Единицы измерения абсолютной ошибки

Содержание
  1. Измерения. Классификация ошибок измерений
  2. Абсолютная погрешность
  3. Причины возникновения погрешности измерения
  4. Систематическая и случайная погрешности
  5. Определение абсолютной погрешности
  6. Погрешности измерений, представление результатов эксперимента
  7. п.1. Шкала измерительного прибора
  8. п.2. Цена деления
  9. п.3. Виды измерений
  10. п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
  11. п.5. Абсолютная погрешность серии измерений
  12. п.6. Представление результатов эксперимента
  13. п.7. Задачи
  14. Абсолютная и относительная погрешность
  15. Абсолютная погрешность
  16. Относительная погрешность
  17. Правила подсчета погрешностей
  18. Что мы узнали?
  19. Единицы измерения абсолютной ошибки
  20. Абсолютная ошибка измерения. Абсолютные и относительные ошибки измерений. Расчет с помощью формулы E = хi — хt
  21. Уменьшение погрешностей измерений
  22. Расчет с помощью формулы E = хi — хt
  23. Задание №3 Индексы оценки физического развития
  24. Вычисление погрешностей при косвенных измерениях
  25. Математическая обработка результатов измерений
  26. Случайные погрешности при прямых измерениях
  27. Приборные погрешности при прямых измерениях
  28. Вычисление погрешностей при косвенных измерениях
  29. Абсолютная погрешность
  30. Причины возникновения погрешности измерения
  31. Систематическая и случайная погрешности
  32. Определение абсолютной погрешности
  33. Измерения. Классификация ошибок измерений

Измерения. Классификация ошибок измерений

В физике и в других науках весьма часто приходится производить измерения различных величин (например, длины, массы, времени, температуры, электрического сопротивления и т. д.).

Измерение – процесс нахождения значения физической величины с помощью специальных технических средств – измерительных приборов.

Измерительным прибором называют устройство, с помощью которого осуществляется сравнение измеряемой величины с физической величиной того же рода, принятой за единицу измерения.

Различают прямые и косвенные методы измерений.

Прямые методы измерений – методы, при которых значения определяемых величин находятся непосредственным сравнением измеряемого объекта с единицей измерения (эталоном). Например, измеряемая линейкой длина какого-либо тела сравнивается с единицей длины – метром, измеряемая весами масса тела сравнивается с единицей массы – килограммом и т. д. Таким образом, в результате прямого измерения определяемая величина получается сразу, непосредственно.

Косвенные методы измерений – методы, при которых значения определяемых величин вычисляются по результатам прямых измерений других величин, с которыми они связаны известной функциональной зависимостью. Например, определение длины окружности по результатам измерения диаметра или определение объема тела по результатам измерения его линейных размеров.

Ввиду несовершенства измерительных приборов, наших органов чувств, влияния внешних воздействий на измерительную аппаратуру и объект измерения, а также прочих факторов все измерения можно производить только с известной степенью точности; поэтому результаты измерений дают не истинное значение измеряемой величины, а лишь приближенное. Если, например, вес тела определен с точностью до 0,1 мг, то это значит, что найденный вес отличается от истинного веса тела менее чем на 0,1 мг.

Точность измерений – характеристика качества измерений, отражающая близость результатов измерений к истинному значению измеряемой величины.

Чем меньше погрешности измерений, тем больше точность измерений. Точность измерений зависит от используемых при измерениях прибо- ров и от общих методов измерений. Совершенно бесполезно стремиться при измерениях в данных условиях перейти за этот предел точности. Можно свести к минимуму воздействие причин, уменьшающих точность измерений, но полностью избавиться от них невозможно, то есть при измерениях всегда совершаются более или менее значительные ошибки (погрешности). Для увеличения точности окончательного результата всякое физическое измерение необходимо делать не один, а несколько раз при одинаковых условиях опыта.

Источник

Абсолютная погрешность

Причины возникновения погрешности измерения

Погрешность измерения – это отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения.

Обычно «истинное» значение неизвестно, и можно только оценить погрешность, приняв в качестве «истинного» среднее значение, полученное в серии измерений. Таким образом, процесс оценки проводится статистическими методами.

Виды погрешности измерений

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Систематическая и случайная погрешности

Систематической погрешностью называют погрешность, которая остаётся постоянной или изменяется закономерно во времени при повторных измерениях одной и той же величины.

Систематическая погрешность всегда имеет знак «+» или «-», т.е. говорят о систематическом завышении или занижении результатов измерений.

Систематическую погрешность можно легко определить, если известно эталонное (табличное) значение измеряемой величины. Для других случаев разработаны эффективные статистические методы выявления систематических погрешностей. Причиной систематической погрешности может быть неправильная настройка приборов или неправильная оценка параметров (завышенная или заниженная) в расчётных формулах.

