Единицы измерения когда умножать когда делить

Физический принцип умножения

В статье делается первая попытка проверить логикой законы физики написанные математиками.

1. Как производится умножение в математике?
Одно число M (множимое) повторяется, как слагаемое, некоторое количество раз равное, например, числу n. Результат называется произведением.
Записывается M х n
Т.е. умножение это сложение, записанное упрощенным способом.
И как такового (физически) умножения — не существует.

Что в математике можно складывать? Числа. А в физике — только элементы имеющие одинаковую единицу измерения. Например, массы разных тел. Или Время и отрезки пути (длины, размеры). Объемы. и т.п. Но есть и то, что сложить нельзя. А значит нельзя и перемножить.

2. Математика это точная, но абстрактная наука, которая оперирует не физическими величинами, а числами иди даже знакам — их обозначающими.
Как же производить умножение физических величин?

3. В физике для умножения используются эталонные величины: длины, веса, массы и времени.
Они выступает в роли множимого M.
И теперь, для того чтобы определить, например, массу тела нужно эту эталонную массу (кг.) умножить на число n (множитель) – количество таких эталонных масс в данном теле, но фактически сложить энное количество раз. Например, чтобы узнать вес куба кирпичей мы множим вес одного кирпича 3.45 кг на число кирпичей в кубе 512 и поучаем 1766.4 кг.

4. вывод. Мы берем эталонную физическую величину несущую единицу измерения этой величины и множим на коэффициент на обезличенное число. Также определяется время и длина.
Или еще пример.
5. Мы знаем, что из трубы в бассейн за минуту выливается 10 л. воды.
Хотим узнать: сколько литров нальется в бассейн за 6 минут?
Мы умножаем 10 литров на 6 минут. Т.е. умножаем воду на минуты?
Нет. Мы умножаем физическую величину — объем воды , выраженный в литрах, на количество минут, выраженное числом — 6 и получаем снова объем в литрах.
Или фактически складываем массу в литрах — шесть раз и получаем литры.

Такова принятая логика арифметических действий умножения с элементарными физическими величинами.

6. Почему здесь стало возможным математическое действие умножение?
7. Ответ. Потому что используется количественное (только числовое) изменение множителя (n) которое приводит к количественному изменению физической величины — множимого (M). Это условие при котором можно производить действие умножения между физическими величинами.
Так в физике перемножаются массы, длины и время т получаются всегда снова массы, длины и время.
8. Но для получения силы ( закон всемирного тяготения) массы умножаются на массы. Кроме того что здесь нарушается принцип умножения, который мы вывели в пар. 7. получается еще и физическая величина, которой нет в природе.

P.S. Закон всемирного тяготения, по версии автора, говорит только о пропорциональности силе гравитации и массы тел.

10. Как правильно записать, действия умножения, например, в законе тяготения?
Так же как мы это делали в других случаях.
Надо брать эталонную силу тяготения
(она будет означать силу тяготения с которой Земля действует на эталонную массу на поверхности Земли с эталонным радиусом R) и умножать на количество эталонных масс в данном теле.
Но, перемножая массы, мы должны здесь массу понимать, как численный эквивалент точек взаимного притяжения. Тогда массы можно перемножать.

11. Итак, обычно в математических вычислениях при умножении множимое число вырастает по своей величине кратно множителю и сохраняет единицу измерения. При этом получается величина реально существующая в физ. природе.
Но в физических формулах произведение может оказаться новой физической величиной, реально в природе не существующей,множимое умножается на само себя,физическая величина меняется
и все это нарушает уже принятую логику арифметического умножения и приводит к парадоксам.

12. Разберем случаи, когда умножение разных величин не приводит к ошибке:
скорость (км/час) умножаем на время (час) -хотим определить расстояние, которое проедем за энное время и получаем расстояние в киллометрах(время при умножении сокращается).

13. Т.е. величины бывают размерные и кратные-числовое. И умножение производится, когда размерная величина умножается на кратную.
Размерная величина показывает множимое. Кратная говорит сколько раз мы будем эту величину складывать.

— умножение кратной величины на кратную это будет таблица умножение.
— Умножение размерной величины на кратную это будет операция умножения размерной величины.
— Умножение размерной величины на размерную это будет абсурд.

И, конечно, размерная величина может выступать в роли кратной.

14. И на основании этого можно записать правило написания формул:
— физическая величина должны в формулах употребляться только один раз.
— повторное использование величины возможно только в качестве
числового значения.

15. Разберем на простом примере.
Если один умножить на один, получится один. Но если один, это квадратный метр?
Квадратный метр нельзя умножить на квадратный метр. А вот линейный размер — метр — сто сантиметров можно умножить на другой ортогональный размер — сто сантиметров и получиться квадратный метр или 10 000 кв сантиметров.
Таким образом один умножить на один поучится один.
А если один записать, как сто и перемножить, то снова сто — не получается.
Почему?. По тому как один метр может умножится только на единицу, два или так далее — на коэффициент.
А когда мы множим 100 на 100 мы множим один линейный размер на другой и получаем площадь.

Источник

Перевод единиц

В этом уроке мы научимся переводить физические величины из одной единицы измерения в другую.

Перевод единиц измерения длины

Из прошлых уроков мы знаем, что основные единицы измерения длины это:

Любая величина, которая характеризует длину, может быть переведена из одной единицы измерения в другую.

Кроме того, при решении задач по физике, обязательно нужно соблюдать требования международной системы СИ. То есть если длина дана не в метрах, а в другой единице измерения, то её обязательно нужно перевести в метры, поскольку метр является единицей измерения длины в системе СИ.

Чтобы переводить длину из одной единицы измерения в другую, нужно знать из чего состоит та или иная единица измерения. То есть нужно знать, что к примеру один сантиметр состоит из десяти миллиметров или один километр состоит из тысячи метров.

Покажем на простом примере, как можно рассуждать при переводе длины из одной единицы измерения в другую. Предположим, что имеется 2 метра и нужно перевести их в сантиметры.

