Меню

Единицы измерения электрического момента диполя



Электрический дипольный момент

Классическая электродинамика
Электричество · Магнетизм
Электростатика
Закон Кулона
Теорема Гаусса
Электрический дипольный момент
Электрический заряд
Электрическая индукция
Электрическое поле
Электростатический потенциал
Магнитостатика
Закон Био — Савара — Лапласа
Закон Ампера
Магнитный момент
Магнитное поле
Магнитный поток
Электродинамика
Векторный потенциал
Диполь
Потенциалы Лиенара — Вихерта
Сила Лоренца
Ток смещения
Униполярная индукция
Уравнения Максвелла
Электрический ток
Электродвижущая сила
Электромагнитная индукция
Электромагнитное излучение
Электромагнитное поле
Электрическая цепь
Закон Ома
Законы Кирхгофа
Индуктивность
Радиоволновод
Резонатор
Электрическая ёмкость
Электрическая проводимость
Электрическое сопротивление
Электрический импеданс
Ковариантная формулировка
Тензор электромагнитного поля
Тензор энергии-импульса
4-потенциал
4-ток
Известные учёные
Генри Кавендиш
Майкл Фарадей
Никола Тесла
Андре-Мари Ампер
Густав Роберт Кирхгоф
Джеймс Клерк (Кларк) Максвелл
Генри Рудольф Герц
Альберт Абрахам Майкельсон
Роберт Эндрюс Милликен
См. также: Портал:Физика

Электри́ческий ди́польный моме́нт — векторная физическая величина, характеризующая, наряду с суммарным зарядом (и реже используемыми высшими мультипольными моментами), электрические свойства системы заряженных частиц (распределения зарядов) в смысле создаваемого ею поля и действия на нее внешних полей. Главная после суммарного заряда и положения системы в целом (ее радиус-вектора) характеристика конфигурации зарядов системы при наблюдении ее издали.

Дипольный момент — первый [прим 1] мультипольный момент.

Простейшая система зарядов, имеющая определенный (не зависящий от выбора начала координат) ненулевой дипольный момент — это диполь (две точечные частицы с одинаковыми по величине разноимёнными зарядами). Электрический дипольный момент такой системы по модулю равен произведению величины положительного заряда на расстояние между зарядами и направлен от отрицательного заряда к положительному, или:

— где q — величина положительного заряда, — вектор с началом в отрицательном заряде и концом в положительном.

Для системы из N частиц электрический дипольный момент равен

где — заряд частицы с номером а — её радиус-вектор; или, если суммировать отдельно по положительным и отрицательным зарядам:

где — число положительно/отрицательно заряженных частиц, — их заряды; — суммарные заряды положительной и отрицательной подсистем и радиус-векторы их «центров тяжести» [прим 2] .

Электрический дипольный момент нейтральной системы зарядов не зависит от выбора начала координат, а определяется относительным расположением (и величинами) зарядов в системе.

Из определения видно, что дипольный момент аддитивен (дипольный момент наложения нескольких систем зарядов равен просто векторной сумме их дипольных моментов), а в случае нейтральных систем это свойство приобретает еще более удобную форму в силу изложенного в абзаце выше.

Дипольный момент ненейтральной системы зарядов, вычисленный по приведенному выше определению, может выбором начала координат быть сделан равным любому наперед заданному числу (например, нулю). Однако и в этом случае, если мы хотим избежать такого произвола, при желании может быть использована какая-нибудь процедура внесения однозначности (которая будет тоже представлять собой предмет произвольного условного соглашения, но всё же будет формально фиксирована).

Но и при произвольном выборе начала координат (ограничивающемся тем условием, чтобы начало координат находилось внутри данной системы зарядов или по крайней мере близко от нее, и уж во всяком случае не попадая в ту область, в которой мы вычисляем дипольную поправку к полю единственного точечного заряда или дипольный член мультипольного разложения) все вычисления (дипольной поправки к потенциалу или напряженности поля, создаваемого системой, действующий на нее со стороны внешнего поля вращающий момент или дипольная поправка к потенциальной энергии системы во внешнем поле) проходят успешно.

Интересной иллюстрацией мог бы быть следующий пример:

Рассмотрим систему, состоящую из единственного точечного заряда q, однако начало координат выберем не совпадающим с его положением, хотя и очень близко от него (т.е. много ближе, чем расстояние, для которого мы хотим вычислить потенциал, создаваемый этой нашей простой системой). Таким образом, радиус вектор нашего точечного заряда будет где r — модуль радиус-вектора точки наблюдения. Тогда фомально нулевым приближением будет кулоновский потенциал ; однако это приближение содержит маленькую ошибку за счет того, что на самом деле расстояние от заряда до точки наблюдения не равно r, а равно . Именно эту ошибку в первом порядке (т.е. тоже приближенно, но с лучшей точностью) исправляет добавление потенциала диполя с дипольным моментом, равным . Наглядно это выглядит так: мы накладываем на заряд q, находящийся в начале координат, диполь так, что его отрицательный заряд -q в точности попадает на q в начале координат и его «уничтожает», а его положительный заряд (+q) — попадает в точку , то есть именно туда, где заряд должен находиться на самом деле — т.е. заряд передвигается из условного начала координат в правильное положение (хотя и близкое к началу координат). Используя суперпозицию дипольной поправки с нулевым приближением , мы получаем более точный ответ, т.е. дипольная поправка в нашем примере вызывает эффект, (приближенно) эквивалентный тому, чтобы сдвинуть заряд из условного начала координат в его правильное положение.

Электрический дипольный момент (если он ненулевой) определяет в главном приближении электрическое [прим 3] поле диполя (или любой ограниченной системы с суммарным нулевым зарядом) на большом расстоянии от него, а также воздействие на диполь внешнего электрического поля.

Физический и вычислительный смысл дипольного момента состоит в том, что он дает поправки первого порядка (чаще всего — малые) в положение каждого заряда системы по отношению к началу координат (которое может быть условным, но приближенно характеризует положение системы в целом — система при этом подразумевается достаточно компактной). Эти поправки входят в него в виду векторной суммы, и везде, где при вычислениях такая конструкция встречается (а в силу принципа суперпозиции и свойства сложения линейных поправок — см.Полный дифференциал — такая ситуация встречается часто), там в формулах оказывается дипольный момент.

Содержание

Электрическое поле диполя

Для фиксированных угловых координат (то есть на луче, идущем из центра электрического диполя на бесконечность) напряжённость статического [прим 4] электрического поля диполя или в целом нейтральной системы зарядов, имеющей ненулевой дипольный момент, [прим 5] на больших расстояниях r асимптотически приближается к виду r −3 , электрический потенциал — к r −2 . Таким образом, статическое поле диполя убывает на больших расстояниях быстрее, чем поле простого заряда (но медленнее, чем поле любого более старшего мультиполя).

Напряжённость электрического поля и электрический потенциал неподвижного или медленно движущегося диполя (или в целом нейтральной системы зарядов, имеющей ненулевой дипольный момент) с электрическим дипольным моментом на больших расстояниях в главном приближении выражается как:

в СГСЭ: в СИ:

где — единичный вектор из центра диполя в направлении точки измерения, а точкой обозначено скалярное произведение.

Достаточно просты выражения (в том же приближении, тождественно совпадающие с формулами, приведенными выше) для продольной (вдоль радус-вектора, проведенного от диполя в данную точку) и поперечной компонент напряженности электрического поля:

где — угол между направлением вектора дипольного момента и радиус-вектором в точку наблюдения (формулы приведены в системе СГС; в СИ аналогичные формулы отличаются только множителем ). Третья компонента напряженности электрического поля — ортогональная плоскости, в которой лежат вектор дипольного момента и радиус-вектор, — всегда равна нулю.

Действие поля на диполь

  • Во внешнем электрическом поле на электрический диполь действует момент сил который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля.
  • Потенциальная энергия электрического диполя в электрическом поле равна
  • Со стороны неоднородного поля на диполь действует сила (в первом приближении):

Об условиях корректности приближенных (в общем случае) формул данного параграфа — см.ниже.

Единицы измерения электрического дипольного момента

Системные единицы измерения электрического дипольного момента не имеют специального названия. В СИ это просто Кл·м.

Электрический дипольный момент молекул принято измерять в дебаях:

1 Д = 10 −18 единиц СГСЭ момента электрического диполя, 1 Д = 3,33564·10 −30 Кл·м.

Поляризация

Дипольный момент единицы объема (поляризованной) среды (диэлектрика) называется вектором поляризации (см. Поляризация).

Дипольный момент элементарных частиц

Многие экспериментальные работы посвящены поиску электрического дипольного момента (ЭДМ) фундаментальных и составных элементарных частиц, а именно электронов и нейтронов. Поскольку ЭДМ нарушает как пространственную (Р), так и временну́ю (T) чётность, его значение даёт (при условии ненарушенной СРТ-симметрии) модельно-независимую меру нарушения CP-симметрии в природе. Таким образом, значения ЭДМ дают сильные ограничения на масштаб CP-нарушения, которое может возникать в расширениях Стандартной Модели физики элементарных частиц.

Действительно, многие теории, несовместимые с существующими экспериментальными пределами на ЭДМ частиц, уже были исключены. Стандартная Модель (точнее, её сектор — квантовая хромодинамика) сама по себе разрешает гораздо большее значение ЭДМ нейтрона (около 10 −8 дебая), чем эти пределы, что привело к так называемой сильной CP-проблеме и вызвало поиски новых гипотетических частиц, таких как аксион.

