:

  1. Включённый мостовой прибор подсоединяют к катушке, индуктивность которой необходимо определить.
  2. Аналогично прямопоказывающему устройству проводят переключение интервалов измерений.
  3. После каждого такого действия ручку регулятора балансировки моста поочерёдно перемещают в одно и другое предельное положение.
  4. Как только удалось определить диапазон, в котором мост будет сбалансирован, можно выполнять дальнейшие действия.
  5. На следующем этапе измерений выполняется постепенное перемещение стрелочного индикатора.
  6. После того как в динамике прибора исчезнет звук, необходимо зафиксировать показатели.
  7. Затем их рассчитывают в соответствии с ценой деления шкалы и предусмотренным коэффициентом.

Косвенное определение

Для того чтобы измерить коэффициент самоиндукции, необходимо провести несколько подготовительных мероприятий. В первую очередь нужно собрать измерительную цепь по стандартной схеме, а также подготовить все необходимые приспособления (генератор синусоидального напряжения, частотомер, а также миллиамперметр и вольтметр, рассчитанные на переменный ток).

Порядок определения параметра:

  1. К выходу генератора параллельно подключают вольтметр. Он должен быть переключён в режим, при котором верхнее предельное значение будет соответствовать напряжению в 3−5 вольт.
  2. Аналогично подсоединяют и частотомер.
  3. Отдельно собирают вторую цепь. В ней последовательно соединяют миллиамперметр и катушку, индуктивность которой нужно определить.
  4. Затем обе цепи подключают параллельно друг к другу.
  5. Подключённый генератор устанавливают в режим выработки синусоидального напряжения.
  6. Путём изменения частоты добиваются такой работы приборов, при которой вольтметр будет показывать примерно 2 вольта. При этом сила тока на миллиамперметре будет постепенно уменьшаться.
  7. После этого ручку частотомера перемещают в положение, соответствующее частоте измерений.
  8. Как только эти действия будут выполнены, можно фиксировать значения.

Полученные данные переводятся в СИ, а затем выполняются все необходимые расчёты. Первым делом определяется индуктивное сопротивление. Для этого значения приборов подставляются в следующую зависимость: X=U/I, где U — напряжение, а I — сила тока. Результат расчётов будет выражен в омах.

После этого вычисляется индуктивность по формуле L=X/2 πF. В ней используются такие условные обозначения:

  • X — индуктивное сопротивление;
  • π — математическая постоянная (примерно 3,14);
  • F — частота в герцах, при которой проводились измерения.

Индуктивность — это важный физический параметр, позволяющий определить магнитные свойства электроцепи. При точном его измерении и правильном проведении предусмотренных расчётов можно получить достоверные данные, которые понадобятся при выборе катушки.

Источник

Индуктивность

Индуктивность
L <\displaystyle L>
Размерность L 2 MT −2 I −2
Единицы измерения
СИ Гн
СГС см −1 ·с 2
Классическая электродинамика
Электричество · Магнетизм

Индукти́вность (или коэффициент самоиндукции) — коэффициент пропорциональности между электрическим током, текущим в каком-либо замкнутом контуре, и полным магнитным потоком, называемым также потокосцеплением, создаваемым этим током через поверхность [1] , краем которой является этот контур [2] [3] [4] .

Индуктивность является электрической инерцией, подобной механической инерции тел. А вот мерой этой электрической инерции как свойства проводника может служить ЭДС самоиндукции. Характеризуется свойством проводника противодействовать появлению, прекращению и всякому изменению электрического тока в нём.

Ψ <\displaystyle \displaystyle \Psi > — потокосцепление, I <\displaystyle I> — сила тока в контуре, L <\displaystyle L> — индуктивность.

  • Нередко говорят об индуктивности прямого длинного провода (см.). В этом и в других случаях (в особенности таких, к которым не применимо квазистационарное приближение), когда замкнутый контур непросто адекватно и однозначно указать, приведённое выше определение требует особых уточнений; отчасти полезным для этого оказывается упоминаемый ниже подход, связывающий индуктивность с энергией магнитного поля.

Через индуктивность выражается ЭДС самоиндукции в контуре, возникающая при изменении в нём тока [4] :

E i = − d Φ d t = − L d I d t <\displaystyle <\mathcal >_=-<\frac

>=-L<\frac

>> .