Случайной погрешностью называют погрешность, которая не имеет постоянного значения при повторных измерениях одной и той же величины.

Случайные погрешности неизбежны и всегда присутствуют при измерениях.

Определение абсолютной погрешности

Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины:

При пяти взвешиваниях гири с маркировкой 100 г были получены различные значения массы. Если принять маркировку за истинное значение, то получаем следующие значения абсолютной погрешности:

Источник

Погрешности измерений, представление результатов эксперимента

п.1. Шкала измерительного прибора

Примеры шкал различных приборов:


Манометр – прибор для измерения давления, круговая шкала

Вольтметр – прибор для измерения напряжения, дуговая шкала

Индикатор громкости звука, линейная шкала

п.2. Цена деления

Пример определения цены деления:

Определим цену деления основной шкалы секундомера.
Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале: a = 5 c
b = 10 c Между ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления.

Цена деления: \begin \triangle=\frac\\ \triangle=\frac<10-5><24+1>=\frac15=0,2\ c \end

п.3. Виды измерений

Физическую величину измеряют с помощью прибора

Измерение длины бруска линейкой

Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений

Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине

п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Погрешность теории (модели)

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.

В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:

  • определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
  • определение объема с помощью мензурки.

Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:

Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями.
Цена деления такой линейки: \begin \triangle=\frac= \frac<1\ \text<см>><1+1>=0,5\ \text <см>\end Инструментальная погрешность: \begin d=\frac<\triangle><2>=\frac<0,5><2>=0,25\ \text <см>\end Истинное значение: \(L_0=4\ \text<см>\)
Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,00\pm 0,25)\ \text <см>$$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac<0,25><4,00>\cdot 100\text<%>=6,25\text<%>\approx 6,3\text <%>$$
Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями.
Цена деления такой линейки: \begin \triangle=\frac= \frac<1\ \text<см>><9+1>=0,1\ \text <см>\end Инструментальная погрешность: \begin d=\frac<\triangle><2>=\frac<0,1><2>=0,05\ \text <см>\end Истинное значение: \(L_0=4,15\ \text<см>\)
Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,15\pm 0,05)\ \text <см>$$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac<0,05><4,15>\cdot 100\text<%>\approx 1,2\text <%>$$

Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.

п.5. Абсолютная погрешность серии измерений

Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).

Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.

Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.

Составим расчетную таблицу:

№ опыта 1 2 3 Сумма
Масса, г 99,8 101,2 100,3 301,3
Абсолютное отклонение, г 0,6 0,8 0,1 1,5

Сначала находим среднее значение всех измерений: \begin m_0=\frac<99,8+101,2+100,3><3>=\frac<301,3><3>\approx 100,4\ \text <г>\end Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности \(m_0\) и измерения. \begin \triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\\ \triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\\ \triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 \end Находим среднее абсолютное отклонение: \begin \triangle_=\frac<0,6+0,8+0,1><3>=\frac<1,5><3>=0,5\ \text <(г)>\end Мы видим, что полученное значение \(\triangle_\) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: \begin \triangle m=max\left\<\triangle_; d\right\>=max\left\<0,5; 0,05\right\>\ \text <(г)>\end Записываем результат: \begin m=m_0\pm\triangle m\\ m=(100,4\pm 0,5)\ \text <(г)>\end Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): \begin \delta_m=\frac<0,5><100,4>\cdot 100\text<%>\approx 0,050\text <%>\end

п.6. Представление результатов эксперимента

Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.

Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.

п.7. Задачи

Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?

Составим таблицу для расчета цены деления:

№ мензурки a, мл b, мл n \(\triangle=\frac\), мл
1 20 40 4 \(\frac<40-20><4+1>=4\)
2 100 200 4 \(\frac<200-100><4+1>=20\)
3 15 30 4 \(\frac<30-15><4+1>=3\)
4 200 400 4 \(\frac<400-200><4+1>=40\)

Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):

№ мензурки Объем \(V_0\), мл Абсолютная погрешность
\(\triangle V=\frac<\triangle><2>\), мл
Относительная погрешность
\(\delta_V=\frac<\triangle V>\cdot 100\text<%>\)
1 68 2 3,0%
2 280 10 3,6%
3 27 1,5 5,6%
4 480 20 4,2%

Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.

Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка

Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0\pm 0,1)\ \text<м>,\ \ x_2=(4,0\pm 0,03)\ \text <м>$$ Какое из этих измерений точней и почему?

Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: \begin \delta_1=\frac<0,1><4,0>\cdot 100\text<%>=2,5\text<%>\\ \delta_2=\frac<0,03><4,0>\cdot 100\text<%>=0,75\text <%>\end Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: \(\delta_2\lt \delta_1\), второе измерение точней.

Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ \triangle v_1=\frac<10><2>=5\ (\text<км/ч>),\ \ \triangle v_2=\frac<1><2>=0,5\ (\text<км/ч>) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54\pm 5)\ \text<км/ч>,\ \ v_2=(72\pm 0,5)\ \text <км/ч>$$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_<10>+v_<20>,\ \ v_0=54+72=125\ \text <км/ч>$$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ \triangle v=\triangle v_1+\triangle v_2,\ \ \triangle v=5+0,5=5,5\ \text <км/ч>$$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0\pm 5,5)\ \text <км/ч>$$ Относительная погрешность: $$ \delta_v=\frac<5,5><126,0>\cdot 100\text<%>\approx 4,4\text <%>$$ Ответ: \(v=(126,0\pm 5,5)\ \text<км/ч>,\ \ \delta_v\approx 4,4\text<%>\)

Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Инструментальная погрешность линейки \(d=\frac<0,1><2>=0,05\ \text<см>\)
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20\pm 0,05)\ \text<см>,\ \ b=(60,10\pm 0,05)\ \text <см>$$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): \begin \delta_1=\frac<0,05><90,20>\cdot 100\text<%>\approx 0,0554\text<%>\approx \uparrow 0,056\text<%>\\ \delta_2=\frac<0,05><60,10>\cdot 100\text<%>\approx 0,0832\text<%>\approx \uparrow 0,084\text <%>\end Площадь столешницы: $$ S=ab,\ \ S=90,2\cdot 60,1 = 5421,01\ \text<см>^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ \delta_S=\delta_a+\delta_b=0,056\text<%>+0,084\text<%>=0,140\text<%>=0,14\text <%>$$ Абсолютная погрешность: \begin \triangle S=S\cdot \delta_S=5421,01\cdot 0,0014=7,59\approx 7,6\ \text<см>^2\\ S=(5421,0\pm 7,6)\ \text<см>^2 \end Ответ: \(S=(5421,0\pm 7,6)\ \text<см>^2,\ \ \delta_S\approx 0,14\text<%>\)

Источник

Абсолютная и относительная погрешность

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.

Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

  • при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
  • при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
  • при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.

Источник

Единицы измерения абсолютной ошибки

Погрешность результата измерения (англ. error of a measurement) – отклонение результата измерения от истинного (действительного) значения измеряемой величины.
Примечания:

  • Истинное значение величины неизвестно, его применяют только в теоретических исследованиях.
  • На практике используют действительное значение величины xД ,в результате чего погрешность измерения DxИЗМ определяют по формуле: DxИЗМ = xИЗМxД , где xИЗМ – измеренное значение величины.
  • Синонимом термина погрешность измерения является термин ошибка измерения, применять который не рекомендуется как менее удачный.

Систематическая погрешность измерения (англ. systematic error) – составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины.
Примечание. В зависимости от характера измерения систематические погрешности подразделяют на постоянные, прогрессивные, периодические и погрешности, изменяющиеся по сложному закону.
Постоянные погрешности — погрешности, которые длительное время сохраняют свое значение, например в течение времени выполнения всего ряда измерений. Они встречаются наиболее часто.
Прогрессивные погрешности — непрерывно возрастающие или убывающие погрешности. К ним относятся, например, погрешности вследствие износа измерительных наконечников, контактирующих с деталью при контроле ее прибором активного контроля.
Периодические погрешности — погрешности, значение которых является периодической функцией времени или перемещения указателя измерительного прибора.
Погрешности, изменяющиеся по сложному закону, происходят вследствие совместного действия нескольких систематических погрешностей.

Инструментальная погрешность измерения (англ. instrumental error) – составляющая погрешности измерения, обусловленная погрешностью применяемого средства измерений.

Погрешность метода измерений (англ. error of method) – составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная несовершенством принятого метода измерений.
Примечания:

  • Вследствие упрощений, принятых в уравнениях для измерений, нередко возникают существенные погрешности, для компенсации действия которых следует вводить поправки. Погрешность метода иногда называют теоретической погрешностью.
  • Иногда погрешность метода может проявляться как случайная.

Погрешность (измерения) из-за изменений условий измерения – составляющая систематической погрешности измерения, являющаяся следствием неучтенного влияния отклонения в одну сторону какого-либо из параметров, характеризующих условия измерений, от установленного значения.
Примечание. Этот термин применяют в случае неучтенного или недостаточно учтенного действия той или иной влияющей величины (температуры, атмосферного давления, влажности воздуха, напряженности магнитного поля, вибрации и др.); неправильной установки средств измерений, нарушения правил их взаимного расположения и др.

Субъективная погрешность измерения – составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная индивидуальными особенностями оператора.
Примечания:

  • Встречаются операторы, которые систематически опаздывают (или опережают) снимать отсчеты показаний средств измерений.
  • Иногда субъективную погрешность называют личной погрешностью или личной разностью.