Текущее поколение экспериментов по поиску ЭДМ частиц достигает чувствительности в диапазоне, где могут проявляться эффекты суперсимметрии. Эти эксперименты дополняют поиск эффектов суперсимметрии на LHC.

Дипольное приближение

Дипольный член (определяемый дипольным моментом системы или распределения зарядов) является лишь одним из членов бесконечного ряда, называемого мультипольным разложением, дающего при полном суммировании точное значение потенциала или напряженности поля в точках, находящихся на конечном расстоянии от системы зарядов-источников. В этом смысле дипольный член выступает как равноправный с остальными, в том числе и высшими, членами мультипольного разложения (хотя зачастую он и может давать больший вклад в сумму, чем высшие члены). Этот взгляд на дипольный момент и дипольный вклад в создаваемое системой зарядов электрическое поле обладает существенной теоретической ценностью, но в деталях довольно сложен и довольно далеко выходит за рамки необходимого для понимания существенных физического смысла свойств дипольного момента и большинства областей его использования.

Для прояснения физического смысла дипольного момента, так же как и для большинства его приложений, достаточно ограничиться гораздо более простым подходом — рассматривать дипольное приближение.

Широкое использование дипольного приближения основывается на той ситуации, что очень во многих, в том числе теоретически и практически важных случаях можно не суммировать весь ряд мультипольного разложения, а ограничиться только низшими его членами — до дипольного включительно. Часто этот подход дает вполне удовлетворительную или даже очень маленькую погрешность.

Дипольное приближение для системы источников

В электростатике достаточное условие применимости дипольного приближения (в смысле задачи определения электрического потенциала или напряженности электрического поля, создаваемого системой зарядов, имеющей определенный суммарный заряд и определенный дипольный момент) описывается весьма просто: хорошим это приближение является для областей пространства, удаленных от системы-источника на расстояние r, много большее, чем характерный (а лучше — чем максимальный) размер d самой этой системы. Таким образом, для условий дипольное приближение r >> d является хорошим.

Если суммарный заряд системы равен нулю, а ее дипольный момент нулю не равен, дипольное приближение в своей области применимости является главным приближением, то есть в его области применимости оно описывает основной вклад в электрическое поле. Остальные же вклады при r >> d пренебрежимо малы (если только дипольный момент не оказывается слишком мал по сравнению с квадрупольным, октупольным или высшими мультипольными моментами).

Если суммарный заряд не равен нулю, главным становится монопольное приближение (нулевое приближение, закон Кулона в чистом виде), а дипольное приближение, являясь следующим, первым, приближением, может играть роль малой поправки к нему. Впрочем, в такой ситуации эта поправка будет очень мала в сравнении с нулевым приближением, если только мы находимся в области пространства, где вообще говоря само дипольное приближение является хорошим. Это несколько снижает его ценность в данном случае (за исключением, правда, ситуаций, описанных чуть ниже), поэтому главной областью применения дипольного приближения приходится признать случай нейтральных в целом систем зарядов.

Существуют ситуации, когда дипольное приближение является хорошим (иногда очень хорошим и в каких-то случаях даже может давать практически точное решение) и при невыполнении условия r >> d. Для этого нужно только чтобы высшие мультипольные моменты (начиная с квадрупольного) обращались в ноль или очень быстро стремились к нулю. Это довольно легко реализуется для некоторых распределенных систем. [прим 6]

В дипольном приближении, если суммарный заряд ноль, вся система зарядов, какой бы она ни была, если только ее дипольный момент не ноль, эквивалентна маленькому диполю (в этом случае всегда подразумевается маленький диполь) — в том смысле, что она создает поле, приближенно совпадающее с полем маленького диполя. В этом смысле любую такую систему отождествляют с диполем и к ней могут применяться термины диполь, поле диполя итд. В статье выше, даже если это не оговорено явно, всегда можно вместо слова диполь слова «нейтральная в целом система, имеющая ненулевой дипольный момент» — но, конечно, вообще говоря только в случае, если подразумевается выполнение условий корректности дипольного приближения.

Дипольное приближение для действия внешнего поля на систему зарядов

Идеально дипольное приближение для формул механического момента, создаваемого внешним полем, действующим на диполь, и потенциальной энергии диполя во внешнем поле, работает в случае однородности внешнего поля. В этом случае эти две формулы выполняются точно для любой системы, имеющей определенный дипольный момент, независимо от размера (равенство нулю суммарного ее заряда подразумевается).

Границу приемлемости дипольного приближения для этих формул определяет в целом такое условие: разность напряженности поля в разных точках системы должна быть по модулю много меньше самого значения напряженности поля. Качественно это означает, что для обеспечения корректности этих формул размеры системы должны быть тем меньше, чем более неоднородно действующее на нее поле.

Источник

Электрический дипольный момент — Electric dipole moment

Электрический дипольный момент является мерой разделения положительных и отрицательных электрических зарядов в системе, то есть мера общей системы полярности . В системе единиц СИ для электрического дипольного момента являются кулонов — метр (C⋅m); однако обычно используемой единицей в атомной физике и химии является дебай (D).

Теоретически электрический диполь определяется членом первого порядка мультипольного разложения ; он состоит из двух равных и противоположных зарядов, бесконечно близких друг к другу, хотя реальные диполи имеют разделенный заряд.

СОДЕРЖАНИЕ

Элементарное определение

Часто в физике можно пренебречь размерами массивного объекта и рассматривать его как точечный объект, то есть точечную частицу . Точечные частицы с электрическим зарядом называются точечными зарядами . Два точечных заряда, один с зарядом + q, а другой с зарядом — q, разделенные расстоянием d , составляют электрический диполь (простой случай электрического мультиполя ). В этом случае электрический дипольный момент имеет величину

п знак равно q d <\ displaystyle p = qd>

и направлена ​​от отрицательного заряда к положительному. Некоторые авторы могут разделить d пополам и использовать s = d / 2, поскольку эта величина представляет собой расстояние между любым зарядом и центром диполя, что приводит к коэффициенту два в определении.

Более сильное математическое определение — использовать векторную алгебру , поскольку величина с величиной и направлением, такая как дипольный момент двух точечных зарядов, может быть выражена в векторной форме

п знак равно q d <\ Displaystyle \ mathbf

= д \ mathbf >

где d — вектор смещения, направленный от отрицательного заряда к положительному. Вектор электрического дипольного момента p также указывает от отрицательного заряда к положительному.

Идеализацией этой двухзарядной системы является точечный электрический диполь, состоящий из двух (бесконечных) зарядов, разделенных лишь на бесконечно малые расстояния, но с конечным p .

Эта величина используется при определении плотности поляризации .

Энергия и крутящий момент

На объект с электрическим дипольным моментом действует крутящий момент τ, когда он помещен во внешнее электрическое поле. Крутящий момент стремится выровнять диполь с полем. Диполь, расположенный параллельно электрическому полю, имеет меньшую потенциальную энергию, чем диполь, находящийся с ним под некоторым углом. Для пространственно однородного электрического поля E энергия U и крутящий момент определяются выражением τ <\ displaystyle <\ boldsymbol <\ tau>>>

U знак равно — п ⋅ E , τ знак равно п × E , <\ Displaystyle U = - \ mathbf

\ cdot \ mathbf , \ qquad \ <\ boldsymbol <\ tau>> = \ mathbf

\ times \ mathbf ,>

где p — дипольный момент, а символ «×» обозначает векторное произведение . Вектор поля и вектор диполя определяют плоскость, а крутящий момент направлен перпендикулярно этой плоскости с направлением, заданным правилом правой руки .

Диполь, ориентированный параллельно или антипараллельно направлению увеличения неоднородного электрического поля (градиент поля), будет испытывать крутящий момент, а также силу в направлении своего дипольного момента. Можно показать, что эта сила всегда будет параллельна дипольному моменту независимо от со- или антипараллельной ориентации диполя.

Читайте также:  Единицы измерения массы жидкости

Выражение (общий случай)

В более общем смысле, для непрерывного распределения заряда, ограниченного объемом V , соответствующее выражение для дипольного момента имеет вид:

п ( р ) знак равно ∫ V ρ ( р 0 ) ( р 0 — р ) d 3 р 0 , <\ Displaystyle \ mathbf

(\ mathbf ) = \ int \ limits _ \ rho (\ mathbf _ <0>) \, \ left (\ mathbf _ <0 >— \ mathbf \ right) \ d ^ <3>\ mathbf _ <0>,>

где г находит точку наблюдения и г 3 г обозначает элементарный объем в V . Для массива точечных зарядов плотность заряда становится суммой дельта-функций Дирака :

ρ ( р ) знак равно ∑ я знак равно 1 N q я δ ( р — р я ) , <\ displaystyle \ rho (\ mathbf ) = \ sum _ ^ \, q_ \, \ delta \ left (\ mathbf — \ mathbf _ <Я прав),>

где каждый R я является вектором из некоторой опорной точки до заряда ц я . Подстановка в приведенную выше формулу интегрирования дает:

п ( р ) знак равно ∑ я знак равно 1 N q я ∫ V δ ( р 0 — р я ) ( р 0 — р ) d 3 р 0 знак равно ∑ я знак равно 1 N q я ( р я — р ) . <\ displaystyle \ mathbf

(\ mathbf ) = \ sum _ ^ \, q_ \ int \ limits _ \ delta \ left (\ mathbf < r>_ <0>— \ mathbf _ \ right) \, \ left (\ mathbf _ <0>— \ mathbf \ right) \ d ^ <3>\ mathbf _ <0>= \ sum _ ^ \, q_ \ left (\ mathbf _ — \ mathbf \ right).>

Это выражение эквивалентно предыдущему выражению в случае нейтральности заряда и N = 2. Для двух противоположных зарядов, обозначая расположение положительного заряда пары как r + и расположение отрицательного заряда как r :

п ( р ) знак равно q 1 ( р 1 — р ) + q 2 ( р 2 — р ) знак равно q ( р + — р ) — q ( р — — р ) знак равно q ( р + — р — ) знак равно q d , <\ displaystyle \ mathbf

(\ mathbf ) = q_ <1>(\ mathbf _ <1>— \ mathbf ) + q_ <2>(\ mathbf _ < 2>— \ mathbf ) = q (\ mathbf _ <+>— \ mathbf ) -q (\ mathbf _ <->— \ mathbf ) = q ( \ mathbf _ <+>— \ mathbf _ <->) = q \ mathbf ,>

показывая, что вектор дипольного момента направлен от отрицательного заряда к положительному, поскольку вектор положения точки направлен наружу от начала координат к этой точке.

