Единицы измерения меры деформации

Содержание
  1. Школьная Энциклопедия
  2. Nav view search
  3. Навигация
  4. Искать
  5. Деформация твёрдого тела: её виды, измерение
  6. Типы деформации
  7. Деформация растяжения-сжатия
  8. Деформация сдвига
  9. Деформация изгиба
  10. Деформация кручения
  11. Закон Гука
  12. Измерение деформации
  13. Единицы измерения меры деформации
  14. Деформация (физика) — Deformation (physics)
  15. СОДЕРЖАНИЕ
  16. Напряжение
  17. Меры деформации
  18. Инженерное напряжение
  19. Коэффициент растяжения
  20. Истинное напряжение
  21. Зеленый штамм
  22. Альманси штамм
  23. Нормальная деформация и деформация сдвига
  24. Нормальное напряжение
  25. Деформация сдвига
  26. Метрический тензор
  27. Описание деформации
  28. Аффинная деформация
  29. Жесткое движение тела
  30. Смещение
  31. Тензор градиента смещения
  32. Примеры деформаций
  33. Плоская деформация
  34. Изохорная плоская деформация
  35. Простой сдвиг
  36. Школьная Энциклопедия
  37. Nav view search
  38. Навигация
  39. Искать
  40. Деформация твёрдого тела: её виды, измерение
  41. Типы деформации
  42. Деформация растяжения-сжатия
  43. Деформация сдвига
  44. Деформация изгиба
  45. Деформация кручения
  46. Закон Гука
  47. Измерение деформации
  48. Деформация: виды деформации, пределы упругости и прочности
  49. Виды деформации
  50. Механическое напряжение
  51. Предел упругости
  52. Предел прочности
  53. Единицы измерения меры деформации

Школьная Энциклопедия

Искать

Деформация твёрдого тела: её виды, измерение

Details Category: Молекулярно-кинетическая теория Published on Monday, 17 November 2014 18:20 Hits: 12135

Под воздействием внешних сил твёрдые тела меняют свою форму и объем, т.е. деформируются.

В результате действия приложенных к телу сил частицы, из которых оно состоит, перемещаются. Изменяются расстояния между атомами, их взаимное расположение. Это явление называют деформацией.

Если после прекращения действия силы тело возвращает свою первоначальную форму и объём, то такая деформация называется упругой, или обратимой. В этом случае атомы снова занимают положение, в котором они находились до того, как на тело начала действовать сила.

Если мы сожмём резиновый мячик, он изменит форму. Но тут же восстановит её, как только мы его отпустим. Это пример упругой деформации.

Если же в результате действия силы атомы смещаются от положений равновесия на такие расстояния, что межатомные связи на них уже не действуют, они не могут вернуться в первоначальное состояние и занимают новые положения равновесия. В этом случае в физическом теле происходят необратимые изменения.

Сдавим кусочек пластилина. Свою первоначальную форму он не сможет вернуть, когда мы прекратим воздействовать на него. Он деформировался необратимо. Такую деформацию называют пластичной, или необратимой.

Необратимые деформации могут также происходить постепенно с течением времени, если на тело воздействует постоянная нагрузка, или под влиянием различных факторов в нём возникает механическое напряжение. Такие деформации называются деформациями ползучести.

Например, когда детали и узлы каких-то агрегатов во время работы испытывают серьёзные механические нагрузки, а также подвергаются значительному нагреву, в них со временем наблюдается деформация ползучести.

Под воздействием одной и той же силы тело может испытывать упругую деформацию, если сила приложена к нему на короткое время. Но если эта же сила будет воздействовать на это же тело длительно, то деформация может стать необратимой.

Величина механического напряжения, при которой деформация тела всё ещё будет упругой, а само тело восстановит свою форму после снятия нагрузки, называется пределом упругости. При значениях выше этого предела тело начнёт разрушаться. Но разрушить твёрдое тело не так-то просто. Оно сопротивляется. И это его свойство называется прочностью.

Когда два автомобиля, соединённые буксировочным тросом, начинают движение, трос подвергается деформации. Он натягивается, а его длина увеличивается. А когда они останавливаются, натяжение ослабевает, и длина троса восстанавливается. Но если трос недостаточно прочный, он просто разорвётся.

Типы деформации

В зависимости от того, как приложена внешняя сила, различают деформации растяжения-сжатия, сдвига, изгиба, кручения.

Деформация растяжения-сжатия

Деформация растяжения-сжатия вызывается силами, которые приложены к концам бруса параллельно его продольной оси и направлены в разные стороны.

Под действием внешних сил частицы твёрдого вещества, колеблющиеся относительно своего положения равновесия, смещаются. Но этому процессу пытаются помешать внутренние силы взаимодействия между частицами, старающиеся удержать их в исходном положении на определённом расстоянии друг от друга. Силы, препятствующие деформации, называются силами упругости.

Деформацию растяжения испытывают натянутая тетива лука, буксировочный трос автомобиля при буксировке, сцепные устройства железнодорожных вагонов и др.

Когда мы поднимается по лестнице, ступеньки под действием нашей силы тяжести деформируются. Это деформация сжатия. Такую же деформацию испытывают фундаменты зданий, колонны, стены, шест, с которым прыгает спортсмен.

Деформация сдвига

Если приложить внешнюю силу по касательной к поверхности бруска, нижняя часть которого закреплена, то возникает деформация сдвига. В этом случае параллельные слои тела как бы сдвигаются относительно друг друга.

Представим себе расшатанный табурет, стоящий на полу. Приложим к нему силу по касательной к его поверхности, то есть, попросту потянем верхнюю часть табурета на себя. Все его плоскости, параллельные полу, сместятся друг относительно друга на одинаковый угол.

Такая же деформация происходит, когда лист бумаги разрезается ножницами, пилой с острыми зубьями распиливается деревянный брус и др. Деформации сдвига подвергаются все крепёжные детали, соединяющие поверхности, — винты, гайки и др.

Деформация изгиба

Такая деформация возникает, если концы бруса или стержня лежат на двух опорах. В этом случае на него действуют нагрузки, перпендикулярные его продольной оси.

Деформацию изгиба испытывают все горизонтальные поверхности, положенные на вертикальные опоры. Самый простой пример — линейка, лежащая на двух книгах одинаковой толщины. Когда мы поставим на неё сверху что-то тяжёлое, она прогнётся. Точно так же прогибается деревянный мостик, перекинутый через ручей, когда мы идём по нему.

Деформация кручения

Кручение возникает в теле, если приложить пару сил к его поперечному сечению. В этом случае поперечные сечения будут поворачиваться вокруг оси тела и относительно друг друга. Такую деформацию наблюдают у вращающихся валов машин. Если вручную отжимать (выкручивать) мокрое бельё, то оно также будет подвергаться деформации кручения.

Закон Гука

Наблюдения за различными видами деформации показали, что величина деформации тела зависит от механического напряжения, возникающего под действием приложенных к телу сил.

Эту зависимость описывает закон, открытый в 1660 г. английским учёным Робертом Гуком, которого называют одним из отцов экспериментальной физики.