Неисключенная систематическая погрешность – составляющая погрешности результата измерений, обусловленная погрешностями вычисления и введения поправок на влияние систематических погрешностей или систематической погрешностью, поправка на действие которой не введена вследствие ее малости.
Примечания:

  • 1. Иногда этот вид погрешности называют неисключенный (ые) остаток (остатки) систематической погрешности.
  • 2. Неисключенная систематическая погрешность характеризуется ее границами. Границы неисключенной систематической погрешности θ при числе слагаемых N≤3 вычисляют по формуле:

Случайная погрешность измерения (англ. random error) – составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях, проведенных с одинаковой тщательностью, одной и той же физической величины.

Абсолютная погрешность измерения (англ. absolute error of a measurement) – погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины.

Абсолютное значение погрешности (англ. absolute value of an error) – значение погрешности без учета ее знака (модуль погрешности).
Примечание. Необходимо различать термины абсолютная погрешность и абсолютное значение погрешности.

Относительная погрешность измерения (англ. relative error) – погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или измеренному значению измеряемой величины.
Примечание. Относительную погрешность в долях или процентах находят из отношений:

Рассеяние результатов в ряду измерений (англ. dispersion) – несовпадение результатов измерений одной и той же величины в ряду равноточных измерений, как правило, обусловленное действием случайных погрешностей.
Примечания:

  • Количественную оценку рассеяния результатов в ряду измерений вследствие действия случайных погрешностей обычно получают после введения поправок на действие систематических погрешностей.
  • Оценками рассеяния результатов в ряду измерений могут быть: — размах, — среднее квадратическое отклонение (экспериментальное среднее квадратическое отклонение), — доверительные границы погрешности (доверительная граница). (в ред. Изменения N 2, введенного Приказом Росстандарта от 04.08.2010 N 203-ст)

Размах результатов измерений (англ. ) – оценка Rn рассеяния результатов единичных измерений физической n величины, образующих ряд (или выборку из n измерений), вычисляемая по формуле:

Среднее квадратическое отклонение результатов единичных измерений в ряду измерений (англ. experimental (sample) standard deviation) – характеристика S рассеяния результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины, вычисляемая по формуле:

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения результатов измерений (англ. experimental (sample) standard deviation) – характеристика Sx рассеяния среднего арифметического значения результатов равноточных измерений одной и той же величины, вычисляемая по формуле:

Доверительные границы погрешности результата измерений – наибольшее и наименьшее значения погрешности измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (истинное) значение погрешности результата измерений.

Поправка (англ. correction) – значение величины, вводимое в неисправленный результат измерения с целью исключения составляющих систематической погрешности.
Примечание. Знак поправки противоположен знаку погрешности. Поправку, прибавляемую к номинальному значению меры, называют поправкой к значению меры; поправку, вводимую в показание измерительного прибора, называют поправкой к показанию прибора.

Поправочный множитель (англ. correction factor) – числовой коэффициент, на который умножают неисправленный результат измерения с целью исключения влияния систематической погрешности.
Примечание. Поправочный множитель используют в случаях, когда систематическая погрешность пропорциональна значению величины.

Точность результата измерений (англ. accuracy of measurement) – одна из характеристик качества измерения, отражающая близость к нулю погрешности результата измерения.
Примечание. Считают, что чем меньше погрешность измерения, тем больше его точность.

Неопределенность измерений (англ. uncertainty of measurement) – параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые можно приписать измеряемой величине.

Погрешность метода поверки – погрешность применяемого метода передачи размера единицы при поверке.

Погрешность градуировки средства измерений – погрешность действительного значения величины, приписанного той или иной отметке шкалы средства измерений в результате градуировки.

Погрешность воспроизведения единицы физической величины – погрешность результата измерений, выполняемых при воспроизведении единицы физической величины.
Примечание. Погрешность воспроизведения единицы при помощи государственных эталонов обычно указывают в виде ее составляющих: неисключенной систематической погрешности; случайной погрешности; нестабильности за год.

Погрешность передачи размера единицы физической величины – погрешность результата измерений, выполняемых при передаче размера единицы.
Примечание. В погрешность передачи размера единицы входят как неисключенные систематические, так и случайные погрешности метода и средств измерений.

Статическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям статического измерения.

Динамическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям динамического измерения.

Промах – погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда.
Примечание. Иногда вместо термина промах применяют термин грубая погрешность измерений.

Предельная погрешность измерения в ряду измерений – максимальная погрешность измерения (плюс, минус), допускаемая для данной измерительной задачи.