Дипольный момент особенно полезен в контексте общей нейтральной системы зарядов, например пары противоположных зарядов или нейтрального проводника в однородном электрическом поле. Для такой системы зарядов, представленной в виде массива пар противоположных зарядов, соотношение для электрического дипольного момента будет следующим:

п ( р ) знак равно ∑ я знак равно 1 N ∫ V q я [ δ ( р 0 — ( р я + d я ) ) — δ ( р 0 — р я ) ] ( р 0 — р ) d 3 р 0 знак равно ∑ я знак равно 1 N q я [ р я + d я — р — ( р я — р ) ] знак равно ∑ я знак равно 1 N q я d я знак равно ∑ я знак равно 1 N п я , <\ displaystyle <\ begin \ mathbf

(\ mathbf ) & = \ sum _ ^ \, \ int \ limits _ q_ \ left [\ delta \ left (\ mathbf _ <0>— \ left (\ mathbf _ + \ mathbf _ \ right) \ right) — \ delta \ left (\ mathbf _ <0>— \ mathbf _ \ right) \ right] \, \ left (\ mathbf _ <0>— \ mathbf \ right) \ d ^ <3>\ mathbf _ <0>\\ & = \ sum _ ^ \, q_ \, \ left [\ mathbf _ + \ mathbf _ — \ mathbf — \ left (\ mathbf _ — \ mathbf \ right) \ right] \\ & = \ sum _ ^ q_ \ mathbf _ = \ sum _ ^ \ mathbf

_ \, \ end <выровнено>> >

где r — точка наблюдения, а d i = r ‘ i r i , r i — положение отрицательного заряда в диполе i , а r ‘ i — положение положительного заряда. Это векторная сумма отдельных дипольных моментов нейтральных зарядовых пар. (Из — за общий заряд нейтральности, то дипольный момент не зависит от позиции наблюдателя г .) Таким образом, значение р не зависит от выбора точки отсчета, при условии , что общий заряд системы равен нуль.

При обсуждении дипольного момента ненейтральной системы, такого как дипольный момент протона , возникает зависимость от выбора точки отсчета. В таких случаях обычный выбрать точку отсчета , чтобы быть центром масс системы, а не некоторое произвольное происхождения. Этот выбор является не только условным: понятие дипольного момента по существу происходит из механического понятия крутящего момента, и, как и в механике, с вычислительной и теоретической точки зрения полезно выбрать центр масс в качестве точки наблюдения. Для заряженной молекулы ориентиром должен быть центр заряда, а не центр масс. Для нейтральных систем точка отсчета не важна. Дипольный момент — внутреннее свойство системы.

Потенциал и поле электрического диполя.

Идеальный диполь состоит из двух противоположных зарядов с бесконечно малым разделением. Мы вычисляем потенциал и поле такого идеального диполя, начиная с двух противоположных зарядов на расстоянии d> 0 и принимая предел при d → 0.

Два близко расположенных противоположных заряда ± q имеют потенциал вида:

ϕ ( р ) знак равно q 4 π ε 0 | р — р + | — q 4 π ε 0 | р — р — | , <\ displaystyle \ phi (\ mathbf ) \ = \ <\ frac <4 \ pi \ varepsilon _ <0>\ left | \ mathbf — \ mathbf _ <+>\ right |>> — <\ frac <4 \ pi \ varepsilon _ <0>\ left | \ mathbf — \ mathbf _ <->\ right |>> \,>

где разделение зарядов:

d знак равно р + — р — , d знак равно | d | . <\ Displaystyle \ mathbf = \ mathbf _ <+>— \ mathbf _ <->\, \ \ \ d = | \ mathbf | \ ,.>

Пусть R обозначает вектор положения относительно средней точки и соответствующий единичный вектор: р + + р — 2 <\ displaystyle <\ frac <\ mathbf _ <+>+ \ mathbf _ <->> <2>>> р ^ <\ displaystyle <\ hat <\ mathbf >>>

р знак равно р — р + + р — 2 , р ^ знак равно р р , <\ displaystyle \ mathbf = \ mathbf — <\ frac <\ mathbf _ <+>+ \ mathbf _ <->> <2>>, \ quad <\ hat < \ mathbf >> = <\ frac <\ mathbf > > \,>

Разложение Тейлора в (см. Мультипольное разложение и квадруполь ) выражает этот потенциал в виде ряда. d р <\ displaystyle <\ tfrac >>

ϕ ( р ) знак равно 1 4 π ε 0 q d ⋅ р ^ р 2 + О ( d 2 р 2 ) ≈ 1 4 π ε 0 п ⋅ р ^ р 2 , <\ displaystyle \ phi (\ mathbf ) \ = \ <\ frac <1><4 \ pi \ varepsilon _ <0>>> <\ frac \ cdot <\ hat <\ mathbf >>> >> + O \ left (<\ frac > >> \ right) \ \ приблизительно \ <\ frac <1 ><4 \ pi \ varepsilon _ <0>>> <\ frac <\ mathbf

\ cdot <\ hat <\ mathbf >>> >> \,>

где члены более высокого порядка в ряду исчезают на больших расстояниях R по сравнению с d . Здесь электрический дипольный момент p равен, как указано выше:

п знак равно q d . <\ displaystyle \ mathbf

= q \ mathbf \.>

Результат для дипольного потенциала также может быть выражен как:

ϕ ( р ) знак равно — п ⋅ ∇ 1 4 π ε 0 р , <\ displaystyle \ phi (\ mathbf ) = — \ mathbf

\ cdot \ mathbf <\ nabla> <\ frac <1> <4 \ pi \ varepsilon _ <0>R>> \,>

который связывает дипольный потенциал с точечным зарядом. Ключевым моментом является то, что потенциал диполя падает быстрее с расстоянием R, чем потенциал точечного заряда.

Электрическое поле диполя представляет собой отрицательный градиент потенциала, приводящий к:

E ( р ) знак равно 3 ( п ⋅ р ^ ) р ^ — п 4 π ε 0 р 3 . <\ Displaystyle \ mathbf \ left (\ mathbf \ right) = <\ frac <3 \ left (\ mathbf

\ cdot <\ hat <\ mathbf >> \ right) < \ hat <\ mathbf >> — \ mathbf

> <4 \ pi \ varepsilon _ <0>R ^ <3>>> \.>

Таким образом, хотя два близко расположенных противоположных заряда не совсем идеальный электрический диполь (потому что их потенциал на коротких расстояниях не диполь), на расстояниях, намного больших, чем их разделение, их дипольный момент p появляется непосредственно в их потенциале и поле.

Когда два заряда сближаются ( d становится меньше), дипольный член в мультипольном расширении на основе отношения d / R становится единственным значимым членом на все более близких расстояниях R , а в пределе бесконечно малого разделения дипольный член в этом расширении все, что имеет значение. Однако, поскольку d делается бесконечно малым, дипольный заряд должен увеличиваться, чтобы поддерживать p постоянным. Этот ограничивающий процесс приводит к «точечному диполю».

Плотность дипольного момента и плотность поляризации

Дипольный момент массива зарядов,

п знак равно ∑ я знак равно 1 N q я d я , <\ displaystyle \ mathbf

= \ sum _ ^ \ q_ \ mathbf > \,>

определяет степень полярности массива, но для нейтрального массива это просто свойство вектора массива без информации об абсолютном расположении массива. Дипольный момент плотность массива р ( г ) содержит как местоположение массива и его дипольный момент. Когда приходит время вычислить электрическое поле в некоторой области, содержащей массив, уравнения Максвелла решаются, и информация о массиве зарядов содержится в плотности поляризации P ( r ) уравнений Максвелла. В зависимости от того, насколько детально требуется оценка электрического поля, более или менее информация о массиве зарядов должна быть выражена через P ( r ). Как поясняется ниже, иногда достаточно точно взять P ( r ) = p ( r ). Иногда требуется более подробное описание (например, дополнение плотности дипольного момента дополнительной квадрупольной плотностью), а иногда даже более сложные версии P ( r ).

Теперь выясняется, каким образом плотность поляризации P ( r ), входящая в уравнения Максвелла, связана с дипольным моментом p всего нейтрального массива зарядов, а также с плотностью дипольного момента p ( r ) (которая описывает не только дипольный момент, но также и расположение массива). Далее рассматриваются только статические ситуации, поэтому P (r) не зависит от времени и нет тока смещения . Сначала обсудим плотность поляризации P ( r ). За этим обсуждением следует несколько конкретных примеров.