Виды деформации удобно рассматривать на модели бруса. Это тело, один из трёх размеров которого (ширина, высота или длина), гораздо больше двух других. Иногда вместо термина «брус» употребляют термин «стержень». У стержня длина намного превышает его ширину и высоту.

Рассмотрим эту зависимость для деформации растяжения-сжатия.

Предположим, что стержень первоначально имеет длину L . Под действием внешних сил его длина изменится на величину ∆l . Она называется абсолютным удлинением (сжатием) стержня.

Для деформации растяжения-сжатия закон Гука имеет вид:

F — сила, сжимающая или растягивающая стержень; k — коэффициент упругости.

Сила упругости прямо пропорциональна удлинению тела до некого предельного значения.

Е — модуль упругости первого рода или модуль Юнга. Его величина зависит от свойств материала. Это теоретическая величина, введённая для характеристики упругих свойств тел.

S — площадь поперечного сечения стержня.

Отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине стержня называют относительным удлинением или относительной деформацией.

При растяжении его величина имеет положительное значение, а при сжатии отрицательное.

Отношение модуля внешней силы к площади поперечного сечения стержня называется механическим напряжением.

Тогда закон Гука для относительных величин будет выглядеть так:

Напряжение σ прямо пропорционально относительной деформации ε .

Считается, что сила, стремящаяся удлинить стержень, является положительной ( F ˃ 0 ), а сила, укорачивающая его, имеет отрицательное значение ( F ˂ 0 ).

Измерение деформации

При проектировании и эксплуатации различных механизмов, технических объектов, зданий, мостов и других инженерных сооружений очень важно знать величину деформации материалов.

Так как упругие деформации имеют маленькую величину, то измерения должны проводиться с очень высокой точностью. Для этого используют приборы, называемые тензометрами.

Тензометр состоит из тензометрического датчика и индикаторов. В него также может быть включено регистрирующее устройство.

В зависимости от принципа действия тензометры бывают оптические, пневматические, акустические, электрические и рентгеновские.

В основу оптических тензометров положено измерение деформации нити из оптоволокна, приклеенной к объекту исследования. Пневматические тензометры фиксируют изменение давления при деформации. В акустических тензометрах с помощью пьезоэлектрических датчиков проводятся измерения величин, на которые изменяются скорость звука и акустическое затухание при деформации. Электрические тензометры вычисляют деформацию на основе изменений электрического сопротивления. Рентгеновские определяют изменение межатомных расстояний в кристаллической решётке исследуемых металлов.

Вплоть до 80-х годов ХХ века сигналы датчиков регистрировались самописцами на обыкновенной бумажной ленте. Но когда появились компьютеры и начали бурно развиваться современные технологии, стало возможным наблюдать деформации на экранах мониторов и даже подавать управляющие сигналы, позволяющие изменить режим работы тестируемых объектов.

Источник

Единицы измерения меры деформации

В твердых телах – аморфных и кристаллических – частицы (молекулы, атомы, ионы) совершают тепловые колебания около положений равновесия, в которых энергия их взаимодействия минимальна. При увеличении расстояния между частицами возникают силы притяжения, а при уменьшении – силы отталкивания (см. §3.1). Силы взаимодействия между частицами обусловливают механические свойства твердых тел.

Деформация твердого тела является результатом изменения под действием внешних сил взаимного расположения частиц, из которых состоит тело, и расстояний между ними.

Существует несколько видов деформаций твердых тел. Некоторые из них представлены на рис. 3.7.1.

Рисунок 3.7.1.

Простейшим видом деформации является деформация растяжения или сжатия. Ее можно характеризовать абсолютным удлинением , возникающим под действием внешней силы Связь между и зависит не только от механических свойств вещества, но и от геометрических размеров тела (его толщины и длины).

Отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине образца называется относительным удлинением или относительной деформацией :

При растяжении , при сжатии .

Если принять направление внешней силы, стремящейся удлинить образец, за положительное, то при деформации растяжения и – при сжатии. Отношение модуля внешней силы к площади сечения тела называется механическим напряжением :

За единицу механического напряжения в СИ принят паскаль (). Механическое напряжение измеряется в единицах давления.

Зависимость между и является одной из важнейших характеристик механических свойств твердых тел. Графическое изображение этой зависимости называется диаграммой растяжения . По оси абсцисс откладывается относительное удлинение , а по оси ординат – механическое напряжение . Типичный пример диаграммы растяжения для металлов (таких как медь или мягкое железо) представлен на рис. 3.7.2.

Рисунок 3.7.2.

При малых деформациях (обычно существенно меньших 1 %) связь между и оказывается линейной (участок на диаграмме). При этом при снятии напряжения деформация исчезает. Такая деформация называется упругой. Максимальное значение , при котором сохраняется линейная связь между и , называется пределом пропорциональности ). На линейном участке выполняется закон Гука :

Коэффициент в этом соотношении называется модулем Юнга .

При дальнейшем увеличении напряжения связь между и становится нелинейной (участок ). Однако при снятии напряжения деформация практически полностью исчезает, т. е. восстанавливаются размеры тела. Максимальное напряжение на этом участке называется пределом упругости .

Если , образец после снятия напряжения уже не восстанавливает свои первоначальные размеры и у тела сохраняется остаточная деформация . Такие деформации называются пластическими (участки , и ). На участке деформация происходит почти без увеличения напряжения. Это явление называется текучестью материала. В точке достигается наибольшее напряжение , которое способен выдержать материал без разрушения ( предел прочности ). В точке происходит разрушение материала.

Материалы, у которых диаграмма растяжения имеет вид, показанный на рис. 3.7.2, называются пластичными . У таких материалов обычно деформация , при которой происходит разрушение, в десятки раз превосходит ширину области упругих деформаций. К таким материалам относятся многие металлы.

Материалы, у которых разрушение происходит при деформациях, лишь незначительно превышающих область упругих деформаций, называются хрупкими (стекло, фарфор, чугун).

Аналогичным закономерностям подчиняется и деформация сдвига (рис. 3.7.1 (2)). В этом случае вектор силы направлен по касательной к поверхности образца. Относительная деформация определяется безразмерным отношением , а напряжение – отношением (сила, действующая на единицу площади поверхности). При малых деформациях

Коэффициент пропорциональности в этом отношении называется модулем сдвига . Модуль сдвига для большинства твердых материалов в меньше модуля Юнга. Например, у меди , . Следует помнить, что у жидких и газообразных веществ модуль сдвига равен нулю.

На рис. 3.7.1 (3) показана деформация всестороннего сжатия твердого тела, погруженного в жидкость. В этом случае механическое напряжение совпадает с давлением в жидкости. Относительная деформация определяется как отношение изменения объема к первоначальному объему тела. При малых деформациях

Коэффициент пропорциональности в этой формуле называется модулем всестороннего сжатия .