Погрешность результата однократного измерения – погрешность одного измерения (не входящего в ряд измерений), оцениваемая на основании известных погрешностей средства и метода измерений в данных условиях (измерений).
Пример. При однократном измерении микрометром какого-либо размера детали получено значение величины, равное 12,55 мм. При этом еще до измерения известно, что погрешность микрометра в данном диапазоне составляет +/- 0,01 мм, и погрешность метода (непосредственной оценки) в данном случае принята равной нулю. Следовательно, погрешность полученного результата будет равна +/- 0,01 мм в данных условиях измерений.

Суммарное среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения результатов измерений – характеристика S рассеяния среднего арифметического результатов измерений, обусловленная влиянием случайных и неисключенных систематических погрешностей и вычисляемая по формуле:

где: — СКО неисключенных систематических погрешностей при равномерном распределении каждой из них.

Источник

Абсолютная ошибка измерения. Абсолютные и относительные ошибки измерений. Расчет с помощью формулы E = хi — хt

Как было сказано выше, результат измерения любой величины отличается от истинного значения. Это отличие, равное разности между показанием прибора и истинным значением, называется абсолютной погрешностью измерения, которая выражается в тех же единицах, что и сама измеряемая величина:

где х — абсолютная погрешность.

При проведении комплексного контроля, когда измеряются показатели разной размерности, целесообразнее пользоваться не абсолютной, а относительной погрешностью. Она определяется по следующей формуле:

Уменьшение погрешностей измерений

Все ошибки можно избежать, поставив пару операторов с различным измерительным оборудованием, чтобы они сравнивали свои измерения и определяли пределы погрешности между ними. Широкий предел погрешности в одном из измерений может быть предвестником некоторой проблемы в инструмент, и его необходимо перекалибровать или заменить.

В случае, если инструмент не является проблемой, оператор должен находиться под надзором, чтобы определить, правильно ли он выполняет свою работу, в случае, если оператор является проблемой, он должен попытаться обучить его, чтобы он мог эффективно выполнять свою работу.

Целесообразность применения х отн связана со следующими обстоятельствами. Предположим, что мы измеряем время с точностью до 0,1 с (абсолютная погрешность). При этом если речь идет о беге на 10 000 м, то точность вполне приемлема. Но измерять с такой точностью время реакции нельзя, так как величина ошибки почти равна измеряемой величине (время простой реакции равняется 0,12-0,20 с). В связи с этим нужно сопоставить величину ошибки и саму измеряемую величину и определить относительную погрешность.

Другой способ уменьшить погрешности измерения — принять во внимание максимальную ошибку, которая приходит с инструментом измерения по умолчанию, поэтому вы должны знать процент, чтобы иметь возможность удалить его или добавить его к данному значению. Вы должны вычислить абсолютную ошибку, выбрав один из двух способов. Первый метод: он состоит в вычитании полученного экспериментального значения с измерениями, сделанными вами самим. Вы должны принять абсолютное значение этого числа, оно не может быть отрицательным.

Например: Рассчитайте расстояния, используя измерения ваших собственных следов. Вы идете от одного дерева к другому, и вы оцениваете, что расстояние составляет 18 футов. Это экспериментальное значение. Второй метод: вы считаете, что абсолютная ошибка — это самая маленькая единица измерения в вашем распоряжении. Например, если вы измеряете что-то с помощью счетчика, наименьшая единица, отмеченная на счетчике, составляет 1 миллиметр. Таким образом, вы уже знаете, что ваше измерение представляет собой оценку плюс или минус 1 мм, абсолютная ошибка составляет 1 мм.

Рассмотрим пример определения абсолютной и относительной погрешностей измерения. Предположим, что измерение частоты сердечных сокращений после бега с помощью высокоточного прибора дает нам величину, близкую к истинной и равную 150 уд/мин. Одновременное пальпаторное измерение дает величину, равную 162 уд/мин. Подставив эти значения в приведенные выше формулы, получим:

Расчет с помощью формулы E = хi — хt

Разделите абсолютную ошибку между фактическим измерением рассматриваемой статьи. Результатом является относительная ошибка. Оставьте относительную ошибку как дробную часть, заполните деление, чтобы представить его в десятичной форме, или умножьте полученную десятичную форму на 100, чтобы найти ответ в процентах. Опять же, используя пример измерения расстояния между двумя деревьями: абсолютная ошибка составляла 2 метра, а фактическое значение составляло 20 футов. Вы также можете выполнить деление, чтобы вернуть десятичное значение 0, 1 или вы можете умножить десятичное на 100, чтобы получить ответ в процентах: 10 процентов.

x =150-162=12 уд/мин — абсолютная погрешность;

х= (12: 150)Х100%=8% -относительная погрешность.