Формулировка уравнений Максвелла, основанная на разделении зарядов и токов на «свободные» и «связанные» заряды и токи, приводит к введению D- и P- полей:

D знак равно ε 0 E + п , <\ Displaystyle \ mathbf = \ varepsilon _ <0>\ mathbf + \ mathbf

\,>

где P называется плотностью поляризации . В этой формулировке дивергенция этого уравнения дает:

∇ ⋅ D знак равно ρ ж знак равно ε 0 ∇ ⋅ E + ∇ ⋅ п , <\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf = \ rho _ = \ varepsilon _ <0>\ nabla \ cdot \ mathbf + \ nabla \ cdot \ mathbf

\,>

а так как член дивергенции в E — это полный заряд, а ρ f — «свободный заряд», мы остаемся с соотношением:

∇ ⋅ п знак равно — ρ б , <\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf

= — \ rho _ \,>

с ρ b в качестве связанного заряда, под которым понимается разница между полной и свободной плотностями заряда.

Кстати, в отсутствие магнитных эффектов уравнения Максвелла указывают, что

∇ × E знак равно 0 , <\ Displaystyle \ набла \ раз \ mathbf = <\ boldsymbol <0>> \,>

∇ × ( D — п ) знак равно 0 , <\ displaystyle \ nabla \ times \ left (\ mathbf — \ mathbf

\ right) = <\ boldsymbol <0>> \,>

D — п знак равно — ∇ φ , <\ Displaystyle \ mathbf \ varphi \,>

для некоторого скалярного потенциала φ , и:

∇ ⋅ ( D — п ) знак равно ε 0 ∇ ⋅ E знак равно ρ ж + ρ б знак равно — ∇ 2 φ . <\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf — \ mathbf

) = \ varepsilon _ <0>\ nabla \ cdot \ mathbf = \ rho _ + \ rho _ = — \ nabla ^ <2>\ varphi \.>

Предположим, что заряды делятся на свободные и связанные, а потенциал делится на

φ знак равно φ ж + φ б . <\ displaystyle \ varphi = \ varphi _ + \ varphi _ \.>

Удовлетворение граничных условий на φ можно произвольно разделить между φ f и φ b, потому что только сумма φ должна удовлетворять этим условиям. Отсюда следует, что P просто пропорционально электрическому полю из-за зарядов, выбранных как связанные, с граничными условиями, которые оказываются удобными. В частности, когда нет свободного заряда нет, один возможный выбор Р = ε Е .

Далее обсуждается, как несколько различных описаний дипольного момента среды связаны с поляризацией, входящей в уравнения Максвелла.

Среда с зарядовой и дипольной плотностями

Как описано ниже, модель для плотности поляризационного момента p ( r ) приводит к поляризационному

п ( р ) знак равно п ( р ) <\ Displaystyle \ mathbf

(\ mathbf ) = \ mathbf

(\ mathbf ) \,>

ограничен той же моделью. Для плавно изменяющегося распределения дипольного момента p ( r ) соответствующая плотность связанного заряда просто

∇ ⋅ п ( р ) знак равно ρ б , <\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf

(\ mathbf ) = \ rho _ ,>

как мы вскоре установим путем интеграции по частям . Однако, если p ( r ) демонстрирует резкий скачок дипольного момента на границе между двумя областями, ∇ · p ( r ) приводит к компоненту связанного заряда на поверхности. Этот поверхностный заряд можно обработать с помощью поверхностного интеграла или с помощью условий разрыва на границе, как показано в различных примерах ниже.

В качестве первого примера связи дипольного момента с поляризацией рассмотрим среду, состоящую из непрерывной плотности заряда ρ ( r ) и непрерывного распределения дипольного момента p ( r ). Потенциал в позиции r равен:

ϕ ( р ) знак равно 1 4 π ε 0 ∫ ρ ( р 0 ) | р — р 0 | d 3 р 0 + 1 4 π ε 0 ∫ п ( р 0 ) ⋅ ( р — р 0 ) | р — р 0 | 3 d 3 р 0 , <\ displaystyle \ phi (\ mathbf ) = <\ frac <1><4 \ pi \ varepsilon _ <0>>> \ int <\ frac <\ rho \ left (\ mathbf _ <0 >\ right)> <\ left | \ mathbf — \ mathbf _ <0>\ right |>> d ^ <3>\ mathbf _ <0>\ + <\ frac <1 ><4 \ pi \ varepsilon _ <0>>> \ int <\ frac <\ mathbf

\ left (\ mathbf _ <0>\ right) \ cdot \ left (\ mathbf — \ mathbf _ <0>\ right)> <| \ mathbf — \ mathbf _ <0>| ^ <3>>> d ^ <3>\ mathbf _ <0 >,>

где ρ ( r ) — плотность неспаренного заряда, а p ( r ) — плотность дипольного момента. Использование удостоверения:

∇ р 0 1 | р — р 0 | знак равно р — р 0 | р — р 0 | 3 <\ displaystyle \ nabla _ <\ mathbf _ <0>> <\ frac <1> <\ left | \ mathbf — \ mathbf _ <0>\ right |>> = <\ гидроразрыв <\ mathbf — \ mathbf _ <0>> <\ left | \ mathbf — \ mathbf _ <0>\ right | ^ <3>>>>

интеграл поляризации можно преобразовать:

1 4 π ε 0 ∫ п ( р 0 ) ⋅ ( р — р 0 ) | р — р 0 | 3 d 3 р 0 знак равно 1 4 π ε 0 ∫ п ( р 0 ) ⋅ ∇ р 0 1 | р — р 0 | d 3 р 0 , знак равно 1 4 π ε 0 ∫ ∇ р 0 ⋅ ( п ( р 0 ) 1 | р — р 0 | ) d 3 р 0 — 1 4 π ε 0 ∫ ∇ р 0 ⋅ п ( р 0 ) | р — р 0 | d 3 р 0 , <\ displaystyle <\ begin & <\ frac <1><4 \ pi \ varepsilon _ <0>>> \ int <\ frac <\ mathbf

\ left (\ mathbf _ <0 >\ right) \ cdot (\ mathbf — \ mathbf _ <0>)> <\ left | \ mathbf — \ mathbf _ <0>\ right | ^ <3>>> d ^ <3>\ mathbf _ <0>= <\ frac <1><4 \ pi \ varepsilon _ <0>>> \ int \ mathbf

\ left (\ mathbf _ <0>\ right) \ cdot \ nabla _ <\ mathbf _ <0>> <\ frac <1> <\ left | \ mathbf — \ mathbf _ <0>\ right |>> d ^ <3>\ mathbf _ <0>, \\ = <> & <\ frac <1><4 \ pi \ varepsilon _ <0>>> \ int \ nabla _ <\ mathbf _ <0>> \ cdot \ left (\ mathbf

\ left (\ mathbf _ <0>\ right) <\ frac <1> <\ left | \ mathbf — \ mathbf _ <0>\ right |>> \ right) d ^ <3>\ mathbf _ <0>— <\ frac <1><4 \ pi \ varepsilon _ <0>>> \ int <\ frac <\ nabla _ <\ mathbf _ <0>> \ cdot \ mathbf

\ left (\ mathbf _ <0>\ right)> <\ left | \ mathbf — \ mathbf _ <0>\ right |>> d ^ <3>\ mathbf _ <0>, \ end >>

где на последних шагах использовалась векторная идентичность . Первый член может быть преобразован в интеграл по поверхности, ограничивающей объем интегрирования, и вносит вклад в поверхностную плотность заряда, обсуждаемую позже. Возврат этого результата в потенциал и игнорирование поверхностного заряда: ∇ ⋅ ( А B ) знак равно ( ∇ ⋅ А ) B + А ⋅ ( ∇ B ) ⇒ А ⋅ ( ∇ B ) знак равно ∇ ⋅ ( А B ) — ( ∇ ⋅ А ) B <\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf ) = (\ nabla \ cdot \ mathbf ) + \ mathbf \ cdot (\ nabla ) \ Rightarrow \ mathbf \ cdot (\ nabla ) = \ nabla \ cdot (\ mathbf ) — (\ nabla \ cdot \ mathbf ) >

ϕ ( р ) знак равно 1 4 π ε 0 ∫ ρ ( р 0 ) — ∇ р 0 ⋅ п ( р 0 ) | р — р 0 | d 3 р 0 , <\ displaystyle \ phi (\ mathbf ) = <\ frac <1><4 \ pi \ varepsilon _ <0>>> \ int <\ frac <\ rho \ left (\ mathbf _ <0 >\ right) — \ nabla _ <\ mathbf _ <0>> \ cdot \ mathbf

\ left (\ mathbf _ <0>\ right)> <\ left | \ mathbf — \ mathbf _ <0>\ right |>> d ^ <3>\ mathbf _ <0>\,>

где объемное интегрирование распространяется только до ограничивающей поверхности и не включает эту поверхность.