Всестороннему сжатию могут подвергаться не только твердые тела, но и жидкости и газы. У воды , у стали . На дне Тихого океана, на глубине порядка , давление приблизительно равно . В этих условиях относительное изменение объема воды составляет , в то время как для стального тела оно составляет всего лишь , т. е. в меньше. Твердые тела с их жесткой кристаллической решеткой значительно менее сжимаемы по сравнению с жидкостями, атомы и молекулы которых не так сильно связаны со своими соседями. Сжимаемость газов на много порядков выше, чем у жидкостей и твердых тел.

Величина модуля всестороннего сжатия определяет скорость звука в данном веществе (см. §2.7).

Источник

Деформация (физика) — Deformation (physics)

В физике , деформация является механика сплошной среды трансформация тела из эталонной конфигурации в текущую конфигурацию. Конфигурация — это набор, содержащий положения всех частиц тела.

Деформация может быть вызвана внешними нагрузками , телесными силами (такими как сила тяжести или электромагнитные силы ) или изменениями температуры, содержания влаги, химических реакций и т. Д.

Деформация — это описание деформации в терминах относительного смещения частиц в теле, исключающее движения твердого тела. Различные эквивалентные выборы могут быть сделаны для выражения поля деформации в зависимости от того, определено ли оно относительно начальной или конечной конфигурации тела, и от того, рассматривается ли метрический тензор или его двойственный.

В сплошном теле поле деформации возникает в результате поля напряжений, вызванного приложенными силами, или возникает из-за изменений температурного поля внутри тела. Связь между напряжениями и индуцированными деформациями выражается определяющими уравнениями , например законом Гука для линейно-упругих материалов. Деформации, которые восстанавливаются после снятия поля напряжений, называются упругими деформациями . В этом случае континуум полностью восстанавливает свою первоначальную конфигурацию. С другой стороны, необратимые деформации остаются даже после снятия напряжений. Одним из типов необратимой деформации является пластическая деформация , которая возникает в материальных телах после того, как напряжения достигают определенного порогового значения, известного как предел упругости или предел текучести , и являются результатом механизмов скольжения или дислокаций на атомном уровне. Другой тип необратимой деформации — это вязкая деформация , которая является необратимой частью вязкоупругой деформации.

В случае упругих деформаций функция отклика, связывающая деформацию с деформирующим напряжением, является тензором податливости материала.

СОДЕРЖАНИЕ

Напряжение

Штамм является мерой деформации, представляющее смещение между частицами в телах по отношению к эталонной длине.

Общая деформация тела может быть выражена в виде x = F ( X ), где X — исходное положение материальных точек в теле. Такая мера не различает движения твердого тела (перемещения и вращения) и изменения формы (и размера) тела. Деформация имеет единицы длины.

Мы могли бы, например, определить деформацию как

ε ≐ ∂ ∂ Икс ( Икс — Икс ) знак равно F ′ — я , <\ displaystyle <\ boldsymbol <\ varepsilon>> \ doteq <\ cfrac <\ partial><\ partial \ mathbf >> \ left (\ mathbf — \ mathbf \ right) = <\ boldsymbol > ‘- <\ boldsymbol >,>

где I — тождественный тензор . Следовательно, деформации безразмерны и обычно выражаются десятичной дробью , процентом или частями на запись . Деформации измеряют, насколько данная деформация локально отличается от деформации твердого тела.

Деформация — это вообще тензорная величина. Физическое представление о деформациях можно получить, наблюдая, что данная деформация может быть разложена на нормальную составляющую и составляющую сдвига. Степень растяжения или сжатия вдоль линейных элементов материала или волокон является нормальной деформацией , а величина деформации, связанной со скольжением плоских слоев друг по другу, является деформацией сдвига внутри деформируемого тела. Это может быть сделано путем удлинения, сокращения, изменения объема или углового искажения.

Состояние деформации в материальной точке сплошного тела определяется как совокупность всех изменений длины материальных линий или волокон, нормальная деформация , которая проходит через эту точку, а также совокупность всех изменений угла между ними. пары линий, изначально перпендикулярных друг другу, деформации сдвига , исходящие из этой точки. Однако достаточно знать нормальные и сдвиговые компоненты деформации в трех взаимно перпендикулярных направлениях.

Если имеет место увеличение длины линии материала, нормальная деформация называется деформацией растяжения , в противном случае, если имеет место уменьшение или сжатие длины линии материала, это называется деформацией сжатия .

Меры деформации

В зависимости от степени деформации или локальной деформации анализ деформации подразделяется на три теории деформации:

  • Теории конечных деформаций , называемых также большая теорией деформации , большая теория деформаций , имеет дело с деформациями , в которых оба вращения и деформация сколь угодно большие. В этом случае недеформированная и деформированная конфигурации континуума существенно различаются, и между ними необходимо проводить четкое различие. Обычно это происходит с эластомерами , пластически деформирующими материалами и другими жидкостями и биологическими мягкими тканями .
  • Бесконечно теория деформации , называемая также небольшую теорию деформации , небольшая деформация теории , теория малых смещений , или небольшую теорию смещения-градиент , где деформация и повороты малые. В этом случае недеформированную и деформированную конфигурации тела можно считать идентичными. Теория бесконечно малых деформаций используется при анализе деформаций материалов, демонстрирующих упругие свойства, таких как материалы, используемые в машиностроении и гражданском строительстве, например бетон и сталь.
  • Теориябольшого смещения или большого вращения , которая предполагает небольшие деформации, но большие вращения и смещения.

В каждой из этих теорий напряжение определяется по-разному. Инженерный штамм является наиболее общим определение применяется к материалам , используемым в механической и строительной технике, которые подвергаются воздействию очень малых деформаций. С другой стороны, для некоторых материалов, например эластомеров и полимеров, подверженных большим деформациям, инженерное определение деформации неприменимо, например, типичные инженерные деформации превышают 1%, поэтому требуются другие более сложные определения деформации, такие как растяжение , логарифмическая штамм , зеленый штамм , и Альманзите штамм .

Инженерное напряжение

Коши деформации или инженерно деформации выражается как отношение суммарной деформации к исходному размеру материального тела , в котором применяются силы. Инженерно нормальная деформация или инженерно экстенсиональная деформация или номинальная деформация е из материала линейного элемента или волокон в осевом направлении , загруженного выражаются как изменение длиной Д L на единицу исходной длиной L элемента линии или волокон. Нормальная деформация положительна, если волокна материала растянуты, и отрицательна, если они сжаты. Таким образом, мы имеем

е знак равно Δ L L знак равно л — L L <\ displaystyle \ e = <\ frac <\ Delta L>> = <\ frac >>

где e — инженерная нормальная деформация , L — исходная длина волокна, а l — конечная длина волокна. Меры деформации часто выражаются в миллионных долях или микродеформациях.

Истинная деформация сдвига определяются как изменение угла (в радианах) между двумя линейными элементами материалом , первоначально перпендикулярными друг к другу в недеформированной или исходной конфигурации. Сдвига деформации инженерно определяется как тангенс этого угла, и равна длине деформации на ее максимуме , деленное на перпендикулярной длине в плоскости приложения силы , которая иногда делает его легче вычислить.