Сначала нужно узнать сколько сантиметров содержится в одном метре. В одном метре содержится сто сантиметров:

Если в 1 метре содержится 100 сантиметров, то сколько сантиметров будет содержаться в двух метрах? Ответ напрашивается сам — 200 см. А эти 200 см получаются, если 2 умножить на 100.

Значит, чтобы перевести 2 метра в сантиметры, нужно 2 умножить на 100

Теперь попробуем перевести те же 2 метра в километры. Сначала надо узнать сколько метров содержится в одном километре. В одном километре содержится тысяча метров:

Если один километр содержит 1000 метров, то километр который содержит только 2 метра будет намного меньше. Чтобы его получить нужно 2 разделить на 1000

2 : 1000 = 0,002 км

Поначалу бывает трудно запомнить, какое действие применять для перевода единиц — умножение или деление. Поэтому на первых порах удобно пользоваться следующей схемой:

Суть данной схемы заключается в том, что при переходе из старшей единицы измерения в младшую применяется умножение. И наоборот, при переходе из младшей единицы измерения в более старшую применяется деление.

Стрелки, которые направлены вниз и вверх указывают на то, что осуществляется переход из старшей единицы измерения в младшую и переход из младшей единицы измерения в более старшую соответственно. В конце стрелки указывается какую операцию применить: умножение или деление.

Например, переведём 3000 метров в километры, пользуясь данной схемой.

Итак, мы должны перейти из метров в километры. Другими словами, перейти из младшей единицы измерения в более старшую (километр старше метра). Смотрим на схему и видим, что стрелка указывающая переход из младших единиц в более старшие, направлена вверх и в конце стрелки указано, что мы должны применить деление:

Теперь нужно узнать, сколько метров содержится в одном километре. В одном километре содержится 1000 метров. А чтобы узнать, сколько километров составляют 3000 таких метров, нужно 3000 разделить на 1000

3000 : 1000 = 3 км

Значит, при переводе 3000 метров в километры, получим 3 километра.

Попробуем перевести те же 3000 метров в дециметры. Здесь мы должны перейти из старших единиц в младшие (дециметр младше метра). Смотрим на схему и видим, что стрелка указывающая переход из старших единиц в младшие, направлена вниз и в конце стрелки указано, что мы должны применить умножение:

Теперь нужно узнать, сколько дециметров в одном метре. В одном метре 10 дециметров.

А чтобы узнать сколько таких дециметров в трёх тысячах метрах, нужно 3000 умножить на 10

3000 × 10 = 30 000 дм

Значит при переводе 3000 метров в дециметры, получим 30000 дециметров.

Перевод единиц измерения массы

Из прошлых уроков мы знаем, что основные единицы измерения массы это:

Любая величина, которая характеризует массу, может быть переведена из одной единицы измерения в другую.

Кроме того, при решении задач по физике, обязательно нужно соблюдать требования международной системы СИ. То есть если масса дана не в килограммах, а в другой единице измерения, то её обязательно нужно перевести в килограммы, поскольку килограмм является единицей измерения массы в системе СИ.

Чтобы переводить массу из одной единицы измерения в другую, нужно знать из чего состоит та или иная единица измерения. То есть нужно знать, что к примеру один килограмм состоит из тысячи граммов или один центнер состоит из ста килограммов.

Покажем на простом примере, как можно рассуждать при переводе массы из одной единицы измерения в другую. Предположим, что имеется 3 килограмма и нужно перевести их в граммы.

Сначала нужно узнать сколько граммов содержится в одном килограмме. В одном килограмме содержится тысяча граммов:

Если в 1 килограмме 1000 граммов, то сколько граммов будут содержаться в трёх таких килограммах? Ответ напрашивается сам — 3000 граммов. А эти 3000 граммов получаются путем умножения 3 на 1000. Значит, чтобы перевести 3 килограмма в граммы, нужно 3 умножить на 1000

3 × 1000 = 3000 г

Теперь попробуем перевести те же 3 килограмма в тонны. Сначала нужно узнать сколько килограммов содержатся в одной тонне. В одной тонне содержится тысяча килограмм:

Если одна тонна содержит 1000 килограмм, то тонна которая содержит только 3 килограмма будет намного меньше. Чтобы её получить нужно 3 разделить на 1000

3 : 1000 = 0,003 т

Как и в случае с переводом единиц измерения длины, на первых порах удобно пользоваться следующей схемой:

Данная схема позволит быстро сориентироваться какое действие выполнить для перевода единиц — умножение или деление.

Например, переведём 5000 килограмм в тонны, пользуясь данной схемой.

Итак, мы должны перейти из килограммов в тонны. Другими словами, перейти из младшей единицы измерения в более старшую (тонна старше килограмма). Смотрим на схему и видим, что стрелка указывающая переход из младших единиц в более старшие, направлена вверх и в конце стрелки указано, что мы должны применить деление:

Теперь нужно узнать сколько килограмм содержатся в одной тонне. В одной тонне содержится 1000 килограмм. А чтобы узнать, сколько тонн составляет 5000 килограмм, нужно 5000 разделить на 1000

5000 : 1000 = 5 т

Значит, при переводе 5000 килограмм в тонны, получается 5 тонн.

Попробуем перевести 6 килограммов в граммы. В данном случае мы переходим из старшей единицы измерения в младшую. Поэтому будем применять умножение.

Сначала надо узнать сколько граммов содержится в одном килограмме. В одном килограмме содержится тысяча граммов:

Если в 1 килограмме 1000 граммов, то в шести таких килограммах будет в шесть раз больше граммов. Значит 6 нужно умножить на 1000

6 × 1000 = 6000 г

Значит, при переводе 6 килограммов в граммы, получим 6000 грамм.

Перевод единиц измерения времени

Из прошлых уроков мы знаем, что основные единицы измерения времени это:

Любая величина, которая характеризует время, может быть переведена из одной единицы измерения в другую.