Задание №3 Индексы оценки физического развития

Были разработаны и добавлены такие варианты:

«Физика слишком важна для физиков». Реальные числа точно отражают теоретические результаты. Так, например, длина окружности радиуса точно равна числу, о котором нельзя сомневаться. Но в прикладных науках или просто в повседневной жизни эти цифры выражаются в десятичной форме и с уменьшенным числом цифр. В этом процессе мы принимаем приближенное десятичное выражение точного действительного числа.

Вычисление погрешностей при косвенных измерениях

Говорят, что из действительного числа мы примем приближение \\ порядка, когда оно является рациональным числом с \\ десятичными числами. Таким образом, три предыдущих аппроксимации \\ имеют порядок \\ порядка \\ и порядка \\. Существует три метода приближения.

при росте до 165 см «идеальный вес» = рост (см) – 100;

при росте от 166 до 175 см «идеальный вес» = рост (см) – 105;

при росте выше 176 см «идеальный вес» = рост (см) – 110.

Средняя величина показателя для мужчин — 65-70 мл/кг, для женщин — 55-60 мл/кг, для спортсменов — 75-80 мл/кг, для спортсменок — 65-70 мл/кг.

По умолчанию или усечение по умолчанию: Десятичные числа удаляются из соответствующего порядка. Избыточная аппроксимация: десятичные числа удаляются из рассмотренного порядка, и единица добавляется к последней десятичной точке. Округление: все десятичные разряды удаляются из указанного порядка, и если следующая цифра в рассматриваемом порядке больше или равна \\, единица добавляется к последней десятичной цифре, которую мы включаем. После приближений, сделанных из нашего действительного числа \\, \\ является округлением действительного значения до десятых, однако \\ было бы по умолчанию приближением или усечением до десятых.

Разностный индекс определяется путем вычитания из величины роста сидя длины ног. Средний показатель для мужчин — 9-10 см, для женщин — 11-12 см. Чем меньше индекс, тем, следовательно, больше длина ног, и наоборот.

Весо – ростовой индекс Kетле

BMI = m / h2 , где m — масса тела человека (в кг), h — рост человека (в м).

Приблизительное значение \\ также округляет до тысячных от фактического значения, однако \\ будет приближением избытком до тысячных. Если мы хотим усекать до миллионной доли, мы должны будем принять приблизительное значение \\. Обратите внимание, что округление до миллионных единиц будет, согласно определению, приведенному выше, \\.

В каждом процессе аппроксимации действительного значения \\ по приближенному значению \\ производится ошибка. Существует два типа ошибок: абсолютная ошибка и относительная ошибка. Абсолютная ошибка, полученная при принятии приблизительного значения действительного значения, является абсолютной величиной ее разницы. Относительная ошибка, которая была зафиксирована, является значением частного абсолютной ошибки между реальным значением. Эти ошибки возникают не только тогда, когда действительное число приближается к десятичной форме.

Выделяют следующие значения BMI:

меньше 15 — острый дефицит веса;

от 15 до 20 — дефицит веса;

от 20 до 25 — нормальный вес;

от 25 до 30 — избыточный вес;

свыше 30 — ожирение.

Индекс скелии по Мануврие характеризует длину ног.

ИС = (длина ног / рост сидя) х 100

Величина до 84,9 свидетельствует о коротких ногах;

Математическая обработка результатов измерений

Они также появляются в процессах измерения, оценки и т.д. Когда мы приближаем действительное число, реальное значение в большинстве случаев неизвестно. В этих случаях мы не можем точно вычислить ошибку. Таким образом, для приблизительной суммы, которую мы используем, является надежной, необходимо, чтобы ошибка контролировалась. Абсолютные и относительные размеры погрешности, которые мы будем называть \\ и \\ соответственно, указывают, насколько далеко мы можем ошибаться при использовании приближения.

85-89 — о средних;

90 и выше — о длинных.

Масса тела (вес) для взрослых рассчитывается по формуле Бернгарда.

Вес = (рост х объем груди) / 240

Формула дает возможность учитывать особенности телосложения. Если расчет производится по формуле Брока, то после расчетов из результата следует вычесть около 8%: рост — 100 — 8%

Давайте рассмотрим пример всего, что обсуждалось выше. Используя теорему Пифагора, диагональ любой стороны куба, которую мы назвали \\, будет иметь место. Диагональ куба, который мы назвали \\ и который совпадает с диаметром описанной сферы, будет. Радиус сферы, описанной в кубе, равен \\. Следовательно, объем \\ сферы есть.

Это означает, что мы должны сделать приближение порядка \\ или до десятых, так как \\ Таким образом, приблизительное значение объема сферы будет. Положим теперь совершенные ошибки как абсолютные, так и относительные. Поэтому размер абсолютной ошибки равен \\. Это может быть дано во многих процентах. В этом случае мы говорим, что относительная ошибка меньше \\.

ЖЕЛ (мл) / на массу тела (кг)

Чем выше показатель, тем лучше развита дыхательная функция грудной клетки.