Из этой формулы следует, что индуктивность численно равна ЭДС самоиндукции (в вольтах), возникающей в контуре при изменении силы тока на 1 А за 1 с .

При заданной силе тока индуктивность определяет энергию магнитного поля, создаваемого этим током [4] :

W = L I 2 2 <\displaystyle W=<\frac ><2>>> .

Практически участки цепи со значительной индуктивностью выполняют в виде катушек индуктивности [4] . Элементами малой индуктивности (применяемыми для больших рабочих частот) могут быть одиночные (в том числе и неполные) витки или даже прямые проводники; при высоких рабочих частотах необходимо учитывать индуктивность всех проводников [5] .

Для имитации индуктивности, то есть ЭДС на элементе, пропорциональной и противоположной по знаку скорости изменения тока через этот элемент, в электронике используются [6] и устройства, не основанные на электромагнитной индукции (см. Гиратор); такому элементу можно приписать определённую эффективную индуктивность, используемую в расчётах полностью (хотя вообще говоря с определёнными ограничивающими условиями) аналогично тому, как используется обычная индуктивность.

Содержание

Обозначение и единицы измерения

В системе единиц СИ индуктивность измеряется в генри [7] , сокращённо «Гн». Контур обладает индуктивностью в один генри, если при изменении тока на один ампер в секунду на выводах контура будет возникать напряжение в один вольт.

В вариантах системы СГС — системе СГСМ и в гауссовой системе индуктивность измеряется в сантиметрах ( 1 Гн = 10 9 см ; 1 см = 1 нГн ) [4] ; для сантиметров в качестве единиц индуктивности применяется также название абгенри. В системе СГСЭ единицу измерения индуктивности либо оставляют безымянной, либо иногда называют статгенри ( 1 статгенри ≈ 8,987552 × 10 11 генри : коэффициент перевода численно равен 10 −9 от квадрата скорости света, выраженной в см/с).

Символ L , используемый для обозначения индуктивности, был принят в честь Эмилия Христиановича Ленца (Heinrich Friedrich Emil Lenz) [8] [9] . Единица измерения индуктивности названа в честь Джозефа Генри (Joseph Henry) [10] . Сам термин индуктивность был предложен Оливером Хевисайдом (Oliver Heaviside) в феврале 1886 года [11] .

Теоретическое обоснование

Если в проводящем контуре течёт ток, то ток создаёт магнитное поле [4] .

Будем вести рассмотрение в квазистатическом приближении, подразумевая, что переменные электрические поля достаточно слабы либо меняются достаточно медленно, чтобы можно было пренебречь порождаемыми ими магнитными полями.

Ток считаем одинаковым по всей длине контура (пренебрегая ёмкостью проводника, которая позволяет накапливать заряды в разных его участках, что вызвало бы неодинаковость тока вдоль проводника и заметно усложнило бы картину).

По закону Био — Савара — Лапласа, величина вектора магнитной индукции, создаваемой некоторым элементарным (в смысле геометрической малости участка проводника, рассматриваемого как элементарный источник магнитного поля) током в каждой точке пространства, пропорциональна этому току. Суммируя поля, создаваемые каждым элементарным участком, приходим к тому, что и магнитное поле (вектор магнитной индукции), создаваемое всем проводником, также пропорционально порождающему току.

Рассуждение выше верно для вакуума. В случае присутствия магнитной среды [12] (магнетика) с заметной (или даже большой) магнитной восприимчивостью, вектор магнитной индукции (который и входит в выражение для магнитного потока) будет заметно (или даже во много раз) отличаться от того, каким бы он был в отсутствие магнетика (в вакууме). Мы ограничимся здесь линейным приближением, тогда вектор магнитной индукции, хотя, возможно, возросший (или уменьшившийся) в заметное количество раз по сравнению с отсутствием магнетика при том же контуре с током, тем не менее остаётся пропорциональным порождающему его току.

Тогда магнитный поток, то есть поток поля вектора магнитной индукции:

Φ = ∫ S B ⋅ d S <\displaystyle \Phi =\int \limits _\mathbf \cdot \mathbf >

через любую конкретную фиксированную поверхность S (в частности и через интересующую нас поверхность, краем которой является наш контур с током) будет пропорционален току, так как пропорционально току B всюду под интегралом.