Коэффициент растяжения

Степень растяжения или степень растяжения — это мера растяжения или нормальной деформации дифференциального линейного элемента, которая может быть определена либо в недеформированной конфигурации, либо в деформированной конфигурации. Он определяется как отношение конечной длины l к начальной длине L материальной линии.

λ знак равно л L <\ displaystyle \ \ lambda = <\ frac >>

Коэффициент растяжения приблизительно связан с инженерной деформацией следующим образом:

е знак равно л — L L знак равно λ — 1 <\ Displaystyle \ е = <\ гидроразрыва > = \ лямбда -1>

Это уравнение подразумевает, что нормальная деформация равна нулю, так что деформации не происходит, когда растяжение равно единице.

Степень растяжения используется при анализе материалов, которые демонстрируют большие деформации, таких как эластомеры, которые могут выдерживать степени растяжения 3 или 4, прежде чем они разрушатся. С другой стороны, традиционные инженерные материалы, такие как бетон или сталь, терпят неудачу при гораздо более низких коэффициентах растяжения.

Истинное напряжение

Логарифмическая деформация ε , также называемый, истинная деформация или деформация Генки . Учитывая возрастающую деформацию (Людвик)

δ ε знак равно δ л л <\ displaystyle \ \ delta \ varepsilon = <\ frac <\ delta l>>>

логарифмическая деформация получается путем интегрирования этой дополнительной деформации:

∫ δ ε знак равно ∫ L л δ л л ε знак равно пер ⁡ ( л L ) знак равно пер ⁡ ( λ ) знак равно пер ⁡ ( 1 + е ) знак равно е — е 2 2 + е 3 3 — ⋯ <\ displaystyle \ <\ begin \ int \ delta \ varepsilon & = \ int _ ^ <\ frac <\ delta l>> \\\ varepsilon & = \ ln \ left ( <\ frac > \ right) = \ ln (\ lambda) \\ & = \ ln (1 + e) ​​\\ & = e — <\ frac > <2 >> + <\ frac > <3>> — \ cdots \\\ конец <выровнено>>>

где e — инженерная деформация. Логарифмическая деформация обеспечивает правильное измерение конечной деформации, когда деформация происходит в серии приращений с учетом влияния траектории деформации.

Зеленый штамм

Штамм Грина определяется как:

ε грамм знак равно 1 2 ( л 2 — L 2 L 2 ) знак равно 1 2 ( λ 2 — 1 ) <\ displaystyle \ \ varepsilon _ = <\ tfrac <1><2>> \ left ( <\ frac -L ^ <2>> >> \ right ) = <\ tfrac <1><2>> (\ lambda ^ <2>-1)>

Альманси штамм

Штамм Эйлера-Альманси определяется как

ε E знак равно 1 2 ( л 2 — L 2 л 2 ) знак равно 1 2 ( 1 — 1 λ 2 ) <\ displaystyle \ \ varepsilon _ = <\ tfrac <1><2>> \ left ( <\ frac -L ^ <2>> >> \ right ) = <\ tfrac <1><2>> \ left (1 — <\ frac <1><\ lambda ^ <2>>> \ right)>

Нормальная деформация и деформация сдвига

Деформации подразделяются на нормальные и сдвиговые . Нормальная деформация перпендикулярно к поверхности элемента, а при сдвиге деформации параллельно к ней. Эти определения согласуются с определениями нормального напряжения и напряжения сдвига .

Нормальное напряжение

Для изотропного материала, подчиняющегося закону Гука , нормальное напряжение вызовет нормальную деформацию. Нормальные штаммы вызывают дилатацию .

Рассмотрим двумерный бесконечно малый прямоугольный материальный элемент с размерами dx × dy , который после деформации принимает форму ромба . Деформация описывается полем смещения u . Из геометрии соседней фигуры имеем

л е п грамм т час ( А B ) знак равно d Икс <\ Displaystyle \ mathrm <длина>(AB) = dx \,>

<\ sqrt <\ left (1 + <\ frac <\ partial u_ > <\ partial x>> \ right) ^ <2>+ \ left (<\ frac <\ partial u_ > <\ partial x>> \ right) ^ <2>>> \\ & \ приблизительно dx \ left (1 + <\ frac <\ partial u_ > <\ partial x>> \ right) \ end > \, \!>

Для очень малых градиентов смещения квадрат производной от незначителен, и мы имеем ты y <\ displaystyle u_ >

л е п грамм т час ( а б ) ≈ d Икс + ∂ ты Икс ∂ Икс d Икс <\ displaystyle \ mathrm (ab) \ приблизительно dx + <\ frac <\ partial u_ > <\ partial x>> dx>

Нормальная деформация в направлении оси x прямоугольного элемента определяется выражением

ε Икс знак равно расширение исходная длина знак равно л е п грамм т час ( а б ) — л е п грамм т час ( А B ) л е п грамм т час ( А B ) знак равно ∂ ты Икс ∂ Икс <\ displaystyle \ varepsilon _ = <\ frac <\ text > <\ text <исходная длина>>> = <\ frac <\ mathrm (ab) — \ mathrm (AB )> <\ mathrm (AB)>> = <\ frac <\ partial u_ > <\ partial x>>>

Точно так же нормальная деформация в y- и z- направлениях становится

ε y знак равно ∂ ты y ∂ y , ε z знак равно ∂ ты z ∂ z <\ displaystyle \ varepsilon _ = <\ frac <\ partial u_ > <\ partial y>> \ quad, \ qquad \ varepsilon _ = <\ frac <\ partial u_ > <\ partial z>> \, \!>

Деформация сдвига

Инженерная деформация сдвига ( γ xy ) определяется как изменение угла между линиями AC и AB . Следовательно,

γ Икс y знак равно α + β <\ Displaystyle \ гамма _ <ху>= \ альфа + \ бета \, \!>

Исходя из геометрии фигуры, имеем

загар ⁡ α знак равно ∂ ты y ∂ Икс d Икс d Икс + ∂ ты Икс ∂ Икс d Икс знак равно ∂ ты y ∂ Икс 1 + ∂ ты Икс ∂ Икс загар ⁡ β знак равно ∂ ты Икс ∂ y d y d y + ∂ ты y ∂ y d y знак равно ∂ ты Икс ∂ y 1 + ∂ ты y ∂ y <\ displaystyle <\ begin \ tan \ alpha & = <\ frac <<\ tfrac <\ partial u_ > <\ partial x>> dx> ) > <\ partial x>> dx>> = <\ frac <\ tfrac <\ partial u_ > <\ partial x>> <1 + <\ tfrac partial u_ > <\ partial x>>>> \\\ tan \ beta & = <\ frac <<\ tfrac <\ partial u_ > <\ partial y>> dy> > <\ partial y>> dy>> = <\ frac <\ tfrac <\ partial u_ > <\ partial y>> <1 + <\ tfrac partial u_ > <\ partial y>>>> \ конец <выровнен>>>

Для малых градиентов смещения имеем

<\ cfrac <\ partial u_ > <\ partial y>> \ ll 1>

Для небольших поворотов, т.е. α и β равны 1, имеем tan αα , tan ββ . Следовательно,

\ beta \ приблизительно <\ cfrac <\ partial u_ > <\ partial y>>>

γ Икс y знак равно α + β знак равно ∂ ты y ∂ Икс + ∂ ты Икс ∂ y <\ displaystyle \ gamma _ = \ alpha + \ beta = <\ frac <\ partial u_ > <\ partial x>> + <\ frac <\ partial u_ > <\ partial y>> \, \!>

Меняя местами x и y и u x и u y , можно показать, что γ xy = γ yx .

