Меню

Единицей измерения объемов является объем куба длина ребра



Геометрия

Объем

План урока:

Понятие объема

Понятие объема появилось у человечества задолго до того, как геометрия оформилась как строгая наука. Многие вещества и товары, такие как зерно, рис и вода, необходимо хранить и транспортировать в различных упаковках (сосуды, бочки, ящики, контейнеры). При этом разные емкости могут вместить разное количество товаров. Например, пусть есть бочка, имеющая форму цилиндра, и контейнер, выглядящий как прямоугольный параллелепипед:

Предположим, что в бочку можно поместить 5 кг пшеницы, а в контейнер помещается уже 15 кг пшеницы, то есть в контейнер можно положить в 3 раза больше пшеницы, чем в бочку. Можно сказать, что вместимость контейнера втрое больше вместимости бочки. Однако измерять вместимость емкости с помощью массы пшеницы, помещаемой в него, неудобно, ведь в них можно класть и другие вещества. Мы можем положить в емкости что-нибудь более тяжелое, например сухой песок. Тогда в бочку может влезть уже 10 кг песка, а в контейнер – 30 кг. И снова получается, что вместимость контейнера втрое больше, хотя масса вещества увеличилась.

Именно для измерения вместимости и было введено понятие объема. Если в одну упаковку помещается вдвое больше товаров, чем во вторую упаковку, то и объем у нее будет вдвое больше. С древнейших времен замечено, что отношение объемов двух сосудов не зависит от того вещества, которое в них хранят. Например, если в один сосуд помещается в 5 раз больше риса, чем в другой сосуд, то в него также будет помещаться в 5 раз больше воды, в 5 раз больше песка, в 5 раз больше нефти и т. д. Таким образом, в практическом смысле объем – это количественная характеристика вместимости тех или иных упаковок.

В рамках стереометрии изучаются не реальные сосуды, а абстрактные тела. Каждое из них занимает определенную часть пространства, большую или меньшую. Объем используется для измерения этих частей пространства. Для обозначения объема используется латинская буква V.

Для измерения объема необходима единица измерения. Условно принимается, что куб, чьим ребром является единичный отрезок, имеет объем, равный единице. Такой куб именуется единичным. Заметим, что грани единичного куба – это единичные квадраты .

В случае, когда длина ребра куба является безразмерной величиной, то объем также будет безразмерной величиной. Если же указана единица измерения длины, то объем куба будет измеряться этой же единицей, к которой приписано слово «кубический». Например, если ребро куба равно 1 м, то объем куба будет равен 1 кубическому метру, или 1 м 3 . Объем куба с ребром 1 мм будет составлять 1 мм 3 и т. д.

,

Свойства объема

Свойства объема во многом совпадают со свойствами площади . Ясно, что у равных тел будут одинаковы и объемы.

Второе свойство объема связано с тем, что он является аддитивной величиной. Это значит, что если тело можно разбить на несколько тел, то его объем будет равен сумме объемов этих тел.

Это свойство аддитивности объема уже позволяет решать некоторые стереометрические задачи.

Задание. Тело состоит из цилиндра объемом 12 см 3 и конуса объемом 4 см 3 . Каков объем этого тела?

Решение. Здесь надо просто сложить объемы цилиндра и конуса, чтобы найти общий объем всей фигуры:

Задание. Найдите объем фигуры, показанной на рисунке:

Решение. Данную фигуру несложно разбить на три единичных куба:

Тогда объем тела будет равен сумме объемов трех единичных кубов, то есть трем:

Задание. Вычислите объем фигуры, получающейся при рассечении куба плоскостью, проходящей через два его ребра.

Решение. Ясно, что такая секущая плоскость будет делить куб на две равные фигуры (иначе просто не удастся провести плоскость через два ребра):

Также понятно, что два получившихся многогранника равны друг другу. Обозначим объем каждого из них как V. Тогда в сумме их объем должен быть равен 1, ведь вместе эти фигуры образуют единичный куб. Это позволяет составить уравнение, из которого можно вычислить величину V:

Объем куба и прямоугольного параллелепипеда

Докажем важную вспомогательную теорему:

Действительно, пусть у двух параллелепипедов одинаковы основания. Тогда их можно совместить. Пусть общим основанием будет АВСD, а высотами параллелепипедов будут отрезки АР и АК, причем АР АР/АК, рассматривается аналогичным образом). Тогда возьмем какое-нибудь рациональное число R, находящееся между числами k и АР/АК:

(Примечание. Здесь мы неявно используем утверждение, которое можно доказать в рамках алгебры – между любыми двумя различными действительными числами располагается хотя бы одно рациональное число).