W. Stern (1980) предложил метод определения жировой прослойки у спортсменов.

Процент жировой прослойки

Тощая масса тела

[(масса тела — тощая масса тела) / масса тела] х 100

Приблизительные числа выражаются в нескольких цифрах, которые, как мы знаем, являются безошибочными. Их называют значительными числами. В приведенных выше приближенных выражениях мы использовали, соответственно, \\, \\ или \\ значимые цифры. Абсолютная ошибка обычно меньше \\ единиц следующего места, чем последние значащие цифры. В предыдущем примере измерения абсолютной ошибки будут соответственно \\, \\ и \\.

Относительная ошибка меньше, тем более значимые цифры используются. Иногда мы используем нули для выражения измерения. Например, если мы говорим, что число жителей города \\, мы, вероятно, контролируем только первые две цифры. В таком случае было бы разумнее сказать, что число жителей составляет \\ миллионы или сотни тысяч. Давайте посмотрим на другой пример этой ситуации.

Согласно формуле Лоренца, идеальная масса тела (М) составляет:

М = Р — (100 — [(Р — 150) / 4])

где: Р — рост человека.

Индекс пропорциональности развития грудной клетки (индекс Эрисмана): обхват грудной клетки в паузе (см) — (рост (см) / 2) = +5,8 см для мужчин и +3,3 см для женщин.

Показатель пропорциональности физического развития

(рост стоя — рост сидя / рост сидя) х 100

Величина показателя позволяет судить об относительной длине ног: меньше 87% — малая длина по отношению к длине туловища, 87-92% — пропорциональное физическое развитие, более 92% — относительно большая длина ног.

Индекс Руффье (Ir).

J r = 0,1 (ЧСС 1 + ЧСС 2 + ЧСС 3 – 200) ЧСС 1 – пульс в покое, ЧСС 2 – после нагрузки, ЧСС 3 – после 1 мин. Восстановления

Полученный индекс Руфье-Диксона расценивается как:

средний — 5,1 – 10;

удовлетворительный — 10,1 – 15;

плохой — 15,1 – 20.

Коэффициент выносливости (К).

Используется для оценки степени тренированности сердечнососудистой системы к выполнению физической нагрузки и определяется по формуле:

где ЧСС — частота сердечных сокращений, уд./мин; ПД — пульсовое давление, мм рт. ст. Увеличение KB, связанное с уменьшением ПД, является показателем детренированности сердечнососудистой системы.

Этот тест отражает функциональные резервы дыхательной и сердечно-сосудистой систем:

После 5-минутного отдыха в положении стоя определите ЧСС (по пульсу), ЖЕЛ (в мл);

Через 5 мин после этого задержите дыхание после спокойного вдоха (ЗД);

Индекс рассчитайте по формуле:

Если результат более 60 — отлично;

Менее 5 — очень плохо.

Измерения называются прямыми, если значения величин определяются приборами непосредственно (например, измерение длины линейкой, определение времени секундомером и т. д.). Измерения называютсякосвенными , если значение измеряемой величины определяется посредством прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой определенной зависимостью.

Случайные погрешности при прямых измерениях

Абсолютная и относительная погрешность. Пусть проведеноN измерений одной и той же величиныx в отсутствии систематической погрешности. Отдельные результаты измерений имеют вид:x 1 ,x 2 , …,x N . В качестве наилучшего выбирается среднее значение измеренной величины:

Абсолютной погрешностью единичного измерения называется разность вида:

.

Среднее значение абсолютной погрешности N единичных измерений:

(2)

называется средней абсолютной погрешностью .

Относительной погрешностью называется отношение средней абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины:

. (3)

Приборные погрешности при прямых измерениях

Если нет особых указаний, погрешность прибора равна половине его цены деления (линейка, мензурка).

Погрешность приборов, снабженных нониусом, равна цене деления нониуса (микрометр – 0,01 мм, штангенциркуль – 0,1 мм).

Погрешность табличных величин равна половине единицы последнего разряда (пять единиц следующего порядка за последней значащей цифрой).

Погрешность электроизмерительных приборов вычисляется согласно классу точности С , указанному на шкале прибора:

и

,

где U max и I max – предел измерения прибора.

Погрешность приборов с цифровой индикацией равна единице последнего разряда индикации.

После оценки случайной и приборной погрешностей в расчет принимается та, значение которой больше.

Вычисление погрешностей при косвенных измерениях

Большинство измерений являются косвенными. В этом случае искомая величина Х является функцией нескольких переменных а, b , c , значения которых можно найти прямыми измерениями: Х = f(a , b , c …).

Среднее арифметическое результата косвенных измерений будет равно:

Одним из способов вычисления погрешности является способ дифференцирования натурального логарифма функции Х = f(a , b , c …). Если, например, искомая величина Х определяется соотношением Х = , то после логарифмирования получаем:lnX = lna + lnb + ln(c + d ).