Потенциал определяется общим зарядом, который, как показано выше, состоит из:

ρ общий ( р 0 ) знак равно ρ ( р 0 ) — ∇ р 0 ⋅ п ( р 0 ) , <\ displaystyle \ rho _ <\ text > \ left (\ mathbf _ <0>\ right) = \ rho \ left (\ mathbf _ <0>\ right) — \ nabla _ <\ mathbf _ <0>> \ cdot \ mathbf

\ left (\ mathbf _ <0>\ right) \,>

— ∇ р 0 ⋅ п ( р 0 ) знак равно ρ б . <\ displaystyle - \ nabla _ <\ mathbf _ <0>> \ cdot \ mathbf

Читайте также:  Тесты для измерения температуры тела

\ left (\ mathbf _ <0>\ right) = \ rho _ \.>

Короче говоря, плотность дипольного момента p ( r ) играет роль плотности поляризации P для этой среды. Обратите внимание, что p ( r ) имеет ненулевую дивергенцию, равную плотности связанного заряда (смоделированной в этом приближении).

Можно отметить, что этот подход может быть расширен для включения всех мультиполей: диполя, квадруполя и т. Д. Используя соотношение:

∇ ⋅ D знак равно ρ ж , <\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf = \ rho _ \,>

плотность поляризации оказывается равной:

п ( р ) знак равно п окунать — ∇ ⋅ п четырехъядерный + … , <\ displaystyle \ mathbf

(\ mathbf ) = \ mathbf

_ <\ text > — \ nabla \ cdot \ mathbf

_ <\ text > + \ ldots \,>

где добавленные члены предназначены для обозначения вкладов от более высоких мультиполей. Очевидно, включение более высоких мультиполей означает, что плотность поляризации P больше не определяется только плотностью дипольного момента p . Например, при рассмотрении рассеяния от массива зарядов разные мультиполи рассеивают электромагнитную волну по-разному и независимо, что требует представления зарядов, выходящего за рамки дипольного приближения.

Поверхностный заряд

Выше было отложено обсуждение первого члена в выражении для потенциала, обусловленного диполями. Интегрирование расходимости приводит к поверхностному заряду. Рисунок справа дает интуитивное представление о том, почему возникает поверхностный заряд. На рисунке показан однородный массив идентичных диполей между двумя поверхностями. Внутри головы и хвосты диполей смежны и сокращаются. Однако на ограничивающих поверхностях отмены не происходит. Вместо этого на одной поверхности головки диполя создают положительный поверхностный заряд, а на противоположной поверхности хвосты диполя создают отрицательный поверхностный заряд. Эти два противоположных поверхностных заряда создают чистое электрическое поле в направлении, противоположном направлению диполей.

Этой идее придается математическая форма с использованием приведенного выше потенциального выражения. Если не брать в расчет бесплатную плату, есть вероятность:

ϕ ( р ) знак равно 1 4 π ε 0 ∫ ∇ р 0 ⋅ ( п ( р 0 ) 1 | р — р 0 | ) d 3 р 0 — 1 4 π ε 0 ∫ ∇ р 0 ⋅ п ( р 0 ) | р — р 0 | d 3 р 0 . <\ displaystyle \ phi \ left (\ mathbf \ right) = <\ frac <1><4 \ pi \ varepsilon _ <0>>> \ int \ nabla _ <\ mathbf _ <0>> \ cdot \ left (\ mathbf

\ left (\ mathbf _ <0>\ right) <\ frac <1> <\ left | \ mathbf — \ mathbf _ <0 >\ right |>> \ right) d ^ <3>\ mathbf _ <0>— <\ frac <1><4 \ pi \ varepsilon _ <0>>> \ int <\ frac <\ nabla _ <\ mathbf _ <0>> \ cdot \ mathbf

\ left (\ mathbf _ <0>\ right)> <\ left | \ mathbf — \ mathbf _ <0>\ right |>> d ^ <3>\ mathbf _ <0>\.>

Используя теорему о дивергенции, член дивергенции превращается в поверхностный интеграл:

1 4 π ε 0 ∫ ∇ р 0 ⋅ ( п ( р 0 ) 1 | р — р 0 | ) d 3 р 0 знак равно 1 4 π ε 0 ∫ п ( р 0 ) ⋅ d А 0 | р — р 0 | , <\ displaystyle <\ begin & <\ frac <1><4 \ pi \ varepsilon _ <0>>> \ int \ nabla _ <\ mathbf _ <0>> \ cdot \ left (\ mathbf

\ left (\ mathbf _ <0>\ right) <\ frac <1> <\ left | \ mathbf — \ mathbf _ <0>\ right |>> \ справа) d ^ <3>\ mathbf _ <0>\\ = <> & <\ frac <1><4 \ pi \ varepsilon _ <0>>> \ int <\ frac <\ mathbf

\ left (\ mathbf _ <0>\ right) \ cdot d \ mathbf _ <0>> <\ left | \ mathbf — \ mathbf _ <0>\ right |>> \, \ конец <выровнено>>>

с d A — элемент площади поверхности. В случае, если p ( r ) является константой, сохраняется только поверхностный член:

ϕ ( р ) знак равно 1 4 π ε 0 ∫ 1 | р — р 0 | п ⋅ d А 0 , <\ displaystyle \ phi (\ mathbf ) = <\ frac <1><4 \ pi \ varepsilon _ <0>>> \ int <\ frac <1> <\ left | \ mathbf — \ mathbf _ <0>\ right |>> \ \ mathbf

\ cdot d \ mathbf _ <0>\,>

с d A — элементарный участок поверхности, ограничивающий заряды. Другими словами, потенциал из-за постоянного p внутри поверхности эквивалентен потенциалу поверхностного заряда

σ знак равно п ⋅ d А <\ Displaystyle \ sigma = \ mathbf

\ cdot d \ mathbf >

который является положительным для элементов поверхности с компонентом в направлении p и отрицательным для элементов поверхности, направленных в противоположную сторону . (Обычно за направление поверхностного элемента берется направление внешней нормали к поверхности в месте расположения элемента.)

Если ограничивающая поверхность является сферой, а точка наблюдения находится в центре этой сферы, интегрирование по поверхности сферы равно нулю: положительный и отрицательный вклады поверхностного заряда в потенциал сокращаются. Однако, если точка наблюдения смещена от центра, может возникнуть чистый потенциал (в зависимости от ситуации), потому что положительные и отрицательные заряды находятся на разных расстояниях от точки наблюдения. Поле, обусловленное поверхностным зарядом, равно:

E ( р ) знак равно — 1 4 π ε 0 ∇ р ∫ 1 | р — р 0 | п ⋅ d А 0 , <\ displaystyle \ mathbf \ left (\ mathbf \ right) = — <\ frac <1><4 \ pi \ varepsilon _ <0>>> \ nabla _ <\ mathbf > \ int <\ frac <1> <\ left | \ mathbf — \ mathbf _ <0>\ right |>> \ \ mathbf

\ cdot d \ mathbf _ <0>\ ,>

который в центре сферической ограничивающей поверхности не равен нулю ( поля отрицательных и положительных зарядов на противоположных сторонах центра складываются, потому что оба поля указывают одинаково), а вместо этого:

E знак равно — п 3 ε 0 . <\ displaystyle \ mathbf = — <\ frac <\ mathbf

> <3 \ varepsilon _ <0>>> \.>

Если мы предположим, что поляризация диполей была вызвана внешним полем, поле поляризации противостоит приложенному полю и иногда называется полем деполяризации . В случае, когда поляризация находится вне сферической полости, поле в полости из-за окружающих диполей имеет то же направление, что и поляризация.

В частности, если ввести электрическую восприимчивость через приближение:

п ( р ) знак равно ε 0 χ ( р ) E ( р ) , <\ Displaystyle \ mathbf

(\ mathbf ) = \ varepsilon _ <0>\ chi (\ mathbf ) \ mathbf (\ mathbf ) \,>

где E в этом случае и в дальнейшем представляет внешнее поле, индуцирующее поляризацию.

∇ ⋅ п ( р ) знак равно ∇ ⋅ ( χ ( р ) ε 0 E ( р ) ) знак равно — ρ б . <\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf

(\ mathbf ) = \ nabla \ cdot \ left (\ chi (\ mathbf ) \ varepsilon _ <0>\ mathbf (\ mathbf ) \ right) = — \ rho _ \.>

Всякий раз, когда χ ( r ) используется для моделирования скачка ступеньки на границе между двумя областями, ступенька создает слой поверхностного заряда. Например, интегрирование по нормали к ограничивающей поверхности от точки внутри одной поверхности до другой точки снаружи:

ε 0 п ^ ⋅ [ χ ( р + ) E ( р + ) — χ ( р — ) E ( р — ) ] знак равно 1 А п ∫ d Ω п ρ б знак равно 0 , <\ displaystyle \ varepsilon _ <0><\ hat <\ mathbf >> \ cdot \ left [\ chi \ left (\ mathbf _ <+>\ right) \ mathbf \ left ( \ mathbf _ <+>\ right) — \ chi \ left (\ mathbf _ <->\ right) \ mathbf \ left (\ mathbf _ <->\ right) \ right] = <\ frac <1>>> \ int d \ Omega _ \ \ rho _ = 0 \,>

где A n , Ω n обозначают площадь и объем элементарной области, охватывающей границу между областями, и единицу нормали к поверхности. Правая часть исчезает при уменьшении объема, поскольку ρ b конечно, что указывает на разрыв в E и, следовательно, на поверхностный заряд. То есть там, где моделируемая среда включает ступеньку диэлектрической проницаемости, плотность поляризации, соответствующая плотности дипольного момента п ^ <\ Displaystyle <\ шляпа <\ mathbf <п>>>>

п ( р ) знак равно χ ( р ) E ( р ) <\ Displaystyle \ mathbf

(\ mathbf ) = \ чи (\ mathbf ) \ mathbf (\ mathbf )>

обязательно включает вклад поверхностного заряда.