Умножим это неравенство на длину АК:

Построим параллелепипеды с общим основанием АВСD и высотами АК и АР, а также с высотой АЕ = R•АК. Так как R•АК 3 .

Куб можно рассматривать как прямоугольный параллелепипед с одинаковыми измерениями. Поэтому для вычисления его объема надо умножить ребро куба само на себя дважды, то есть возвести его в куб.

Задание. Вычислите объем куба с ребром 8 метров.

Решение. Просто возводим сторону ребро куба в третью степень:

Задание. Если ребро куба увеличить на 2 дм, то его объем вырастет на 98 дм 3 . Какова длина ребра этого куба?

Решение. Обозначим длину ребра буквой х. Тогда объем куба будет составлять х 3 дм. Если ребро увеличить на 2 дм, то оно будет иметь длину х + 2 дм, и тогда объем куба будет равен уже (х + 2) 3 дм. Условие задачи можно записать в виде уравнения:

Это квадратное уравнение имеет два корня, 3 и (– 5), что можно проверить с помощью теоремы Виета . Корень х = – 5 не имеет геометрического смысла, поэтому остается ответ х = 3.

Далее рассмотрим перевод единиц измерения объема. Например, как перевести 1 м 3 в кубические сантиметры? Рассмотрим куб с ребром 1 м. Ясно, что его объем будет равен 1 м 3 . С другой стороны, можно сказать, что длина ребра этого куба составляет 100 см:

Тогда объем этого куба можно посчитать так:

Аналогично можно переводить и другие единицы измерения.

Объем прямой призмы

Рассмотрим сначала прямую призму, в чьем основании располагается прямоугольный треугольник. Ее можно достроить до прямоугольного параллелепипеда:

Ясно, что объем параллелепипеда будет вдвое больше объема исходной призмы, ведь он состоит из двух таких призм. Аналогично и площадь основания у параллелепипеда будет вдвое больше. Обозначим площадь основания призмы буквой S, а ее высоту как h, тогда площадь основания параллелепипеда будет 2S, а его объем составит 2S•h. Тогда объем призмы будет вдвое меньше, то есть он окажется равным S•h.

Далее рассмотрим прямую призму, в основании которой лежит уже произвольный треугольник. Проведем в этом треугольнике высоту, которая упадет на противоположную сторону (такую высоту всегда можно провести). Далее через эту высоту проведем плоскость, перпендикулярную основанию. В результате мы разделим призму на две прямых призмы, в основании каждой из которых будет лежать прямоугольный треугольник:

Пусть площади получившихся прямоугольных треугольников обозначены как S1и S2, а общая площадь основания исходной призмы – это S. Мы можем вычислить объемы этих призм:

Теперь, наконец, рассмотрим прямую призму, чье основание – произвольный многоугольник. Этот многоугольник можно разбить на несколько треугольников с площадями S1, S2, S3…, а призма соответственно будет разбита на несколько треугольных призм с объемами V1, V2, V3 и. т. д.

Объем каждой треугольный призмы мы можем рассчитать:

Задание. Все ребра правильной шестиугольной призмы одинаковы, их длина обозначена буквой а. Найдите объем такой призмы.

Решение. Сначала необходимо найти площадь основания призмы, то есть площадь правильного шестиугольника. Напомним формулы для правильных многоугольников, изученные ещё в девятом классе :

Для вычисления объема надо лишь умножить полученную площадь на высоту призмы, а она также равна а:

Задание. В кубе АВС1В1С1D1 через середины ребер СD и BC проведено сечение, параллельное ребру СС1. Это сечение отсекает от куба треугольную призму, чей объем равен 19. Найдите объем куба.

Решение. Ясно, что и куб, и треугольная призма будут прямыми призмами, причем у них одинаковая высота СС1. Тогда можно утверждать, что отношение их объемов равно отношению площадей их оснований:

Пусть сторона АВ имеет длину а. Тогда площадь квадрата АВСD будет составлять а 2 . Отрезки ЕС и FC будут вдвое короче АВ, то есть их длина составляет a/2. ∆EFC – прямоугольный, и его площадь может быть рассчитана как половина произведения его катетов:

Объем цилиндра

Цилиндр не получится разбить на несколько призм, поэтому для вычисления его объема используется другой метод. Впишем цилиндр в правильную n-угольную призму. Одновременно построим и другую правильную n-угольную призму, которая сама будет вписана в цилиндр. Объем вписанной призмы обозначим как Vв, а объем описанной призмы как Vо. Объем самого цилиндра – это Vц. При этом высоты всех трех фигур одинаковы:

Ясно, что объем вписанной призмы меньше объема цилиндра, а тот в свою очередь меньше объема описанной призмы:

Теперь будем неограниченно увеличивать число n. При этом площади Sв и Sо будут стремиться к площади основания цилиндра, равной величине πr 2 , где r– радиус основания цилиндра. Это возможно лишь в том случае, если справедливо равенство

Задание. Найдите объем цилиндра с высотой 5 см и радиусом 6 см.