Аналогично для плоскостей yz — и xz имеем

γ y z знак равно γ z y знак равно ∂ ты y ∂ z + ∂ ты z ∂ y , γ z Икс знак равно γ Икс z знак равно ∂ ты z ∂ Икс + ∂ ты Икс ∂ z <\ displaystyle \ gamma _ = \ gamma _ = <\ frac <\ partial u_ > <\ partial z>> + <\ frac <\ partial u_ > <\ partial y >> \ quad, \ qquad \ gamma _ = \ gamma _ = <\ frac <\ partial u_ > <\ partial x>> + <\ frac <\ partial u_ > <\ partial z>> \, \!>

Компоненты тензорной деформации сдвига тензора бесконечно малых деформаций могут быть затем выражены с использованием инженерного определения деформации γ как

ε _ _ знак равно [ ε Икс Икс ε Икс y ε Икс z ε y Икс ε y y ε y z ε z Икс ε z y ε z z ] знак равно [ ε Икс Икс 1 2 γ Икс y 1 2 γ Икс z 1 2 γ y Икс ε y y 1 2 γ y z 1 2 γ z Икс 1 2 γ z y ε z z ] <\ displaystyle <\ underline <\ underline <\ boldsymbol <\ varepsilon>>>> = \ left [ <\ begin \ varepsilon _ & \ varepsilon _ & \ varepsilon _ \ \\ varepsilon _ & \ varepsilon _ & \ varepsilon _ \\\ varepsilon _ & \ varepsilon _ & \ varepsilon _ \\\ end > \ right] = \ left [ <\ begin \ varepsilon _ & <\ tfrac <1><2>> \ gamma _ & <\ tfrac <1><2>> \ gamma _ \\ <\ tfrac <1><2>> \ gamma _ & \ varepsilon _ & <\ tfrac <1><2>> \ gamma _ \\ <\ tfrac <1><2>> \ gamma _ & <\ tfrac <1><2>> \ gamma _ & \ varepsilon _ \\\ end > \ right] \ , \!>

Метрический тензор

Поле деформации, связанное со смещением, определяется в любой точке изменением длины касательных векторов, представляющих скорости произвольно параметризованных кривых, проходящих через эту точку. Основной геометрический результат, полученный Фреше , фон Нейманом и Джорданом , гласит, что если длины касательных векторов удовлетворяют аксиомам нормы и закону параллелограмма , то длина вектора является квадратным корнем из значения квадратичная форма, связанная формулой поляризации с положительно определенным билинейным отображением, называемым метрическим тензором .

Описание деформации

Деформация — это изменение метрических свойств непрерывного тела, означающее, что кривая, нарисованная при первоначальном размещении тела, изменяет свою длину при смещении до кривой при окончательном размещении. Если ни одна из кривых не меняет длину, говорят, что произошло смещение твердого тела .

Удобно определить эталонную конфигурацию или начальное геометрическое состояние континуального тела, из которого будут ссылаться все последующие конфигурации. Эталонная конфигурация не обязательно должна быть той, которую тело действительно когда-либо займет. Часто конфигурация при t = 0 считается эталонной конфигурацией κ 0 ( B ) . Конфигурация в текущий момент t — это текущая конфигурация .

Для анализа деформации эталонная конфигурация определяется как недеформированная конфигурация , а текущая конфигурация — как деформированная конфигурация . Кроме того, время не учитывается при анализе деформации, поэтому последовательность конфигураций между недеформированной и деформированной конфигурациями не представляет интереса.

Компоненты X i вектора положения X частицы в эталонной конфигурации, взятые относительно эталонной системы координат, называются материальными или эталонными координатами . С другой стороны, компоненты x i вектора положения x частицы в деформированной конфигурации, взятые относительно пространственной системы координат отсчета, называются пространственными координатами

Есть два метода анализа деформации сплошной среды. Одно описание сделано в терминах материальных или ссылочных координат, и оно называется описанием материала или лагранжевым описанием . Второе описание деформации производится в терминах пространственных координат, оно называется пространственным описанием или эйлеровым описанием .

При деформации сплошного тела существует непрерывность в том смысле, что:

  • Материальные точки, образующие замкнутую кривую в любой момент, всегда будут образовывать замкнутую кривую в любое последующее время.
  • Материальные точки, образующие замкнутую поверхность в любой момент, всегда будут образовывать замкнутую поверхность в любое последующее время, и материя внутри замкнутой поверхности всегда будет оставаться внутри.

Аффинная деформация

Деформация называется аффинной деформацией, если ее можно описать аффинным преобразованием . Такое преобразование состоит из линейного преобразования (такого как вращение, сдвиг, растяжение и сжатие) и перемещения твердого тела. Аффинные деформации также называют однородными деформациями.

Следовательно, аффинная деформация имеет вид

Икс ( Икс , т ) знак равно F ( т ) ⋅ Икс + c ( т ) <\ displaystyle \ mathbf (\ mathbf , t) = <\ boldsymbol > (t) \ cdot \ mathbf + \ mathbf (t)>

где x — положение точки в деформированной конфигурации, X — положение в эталонной конфигурации, t — параметр времени, F — линейный преобразователь, а c — перенос. В матричной форме, где компоненты относятся к ортонормированному базису,

[ Икс 1 ( Икс 1 , Икс 2 , Икс 3 , т ) Икс 2 ( Икс 1 , Икс 2 , Икс 3 , т ) Икс 3 ( Икс 1 , Икс 2 , Икс 3 , т ) ] знак равно [ F 11 ( т ) F 12 ( т ) F 13 ( т ) F 21 год ( т ) F 22 ( т ) F 23 ( т ) F 31 год ( т ) F 32 ( т ) F 33 ( т ) ] [ Икс 1 Икс 2 Икс 3 ] + [ c 1 ( т ) c 2 ( т ) c 3 ( т ) ] <\ displaystyle <\ begin x_ <1>(X_ <1>, X_ <2>, X_ <3>, t) \\ x_ <2>(X_ <1>, X_ <2>, X_ < 3>, t) \\ x_ <3>(X_ <1>, X_ <2>, X_ <3>, t) \ end > = <\ begin F_ <11>(t) & F_ <12>(t) & F_ <13>(t) \\ F_ <21>(t) & F_ <22>(t) & F_ <23>(t) \\ F_ <31>(t) & F_ <32>( t) & F_ <33>(t) \ end > <\ begin X_ <1>\\ X_ <2>\\ X_ <3>\ end > + <\ begin c_ <1>(t) \\ c_ <2>(t) \\ c_ <3>(t) \ end >>

Вышеупомянутая деформация становится неаффинной или неоднородной, если F = F ( X , t ) или c = c ( X , t ) .