Кроме того, при решении задач по физике, обязательно нужно соблюдать требования международной системы СИ. То есть если время дано не в секундах, а в другой единице измерения, то его обязательно нужно перевести в секунды, поскольку секунда является единицей измерения времени в системе СИ.

Чтобы переводить время из одной единицы измерения в другую, нужно знать из чего состоит та или иная единица измерения времени. То есть нужно знать, что к примеру один час состоит из шестидесяти минут или одна минута состоит из шестидесяти секунд и т.д.

Покажем на простом примере, как можно рассуждать при переводе времени из одной единицы измерения в другую. Предположим, что требуется перевести 2 минуты в секунды.

Сначала надо узнать сколько секунд содержится в одной минуте. В одной минуте содержатся шестьдесят секунд:

Если в 1 минуте 60 секунд, то сколько секунд будет в двух таких минутах? Ответ напрашивается сам — 120 секунд. А эти 120 секунд получаются путём умножения 2 на 60. Значит, чтобы перевести 2 минуты в секунды, нужно 2 умножить на 60

Теперь попробуем перевести те же 2 минуты в часы. Поскольку мы переводим минуты в часы, то сначала надо узнать сколько минут содержится в одном часе. В одном часе содержится шестьдесят минут:

Если один час содержит 60 минут, то час который содержит только 2 минуты будет намного меньше. Чтобы его получить нужно 2 минуты разделить на 60

При делении 2 на 60 получается периодическая дробь 0,0 (3). Эту дробь можно округлить до разряда сотых. Тогда получим ответ 0,03

При переводе единиц измерения времени также применима схема, подсказывающая что применять — умножение или деление:

Например, переведём 25 минут в часы, пользуясь данной схемой.

Итак, мы должны перейти из минут в часы. Другими словами, перейти из младшей единицы измерения в более старшую (часы старше минут). Смотрим на схему и видим, что стрелка указывающая переход из младших единиц в более старшие, направлена вверх и в конце стрелки указано, что мы должны применить деление:

Теперь нужно узнать, сколько минут содержится в одном часе. В одном часе содержится 60 минут. А час, который содержит только 25 минут будет намного меньше. Чтобы его найти, нужно 25 разделить на 60

При делении 25 на 60 получается периодическая дробь 0,41 (6). Эту дробь можно округлить до разряда сотых. Тогда получим ответ 0,42

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

19 thoughts on “Перевод единиц”

Автор, огромное-преогромное спасибо! Для меня математика всю жизнь — это темный лес. А в ваших уроках материал изложен настолько ясно и просто, что все понятно. Хочется учиться дальше. И закрывать эту черную дыру в образовании. Еще раз спасибо и очень жду продолжения уроков.

Здравствуйте админ, при переводе 20 минут в часы, у меня при делении 20 на 60, получился периодическая дробь 0,303030… затем перевел в обыкновенную дробь, получилось 30/99 час, а на самом деле ответ был 3/9. Я не понял период это 30 или 3? Если 3, почему?

Здравствуйте!
При делении 20 на 60 должно получиться 0,333… или короче 0,(3)

Затем, если перевести 0,(3) в обыкновенную дробь, должно получится

35 минут и 18 секунд, как будут переведены в часы, но в обыкновенном дробном виде?

Источник

Методики репетитора по математике. Работа с темой «единицы измерения» в 5-6 классах

М аленькому ученику 5-6 класса часто с трудом даются переводы величин из одной единицы измерения в другую. Это касается всех тем: длин, площадей, единиц массы и объемов. Если вы репетитор по математике, то наверняка встречались с подобной проблемой. Почему она возникает? На мой взгляд причин несколько:

1) Возраст и уровень развития 5 классника еще не дает ему возможность мыслить абстрактно, и для того, чтобы как-то решать предложенные репетитором по математике задачи ему приходится запоминать большое количество информации о способах перевода. Заучивать или осознавать комбинации разных действий с разными соотношениями и с разными направлениями перевода. Часто такую операцию приходится выполнять с объектами, не представленными перед детьми в их реальном виде, которые воспринимаются как наборы букв, а не как отрезки, квадраты или кубы. Естественно, что в такой слабой модели реальных величин как их буквенная запись, детям очень трудно находить объяснения своим действиям. Обойтись без них на практике они тоже не могут, так как не видят единого и четкого правила для переводов. Конечно, из метров в сантиметры — один способ перевода, а из миллиметров в сантиметры уже другой. Трудно каждый раз пытаться представлять себе данную величину в реальных размерах.

2) Некоторые репетиторы по математике и школьные учителя, занимающиеся индивидуально считают, что важно донести логику переводов, описывая каждый из них словами. В результате слабому ученику приходится еще тратить ресурсы мышления на анализ этих текстов.

3) Ребенок почти всегда не имеет возможности обратиться к реальному объекту и проверить то, что именно он в нем считает. Приходится работать в некотором роде вслепую, потому как репетитору по математике очень непросто обеспечить визуальное сопровождение к выполняемым операциям. Аккуратно показать на рисунке, например, что в одном гектаре ровно 100 ар можно только моделируя эти квадраты в масштабе, условно договариваясь о размерах отрезков, отвечающих за длины их сторон. Я уже не говорю о том, что нужно представлять себе площадь, например, в 4 га, 5 га. Тетрадный лист удобен только для показа соотношения между 1 дм и 1 см. В таких условиях опорой репетитора может стать — соответствующий для понимания уровень абстрактного мышления ребенка, способного оперировать отвлеченными от картинки образами переводимых величин. Но что делать, если его нет?

Как объясняют эту тему среднестатистический репетитор по математике и школьный преподаватель? Один ар — это квадрат размером 10×10 м, а один гектар — это квадрат размером 100×100 м. Так как в одном гектаре получается 100 100 = 10000 квадратных метров, а в одном аре их 10 10 = 100, то поскольку 10000 больше 100 в 100 раз, то 1 га = 100 а. Методической ошибкой многих репетиторов является уверенность в том, что этого рассказа ребенку достаточно для выполнения базовых упражнений. Однако, практика моей работы репетитором математики говорит о полной несостоятельности такого подхода. Почему? Вы запомнили текст объяснения, изложенный выше? Удалось ли с его помощью связать упомянутые числа с визуальной картинкой и увидеть гектар плотно заполненный ста арами? А теперь представьте на вашем месте ребенка с низкими ресурсами памяти, низким уровнем абстрактного моделирования и почти нулевым опытом практического использования единиц площади.