Решение. Сначала находим площадь основания:

Задание. Известно, что высота цилиндра вдвое больше его радиуса, а объем цилиндра равен 54π. Найдите радиус цилиндра.

Решение. Обозначим радиус цилиндра буквой х. Тогда по условию высота будет вдвое больше, то есть она составит 2х. Вычислим объем цилиндра:

Задание. Труба изготовлена из металла с плотностью 11,4 г/см 3 . Внутренний диаметр трубы равен 13 мм, а ее стенка имеет толщину 4 мм. Длина трубы – 25 метров. Какова ее масса?

Читайте также:  Как измерить размер пальца для кольца таблица размеров

Решение. Для расчета массы необходимо сперва вычислить объем трубы. Ясно, что если к объему трубы прибавить объем внутреннего отверстия, то в итоге получится объем большого цилиндра, чей диаметр равен наружному диаметру трубы:

Легко найти объем отверстия, ведь оно имеет форму цилиндра. Его радиус вдвое меньше диаметра, то есть он равен 13/2 = 6,5 мм. При расчете важно не забыть перевести высоту в миллиметры:

Сегодня мы узнали о такой характеристике тел, как объем. Если объем куба и прямоугольного параллелепипеда мы умели находить ещё в средней школе, то определять объем цилиндра и прямой призмы мы научились только сейчас. Однако все эти случаи по сути одинаковы – надо перемножить высоту фигуры и площадь ее основания. В будущем мы научимся вычислять объемы более сложных фигур – пирамиды, конуса, шара.

Источник

Объемы фигур. Объем куба.

Куб — трехмерная геометрическая фигура, у которой все ребра равны (длина равна ширине и равна высоте).

У куба шесть квадратных граней, которые пересекаются под прямым углом и стороны которых равны.

Вычислить объем куба легко – нужно перемножить длину, ширину и высоту. Так как у куба длина равна

ширине и равна высоте, то объем куба равен s 3 ,

где s – длина одного (любого) ребра куба.

Воспользуйтесь онлайн калькулятором для расчета объема куба: объем куба, онлайн расчет.

Для расчета объемов других тел воспользуйтесь этим калькулятором: калькулятор объемов фигур.

Метод 1 из 3: Возведение в куб ребра куба

  • Найдите длину одного ребра куба. Как правило, длина ребра куба дана в условии задачи. Если вы

вычисляете объем реального объекта кубической формы, измерьте его ребро линейкой или рулеткой.

Рассмотрим пример. Ребро куба равно 5 см. Найдите объем куба.

Возведите в куб длину ребра куба. Другими словами, умножьте длину ребра куба саму на себя три раза.

Если s — длина ребра куба, то

и, таким образом, вы вычислите объем куба.

Этот процесс аналогичен процессу нахождения площади основания куба (равна произведению длины на

ширину квадрата в основании) и последующему умножению площади основания на высоту куба (то есть,

другими словами, вы умножаете длину на ширину и на высоту). Так как в кубе длина ребра равна ширине и

равна высоте, то это процесс можно заменить возведением ребра куба в третью степень.

В нашем примере объем куба равен:

  • К ответу припишите единицы измерения объема. Так как объем – это количественная

характеристика пространства, занимаемого телом, то единицами измерения объема являются кубические

В нашем примере размер ребра куба давался в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических

сантиметрах (или в см 3 ). Итак, объем куба равен 125 см 3 .

Если размер ребра куба дается в других единицах, то и объем куба измеряется в соответствующих

Например, если ребро куба равно 5 м (а не 5 см), то его объем равен 125 м 3 .

Метод 2 из 3: Вычисление объема по площади поверхности

  • В некоторых задачах длина ребра куба не дана, но даны другие величины, с помощью которых вы

можете найти ребро куба и его объем. Например, если вам дана площадь поверхности куба, то разделите

ее на 6, из полученного значения извлеките квадратный корень и вы найдете длину ребра куба. Затем

возведите длину ребра куба в третью степень и вычислите объем куба.

Площадь поверхности куба равна 6s 2 ,

где sдлина ребра куба (то есть вы находите площадь одной грани куба, а затем умножаете ее на 6, так

как у куба 6 равных граней).