Жесткое движение тела

Движение твердого тела — это особая аффинная деформация, которая не включает сдвиг, растяжение или сжатие. Матрица преобразования F является собственной ортогональной , чтобы позволить ротацию , но никаких отражений .

Движение твердого тела можно описать следующим образом:

Икс ( Икс , т ) знак равно Q ( т ) ⋅ Икс + c ( т ) <\ displaystyle \ mathbf (\ mathbf , t) = <\ boldsymbol > (t) \ cdot \ mathbf + \ mathbf (t)>

Q ⋅ Q Т знак равно Q Т ⋅ Q знак равно 1 <\ displaystyle <\ boldsymbol > \ cdot <\ boldsymbol > ^ = <\ boldsymbol > ^ \ cdot <\ boldsymbol > = <\ boldsymbol <\ математика <1>>>>

В матричной форме

[ Икс 1 ( Икс 1 , Икс 2 , Икс 3 , т ) Икс 2 ( Икс 1 , Икс 2 , Икс 3 , т ) Икс 3 ( Икс 1 , Икс 2 , Икс 3 , т ) ] знак равно [ Q 11 ( т ) Q 12 ( т ) Q 13 ( т ) Q 21 год ( т ) Q 22 ( т ) Q 23 ( т ) Q 31 год ( т ) Q 32 ( т ) Q 33 ( т ) ] [ Икс 1 Икс 2 Икс 3 ] + [ c 1 ( т ) c 2 ( т ) c 3 ( т ) ] <\ displaystyle <\ begin x_ <1>(X_ <1>, X_ <2>, X_ <3>, t) \\ x_ <2>(X_ <1>, X_ <2>, X_ < 3>, t) \\ x_ <3>(X_ <1>, X_ <2>, X_ <3>, t) \ end > = <\ begin Q_ <11>(t) & Q_ <12>(t) & Q_ <13>(t) \\ Q_ <21>(t) & Q_ <22>(t) & Q_ <23>(t) \\ Q_ <31>(t) & Q_ <32>( t) & Q_ <33>(t) \ end > <\ begin X_ <1>\\ X_ <2>\\ X_ <3>\ end > + <\ begin c_ <1>(t) \\ c_ <2>(t) \\ c_ <3>(t) \ end >>

Смещение

Изменение конфигурации сплошного тела приводит к смещению . Смещение тела состоит из двух компонентов: смещения твердого тела и деформации. Смещение твердого тела состоит из одновременного перемещения и вращения тела без изменения его формы или размера. Деформация подразумевает изменение формы и / или размера тела от исходной или недеформированной конфигурации κ 0 ( B ) до текущей или деформированной конфигурации κ t ( B ) (Рисунок 1).

Если после смещения континуума происходит относительное смещение между частицами, произошла деформация. С другой стороны, если после смещения континуума относительное смещение между частицами в текущей конфигурации равно нулю, то деформации нет, и говорят, что произошло смещение твердого тела.

Вектор, соединяющий положения частицы P в недеформированной конфигурации и деформированной конфигурации, называется вектором смещения u ( X , t ) = u i e i в лагранжевом описании, или U ( x , t ) = U J E J в эйлерово описание.

Поле смещения представляет собой векторное поле всех векторов смещения для всех частиц в теле, которое связывает деформированную конфигурацию с недеформированной конфигурацией. Анализ деформации или движения сплошного тела удобно проводить в терминах поля смещения. В общем, поле смещения выражается через материальные координаты как

ты ( Икс , т ) знак равно б ( Икс , т ) + Икс ( Икс , т ) — Икс или же ты я знак равно α я J б J + Икс я — α я J Икс J <\ displaystyle \ \ mathbf (\ mathbf , t) = \ mathbf (\ mathbf , t) + \ mathbf (\ mathbf , t) — \ mathbf \ qquad <\ text <или>> \ qquad u_ = \ alpha _ b_ + x_ — \ alpha _ X_ >

или в терминах пространственных координат как

U ( Икс , т ) знак равно б ( Икс , т ) + Икс — Икс ( Икс , т ) или же U J знак равно б J + α J я Икс я — Икс J <\ displaystyle \ \ mathbf (\ mathbf , t) = \ mathbf (\ mathbf , t) + \ mathbf — \ mathbf (\ mathbf , t) \ qquad <\ text <или>> \ qquad U_ = b_ + \ alpha _ x_ -X_ \,>

где α Ji — направляющие косинусы между материальной и пространственной системами координат с единичными векторами E J и e i , соответственно. Таким образом

E J ⋅ е я знак равно α J я знак равно α я J <\ displaystyle \ \ mathbf _ \ cdot \ mathbf _ = \ alpha _ = \ alpha _ >

и соотношение между u i и U J определяется выражением

ты я знак равно α я J U J или же U J знак равно α J я ты я <\ displaystyle \ u_ = \ alpha _ U_ \ qquad <\ text <или>> \ qquad U_ = \ alpha _ u_ >

е я знак равно α я J E J <\ Displaystyle \ \ mathbf <е>_ <я>= \ альфа _ \ mathbf _ >

ты ( Икс , т ) знак равно ты я е я знак равно ты я ( α я J E J ) знак равно U J E J знак равно U ( Икс , т ) <\ displaystyle \ mathbf (\ mathbf , t) = u_ \ mathbf _ = u_ (\ alpha _ \ mathbf _ < J>) = U_ \ mathbf _ = \ mathbf (\ mathbf , t)>

Обычно системы координат для недеформированной и деформированной конфигураций накладываются друг на друга, что приводит к b = 0 , а направляющие косинусы становятся дельтами Кронекера :

E J ⋅ е я знак равно δ J я знак равно δ я J <\ displaystyle \ \ mathbf _ \ cdot \ mathbf _ = \ delta _ = \ delta _ >

Таким образом, мы имеем

ты ( Икс , т ) знак равно Икс ( Икс , т ) — Икс или же ты я знак равно Икс я — δ я J Икс J знак равно Икс я — Икс я <\ displaystyle \ \ mathbf (\ mathbf , t) = \ mathbf (\ mathbf , t) — \ mathbf \ qquad <\ text <или>> \ qquad u_ = x_ — \ delta _ X_ = x_ -X_ >

или в терминах пространственных координат как

U ( Икс , т ) знак равно Икс — Икс ( Икс , т ) или же U J знак равно δ J я Икс я — Икс J знак равно Икс J — Икс J <\ Displaystyle \ \ mathbf (\ mathbf , t) = \ mathbf — \ mathbf (\ mathbf , t) \ qquad <\ text <или>> \ qquad U_ = \ delta _ x_ -X_ = x_ -X_ >