Задумайтесь, поможет ли ему тот же саамы стандартный текст учебника, но только в исполнении репетитора математики? Запомнит ли он, какое именно арифметическое действие совершить в том или ином случае для разных направлений перевода? И почему именно их? Как работать с площадью 15га (или с 15,2 га в 6-ом классе), если ее надо во что-то перевести? В лучшем случае от объяснений репетитора в памяти останется равенства 1га=100а.

В обучении важную роль играет деятельный метод познания. Ребенок получает навыки и представления об объектах в ходе практической работы с ними. Запоминание — ключевой фактор не только для получения возможности выполнить преобразование правильно, но и для понимания особенностей и взаимосвязей между используемыми понятиями. Для того чтобы лучше понять и запомнить материал, ребенку нужно самостоятельно с ним поработать (в случае с величинами — выполнить достаточное количество переводов). А для того чтобы правильно работать нужно понимать материал. Понимать, что ты делаешь. Получается замкнутый круг, который репетитору по математике бывает очень сложно разорвать.

Одним из способов это сделать — создать иллюзию понимания процесса на паре простых примеров и сразу же с ее помощью объяснить какой-то простой алгоритм решения всех подобных задач, закрепляя его соответствующей системой упражнений. В качестве такого подхода к теме «единицы измерения» я бы предложил метод четкой систематизации и четких единых правил перевода в другую единицу измерения. В учебниках, к сожалению эти правила не изложены в виде готового алгоритма, а предполагается, что ребенок со временем сам его построит. Но родители требуют от репетитора по математике решить проблему именно сейчас, а не надеяться на далекое будущее.

Советую репетиторам по математике объяснить сначала ученику метод перевода, например, 3-х сантиметров в миллиметры через обычную линейку. После просьбы посчитать количество маленьких делений, тут же попросить подобрать действие. по которому можно было бы из числа 3 получить число 30. Ответ часто дают даже слабые дети: надо умножить 3 на 10. После этого обратить внимание на то, что мы перевели КРУПНУЮ единицу измерения в МЕЛКУЮ, а число для перевода взято такое, которое показывает сколько в 1 сантиметре миллиметров. Сразу же стоит обсудить перевод из миллиметров обратно сантиметры и заметить, что мы переводим МЕЛКУЮ единицу в КРУПНУЮ и при этом ДЕЛИМ на это же число, то есть на 10. Репетитору по математике нужно сказать ребенку, что способ перевода делением и умножением работает всегда и со всеми величинами: длинами, площадями, объемами и единицами массы и времени. Важно только найти переводящее число. Это число показывает количество сколько мелких единиц из которых состоит крупная.

Для быстрого и удобного поиска переводящих чисел, а также для того, чтобы быстрее заучить основные соотношения, лучше всего выстроить единицы длины по порядку от мм до км и составить такую схему:

Между каждыми соседними единицами измерения стоит переводящее число, на которое в случае перевода в меньшую единицу измерения надо умножить, а в случае перевода в более крупную (правую) поделить. Если для перевода даны не соседние единицы, а расположенные через одну — надо выполнить два перехода. Через три — три перехода. В этом случае переводящее число будет составлено путем совмещения единицы и всех нулей, которые мы встречаем по дороге. При движении вправо (то есть при переводе в БОЛЕЕ КРУПНУЮ единицу) мы делим, а при движении влево (то есть при переводе в МЕЛКУЮ) — умножаем.

В какой-нибудь удобный момент своих объяснений репетитор по математике должен обязательно обратить внимание ученика на тот факт, что для покрытия фигуры более мелкими единицами измерения площади потребуется большее их количество. Этот простое наблюдение поможет ребенку укрепить уверенность в том, что действие по переводу в меньшую единицу измерения выбрано правильно и надо не делить, а умножать на переводящее число (так как при умножении, говоря языком школьника, «становится больше»). На практике объяснения репетитора по математике даются более точно и просто: находи дорогу по стрелкам к нужной величине и делай те действия, которые «по дороге» встречаются.

Репетитору желательно выделять определенные закономерности поведения разрядов чисел, которые ребенок вряд ли сам заметит или не сможет формулировать по ним четкие правила перевода: сколько нулей стоит над стрелками — столько правых знаков надо удалить при переводе (отделить запятой для 6-классника) или столько нулей справа надо добавить (в зависимости от направления перевода). Или еще короче: идем вправо — убираем столько знаков сколько видим нулей. Движемся влево — добавляем нули.

Изучив все детали процесса перевода длин, репетитор по математике переходит к площадям. Аналогия полная. Главное расположить единицы измерения площадей в порядке их увеличения и записать в теоретическую тетрадь следующую схему:

То же самое для объемов. Схема приведена ниже. При таком едином подходе у ребенка не возникнет путаницы, что ему делать в каждом конкретном примере, а поскольку вся практическая работа ученика строится на этих схемах, то они постоянно будут находиться перед его глазами. В какой-то момент выполнения упражнений репетитор по математике может попросить закрыть теоретическую тетрадь и выписать на листочке или в рабочую тетрадь эту схему. Такое же задание можно предложить в качестве упражнения на дом. Например, перед каждым номером, даже перед каждым переводом, сначала переписать (или по памяти выписать) величины в порядке их роста. Работа зрительной памяти вместе с моторной сделают свое дело и через какое-то время ребенок сможет выполнять подбор переводящего числа в уме, удерживая перед глазами эту таблицу как знакомую фотографию.