Рассмотрим пример. Площадь поверхности куба равна 50 см 2 . Найдите объем куба.

  • Разделите площадь поверхности куба на 6 (так как у куба 6 равных граней, вы получите площадь

одной грани куба). В свою очередь площадь одной грани куба равна s 2 , где s – длина ребра куба.

В нашем примере: 50/6 = 8,33 см 2 (не забывайте, что площадь измеряется в квадратных единицах — см 2 ,

  • Так как площадь одной грани куба равна s 2 , то извлеките квадратный корень из значения площади

одной грани и получите длину ребра куба.

В нашем примере, √8,33 = 2,89 см.

  • Возведите в куб полученное значение, чтобы найти объем куба.

В нашем примере: 2,89 * 2,89 * 2,89 = 2,893 = 24,14 см 3 . К ответу не забудьте приписать кубические

Метод 3 из 3: Вычисление объема по диагонали

  • Разделите диагональ одной из граней куба на √2, чтобы найти длину ребра куба. Таким образом,

если в задаче дана диагональ грани (любой) куба, то вы можете найти длину ребра куба, разделив

Рассмотрим пример. Диагональ грани куба равна 7 см. Найдите объем куба. В этом случае длина ребра куба

равна 7/√2 = 4,96 см. Объем куба равен 4,963 = 122,36 см 3 .

Запомните: d 2 = 2s 2 ,

где d — диагональ грани куба, s – ребро куба. Эта формула вытекает из теоремы Пифагора, согласно

которой квадрат гипотенузы (в нашем случае диагональ грани куба) прямоугольного треугольника равен

сумме квадратов катетов (в нашем случае ребер), то есть:

d 2 = s 2 + s 2 = 2s 2 .

  • Разделите диагональ куба на √3, чтобы найти длину ребра куба. Таким образом, если в задаче

дана диагональ куба, то вы можете найти длину ребра куба, разделив диагональ на √3.

Диагональ куба — отрезок, соединяющий две вершины, симметричные относительно центра куба, равный

(где D — диагональ куба, s – ребро куба).

Эта формула вытекает из теоремы Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы (в нашем случае

диагональ куба) прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов (в нашем случае один катет –

это ребро, а второй катет – это диагональ грани куба, равная 2s 2 ), то есть

D 2 = s 2 + 2s 2 = 3s 2 .

Рассмотрим пример. Диагональ куба равна 10 м. Найдите объем куба.

Источник

Объемы фигур. Объем куба.

Куб — трехмерная геометрическая фигура, у которой все ребра равны (длина равна ширине и равна высоте).

У куба шесть квадратных граней, которые пересекаются под прямым углом и стороны которых равны.

Вычислить объем куба легко – нужно перемножить длину, ширину и высоту. Так как у куба длина равна

ширине и равна высоте, то объем куба равен s 3 ,

где s – длина одного (любого) ребра куба.

Воспользуйтесь онлайн калькулятором для расчета объема куба: объем куба, онлайн расчет.

Для расчета объемов других тел воспользуйтесь этим калькулятором: калькулятор объемов фигур.

Метод 1 из 3: Возведение в куб ребра куба

  • Найдите длину одного ребра куба. Как правило, длина ребра куба дана в условии задачи. Если вы

вычисляете объем реального объекта кубической формы, измерьте его ребро линейкой или рулеткой.

Рассмотрим пример. Ребро куба равно 5 см. Найдите объем куба.

Возведите в куб длину ребра куба. Другими словами, умножьте длину ребра куба саму на себя три раза.

Если s — длина ребра куба, то

и, таким образом, вы вычислите объем куба.

Этот процесс аналогичен процессу нахождения площади основания куба (равна произведению длины на

ширину квадрата в основании) и последующему умножению площади основания на высоту куба (то есть,

другими словами, вы умножаете длину на ширину и на высоту). Так как в кубе длина ребра равна ширине и

равна высоте, то это процесс можно заменить возведением ребра куба в третью степень.

В нашем примере объем куба равен:

  • К ответу припишите единицы измерения объема. Так как объем – это количественная

характеристика пространства, занимаемого телом, то единицами измерения объема являются кубические

В нашем примере размер ребра куба давался в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических

сантиметрах (или в см 3 ). Итак, объем куба равен 125 см 3 .

Если размер ребра куба дается в других единицах, то и объем куба измеряется в соответствующих

Например, если ребро куба равно 5 м (а не 5 см), то его объем равен 125 м 3 .