Физически более реалистичное моделирование p ( r ) привело бы к быстрому падению плотности дипольного момента, но плавно до нуля на границе ограничивающей области, вместо того, чтобы делать внезапный шаг к нулевой плотности. Тогда поверхностный заряд не будет концентрироваться на бесконечно тонкой поверхности, а вместо этого, будучи дивергенцией плавно изменяющейся плотности дипольного момента, будет распределяться по тонкому, но конечному переходному слою.

Диэлектрическая сфера в однородном внешнем электрическом поле

Приведенные выше общие замечания о поверхностном заряде конкретизируются на примере диэлектрического шара в однородном электрическом поле. Обнаружено, что сфера принимает поверхностный заряд, связанный с дипольным моментом ее внутренней части.

Предполагается, что однородное внешнее электрическое поле направлено в направлении z , и вводятся сферически-полярные координаты, поэтому потенциал, создаваемый этим полем, равен:

ϕ ∞ знак равно — E ∞ z знак равно — E ∞ р потому что ⁡ θ . <\ displaystyle \ phi _ <\ infty>= — E _ <\ infty>z = -E _ <\ infty>r \ cos \ theta \.>

D знак равно κ ϵ 0 E , <\ displaystyle \ mathbf = \ kappa \ epsilon _ <0>\ mathbf \,>

а внутри сферы потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Пропуская некоторые детали, решение внутри сферы таково:

ϕ знак равно А р потому что ⁡ θ , <\ Displaystyle \ phi _ <

находясь вне сферы:

>=\left(Br+<\frac >>\right)\cos \theta \ .>»> ϕ > знак равно ( B р + C р 2 ) потому что ⁡ θ . <\ displaystyle \ phi _ <>> = \ left (Br + <\ frac >> \ right) \ cos \ theta \.> > = \ left (Br + <\ frac >> \ right) \ cos \ theta \.>»>

На больших расстояниях φ > → φ ∞, поэтому B = — E . Непрерывность потенциала и радиальная составляющая смещения D = κε E определяют две другие константы. Предположим, что радиус сферы равен R ,

А знак равно — 3 κ + 2 E ∞ ; C знак равно κ — 1 κ + 2 E ∞ р 3 , <\ displaystyle A = - <\ frac <3><\ kappa +2>> E _ <\ infty>\; \ C = <\ frac <\ kappa -1><\ kappa +2>> E _ <\ infty>R ^ <3>\,>

Как следствие, потенциал:

>=\left(-r+<\frac <\kappa -1><\kappa +2>><\frac >>>\right)E_<\infty >\cos \theta \ ,>»> ϕ > знак равно ( — р + κ — 1 κ + 2 р 3 р 2 ) E ∞ потому что ⁡ θ , <\ displaystyle \ phi _ <>> = \ left (-r + <\ frac <\ kappa -1><\ kappa +2>> <\ frac > >> \ справа) E _ <\ infty>\ cos \ theta \,> > = \ left (-r + <\ frac <\ kappa -1><\ kappa +2>> <\ frac > >> \ справа) E _ <\ infty>\ cos \ theta \,>»>

который является потенциалом из-за приложенного поля и, кроме того, диполя в направлении приложенного поля (направление z ) дипольного момента:

п знак равно 4 π ε 0 ( κ — 1 κ + 2 р 3 ) E ∞ , <\ displaystyle \ mathbf

= 4 \ pi \ varepsilon _ <0>\ left ( <\ frac <\ kappa -1><\ kappa +2>> R ^ <3>\ right) \ mathbf _ <\ infty>\,>

или на единицу объема:

п V знак равно 3 ε 0 ( κ — 1 κ + 2 ) E ∞ . <\ displaystyle <\ frac <\ mathbf

> > = 3 \ varepsilon _ <0>\ left ( <\ frac <\ kappa -1><\ kappa +2>> \ right) \ mathbf < E>_ <\ infty>\.>

Фактор ( κ — 1) / ( κ + 2) называется фактором Клаузиуса – Моссотти и показывает, что индуцированная поляризация меняет знак, если κ ϕ знак равно — 3 κ + 2 E ∞ р потому что ⁡ θ , <\ displaystyle \ phi _ <

ведущее к полю внутри сферы:

— ∇ ϕ знак равно 3 κ + 2 E ∞ знак равно ( 1 — κ — 1 κ + 2 ) E ∞ , <\ displaystyle - \ nabla \ phi _ <

показывая деполяризующий эффект диполя. Обратите внимание, что поле внутри сферы однородно и параллельно приложенному полю. Дипольный момент однороден по всей внутренней части сферы. Плотность поверхностного заряда на сфере представляет собой разность радиальных компонент поля:

σ знак равно 3 ε 0 κ — 1 κ + 2 E ∞ потому что ⁡ θ знак равно 1 V п ⋅ р ^ . <\ displaystyle \ sigma = 3 \ varepsilon _ <0> <\ frac <\ kappa -1><\ kappa +2>> E _ <\ infty>\ cos \ theta = <\ frac <1>> \ mathbf

\ cdot <\ hat <\ mathbf >> \.>

Этот пример линейного диэлектрика показывает, что обработка диэлектрической постоянной эквивалентна модели однородного дипольного момента и приводит к нулевому заряду везде, кроме поверхностного заряда на границе сферы.

Общие СМИ

Если наблюдение ограничено областями, достаточно удаленными от системы зарядов, можно сделать мультипольное разложение точной плотности поляризации. При усечении этого разложения (например, с сохранением только дипольных членов или только дипольных и квадрупольных членов и т. Д. ) Результаты предыдущего раздела восстанавливаются. В частности, усекая расширение на дипольном члене, результат неотличим от плотности поляризации, создаваемой однородным дипольным моментом, ограниченным областью заряда. Для точности этого дипольного приближения, как показано в предыдущем разделе, плотность дипольного момента p ( r ) (которая включает не только p, но и местоположение p ) служит P ( r ).

В местах внутри массива зарядов для подключения массива парных зарядов к приближению, включающему только плотность дипольного момента p ( r ), требуются дополнительные соображения. Самое простое приближение — заменить массив зарядов моделью идеальных (бесконечно удаленных) диполей. В частности, как и в приведенном выше примере, где используется постоянная плотность дипольного момента, ограниченная конечной областью, возникают поверхностный заряд и поле деполяризации. Более общая версия этой модели (которая позволяет изменять поляризацию в зависимости от положения) — это обычный подход, использующий электрическую восприимчивость или электрическую диэлектрическую проницаемость .

Более сложная модель массива точечных зарядов вводит эффективную среду путем усреднения микроскопических зарядов; например, усреднение может сделать так, чтобы только дипольные поля играли роль. Связанный подход состоит в том, чтобы разделить заряды на те, которые находятся рядом с точкой наблюдения, и на те, которые находятся достаточно далеко, чтобы допустить мультипольное расширение. Затем соседние заряды вызывают локальные полевые эффекты . В обычной модели этого типа удаленные заряды рассматриваются как однородная среда с использованием диэлектрической проницаемости, а соседние заряды рассматриваются только в дипольном приближении. Приближение среды или массива зарядов только диполями и связанной с ними плотностью дипольного момента иногда называют приближением точечного диполя, приближением дискретного диполя или просто дипольным приближением .

Электрические дипольные моменты элементарных частиц

Не путать со спином, который относится к магнитным дипольным моментам частиц, большая экспериментальная работа продолжается по измерению электрических дипольных моментов (ЭДМ) фундаментальных и составных частиц, а именно электронов и нейтронов , соответственно. Поскольку EDM нарушают симметрию как четности (P), так и симметрии обращения времени (T), их значения дают в основном независимую от модели меру CP-нарушения в природе (при условии, что CPT-симметрия действительна). Таким образом, значение этих ЭОГО место сильных ограничений на масштаб СР-нарушение , что дополнения к стандартной модели в физике элементарных частиц могут позволить. Текущие поколения экспериментов разработаны так, чтобы быть чувствительными к диапазону суперсимметрии EDM, обеспечивая дополнительные эксперименты по сравнению с экспериментами, проводимыми на LHC .

Действительно, многие теории несовместимы с текущими пределами и были фактически исключены, а устоявшаяся теория допускает гораздо большее значение, чем эти пределы, что приводит к сильной проблеме CP и побуждает к поискам новых частиц, таких как аксион .

Дипольные моменты молекул

Дипольные моменты в молекулах ответственны за поведение вещества в присутствии внешних электрических полей. Диполи имеют тенденцию быть ориентированными на внешнее поле, которое может быть постоянным или зависящим от времени. Этот эффект лежит в основе современной экспериментальной техники, называемой диэлектрической спектроскопией .

Дипольные моменты можно найти в обычных молекулах, таких как вода, а также в биомолекулах, таких как белки.