Схема для единиц объемов:

Представление о расположении величин порядку их размеров в реальности постепенно складывается при заучивании всего ряда. Ребенок будут понимать, что если единица измерения расположена справа, то она крупнее той, что слева, и чем правее, тем крупнее.

Репетитору по математике важно не растерять с учеником навыки работы с этими схемами. Обязательным пунктом методики работы репетитора является обращение к ней в течение всего цикла занятий с учеником. Необходимость частого использования схем в старших классах постепенно снижается по мере того, как ребенок запоминает соотношения. Для этого нужен не один год. Чем выше становится со временем уровень его развития, чем чаще он сталкивается с величинами в жизни (не обязательно с математическими), тем проще и быстрее он выполняет переводы. И тем реже можно проводится повторение.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике Москва. Профессиональный репетитор в Строгино.

Источник

Физический принцип умножения

В статье делается первая попытка проверить логикой законы физики написанные математиками.

1. Как производится умножение в математике?
Одно число M (множимое) повторяется, как слагаемое, некоторое количество раз равное, например, числу n. Результат называется произведением.
Записывается M х n
Т.е. умножение это сложение, записанное упрощенным способом.
И как такового (физически) умножения — не существует.

Что в математике можно складывать? Числа. А в физике — только элементы имеющие одинаковую единицу измерения. Например, массы разных тел. Или Время и отрезки пути (длины, размеры). Объемы. и т.п. Но есть и то, что сложить нельзя. А значит нельзя и перемножить.

2. Математика это точная, но абстрактная наука, которая оперирует не физическими величинами, а числами иди даже знакам — их обозначающими.
Как же производить умножение физических величин?

3. В физике для умножения используются эталонные величины: длины, веса, массы и времени.
Они выступает в роли множимого M.
И теперь, для того чтобы определить, например, массу тела нужно эту эталонную массу (кг.) умножить на число n (множитель) – количество таких эталонных масс в данном теле, но фактически сложить энное количество раз. Например, чтобы узнать вес куба кирпичей мы множим вес одного кирпича 3.45 кг на число кирпичей в кубе 512 и поучаем 1766.4 кг.

4. вывод. Мы берем эталонную физическую величину несущую единицу измерения этой величины и множим на коэффициент на обезличенное число. Также определяется время и длина.
Или еще пример.
5. Мы знаем, что из трубы в бассейн за минуту выливается 10 л. воды.
Хотим узнать: сколько литров нальется в бассейн за 6 минут?
Мы умножаем 10 литров на 6 минут. Т.е. умножаем воду на минуты?
Нет. Мы умножаем физическую величину — объем воды , выраженный в литрах, на количество минут, выраженное числом — 6 и получаем снова объем в литрах.
Или фактически складываем массу в литрах — шесть раз и получаем литры.

Такова принятая логика арифметических действий умножения с элементарными физическими величинами.

6. Почему здесь стало возможным математическое действие умножение?
7. Ответ. Потому что используется количественное (только числовое) изменение множителя (n) которое приводит к количественному изменению физической величины — множимого (M). Это условие при котором можно производить действие умножения между физическими величинами.
Так в физике перемножаются массы, длины и время т получаются всегда снова массы, длины и время.
8. Но для получения силы ( закон всемирного тяготения) массы умножаются на массы. Кроме того что здесь нарушается принцип умножения, который мы вывели в пар. 7. получается еще и физическая величина, которой нет в природе.

P.S. Закон всемирного тяготения, по версии автора, говорит только о пропорциональности силе гравитации и массы тел.

10. Как правильно записать, действия умножения, например, в законе тяготения?
Так же как мы это делали в других случаях.
Надо брать эталонную силу тяготения
(она будет означать силу тяготения с которой Земля действует на эталонную массу на поверхности Земли с эталонным радиусом R) и умножать на количество эталонных масс в данном теле.
Но, перемножая массы, мы должны здесь массу понимать, как численный эквивалент точек взаимного притяжения. Тогда массы можно перемножать.

11. Итак, обычно в математических вычислениях при умножении множимое число вырастает по своей величине кратно множителю и сохраняет единицу измерения. При этом получается величина реально существующая в физ. природе.
Но в физических формулах произведение может оказаться новой физической величиной, реально в природе не существующей,множимое умножается на само себя,физическая величина меняется
и все это нарушает уже принятую логику арифметического умножения и приводит к парадоксам.

12. Разберем случаи, когда умножение разных величин не приводит к ошибке:
скорость (км/час) умножаем на время (час) -хотим определить расстояние, которое проедем за энное время и получаем расстояние в киллометрах(время при умножении сокращается).

13. Т.е. величины бывают размерные и кратные-числовое. И умножение производится, когда размерная величина умножается на кратную.
Размерная величина показывает множимое. Кратная говорит сколько раз мы будем эту величину складывать.

— умножение кратной величины на кратную это будет таблица умножение.
— Умножение размерной величины на кратную это будет операция умножения размерной величины.
— Умножение размерной величины на размерную это будет абсурд.

И, конечно, размерная величина может выступать в роли кратной.

14. И на основании этого можно записать правило написания формул:
— физическая величина должны в формулах употребляться только один раз.
— повторное использование величины возможно только в качестве
числового значения.

15. Разберем на простом примере.
Если один умножить на один, получится один. Но если один, это квадратный метр?
Квадратный метр нельзя умножить на квадратный метр. А вот линейный размер — метр — сто сантиметров можно умножить на другой ортогональный размер — сто сантиметров и получиться квадратный метр или 10 000 кв сантиметров.
Таким образом один умножить на один поучится один.
А если один записать, как сто и перемножить, то снова сто — не получается.
Почему?. По тому как один метр может умножится только на единицу, два или так далее — на коэффициент.
А когда мы множим 100 на 100 мы множим один линейный размер на другой и получаем площадь.