Метод 2 из 3: Вычисление объема по площади поверхности

  • В некоторых задачах длина ребра куба не дана, но даны другие величины, с помощью которых вы

можете найти ребро куба и его объем. Например, если вам дана площадь поверхности куба, то разделите

ее на 6, из полученного значения извлеките квадратный корень и вы найдете длину ребра куба. Затем

возведите длину ребра куба в третью степень и вычислите объем куба.

Площадь поверхности куба равна 6s 2 ,

где sдлина ребра куба (то есть вы находите площадь одной грани куба, а затем умножаете ее на 6, так

как у куба 6 равных граней).

Рассмотрим пример. Площадь поверхности куба равна 50 см 2 . Найдите объем куба.

  • Разделите площадь поверхности куба на 6 (так как у куба 6 равных граней, вы получите площадь

одной грани куба). В свою очередь площадь одной грани куба равна s 2 , где s – длина ребра куба.

В нашем примере: 50/6 = 8,33 см 2 (не забывайте, что площадь измеряется в квадратных единицах — см 2 ,

  • Так как площадь одной грани куба равна s 2 , то извлеките квадратный корень из значения площади

одной грани и получите длину ребра куба.

В нашем примере, √8,33 = 2,89 см.

  • Возведите в куб полученное значение, чтобы найти объем куба.

В нашем примере: 2,89 * 2,89 * 2,89 = 2,893 = 24,14 см 3 . К ответу не забудьте приписать кубические

Метод 3 из 3: Вычисление объема по диагонали

  • Разделите диагональ одной из граней куба на √2, чтобы найти длину ребра куба. Таким образом,

если в задаче дана диагональ грани (любой) куба, то вы можете найти длину ребра куба, разделив

Читайте также:  Геодезические приборы для измерения длин линий

Рассмотрим пример. Диагональ грани куба равна 7 см. Найдите объем куба. В этом случае длина ребра куба

равна 7/√2 = 4,96 см. Объем куба равен 4,963 = 122,36 см 3 .

Запомните: d 2 = 2s 2 ,

где d — диагональ грани куба, s – ребро куба. Эта формула вытекает из теоремы Пифагора, согласно

которой квадрат гипотенузы (в нашем случае диагональ грани куба) прямоугольного треугольника равен

сумме квадратов катетов (в нашем случае ребер), то есть:

d 2 = s 2 + s 2 = 2s 2 .

  • Разделите диагональ куба на √3, чтобы найти длину ребра куба. Таким образом, если в задаче

дана диагональ куба, то вы можете найти длину ребра куба, разделив диагональ на √3.

Диагональ куба — отрезок, соединяющий две вершины, симметричные относительно центра куба, равный

(где D — диагональ куба, s – ребро куба).

Эта формула вытекает из теоремы Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы (в нашем случае

диагональ куба) прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов (в нашем случае один катет –

это ребро, а второй катет – это диагональ грани куба, равная 2s 2 ), то есть

D 2 = s 2 + 2s 2 = 3s 2 .

Рассмотрим пример. Диагональ куба равна 10 м. Найдите объем куба.

Источник

Понятие объема

Урок 21. Геометрия 11 класс ФГОС

Конспект урока «Понятие объема»

На этом уроке мы поговорим об объеме тел. Выясним основные свойства объёма.

В повседневной жизни очень часто нам приходится сталкиваться с понятием объёма. Например, нас интересует объём (вместимость) коробки или банки.

А в практической деятельности человеку необходимо уметь вычислять объём при изготовлении каких-либо деталей.

Или при строительстве различных сооружений.

Ведь многие строительные объекты и детали конструкций имеют форму геометрических тел: параллелепипедов, призм, пирамид, шаров и т.д.

Итак, мы с вами продолжаем изучать стереометрию. Напомним, что стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Как вы уже поняли, пространственные фигуры, или как их ещё называют тела, в отличие от плоских фигур, обладают вместимостью, т.е. они имеют объём. Такие фигуры называют объёмными.

А значит, мы можем найти объём тела. Давайте разберёмся, как же мы будем его вычислять.

Из курса планиметрии вы уже знакомы с понятием площади многоугольника. Каждый многоугольник имеет площадь, которая измеряется с помощью выбранной единицы измерения площадей.

В качестве единицы измерения площадей обычно берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

Площадь может измеряться в см 2 , в м 2 , в км 2 и т.д.

Напомним, что площадь – это положительная величина, определенная для каждого многоугольника, числовое значение которой обладает следующими свойствами:

1) площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины, равна единице.

2) равные многоугольники имеют равные площади.

3) если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Процедура измерения объёмов аналогична процедуре измерения площадей. Будем понимать объём как количество занимаемого геометрическим телом пространства. При выбранной единице измерения объём тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объёмов и её частей укладываются в этом теле.