С помощью полного дипольного момента некоторого материала можно вычислить диэлектрическую проницаемость, которая связана с более интуитивным понятием проводимости. Если — полный дипольный момент образца, то диэлектрическая проницаемость определяется выражением M Т о т <\ displaystyle <\ mathcal > _ <\ rm > \,>

ϵ знак равно 1 + k ⟨ M Tot 2 ⟩ <\ displaystyle \ epsilon = 1 + k \ left \ langle <\ mathcal > _ <\ text > ^ <2>\ right \ rangle>

где k — постоянная величина, а — временная корреляционная функция полного дипольного момента. Обычно в общий дипольный момент вносят вклады поступательные и вращательные движения молекул в образце, ⟨ M Tot 2 ⟩ знак равно ⟨ M Tot ( т знак равно 0 ) M Tot ( т знак равно 0 ) ⟩ <\ displaystyle \ left \ langle <\ mathcal > _ <\ text > ^ <2>\ right \ rangle = \ left \ langle <\ mathcal > _ <\ text > (t = 0) <\ mathcal > _ <\ text > (t = 0) \ right \ rangle>

M Tot знак равно M Транс + M Гниль . <\ displaystyle <\ mathcal > _ <\ text > = <\ mathcal > _ <\ text > + <\ mathcal > _ <\ text > .>

Следовательно, в диэлектрическую проницаемость (и проводимость) входят оба члена. Этот подход можно обобщить для вычисления частотно-зависимой диэлектрической функции.

Можно рассчитать дипольные моменты из теории электронной структуры , либо как реакцию на постоянные электрические поля, либо из матрицы плотности. Однако такие значения нельзя напрямую сопоставить с экспериментом из-за потенциального наличия ядерных квантовых эффектов, которые могут быть существенными даже для простых систем, таких как молекула аммиака. Теория связанных кластеров (особенно CCSD (T)) может дать очень точные дипольные моменты, хотя можно получить разумные оценки (в пределах примерно 5%) из теории функционала плотности , особенно если используются гибридные или двойные гибридные функционалы. Дипольный момент молекулы также можно рассчитать на основе молекулярной структуры с использованием концепции методов группового вклада.

Источник

Электрический дипольный момент

Классическая электродинамика
Электричество · Магнетизм
Электростатика
Закон Кулона
Теорема Гаусса
Электрический дипольный момент
Электрический заряд
Электрическая индукция
Электрическое поле
Электростатический потенциал
Магнитостатика
Закон Био — Савара — Лапласа
Закон Ампера
Магнитный момент
Магнитное поле
Магнитный поток
Электродинамика
Векторный потенциал
Диполь
Потенциалы Лиенара — Вихерта
Сила Лоренца
Ток смещения
Униполярная индукция
Уравнения Максвелла
Электрический ток
Электродвижущая сила
Электромагнитная индукция
Электромагнитное излучение
Электромагнитное поле
Электрическая цепь
Закон Ома
Законы Кирхгофа
Индуктивность
Радиоволновод
Резонатор
Электрическая ёмкость
Электрическая проводимость
Электрическое сопротивление
Электрический импеданс
Ковариантная формулировка
Тензор электромагнитного поля
Тензор энергии-импульса
4-потенциал
4-ток
Известные учёные
Генри Кавендиш
Майкл Фарадей
Никола Тесла
Андре-Мари Ампер
Густав Роберт Кирхгоф
Джеймс Клерк (Кларк) Максвелл
Генри Рудольф Герц
Альберт Абрахам Майкельсон
Роберт Эндрюс Милликен
См. также: Портал:Физика
Читайте также:  Измерение длины с помощью тела

Электри́ческий ди́польный моме́нт — векторная физическая величина, характеризующая, наряду с суммарным зарядом (и реже используемыми высшими мультипольными моментами), электрические свойства системы заряженных частиц (распределения зарядов) в смысле создаваемого ею поля и действия на нее внешних полей. Главная после суммарного заряда и положения системы в целом (ее радиус-вектора) характеристика конфигурации зарядов системы при наблюдении ее издали.

Дипольный момент — первый [прим 1] мультипольный момент.

Простейшая система зарядов, имеющая определенный (не зависящий от выбора начала координат) ненулевой дипольный момент — это диполь (две точечные частицы с одинаковыми по величине разноимёнными зарядами). Электрический дипольный момент такой системы по модулю равен произведению величины положительного заряда на расстояние между зарядами и направлен от отрицательного заряда к положительному, или:

— где q — величина положительного заряда, — вектор с началом в отрицательном заряде и концом в положительном.

Для системы из N частиц электрический дипольный момент равен

где — заряд частицы с номером а — её радиус-вектор; или, если суммировать отдельно по положительным и отрицательным зарядам:

где — число положительно/отрицательно заряженных частиц, — их заряды; — суммарные заряды положительной и отрицательной подсистем и радиус-векторы их «центров тяжести» [прим 2] .

Электрический дипольный момент нейтральной системы зарядов не зависит от выбора начала координат, а определяется относительным расположением (и величинами) зарядов в системе.

Из определения видно, что дипольный момент аддитивен (дипольный момент наложения нескольких систем зарядов равен просто векторной сумме их дипольных моментов), а в случае нейтральных систем это свойство приобретает еще более удобную форму в силу изложенного в абзаце выше.

Дипольный момент ненейтральной системы зарядов, вычисленный по приведенному выше определению, может выбором начала координат быть сделан равным любому наперед заданному числу (например, нулю). Однако и в этом случае, если мы хотим избежать такого произвола, при желании может быть использована какая-нибудь процедура внесения однозначности (которая будет тоже представлять собой предмет произвольного условного соглашения, но всё же будет формально фиксирована).

Но и при произвольном выборе начала координат (ограничивающемся тем условием, чтобы начало координат находилось внутри данной системы зарядов или по крайней мере близко от нее, и уж во всяком случае не попадая в ту область, в которой мы вычисляем дипольную поправку к полю единственного точечного заряда или дипольный член мультипольного разложения) все вычисления (дипольной поправки к потенциалу или напряженности поля, создаваемого системой, действующий на нее со стороны внешнего поля вращающий момент или дипольная поправка к потенциальной энергии системы во внешнем поле) проходят успешно.

Интересной иллюстрацией мог бы быть следующий пример:

Рассмотрим систему, состоящую из единственного точечного заряда q, однако начало координат выберем не совпадающим с его положением, хотя и очень близко от него (т.е. много ближе, чем расстояние, для которого мы хотим вычислить потенциал, создаваемый этой нашей простой системой). Таким образом, радиус вектор нашего точечного заряда будет где r — модуль радиус-вектора точки наблюдения. Тогда фомально нулевым приближением будет кулоновский потенциал ; однако это приближение содержит маленькую ошибку за счет того, что на самом деле расстояние от заряда до точки наблюдения не равно r, а равно . Именно эту ошибку в первом порядке (т.е. тоже приближенно, но с лучшей точностью) исправляет добавление потенциала диполя с дипольным моментом, равным . Наглядно это выглядит так: мы накладываем на заряд q, находящийся в начале координат, диполь так, что его отрицательный заряд -q в точности попадает на q в начале координат и его «уничтожает», а его положительный заряд (+q) — попадает в точку , то есть именно туда, где заряд должен находиться на самом деле — т.е. заряд передвигается из условного начала координат в правильное положение (хотя и близкое к началу координат). Используя суперпозицию дипольной поправки с нулевым приближением , мы получаем более точный ответ, т.е. дипольная поправка в нашем примере вызывает эффект, (приближенно) эквивалентный тому, чтобы сдвинуть заряд из условного начала координат в его правильное положение.

Электрический дипольный момент (если он ненулевой) определяет в главном приближении электрическое [прим 3] поле диполя (или любой ограниченной системы с суммарным нулевым зарядом) на большом расстоянии от него, а также воздействие на диполь внешнего электрического поля.

Физический и вычислительный смысл дипольного момента состоит в том, что он дает поправки первого порядка (чаще всего — малые) в положение каждого заряда системы по отношению к началу координат (которое может быть условным, но приближенно характеризует положение системы в целом — система при этом подразумевается достаточно компактной). Эти поправки входят в него в виду векторной суммы, и везде, где при вычислениях такая конструкция встречается (а в силу принципа суперпозиции и свойства сложения линейных поправок — см.Полный дифференциал — такая ситуация встречается часто), там в формулах оказывается дипольный момент.

Содержание

Электрическое поле диполя

Для фиксированных угловых координат (то есть на луче, идущем из центра электрического диполя на бесконечность) напряжённость статического [прим 4] электрического поля диполя или в целом нейтральной системы зарядов, имеющей ненулевой дипольный момент, [прим 5] на больших расстояниях r асимптотически приближается к виду r −3 , электрический потенциал — к r −2 . Таким образом, статическое поле диполя убывает на больших расстояниях быстрее, чем поле простого заряда (но медленнее, чем поле любого более старшего мультиполя).

Напряжённость электрического поля и электрический потенциал неподвижного или медленно движущегося диполя (или в целом нейтральной системы зарядов, имеющей ненулевой дипольный момент) с электрическим дипольным моментом на больших расстояниях в главном приближении выражается как:

в СГСЭ: в СИ:

где — единичный вектор из центра диполя в направлении точки измерения, а точкой обозначено скалярное произведение.

Достаточно просты выражения (в том же приближении, тождественно совпадающие с формулами, приведенными выше) для продольной (вдоль радус-вектора, проведенного от диполя в данную точку) и поперечной компонент напряженности электрического поля:

где — угол между направлением вектора дипольного момента и радиус-вектором в точку наблюдения (формулы приведены в системе СГС; в СИ аналогичные формулы отличаются только множителем ). Третья компонента напряженности электрического поля — ортогональная плоскости, в которой лежат вектор дипольного момента и радиус-вектор, — всегда равна нулю.

Действие поля на диполь

  • Во внешнем электрическом поле на электрический диполь действует момент сил который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля.
  • Потенциальная энергия электрического диполя в электрическом поле равна
  • Со стороны неоднородного поля на диполь действует сила (в первом приближении):

Об условиях корректности приближенных (в общем случае) формул данного параграфа — см.ниже.