Дифференциал этого выражения имеет вид:

.

Применительно к вычислению приближенных значений его можно записать для относительной погрешности в виде:

. (4)

Абсолютная погрешность при этом рассчитывается по формуле:

Таким образом, расчет погрешностей и вычисление результата при косвенных измерениях производят в следующем порядке:

1) Проводят измерения всех величин, входящих в исходную формулу для вычисления конечного результата.

2) Вычисляют средние арифметические значения каждой измеряемой величины и их абсолютные погрешности.

3) Подставляют в исходную формулу средние значения всех измеренных величин и вычисляют среднее значение искомой величины:

4) Логарифмируют исходную формулу Х = f(a , b , c …) и записывают выражение для относительной погрешности в виде формулы (4).

5) Рассчитывают относительную погрешность  = .

6) Рассчитывают абсолютную погрешность результата по формуле (5).

7) Окончательный результат записывают в виде:

Абсолютные и относительные погрешности простейших функций приведены в таблице:

Источник

Абсолютная погрешность

Причины возникновения погрешности измерения

Погрешность измерения – это отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения.

Обычно «истинное» значение неизвестно, и можно только оценить погрешность, приняв в качестве «истинного» среднее значение, полученное в серии измерений. Таким образом, процесс оценки проводится статистическими методами.

Виды погрешности измерений

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Систематическая и случайная погрешности

Систематической погрешностью называют погрешность, которая остаётся постоянной или изменяется закономерно во времени при повторных измерениях одной и той же величины.

Систематическая погрешность всегда имеет знак «+» или «-», т.е. говорят о систематическом завышении или занижении результатов измерений.

Систематическую погрешность можно легко определить, если известно эталонное (табличное) значение измеряемой величины. Для других случаев разработаны эффективные статистические методы выявления систематических погрешностей. Причиной систематической погрешности может быть неправильная настройка приборов или неправильная оценка параметров (завышенная или заниженная) в расчётных формулах.

Случайной погрешностью называют погрешность, которая не имеет постоянного значения при повторных измерениях одной и той же величины.

Случайные погрешности неизбежны и всегда присутствуют при измерениях.

Определение абсолютной погрешности

Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины:

При пяти взвешиваниях гири с маркировкой 100 г были получены различные значения массы. Если принять маркировку за истинное значение, то получаем следующие значения абсолютной погрешности:

Источник

Измерения. Классификация ошибок измерений

В физике и в других науках весьма часто приходится производить измерения различных величин (например, длины, массы, времени, температуры, электрического сопротивления и т. д.).

Измерение – процесс нахождения значения физической величины с помощью специальных технических средств – измерительных приборов.

Измерительным прибором называют устройство, с помощью которого осуществляется сравнение измеряемой величины с физической величиной того же рода, принятой за единицу измерения.

Различают прямые и косвенные методы измерений.

Прямые методы измерений – методы, при которых значения определяемых величин находятся непосредственным сравнением измеряемого объекта с единицей измерения (эталоном). Например, измеряемая линейкой длина какого-либо тела сравнивается с единицей длины – метром, измеряемая весами масса тела сравнивается с единицей массы – килограммом и т. д. Таким образом, в результате прямого измерения определяемая величина получается сразу, непосредственно.

Косвенные методы измерений – методы, при которых значения определяемых величин вычисляются по результатам прямых измерений других величин, с которыми они связаны известной функциональной зависимостью. Например, определение длины окружности по результатам измерения диаметра или определение объема тела по результатам измерения его линейных размеров.

Ввиду несовершенства измерительных приборов, наших органов чувств, влияния внешних воздействий на измерительную аппаратуру и объект измерения, а также прочих факторов все измерения можно производить только с известной степенью точности; поэтому результаты измерений дают не истинное значение измеряемой величины, а лишь приближенное. Если, например, вес тела определен с точностью до 0,1 мг, то это значит, что найденный вес отличается от истинного веса тела менее чем на 0,1 мг.

Точность измерений – характеристика качества измерений, отражающая близость результатов измерений к истинному значению измеряемой величины.

Чем меньше погрешности измерений, тем больше точность измерений. Точность измерений зависит от используемых при измерениях прибо- ров и от общих методов измерений. Совершенно бесполезно стремиться при измерениях в данных условиях перейти за этот предел точности. Можно свести к минимуму воздействие причин, уменьшающих точность измерений, но полностью избавиться от них невозможно, то есть при измерениях всегда совершаются более или менее значительные ошибки (погрешности). Для увеличения точности окончательного результата всякое физическое измерение необходимо делать не один, а несколько раз при одинаковых условиях опыта.

Источник

Поделиться с друзьями
Моя стройка
Adblock
detector