Заметим, что поверхность, краем которой является контур, может быть достаточно сложна, если сложен сам контур. Уже для контура в виде просто многовитковой катушки такая поверхность оказывается достаточно сложной. На практике это приводит к использованию некоторых упрощающих представлений, позволяющих легче представить такую поверхность и приближённо рассчитать поток через неё (а также в связи с этим вводятся некоторые дополнительные специальные понятия, подробно описанные в отдельном параграфе ниже). Однако здесь, при чисто теоретическом рассмотрении нет необходимости во введении каких-то дополнительных упрощающих представлений, достаточно просто заметить, что как бы ни был сложен контур, в данном параграфе мы имеем в виду «полный поток» — то есть поток через всю сложную (как бы многолистковую) поверхность, натянутую на все витки катушки (если речь идет о катушке), то есть о том, что называется потокосцеплением. Но поскольку нам здесь не надо конкретно рассчитывать его, а нужно только знать, что он пропорционален току, нам не слишком интересен конкретный вид поверхности, поток через которую нас интересует (ведь свойство пропорциональности току сохраняется для любой).

Итак, мы обосновали:

этого достаточно, чтобы утверждать, введя обозначение L для коэффициента пропорциональности, что

В заключение теоретического обоснования покажем, что рассуждение корректно в том смысле, что магнитный поток не зависит от конкретной формы поверхности, натянутой на контур. (Действительно, даже на самый простой контур может быть натянута — в том смысле, что контур должен быть её краем — не единственная поверхность, а разные, например, начав с двух совпадающих поверхностей, затем одну поверхность можно немного прогнуть, и она перестанет совпадать со второй). Поэтому надо показать, что магнитный поток одинаков для любых поверхностей, натянутых на один и тот же контур.

Но это действительно так: возьмём две такие поверхности. Вместе они будут составлять одну замкнутую поверхность. А мы знаем (из закона Гаусса для магнитного поля), что магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это (с учетом знаков) означает, что поток через одну поверхность и другую поверхность — равны. Что доказывает корректность определения.

Свойства индуктивности

  • Индуктивность [13] всегда положительна.
  • Индуктивность зависит только от геометрических размеров контура и магнитных свойств среды (сердечника). [14]

Индуктивность одновиткового контура и индуктивность катушки

Величина магнитного потока, пронизывающего одновитковый контур, связана с величиной тока следующим образом [4] :

где L <\displaystyle L> — индуктивность витка. В случае катушки, состоящей из N витков предыдущее выражение модифицируется к виду:

где Ψ = ∑ i = 1 N Φ i <\displaystyle \Psi =\sum \limits _^<\Phi _>> — сумма магнитных потоков через все витки (это так называемый полный поток, называемый в электротехнике потокосцеплением, именно он фигурирует в качестве магнитного потока вообще в случае для катушки в общем определении индуктивности и в теоретическом рассмотрении выше; однако для упрощения и удобства для многовитковых катушек в электротехнике пользуются отдельным понятием и отдельным обозначением), а L <\displaystyle L> — уже индуктивность многовитковой катушки. Ψ <\displaystyle \Psi > называют потокосцеплением или полным магнитным потоком [15] . Коэффициент пропорциональности L <\displaystyle L> иначе называется коэффициентом самоиндукции контура или просто индуктивностью [4] .

Если поток, пронизывающий каждый из витков одинаков (что довольно часто можно считать верным для катушки в более или менее хорошем приближении), то Ψ = N Φ <\displaystyle \Psi =N\Phi > . Соответственно, L N = L 1 N 2 <\displaystyle L_=L_<1>N^<2>> (суммарный магнитный поток через каждый виток увеличивается в N раз — поскольку его создают теперь N единичных витков, и потокосцепление ещё в N раз, так как это поток через N единичных витков). Но в реальных катушках магнитные поля в центре и на краях отличаются, поэтому используются более сложные формулы.