Тензор градиента смещения

Частичное дифференцирование вектора смещения по координатам материала дает тензор градиента смещения материала X u . Таким образом, мы имеем:

ты ( Икс , т ) знак равно Икс ( Икс , т ) — Икс ∇ Икс ты знак равно ∇ Икс Икс — я ∇ Икс ты знак равно F — я <\ displaystyle <\ begin \ mathbf (\ mathbf , t) & = \ mathbf (\ mathbf , t) — \ mathbf \\\ nabla _ <\ mathbf > \ mathbf & = \ nabla _ <\ mathbf > \ mathbf — \ mathbf \\\ nabla _ <\ mathbf > \ mathbf < u>& = \ mathbf — \ mathbf \\\ конец <выровнено>>> или же ты я знак равно Икс я — δ я J Икс J знак равно Икс я — Икс я ∂ ты я ∂ Икс K знак равно ∂ Икс я ∂ Икс K — δ я K <\ displaystyle <\ begin u_ & = x_ — \ delta _ X_ = x_ -X_ \\ <\ frac <\ partial u_ < i>> <\ partial X_ >> & = <\ frac <\ partial x_ > <\ partial X_ >> — \ delta _ \\\ конец <выровнено>>>

где Fтензор градиента деформации .

Аналогичным образом , частичная дифференциация вектора смещения по отношению к пространственным координатам дает пространственное перемещение тензора градиента х U . Таким образом, мы имеем

U ( Икс , т ) знак равно Икс — Икс ( Икс , т ) ∇ Икс U знак равно я — ∇ Икс Икс ∇ Икс U знак равно я — F — 1 <\ displaystyle <\ begin \ mathbf (\ mathbf , t) & = \ mathbf — \ mathbf (\ mathbf , t) \\\ nabla _ <\ mathbf > \ mathbf & = \ mathbf — \ nabla _ <\ mathbf > \ mathbf \\\ nabla _ <\ mathbf > \ mathbf < U>& = \ mathbf — \ mathbf ^ <- 1>\\\ конец <выровнено>>> или же U J знак равно δ J я Икс я — Икс J знак равно Икс J — Икс J ∂ U J ∂ Икс k знак равно δ J k — ∂ Икс J ∂ Икс k <\ displaystyle <\ begin U_ & = \ delta _ x_ -X_ = x_ -X_ \\ <\ frac <\ partial U_ < J>> <\ partial x_ >> & = \ delta _ — <\ frac <\ partial X_ > <\ partial x_ >> \\\ конец <выровнено>>>

Примеры деформаций

Однородные (или аффинные) деформации полезны для выяснения поведения материалов. Представляют интерес некоторые однородные деформации.

Плоские деформации также представляют интерес, особенно в экспериментальном контексте.

Плоская деформация

Плоская деформация, также называемая плоской деформацией , — это деформация, при которой деформация ограничивается одной из плоскостей в исходной конфигурации. Если деформация ограничивается плоскостью, описываемой базисными векторами e 1 , e 2 , градиент деформации имеет вид

F знак равно F 11 е 1 ⊗ е 1 + F 12 е 1 ⊗ е 2 + F 21 год е 2 ⊗ е 1 + F 22 е 2 ⊗ е 2 + е 3 ⊗ е 3 <\ displaystyle <\ boldsymbol > = F_ <11>\ mathbf _ <1>\ otimes \ mathbf _ <1>+ F_ <12>\ mathbf _ <1>\ otimes \ mathbf _ <2>+ F_ <21>\ mathbf _ <2>\ otimes \ mathbf _ <1>+ F_ <22>\ mathbf _ <2>\ otimes \ mathbf _ <2>+ \ mathbf _ <3>\ otimes \ mathbf _ <3>>

В матричной форме

F знак равно [ F 11 F 12 0 F 21 год F 22 0 0 0 1 ] <\ displaystyle <\ boldsymbol > = <\ begin F_ <11>& F_ <12>& 0 \\ F_ <21>& F_ <22>& 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end >>

Из теоремы о полярном разложении градиент деформации, вплоть до изменения координат, можно разложить на растяжение и вращение. Поскольку вся деформация происходит в плоскости, мы можем написать

F знак равно р ⋅ U знак равно [ потому что ⁡ θ грех ⁡ θ 0 — грех ⁡ θ потому что ⁡ θ 0 0 0 1 ] [ λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 1 ] <\ displaystyle <\ boldsymbol > = <\ boldsymbol > \ cdot <\ boldsymbol > = <\ begin \ cos \ theta & \ sin \ theta & 0 \\ — \ sin \ theta & \ cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end > <\ begin \ lambda _ <1>& 0 & 0 \\ 0 & \ lambda _ <2>& 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end >>

Изохорная плоская деформация

Если деформация изохорная (с сохранением объема), то det ( F ) = 1 и имеем

F 11 F 22 — F 12 F 21 год знак равно 1 <\ displaystyle F_ <11>F_ <22>-F_ <12>F_ <21>= 1>

В качестве альтернативы,

λ 1 λ 2 знак равно 1 <\ displaystyle \ lambda _ <1>\ lambda _ <2>= 1>

Простой сдвиг

Простой сдвиг деформация определяются как изохорная деформация плоскости , в которой имеется множество линейных элементов с заданной опорной ориентацией , которые не изменяют длину и ориентацию при деформации.

Если e 1 является фиксированной эталонной ориентацией, при которой линейные элементы не деформируются во время деформации, тогда λ 1 = 1 и F · e 1 = e 1 . Следовательно,

F_ <21>= 0>

Поскольку деформация изохорная,

F 11 F 22 — F 12 F 21 год знак равно 1 ⟹ F 22 знак равно 1 <\ Displaystyle F_ <11>F_ <22>-F_ <12>F_ <21>= 1 \ quad \ подразумевает \ quad F_ <22>= 1>

γ знак равно F 12 <\ displaystyle \ gamma: = F_ <12>\,>

Тогда градиент деформации при простом сдвиге можно выразить как

F знак равно [ 1 γ 0 0 1 0 0 0 1 ] <\ displaystyle <\ boldsymbol > = <\ begin 1 & \ gamma & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end >>

F ⋅ е 2 знак равно F 12 е 1 + F 22 е 2 знак равно γ е 1 + е 2 ⟹ F ⋅ ( е 2 ⊗ е 2 ) знак равно γ е 1 ⊗ е 2 + е 2 ⊗ е 2 <\ displaystyle <\ boldsymbol > \ cdot \ mathbf _ <2>= F_ <12>\ mathbf _ <1>+ F_ <22>\ mathbf _ <2>= \ gamma \ mathbf _ <1>+ \ mathbf _ <2>\ quad \ подразумевает \ quad <\ boldsymbol > \ cdot (\ mathbf _ <2>\ otimes \ mathbf _ <2>) = \ gamma \ mathbf _ <1>\ otimes \ mathbf _ <2>+ \ mathbf _ <2>\ otimes \ mathbf _ < 2>>

е я ⊗ е я знак равно 1 <\ displaystyle \ mathbf _ \ otimes \ mathbf _ = <\ boldsymbol <\ mathit <1>>>>

мы также можем записать градиент деформации как

F знак равно 1 + γ е 1 ⊗ е 2 <\ displaystyle <\ boldsymbol > = <\ boldsymbol <\ mathit <1>>> + \ gamma \ mathbf _ <1>\ otimes \ mathbf _ <2>>

Источник

Школьная Энциклопедия

Искать

Деформация твёрдого тела: её виды, измерение

Details Category: Молекулярно-кинетическая теория Published on Monday, 17 November 2014 18:20 Hits: 12135

Под воздействием внешних сил твёрдые тела меняют свою форму и объем, т.е. деформируются.