Источник

Методики репетитора по математике. Работа с темой «единицы измерения» в 5-6 классах

М аленькому ученику 5-6 класса часто с трудом даются переводы величин из одной единицы измерения в другую. Это касается всех тем: длин, площадей, единиц массы и объемов. Если вы репетитор по математике, то наверняка встречались с подобной проблемой. Почему она возникает? На мой взгляд причин несколько:

1) Возраст и уровень развития 5 классника еще не дает ему возможность мыслить абстрактно, и для того, чтобы как-то решать предложенные репетитором по математике задачи ему приходится запоминать большое количество информации о способах перевода. Заучивать или осознавать комбинации разных действий с разными соотношениями и с разными направлениями перевода. Часто такую операцию приходится выполнять с объектами, не представленными перед детьми в их реальном виде, которые воспринимаются как наборы букв, а не как отрезки, квадраты или кубы. Естественно, что в такой слабой модели реальных величин как их буквенная запись, детям очень трудно находить объяснения своим действиям. Обойтись без них на практике они тоже не могут, так как не видят единого и четкого правила для переводов. Конечно, из метров в сантиметры — один способ перевода, а из миллиметров в сантиметры уже другой. Трудно каждый раз пытаться представлять себе данную величину в реальных размерах.

2) Некоторые репетиторы по математике и школьные учителя, занимающиеся индивидуально считают, что важно донести логику переводов, описывая каждый из них словами. В результате слабому ученику приходится еще тратить ресурсы мышления на анализ этих текстов.

3) Ребенок почти всегда не имеет возможности обратиться к реальному объекту и проверить то, что именно он в нем считает. Приходится работать в некотором роде вслепую, потому как репетитору по математике очень непросто обеспечить визуальное сопровождение к выполняемым операциям. Аккуратно показать на рисунке, например, что в одном гектаре ровно 100 ар можно только моделируя эти квадраты в масштабе, условно договариваясь о размерах отрезков, отвечающих за длины их сторон. Я уже не говорю о том, что нужно представлять себе площадь, например, в 4 га, 5 га. Тетрадный лист удобен только для показа соотношения между 1 дм и 1 см. В таких условиях опорой репетитора может стать — соответствующий для понимания уровень абстрактного мышления ребенка, способного оперировать отвлеченными от картинки образами переводимых величин. Но что делать, если его нет?

Как объясняют эту тему среднестатистический репетитор по математике и школьный преподаватель? Один ар — это квадрат размером 10×10 м, а один гектар — это квадрат размером 100×100 м. Так как в одном гектаре получается 100 100 = 10000 квадратных метров, а в одном аре их 10 10 = 100, то поскольку 10000 больше 100 в 100 раз, то 1 га = 100 а. Методической ошибкой многих репетиторов является уверенность в том, что этого рассказа ребенку достаточно для выполнения базовых упражнений. Однако, практика моей работы репетитором математики говорит о полной несостоятельности такого подхода. Почему? Вы запомнили текст объяснения, изложенный выше? Удалось ли с его помощью связать упомянутые числа с визуальной картинкой и увидеть гектар плотно заполненный ста арами? А теперь представьте на вашем месте ребенка с низкими ресурсами памяти, низким уровнем абстрактного моделирования и почти нулевым опытом практического использования единиц площади.

Задумайтесь, поможет ли ему тот же саамы стандартный текст учебника, но только в исполнении репетитора математики? Запомнит ли он, какое именно арифметическое действие совершить в том или ином случае для разных направлений перевода? И почему именно их? Как работать с площадью 15га (или с 15,2 га в 6-ом классе), если ее надо во что-то перевести? В лучшем случае от объяснений репетитора в памяти останется равенства 1га=100а.

В обучении важную роль играет деятельный метод познания. Ребенок получает навыки и представления об объектах в ходе практической работы с ними. Запоминание — ключевой фактор не только для получения возможности выполнить преобразование правильно, но и для понимания особенностей и взаимосвязей между используемыми понятиями. Для того чтобы лучше понять и запомнить материал, ребенку нужно самостоятельно с ним поработать (в случае с величинами — выполнить достаточное количество переводов). А для того чтобы правильно работать нужно понимать материал. Понимать, что ты делаешь. Получается замкнутый круг, который репетитору по математике бывает очень сложно разорвать.

Одним из способов это сделать — создать иллюзию понимания процесса на паре простых примеров и сразу же с ее помощью объяснить какой-то простой алгоритм решения всех подобных задач, закрепляя его соответствующей системой упражнений. В качестве такого подхода к теме «единицы измерения» я бы предложил метод четкой систематизации и четких единых правил перевода в другую единицу измерения. В учебниках, к сожалению эти правила не изложены в виде готового алгоритма, а предполагается, что ребенок со временем сам его построит. Но родители требуют от репетитора по математике решить проблему именно сейчас, а не надеяться на далекое будущее.

Советую репетиторам по математике объяснить сначала ученику метод перевода, например, 3-х сантиметров в миллиметры через обычную линейку. После просьбы посчитать количество маленьких делений, тут же попросить подобрать действие. по которому можно было бы из числа 3 получить число 30. Ответ часто дают даже слабые дети: надо умножить 3 на 10. После этого обратить внимание на то, что мы перевели КРУПНУЮ единицу измерения в МЕЛКУЮ, а число для перевода взято такое, которое показывает сколько в 1 сантиметре миллиметров. Сразу же стоит обсудить перевод из миллиметров обратно сантиметры и заметить, что мы переводим МЕЛКУЮ единицу в КРУПНУЮ и при этом ДЕЛИМ на это же число, то есть на 10. Репетитору по математике нужно сказать ребенку, что способ перевода делением и умножением работает всегда и со всеми величинами: длинами, площадями, объемами и единицами массы и времени. Важно только найти переводящее число. Это число показывает количество сколько мелких единиц из которых состоит крупная.