Единицы измерения электрического дипольного момента

Системные единицы измерения электрического дипольного момента не имеют специального названия. В СИ это просто Кл·м.

Электрический дипольный момент молекул принято измерять в дебаях:

1 Д = 10 −18 единиц СГСЭ момента электрического диполя, 1 Д = 3,33564·10 −30 Кл·м.

Поляризация

Дипольный момент единицы объема (поляризованной) среды (диэлектрика) называется вектором поляризации (см. Поляризация).

Дипольный момент элементарных частиц

Многие экспериментальные работы посвящены поиску электрического дипольного момента (ЭДМ) фундаментальных и составных элементарных частиц, а именно электронов и нейтронов. Поскольку ЭДМ нарушает как пространственную (Р), так и временну́ю (T) чётность, его значение даёт (при условии ненарушенной СРТ-симметрии) модельно-независимую меру нарушения CP-симметрии в природе. Таким образом, значения ЭДМ дают сильные ограничения на масштаб CP-нарушения, которое может возникать в расширениях Стандартной Модели физики элементарных частиц.

Действительно, многие теории, несовместимые с существующими экспериментальными пределами на ЭДМ частиц, уже были исключены. Стандартная Модель (точнее, её сектор — квантовая хромодинамика) сама по себе разрешает гораздо большее значение ЭДМ нейтрона (около 10 −8 дебая), чем эти пределы, что привело к так называемой сильной CP-проблеме и вызвало поиски новых гипотетических частиц, таких как аксион.

Текущее поколение экспериментов по поиску ЭДМ частиц достигает чувствительности в диапазоне, где могут проявляться эффекты суперсимметрии. Эти эксперименты дополняют поиск эффектов суперсимметрии на LHC.

Дипольное приближение

Дипольный член (определяемый дипольным моментом системы или распределения зарядов) является лишь одним из членов бесконечного ряда, называемого мультипольным разложением, дающего при полном суммировании точное значение потенциала или напряженности поля в точках, находящихся на конечном расстоянии от системы зарядов-источников. В этом смысле дипольный член выступает как равноправный с остальными, в том числе и высшими, членами мультипольного разложения (хотя зачастую он и может давать больший вклад в сумму, чем высшие члены). Этот взгляд на дипольный момент и дипольный вклад в создаваемое системой зарядов электрическое поле обладает существенной теоретической ценностью, но в деталях довольно сложен и довольно далеко выходит за рамки необходимого для понимания существенных физического смысла свойств дипольного момента и большинства областей его использования.

Для прояснения физического смысла дипольного момента, так же как и для большинства его приложений, достаточно ограничиться гораздо более простым подходом — рассматривать дипольное приближение.

Широкое использование дипольного приближения основывается на той ситуации, что очень во многих, в том числе теоретически и практически важных случаях можно не суммировать весь ряд мультипольного разложения, а ограничиться только низшими его членами — до дипольного включительно. Часто этот подход дает вполне удовлетворительную или даже очень маленькую погрешность.

Дипольное приближение для системы источников

В электростатике достаточное условие применимости дипольного приближения (в смысле задачи определения электрического потенциала или напряженности электрического поля, создаваемого системой зарядов, имеющей определенный суммарный заряд и определенный дипольный момент) описывается весьма просто: хорошим это приближение является для областей пространства, удаленных от системы-источника на расстояние r, много большее, чем характерный (а лучше — чем максимальный) размер d самой этой системы. Таким образом, для условий дипольное приближение r >> d является хорошим.

Если суммарный заряд системы равен нулю, а ее дипольный момент нулю не равен, дипольное приближение в своей области применимости является главным приближением, то есть в его области применимости оно описывает основной вклад в электрическое поле. Остальные же вклады при r >> d пренебрежимо малы (если только дипольный момент не оказывается слишком мал по сравнению с квадрупольным, октупольным или высшими мультипольными моментами).

Если суммарный заряд не равен нулю, главным становится монопольное приближение (нулевое приближение, закон Кулона в чистом виде), а дипольное приближение, являясь следующим, первым, приближением, может играть роль малой поправки к нему. Впрочем, в такой ситуации эта поправка будет очень мала в сравнении с нулевым приближением, если только мы находимся в области пространства, где вообще говоря само дипольное приближение является хорошим. Это несколько снижает его ценность в данном случае (за исключением, правда, ситуаций, описанных чуть ниже), поэтому главной областью применения дипольного приближения приходится признать случай нейтральных в целом систем зарядов.

Существуют ситуации, когда дипольное приближение является хорошим (иногда очень хорошим и в каких-то случаях даже может давать практически точное решение) и при невыполнении условия r >> d. Для этого нужно только чтобы высшие мультипольные моменты (начиная с квадрупольного) обращались в ноль или очень быстро стремились к нулю. Это довольно легко реализуется для некоторых распределенных систем. [прим 6]

В дипольном приближении, если суммарный заряд ноль, вся система зарядов, какой бы она ни была, если только ее дипольный момент не ноль, эквивалентна маленькому диполю (в этом случае всегда подразумевается маленький диполь) — в том смысле, что она создает поле, приближенно совпадающее с полем маленького диполя. В этом смысле любую такую систему отождествляют с диполем и к ней могут применяться термины диполь, поле диполя итд. В статье выше, даже если это не оговорено явно, всегда можно вместо слова диполь слова «нейтральная в целом система, имеющая ненулевой дипольный момент» — но, конечно, вообще говоря только в случае, если подразумевается выполнение условий корректности дипольного приближения.

Дипольное приближение для действия внешнего поля на систему зарядов

Идеально дипольное приближение для формул механического момента, создаваемого внешним полем, действующим на диполь, и потенциальной энергии диполя во внешнем поле, работает в случае однородности внешнего поля. В этом случае эти две формулы выполняются точно для любой системы, имеющей определенный дипольный момент, независимо от размера (равенство нулю суммарного ее заряда подразумевается).

Границу приемлемости дипольного приближения для этих формул определяет в целом такое условие: разность напряженности поля в разных точках системы должна быть по модулю много меньше самого значения напряженности поля. Качественно это означает, что для обеспечения корректности этих формул размеры системы должны быть тем меньше, чем более неоднородно действующее на нее поле.

Источник

Электрический диполь

Электрическим диполем (диполем) называют систему, состоящую из двух равных, но противоположных по знаку точечных электрических зарядов, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (плечо диполя).

Основной характеристикой диполя (рис. 12.5) является его электрический момент (дипольный момент) — вектор, равный произведению заряда на плечо диполя l, направленный от отрицательного заряда к положительному:

(12.19)

Единицей электрического момента диполя является кулон-метр. Поместим диполь в однородное электрическое поле напряженностью (рис. 12.6).

На каждый из зарядов диполя действуют силы и , эти силы равны по модулю, противоположно направлены и создают момент пары сил. Как видно из рисунка, он равен

М = qElsin a = pEsin a, (12.20) или в векторной форме . (12.21)

Таким образом, на диполь в однородном электрическом поле действует момент силы, зависящий от электрического момента и ориентации диполя, а также напряженности поля.

Рассмотрим теперь диполь в неоднородном электрическом поле. Предположим, что диполь расположен вдоль силовой линии (рис. 12.7). На него действуют силы

и

где Е+ и Е_ — напряженности поля соответственно в месте нахождения положительного и отрицательного зарядов (на рис. 12.7 Е > Е+). Значение равнодействующей этих сил

Введем отношение (Е_ — Е+)/l, характеризующее среднее изменение напряженности, приходящееся на единицу длины плеча диполя. Так как обычно плечо невелико, то приближенно можно считать

где dE/dx — производная от напряженности электрического поля по направлению оси ОХ, являющаяся мерой неоднородности электрического поля вдоль соответствующего направления. Из (12.23)следует, что

тогда формулу (12.22) можно представить в виде

(12.24)

Итак, на диполь действует сила, зависящая от его электрического момента и степени неоднородности поля dE/dx. Если диполь ориентирован в неоднородном электрическом поле не вдоль силовой линии, то на него дополнительно действует еще и момент силы. Таким образом, свободный диполь ориентируется вдоль силовых линий и втягивается в область больших значений напряженности поля.

До сих пор рассматривался диполь, помещенный в электрическое по­ле, однако сам диполь также является источником поля. На основании (12.18) запишем выражение для электрического потенциала поля, со­зданного диполем, в некоторой точке А, удаленной от зарядов соответ­ственно на расстояния гиг, (рис. 12.8):

(12.25)

Обычно предполагают, что l

(12.28)

Угол между и прямой АВ или ОС обозначим a, ÐAOB = b, углы aА = a + b/2 + +p/2, aВ = a — b/2 + p/2.

Учитывая эти равенства, выполним тригонометрические преобразования:

(12.29)

Подставляя (12.29) в (12.28), имеем

(12.30)

Как видно из (12.30), разность потенциалов двух точек поля диполя, равноотстоящих от него (при данных e и r), зависит от синуса половинного угла, под которым видны эти точки от диполя (рис. 12.10), и проекции электрического момента диполя р cos a на прямую, соединяющую эти точки (рис. 12.11). Эти замечания справедливы в рамках тех ограничений, которые были сделаны при выводе формулы (12.27).

Пусть диполь, создающий электрическое поле, находится в центре равностороннего треугольника ABC (рис. 12.12). Тогда на основании (12.30) можно получить, что напряжения на сторонах этого треугольника относятся как проекции вектора на его стороны:

Источник