Индуктивность соленоида

Соленоид — длинная, тонкая катушка, то есть катушка, длина которой намного больше, чем её диаметр (также в дальнейших выкладках здесь подразумевается, что толщина обмотки намного меньше, чем диаметр катушки). При этих условиях и без использования магнитного материала плотность магнитного потока (или магнитная индукция) B <\displaystyle B> , которая выражается в системе СИ в тесла [Тл], внутри катушки является фактически постоянной и (приближённо) равна

B = μ 0 N i / l <\displaystyle \displaystyle B=\mu _<0>Ni/l>

B = μ 0 n i , <\displaystyle \displaystyle B=\mu _<0>ni,>

где μ 0 <\displaystyle \mu _<0>> − магнитная постоянная, N <\displaystyle N> − число витков, i <\displaystyle i> − ток, записанный в амперах [А], l <\displaystyle l> − длина катушки в метрах [м] и n <\displaystyle n> — плотность намотки витков в [м -1 ]. Пренебрегая краевыми эффектами на концах соленоида, получим [16] , что потокосцепление через катушку равно плотности потока B <\displaystyle B> [Тл], умноженному на площадь поперечного сечения S <\displaystyle S> [м 2 ] и число витков N <\displaystyle N> :

Ψ = μ 0 N 2 i S / l = μ 0 n 2 i V , <\displaystyle \displaystyle \Psi =\mu _<0>N^<2>iS/l=\mu _<0>n^<2>iV,>

где V = S l <\displaystyle V=Sl> − объём катушки. Отсюда следует формула для индуктивности соленоида (без сердечника):

L = μ 0 N 2 S / l = μ 0 n 2 V . <\displaystyle \displaystyle L=\mu _<0>N^<2>S/l=\mu _<0>n^<2>V.>

Если катушка внутри полностью заполнена магнитным материалом (сердечником), то индуктивность отличается на множитель μ <\displaystyle \mu > — относительную магнитную проницаемость [17] сердечника:

L = μ 0 μ N 2 S / l = μ 0 μ n 2 V . <\displaystyle \displaystyle L=\mu _<0>\mu N^<2>S/l=\mu _<0>\mu n^<2>V.>

В случае, когда >1>»> μ >> 1 <\displaystyle \mu >>1> > 1″/> , можно (следует) под S понимать площадь сечения сердечника [м 2 ] и пользоваться данной формулой даже при толстой намотке, если только полная площадь сечения катушки не превосходит площади сечения сердечника во много раз.

Индуктивность тороидальной катушки (катушки с кольцевым сердечником)

Для тороидальной катушки, намотанной на сердечнике из материала с большой магнитной проницаемостью, можно приближённо пользоваться формулой для бесконечного прямого соленоида (см. выше):

L = N 2 ⋅ μ 0 μ S 2 π r , <\displaystyle L=N^<2>\cdot <\frac <\mu _<0>\mu S><2\pi r>>,\,>

где 2 π r <\displaystyle 2\pi r> — оценка длины соленоида ( r <\displaystyle r> — средний радиус тора). Лучшее приближение дает формула

L = N 2 ⋅ μ 0 μ h 2 π ⋅ ln ⁡ R r , <\displaystyle L=N^<2>\cdot <\frac <\mu _<0>\mu h><2\pi >>\cdot \ln <\frac >,\,>

где предполагается сердечник прямоугольного сечения с наружным радиусом R и внутренним радиусом r, высотой h.

Индуктивность длинного прямого проводника

Для длинного прямого (или квазилинейного) провода кругового сечения индуктивность выражается приближённой формулой [18] :

L = μ 0 2 π l ( μ e l n l r + 1 4 μ i ) , <\displaystyle L=<\frac <\mu _<0>><2\pi >>l<\Big (>\mu _\mathrm <\frac >+<\frac <1><4>>\mu _<\Big )>,>

где μ 0 <\displaystyle \mu _<0>> − магнитная постоянная, μ e <\displaystyle \mu _> — относительная магнитная проницаемость внешней среды (которой заполнено пространство (для вакуума μ e = 1 <\displaystyle \mu _=1> ), μ i <\displaystyle \mu _> — относительная магнитная проницаемость материала проводника, l <\displaystyle l> — длина провода, r l <\displaystyle r — радиус его сечения.

Таблица индуктивностей

Символ μ 0 <\displaystyle \mu _<0>> обозначает магнитную постоянную ( 4π × 10 −7 Гн/м ). В высокочастотном случае ток течёт в поверхности проводников (скин-эффект) и в зависимости от вида проводников иногда нужно различать индуктивность высокой и низкои частоты. Для этого служит постоянная Y: Y = 0 , когда ток равномерно распределён по поверхности провода (скин-эффект), Y = 1 4 , когда ток равномерно распределён по поперечному сечению провода. В случае скин-эффекта нужно учитывать, что при маленьких расстояниях между проводниками в поверхностях текут дополнительные вихревые токи (эффект экранирования), и выражения, содержащие Y, становятся неточными.