Для быстрого и удобного поиска переводящих чисел, а также для того, чтобы быстрее заучить основные соотношения, лучше всего выстроить единицы длины по порядку от мм до км и составить такую схему:

Между каждыми соседними единицами измерения стоит переводящее число, на которое в случае перевода в меньшую единицу измерения надо умножить, а в случае перевода в более крупную (правую) поделить. Если для перевода даны не соседние единицы, а расположенные через одну — надо выполнить два перехода. Через три — три перехода. В этом случае переводящее число будет составлено путем совмещения единицы и всех нулей, которые мы встречаем по дороге. При движении вправо (то есть при переводе в БОЛЕЕ КРУПНУЮ единицу) мы делим, а при движении влево (то есть при переводе в МЕЛКУЮ) — умножаем.

В какой-нибудь удобный момент своих объяснений репетитор по математике должен обязательно обратить внимание ученика на тот факт, что для покрытия фигуры более мелкими единицами измерения площади потребуется большее их количество. Этот простое наблюдение поможет ребенку укрепить уверенность в том, что действие по переводу в меньшую единицу измерения выбрано правильно и надо не делить, а умножать на переводящее число (так как при умножении, говоря языком школьника, «становится больше»). На практике объяснения репетитора по математике даются более точно и просто: находи дорогу по стрелкам к нужной величине и делай те действия, которые «по дороге» встречаются.

Репетитору желательно выделять определенные закономерности поведения разрядов чисел, которые ребенок вряд ли сам заметит или не сможет формулировать по ним четкие правила перевода: сколько нулей стоит над стрелками — столько правых знаков надо удалить при переводе (отделить запятой для 6-классника) или столько нулей справа надо добавить (в зависимости от направления перевода). Или еще короче: идем вправо — убираем столько знаков сколько видим нулей. Движемся влево — добавляем нули.

Изучив все детали процесса перевода длин, репетитор по математике переходит к площадям. Аналогия полная. Главное расположить единицы измерения площадей в порядке их увеличения и записать в теоретическую тетрадь следующую схему:

То же самое для объемов. Схема приведена ниже. При таком едином подходе у ребенка не возникнет путаницы, что ему делать в каждом конкретном примере, а поскольку вся практическая работа ученика строится на этих схемах, то они постоянно будут находиться перед его глазами. В какой-то момент выполнения упражнений репетитор по математике может попросить закрыть теоретическую тетрадь и выписать на листочке или в рабочую тетрадь эту схему. Такое же задание можно предложить в качестве упражнения на дом. Например, перед каждым номером, даже перед каждым переводом, сначала переписать (или по памяти выписать) величины в порядке их роста. Работа зрительной памяти вместе с моторной сделают свое дело и через какое-то время ребенок сможет выполнять подбор переводящего числа в уме, удерживая перед глазами эту таблицу как знакомую фотографию.

Схема для единиц объемов:

Представление о расположении величин порядку их размеров в реальности постепенно складывается при заучивании всего ряда. Ребенок будут понимать, что если единица измерения расположена справа, то она крупнее той, что слева, и чем правее, тем крупнее.

Репетитору по математике важно не растерять с учеником навыки работы с этими схемами. Обязательным пунктом методики работы репетитора является обращение к ней в течение всего цикла занятий с учеником. Необходимость частого использования схем в старших классах постепенно снижается по мере того, как ребенок запоминает соотношения. Для этого нужен не один год. Чем выше становится со временем уровень его развития, чем чаще он сталкивается с величинами в жизни (не обязательно с математическими), тем проще и быстрее он выполняет переводы. И тем реже можно проводится повторение.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике Москва. Профессиональный репетитор в Строгино.

Источник

Единицы измерения

Этот урок не будет новым для новичков. Все мы слышали со школы такие понятия как сантиметр, метр, километр. А когда речь заходила о массе, обычно говорили грамм, килограмм, тонна.

Сантиметры, метры и километры; граммы, килограммы и тонны носят одно общее название — единицы измерения физических величин.

В данном уроке мы рассмотрим наиболее популярные единицы измерения, но не будем сильно углубляться в эту тему, поскольку единицы измерения уходят в область физики. Сегодня мы вынуждены изучить часть физики, поскольку нам это необходимо для дальнейшего изучения математики.

Единицы измерения длины

Для измерения длины предназначены следующие единицы измерения:

Самая маленькая единица измерения это миллиметр (мм). Миллиметры можно увидеть даже воочию, если взять линейку, которой мы пользовались в школе каждый день

Подряд идущие друг за другом маленькие линии это и есть миллиметры. Точнее, расстояние между этими линиями равно одному миллиметру (1 мм):

Следующая единица измерения это сантиметр (см). На линейке каждый сантиметр обозначен числом. К примеру наша линейка, которая была на первом рисунке, имела длину 15 сантиметров. Последний сантиметр на этой линейке выделен числом 15.

В одном сантиметре 10 миллиметров. Между одним сантиметром и десятью миллиметрами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одну и ту же длину:

1 см = 10 мм

Вы можете сами убедиться в этом, если посчитаете количество миллиметров на предыдущем рисунке. Вы обнаружите, что количество миллиметров (расстояний между линиями) равно 10.

Следующая единица измерения длины это дециметр (дм). В одном дециметре десять сантиметров. Между одним дециметром и десятью сантиметрами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одну и ту же длину:

1 дм = 10 см

Вы можете убедиться в этом, если посчитаете количество сантиметров на следующем рисунке:

Вы обнаружите, что количество сантиметров равно 10.

Следующая единица измерения это метр (м). В одном метре десять дециметров. Между одним метром и десятью дециметрами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одну и ту же длину:

1 м = 10 дм

К сожалению, метр нельзя проиллюстрировать на рисунке, потому что он достаточно великоват. Если вы хотите увидеть метр в живую, возьмите рулетку. Она есть у каждого в доме. На рулетке один метр будет обозначен как 100 см. Это потому что в одном метре десять дециметров, а в десяти дециметрах сто сантиметров:

1 м = 10 дм = 100 см

100 получается путём перевода одного метра в сантиметры. Это отдельная тема, которую мы рассмотрим чуть позже. А пока перейдём к следующей единице измерения длины, которая называется километр.

Километр считается самой большой единицей измерения длины. Есть конечно и другие более старшие единицы, такие как мегаметр, гигаметр тераметр, но мы не будем их рассматривать, поскольку для дальнейшего изучения математики нам достаточно и километра.