Чтобы измерить объем, надо выбрать единицу измерения объёмов. Единицей объёма является объём куба с ребром, равным единице.

Такой куб называется единичным. Объём единичного куба принимается за единицу измерения объёмов.

Например: объём куба с ребром, равным 1сантиметру, равен одному кубическому сантиметру, пишут так: 1 куб. см, или так 1 . Точно также определяются и кубический миллиметр (1 ), кубический метр (1 ) и так далее.

Нетрудно заметить, что название единицы объёма получается из названия единицы длины присоединением прилагательного «кубический».

Находя объём тела, мы фактически выясняем, сколько единичных кубов он содержит.

Проще всего измерить объём прямоугольного параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед с измерениями: длина – 5 см, ширина – 4 см и высота – 3 см.

Посчитаем, сколько единичных кубов с ребром 1 см вмещается в нём. Для этого разобьём параллелепипед плоскостями, параллельными основаниям, на 3 слоя высотой в 1 см.

Понятно, что для того чтобы заполнить весь прямоугольный параллелепипед, нужно вложить в него 3 одинаковых слоя с единичными кубами, т.к. высота параллелепипеда 3 см. Посмотрим сколько единичных кубов заполнят первый слой.

Видим, всего в первом слое поместилось ед. кубов. Но у нас же 3 одинаковых слоя. А, значит, в трёх таких слоях будет помещаться ед. кубов.

Следовательно, объём указанного параллелепипеда равен (см 3 ).

Напомним, что объём обозначается заглавной латинской буквой , которая является сокращением от латинского слова volume – что в переводе обозначает «объём», «наполнение».

Итак, объём – это положительная величина, определённая для каждого из рассматриваемых тел, числовое значение которой имеет следующие свойства:

1) объём куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен единице.

2) равные геометрические тела имеют равные объёмы.

Равенство двух фигур, в частности двух тел, в стереометрии определяется так же, как и в планиметрии: два тела называются равными, если их можно совместить наложением.

На экране изображены два прямоугольных параллелепипеда с соответственно равными измерениями. Так как их измерения соответственно равны, то каждый из них содержит столько же единиц измерения объемов, сколько и второй.

3) если геометрическое тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

На экране изображено тело, составленное из нескольких тел, причем внутренние области этих тел не имеют общих точек, но имеют общие граничные точки. Наше тело состоит из цилиндра и конуса. Общими граничными точками этих тел будут точки их общего основания. Понятно, что объём всего тела складывается из объемов составляющих его тел.

Второе и третье свойства называются основными свойствами объёмов.

Справедливо следующее следствие из этих свойств.

Рассмотрим куб, принятый за единицу измерения объёмов. Его ребро равно единице измерения отрезков. Разобьём каждое ребро этого куба на равных частей ( – произвольное целое число) и проведём через точки разбиения плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Куб разобьётся на равных маленьких кубов с ребром . Так как сумма объёмов всех маленьких кубов равна объёму всего куба, т.е. равна единице, то объём каждого из маленьких кубов равен . Тогда имеем, объём куба с ребром равен .

Давайте ответим на несколько несложных вопросов.

Первый вопрос: на сколько кубиков с длиной ребра дм можно распилить куб с ребром м?

Ответ: т.к. м = дм, то объем всего нашего куба составит дм 3 . Следовательно, куб с ребром м можно распилить на кубиков с длиной ребра дм.

Второй вопрос: сколько кубиков с длиной ребра см содержит прямоугольный параллелепипед с размерами см на см на см?

Ответ: объём параллелепипеда равен см 3 . Значит, наш параллелепипед содержит кубика с длиной ребра см.

И третий вопрос: сколько кубиков содержится в кубике Рубика?

Ответ: обратите внимание, на экране изображён кубик Рубика.

Каждый слой кубика Рубика содержит маленьких кубиков. Всего он имеет 3 таких слоя. Значит, весь кубик Рубика должен состоять из маленьких кубиков. Но на самом деле их: , т.к. вместо центрального кубика – механизм крепления, за счет которого вращаются кубики.

На этом уроке мы говорили об объёме, одной из важных величин, связанной с геометрическими телами.

Объём – это положительная величина, определенная для каждого из рассматриваемых тел, числовое значение которой имеет следующие свойства:

1) равные геометрические тела имеют равные объёмы.

2) если геометрическое тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объёмов этих тел.

3) объём куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен единице.

Источник

Практические работы по теме «Объемы многогранников»

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1

Объём куба и прямоугольного параллелепипеда.