Коэффициенты самоиндукции некоторых замкнутых контуров

Вид Индуктивность Комментарий
соленоид
с тонкой обмоткой [19]
μ 0 r 2 N 2 3 l [ − 8 w + 4 1 + m m ( K ( m 1 + m ) − ( 1 − m ) E ( m 1 + m ) ) ] <\displaystyle <\frac <\mu _<0>r^<2>N^<2>><3l>>\left[-8w+4<\frac <\sqrt <1+m>>>\left(K\left(<\sqrt <\frac <1+m>>>\right)-\left(1-m\right)E\left(<\sqrt <\frac <1+m>>>\right)\right)\right]>

= μ 0 r 2 N 2 π l [ 1 − 8 w 3 π + ∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! 2 n ! 4 ( n + 1 ) ( 2 n − 1 ) 2 2 n ( − 1 ) n + 1 w 2 n ] <\displaystyle =<\frac <\mu _<0>r^<2>N^<2>\pi >>\left[1-<\frac <8w><3\pi >>+\sum _^<\infty ><\frac <\left(2n\right)!^<2>>\left(n+1\right)\left(2n-1\right)2^<2n>>>\left(-1\right)^w^<2n>\right]>
= μ 0 r 2 N 2 π l ( 1 − 8 w 3 π + w 2 2 − w 4 4 + 5 w 6 16 − 35 w 8 64 + . . . ) <\displaystyle =<\frac <\mu _<0>r^<2>N^<2>\pi >>\left(1-<\frac <8w><3\pi >>+<\frac ><2>>-<\frac ><4>>+<\frac <5w^<6>><16>>-<\frac <35w^<8>><64>>+. \right)> для w = μ 0 r N 2 [ ( 1 + 1 32 w 2 + O ( 1 w 4 ) ) ln ⁡ ( 8 w ) − 1 / 2 + 1 128 w 2 + O ( 1 w 4 ) ] <\displaystyle =\mu _<0>rN^<2>\left[\left(1+<\frac <1><32w^<2>>>+O\left(<\frac <1>>>\right)\right)\ln(8w)-1/2+<\frac <1><128w^<2>>>+O\left(<\frac <1>>>\right)\right]> для w >> 1

N: Число витков
r: Радиус
l: Длина
w = r/l
m = 4w 2
E,K: Эллиптический интеграл
Коаксиальный кабель,
высокая частота
μ 0 l 2 π ln ⁡ ( a 1 a ) <\displaystyle <\frac <\mu _<0>l><2\pi >>\ln \left(<\frac >>\right)> a1: Радиус
a: Радиус
l: Длина
единичный
круглый виток [18] [20]
μ 0 r ⋅ ( ln ⁡ ( 8 r a ) − 2 + Y + O ( a 2 / r 2 ) ) <\displaystyle \mu _<0>r\cdot \left(\ln \left(<\frac <8r>>\right)-2+Y+O\left(a^<2>/r^<2>\right)\right)> r: Радиус витка
a: Радиус проволоки
прямоугольник [18] [21] [22] μ 0 π ( b ln ⁡ ( 2 b a ) + d ln ⁡ ( 2 d a ) − ( b + d ) ( 2 − Y ) + 2 b 2 + d 2 ) <\displaystyle <\frac <\mu _<0>><\pi >>\left(b\ln \left(<\frac <2b>>\right)+d\ln \left(<\frac <2d>>\right)-\left(b+d\right)\left(2-Y\right)+2<\sqrt +d^<2>>>\right)>

− μ 0 π ( b ⋅ arsinh ⁡ ( b d ) + d ⋅ arsinh ⁡ ( d b ) + O ( a ) ) <\displaystyle \;\;-<\frac <\mu _<0>><\pi >>\left(b\cdot \operatorname \left(<\frac >\right)+d\cdot \operatorname \left(<\frac >\right)+O\left(a\right)\right)>

Источник

Читайте также:  Код группы средства измерений

Сравнить или измерить © 2021
Внимание! Информация, опубликованная на сайте, носит исключительно ознакомительный характер и не является рекомендацией к применению.