В одном километре тысяча метров. Между одним километром и тысячью метрами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одну и ту же длину:

1 км = 1000 м

В километрах измеряются расстояния между городами и странами. К примеру, расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга около 714 километров.

Международная система единиц СИ

Международная система единиц СИ — это некоторый набор общепринятых физических величин.

Основное предназначение международной системы единиц СИ — достижение договоренностей между странами.

Мы знаем, что языки и традиции стран мира различны. С этим ничего не поделать. Но законы математики и физики одинаково работают везде. Если в одной стране «дважды два будет четыре», то и в другой стране «дважды два будет четыре».

Основная проблема заключалась в том, что для каждой физической величины существует несколько единиц измерения. К примеру, мы сейчас узнали, что для измерения длины существуют миллиметры, сантиметры, дециметры, метры и километры. Если несколько ученых, говорящих на разных языках, соберутся в одном месте для решения какой-нибудь задачи, то такое большое многообразие единиц измерения длины может породить между этими учеными противоречия.

Один ученый будет заявлять, что в их стране длина измеряется в метрах. Второй может сказать, что в их стране длина измеряется в километрах. Третий может предложить свою единицу измерения.

Поэтому была создана международная система единиц СИ. СИ это аббревиатура от французского словосочетания Le Système International d’Unités, SI (что в переводе на русский означает — международная система единиц СИ).

В СИ приведены наиболее популярные физические величины и для каждой из них определена своя общепринятая единица измерения. К примеру, во всех странах при решении задач условились, что длину будут измерять в метрах. Поэтому, при решении задач, если длина дана в другой единице измерения (например, в километрах), то её обязательно нужно перевести в метры. О том, как переводить одну единицу измерения в другую, мы поговорим немного позже. А пока нарисуем свою международную систему единиц СИ.

Наш рисунок будет представлять собой таблицу физических величин. Каждую изученную физическую величину мы будем включать в нашу таблицу и указывать ту единицу измерения, которая принята во всех странах. Сейчас мы изучили единицы измерения длины и узнали, что в системе СИ для измерения длины определены метры. Значит наша таблица будет выглядеть так:

Единицы измерения массы

Масса – это величина, обозначающая количество вещества в теле. В народе массу тела называют весом. Обычно, когда что-либо взвешивают, говорят «это весит столько-то килограмм» , хотя речь идёт не о весе, а о массе этого тела.

Вместе с тем, масса и вес это разные понятия. Вес — это сила с которой тело действует на горизонтальную опору. Вес измеряется в ньютонах. А масса это величина, показывающая количество вещества в этом теле.

Но ничего страшного нет в том, если вы назовёте массу тела весом. Даже в медицине говорят «вес человека» , хотя речь идёт о массе человека. Главное быть в курсе, что это разные понятия

Для измерения массы используются следующие единицы измерения:

Самая маленькая единица измерения это миллиграмм (мг). Миллиграмм скорее всего вы никогда не примените на практике. Их применяют химики и другие ученые, которые работают с мелкими веществами. Для вас достаточно знать, что такая единица измерения массы существует.

Следующая единица измерения это грамм (г). В граммах принято измерять количество того или иного продукта при составлении рецепта.

В одном грамме тысяча миллиграммов. Между одним граммом и тысячью миллиграммами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одну и ту же массу:

1 г = 1000 мг

Следующая единица измерения это килограмм (кг). Килограмм это общепринятая единица измерения. В ней измеряется всё что угодно. Килограмм включен в систему СИ. Давайте и мы включим в нашу таблицу СИ ещё одну физическую величину. Она у нас будет называться «масса»:

В одном килограмме тысяча граммов. Между одним килограммом и тысячью граммами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одну и ту же массу:

1 кг = 1000 г

Следующая единица измерения это центнер (ц). В центнерах удобно измерять массу урожая, собранного с небольшого участка или массу какого-нибудь груза.

В одном центнере сто килограммов. Между одним центнером и ста килограммами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одну и ту же массу:

1 ц = 100 кг

Следующая единица измерения это тонна (т). В тоннах обычно измеряются большие грузы и массы больших тел. Например, масса космического корабля или автомобиля.

В одной тонне тысяча килограмм. Между одной тонной и тысячью килограммами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одну и ту же массу:

1 т = 1000 кг

Единицы измерения времени

Что такое время думаем объяснять не нужно. Каждый знает что из себя представляет время и зачем оно нужно. Если мы откроем дискуссию на то, что такое время и попытаемся дать ему определение, то начнем углубляться в философию, а это нам сейчас не нужно. Лучше начнём с единиц измерения времени.

Для измерения времени предназначены следующие единицы измерения:

Самая маленькая единица измерения это секунда (с). Есть конечно и более маленькие единицы такие как миллисекунды, микросекунды, наносекунды, но их мы рассматривать не будем, поскольку на данный момент в этом нет смысла.

В секундах измеряются различные показатели. Например, за сколько секунд спортсмен пробежит 100 метров. Секунда включена в международную систему единиц СИ для измерения времени и обозначается как «с». Давайте и мы включим в нашу таблицу СИ ещё одну физическую величину. Она у нас будет называться «время»:

Следующая единица измерения времени это минута (м). В одной минуте 60 секунд. Между одной минутой и шестьюдесятью секундами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одно и то же время:

1 м = 60 с

Следующая единица измерения это час (ч). В одном часе 60 минут. Между одним часом и шестьюдесятью минутами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одно и то же время:

1 ч = 60 м

К примеру, если мы изучали этот урок один час и нас спросят сколько времени мы потратили на его изучение, мы можем ответить двумя способами: «мы изучали урок один час» или так «мы изучали урок шестьдесят минут» . В обоих случаях, мы ответим правильно.

Следующая единица измерения времени это сутки. В сутках 24 часа. Между одними сутками и двадцатью четырьмя часами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одно и то же время:

1 сут = 24 ч

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Источник