Цель: закрепить навык решения практических задач на вычисление объёмов куба и прямоугольного

Многогранники могут иметь самую различную форму. Среди них выделяют параллелепипеды . Обычный, всем известный кирпич с точки зрения геометрии является параллелепипедом. Форму параллелепипеда имеют многие предметы, с которыми мы встречаемся в жизни, например коробки, используемые для упаковки различных товаров.

У параллелепипеда 8 вершин, 12 ребер и 6 граней.

Каждая грань параллелепипеда — прямоугольник.

Противоположные грани параллелепипеда равны.

Каждый параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту.
Среди всех параллелепипедов особую роль играет — куб.

Куб — это такой параллелепипед, у которого все ребра равны, поэтому все его грани — квадраты.

За единицу измерения объема принимается объем единичного куба, т.е. объем куба, длина ребра которого равна 1 единице длины.

1 кубический сантиметр (1 cм 3 ) — объем куба, длина которого равна 1 см.
1 кубический дециметр (1 дм 3 ) — объем куба, длина которого равна 1 дм.
1 кубический метр (1 м 3 ) — объем куба, длина которого равна 1 м.

Теорема: объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями а, b, с вычисляется по формуле

, V = S осн h .

Теорема: объем наклонного (любого) параллелепипеда равен произведению площади основания S на высоту h:

.

Объем куба равен кубу (третьей степени) его ребра. V = a 3

Пример 1. Найдите объем параллелепипеда, измерения которого равны 6 мм, 10 мм и 15 мм.

Решение: 6 x 10 x 15 = 900 (мм 3 ).


Пример 2. Найдите объем куба, ребро которого равно 5 дм.
Решение: 5 3 = 5 x 5 x 5 = 125 (дм 3 ).
Заметим, что единица объема, равная одному кубическому дециметру, имеет и другое название — литр. В литрах обычно измеряют объемы жидкостей и сыпучих веществ.

1. Выразите: а) в кубических дециметрах: 1 м 3 ; 1 литр.

б) в кубических сантиметрах: 1 дм 3 ; 1 м 3 .

а) Р = ( а + b ) 2

в ) V = а b с

б ) S = а а

г ) V = а а а

3. Объём каждого маленького кубика 1 куб. ед. Найдите объём фигур, изображённых на рисунках.

4. Объём параллелепипеда равен 60 см 3 .

Читайте также:  Талант это единица измерения

Проставьте недостающий размер.

5. Каковы измерения параллелепипеда на рис. б), сложенного из 3 одинаковых брусков, изображённых на рис. а). Каков его объём?

6. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3 см, 5 см и 8 см.

а) 120 см 3 ; б) 60 см 3 ; в) 32 см 3 ; г) другой ответ.

7. Длина прямоугольной комнаты в 2 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем

комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м 3 ; б) 144 м 3 ; в) 72 м 3 ; г) другой ответ.

8. Найдите объем куба, если площадь его развертки равна 96 см 2 .

а) 16 см 3 ; б) 64 см 3 ; в) 80 см 3 ; г) другой ответ.

9. Найдите ребро куба, если его объем равен 512 м 3 .

а) 4 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.

10. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 4 раза, ширину увеличить в 6 раз, а высоту уменьшить в 8 раз?

а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

11. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1; 0,5 и 16. Найдите ребро равновеликого ему куба.

12. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1,5. Найдите объем параллелепипеда.

1. Выразите: а) в кубических дециметрах: 1 м 3 ; 1 литр.

б) в кубических миллиметрах: 1 см 3 ; 1 м 3 .

в ) V = а b с

б ) S = а

г ) V = a 3

3. Объём каждого маленького кубика 1 куб. ед. Найдите объём фигур, изображённых на рисунках.

а) б) в)

4. Объём параллелепипеда равен 40 см 3 .

Проставьте недостающий размер.

5. а ) б) Каковы измерения параллелепипеда на рис. б),

сложенного из 3 одинаковых брусков,

изображённых на рис. а). Каков его объём?

6. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 6 см, 3 см и 4 см.

а) 72 см 3 ; б) 13 см 3 ; в) 22 см 3 ; г) другой ответ.

7. Длина прямоугольной комнаты в 3 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем

комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м 3 ; б) 144 м 3 ; в) 48 м 3 ; г) другой ответ.

8. Найдите объем куба, если площадь его развертки равна 150 см 2 .

а) 16 см 3 ; б) 125 см 3 ; в) 80 см 3 ; г) другой ответ.

9. Найдите ребро куба, если его объем равен 729 м 3 .

а) 9 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.

10. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 5 раза, ширину увеличить в 8 раз, а высоту уменьшить в 10 раз?

а) увеличится в 4 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

11. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 5. Найдите объем параллелепипеда .

12. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 1. Объем параллелепипеда равен 5. Найдите высоту

Критерии оценки практической работы

Каждый правильный ответ 1 балл

Каждый правильный ответ 3 балла

Максимальный балл за работу – 34 балла

Шкала перевода баллов в отметки

Число баллов, необходимое для получения отметки

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2

Цель: закрепить навык решения практических задач на вычисление объёмов призмы.

Призмой называется многогранник, две грани которого(основания) – равные n – угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней (боковые грани) – параллелограмы.

Призма называется прямой, если все её боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Призма называется правильной, если она прямая и её основания – правильные многоугольники.

Формулы для нахождения площадей

фигур

S = a b a S = a 2

a a S = a S = a

a

a h S = a

h S =

h S = a

1. Выберите неверное утверждение.

а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a 2 h , где а – сторона основания , h – высота призмы;

в) Объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

2. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3, боковое ребро равно 6. Найдите объём призмы.

3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2√3 см, а высота – 5 см. Найдите объём призмы.

а) 15√3 см 3 ; б) 45 см 3 ; в) 10√3 см 3 ; г) 12√3 см 3 ; д) 18√3 см 3 .

4. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 8. Объем призмы равен 80. Найдите ее боковое ребро.

5. В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат со стороной 6 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 60 0 . Найдите:

диагональ основания призмы;

площадь боковой поверхности призмы;

площадь полной поверхности призмы;

6. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

1. Выберите верное утверждение.

а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a 2 h , где а – сторона основания , h – высота призмы;

в) Объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

2 . Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 5, боковое ребро равно 4. Найдите объём призмы.

3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 3√3 см, а высота – 4 см. Найдите объём призмы.

а) 15√3 см 3 ; б) 45 см 3 ; в) 27√3 см 3 ; г) 12√3 см 3 ; д) 18√3 см 3 .

4. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 5. Объем призмы равен 60. Найдите ее боковое ребро.

5. В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат со стороной 6 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 30 0 . Найдите:

диагональ основания призмы;

площадь боковой поверхности призмы;

площадь полной поверхности призмы;

6. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?

Критерии оценки практической работы

Каждый правильный ответ 1 балл

Каждый правильный ответ 3 балла

Максимальный балл за работу – 27 баллов

Шкала перевода баллов в отметки

Число баллов, необходимое для получения отметки

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3

Цель: закрепить навык решения практических задач на вычисление объёмов пирамиды.

Пирамида — многогранник, состоящий из плоского многоугольника, точки, не лежащей в плоскости этого многоугольника и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками многоугольника.

Данная точка называется вершиной пирамиды, а плоский многоугольник — основанием пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами. Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Апофемавысота боковой грани правильной пирамиды. Пирамида, у которой в основании лежит правильный n-угольник, а основание высоты совпадает с центром основания называется правильной n-угольной пирамидой. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая её высоту. Правильная треугольная пирамида называется тетраэдром. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, то она отсечет пирамиду, подобную данной. Оставшаяся часть называется усеченной пирамидой.

Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.

а) V = S осн ∙ h ; б) V = S осн ∙ h ; в) V = S осн ∙ h .

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в двадцать три раза?

а) в 23 раза; б) в 46 раз; в) в 69 раз.

Найдите объем пирамиды, высота которой равна 1, а основание — прямоугольник со сторонами 4 и 6.

а) 4; б) 8; в) 16.

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

а) 1,25; б) 1; в) 0,25.

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 м, объем равен 200 м 3 . Найдите боковое ребро этой пирамиды.

а) 10 м; б) 13 м; в) 8 м.

Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна

3 см, а высота – 4 см.

а) 12 см 3 ; б) 42 см 3 ; в) 8 см 3 .

Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна

6 м, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30˚.

а) 12 м 3 ; б) 36 м 3 ; в) 12 м 3 .

Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

Вычислите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, если её объём равен 9 см 3 , а длина стороны основания равна 3 см.

Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.

а) V = S осн ∙ h ; б) V = S осн ∙ h ; в) V = S осн ∙ h .

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в тридцать

а) в 34 раза; б) в 17 раз; в) в 68 раз.

Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание — прямоугольник со сторонами 3 и 4.

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 4, а объем равен .

2 уровень

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 м, объем равен 200 м 3 . Найдите боковое ребро этой пирамиды.

а) 86 м; б) м; в) м.

Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна

2 см, а высота – 3 см.

а) 8 см 3 ; б) 4 см 3 ; в) 3 см 3 .

Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна

8 м, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60˚.

а) м 3 ; б) м 3 ; в) м 3 .

Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 4.

Источник