В результате действия приложенных к телу сил частицы, из которых оно состоит, перемещаются. Изменяются расстояния между атомами, их взаимное расположение. Это явление называют деформацией.

Если после прекращения действия силы тело возвращает свою первоначальную форму и объём, то такая деформация называется упругой, или обратимой. В этом случае атомы снова занимают положение, в котором они находились до того, как на тело начала действовать сила.

Если мы сожмём резиновый мячик, он изменит форму. Но тут же восстановит её, как только мы его отпустим. Это пример упругой деформации.

Если же в результате действия силы атомы смещаются от положений равновесия на такие расстояния, что межатомные связи на них уже не действуют, они не могут вернуться в первоначальное состояние и занимают новые положения равновесия. В этом случае в физическом теле происходят необратимые изменения.

Сдавим кусочек пластилина. Свою первоначальную форму он не сможет вернуть, когда мы прекратим воздействовать на него. Он деформировался необратимо. Такую деформацию называют пластичной, или необратимой.

Необратимые деформации могут также происходить постепенно с течением времени, если на тело воздействует постоянная нагрузка, или под влиянием различных факторов в нём возникает механическое напряжение. Такие деформации называются деформациями ползучести.

Например, когда детали и узлы каких-то агрегатов во время работы испытывают серьёзные механические нагрузки, а также подвергаются значительному нагреву, в них со временем наблюдается деформация ползучести.

Под воздействием одной и той же силы тело может испытывать упругую деформацию, если сила приложена к нему на короткое время. Но если эта же сила будет воздействовать на это же тело длительно, то деформация может стать необратимой.

Величина механического напряжения, при которой деформация тела всё ещё будет упругой, а само тело восстановит свою форму после снятия нагрузки, называется пределом упругости. При значениях выше этого предела тело начнёт разрушаться. Но разрушить твёрдое тело не так-то просто. Оно сопротивляется. И это его свойство называется прочностью.

Когда два автомобиля, соединённые буксировочным тросом, начинают движение, трос подвергается деформации. Он натягивается, а его длина увеличивается. А когда они останавливаются, натяжение ослабевает, и длина троса восстанавливается. Но если трос недостаточно прочный, он просто разорвётся.

Типы деформации

В зависимости от того, как приложена внешняя сила, различают деформации растяжения-сжатия, сдвига, изгиба, кручения.

Деформация растяжения-сжатия

Деформация растяжения-сжатия вызывается силами, которые приложены к концам бруса параллельно его продольной оси и направлены в разные стороны.

Под действием внешних сил частицы твёрдого вещества, колеблющиеся относительно своего положения равновесия, смещаются. Но этому процессу пытаются помешать внутренние силы взаимодействия между частицами, старающиеся удержать их в исходном положении на определённом расстоянии друг от друга. Силы, препятствующие деформации, называются силами упругости.

Деформацию растяжения испытывают натянутая тетива лука, буксировочный трос автомобиля при буксировке, сцепные устройства железнодорожных вагонов и др.

Когда мы поднимается по лестнице, ступеньки под действием нашей силы тяжести деформируются. Это деформация сжатия. Такую же деформацию испытывают фундаменты зданий, колонны, стены, шест, с которым прыгает спортсмен.

Деформация сдвига

Если приложить внешнюю силу по касательной к поверхности бруска, нижняя часть которого закреплена, то возникает деформация сдвига. В этом случае параллельные слои тела как бы сдвигаются относительно друг друга.

Представим себе расшатанный табурет, стоящий на полу. Приложим к нему силу по касательной к его поверхности, то есть, попросту потянем верхнюю часть табурета на себя. Все его плоскости, параллельные полу, сместятся друг относительно друга на одинаковый угол.

Такая же деформация происходит, когда лист бумаги разрезается ножницами, пилой с острыми зубьями распиливается деревянный брус и др. Деформации сдвига подвергаются все крепёжные детали, соединяющие поверхности, — винты, гайки и др.

Деформация изгиба

Такая деформация возникает, если концы бруса или стержня лежат на двух опорах. В этом случае на него действуют нагрузки, перпендикулярные его продольной оси.

Деформацию изгиба испытывают все горизонтальные поверхности, положенные на вертикальные опоры. Самый простой пример — линейка, лежащая на двух книгах одинаковой толщины. Когда мы поставим на неё сверху что-то тяжёлое, она прогнётся. Точно так же прогибается деревянный мостик, перекинутый через ручей, когда мы идём по нему.

Деформация кручения

Кручение возникает в теле, если приложить пару сил к его поперечному сечению. В этом случае поперечные сечения будут поворачиваться вокруг оси тела и относительно друг друга. Такую деформацию наблюдают у вращающихся валов машин. Если вручную отжимать (выкручивать) мокрое бельё, то оно также будет подвергаться деформации кручения.

Закон Гука

Наблюдения за различными видами деформации показали, что величина деформации тела зависит от механического напряжения, возникающего под действием приложенных к телу сил.

Эту зависимость описывает закон, открытый в 1660 г. английским учёным Робертом Гуком, которого называют одним из отцов экспериментальной физики.

Виды деформации удобно рассматривать на модели бруса. Это тело, один из трёх размеров которого (ширина, высота или длина), гораздо больше двух других. Иногда вместо термина «брус» употребляют термин «стержень». У стержня длина намного превышает его ширину и высоту.

Рассмотрим эту зависимость для деформации растяжения-сжатия.

Предположим, что стержень первоначально имеет длину L . Под действием внешних сил его длина изменится на величину ∆l . Она называется абсолютным удлинением (сжатием) стержня.

Для деформации растяжения-сжатия закон Гука имеет вид:

F — сила, сжимающая или растягивающая стержень; k — коэффициент упругости.

Сила упругости прямо пропорциональна удлинению тела до некого предельного значения.

Е — модуль упругости первого рода или модуль Юнга. Его величина зависит от свойств материала. Это теоретическая величина, введённая для характеристики упругих свойств тел.

S — площадь поперечного сечения стержня.

Отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине стержня называют относительным удлинением или относительной деформацией.

При растяжении его величина имеет положительное значение, а при сжатии отрицательное.

Отношение модуля внешней силы к площади поперечного сечения стержня называется механическим напряжением.

Тогда закон Гука для относительных величин будет выглядеть так:

Напряжение σ прямо пропорционально относительной деформации ε .

Считается, что сила, стремящаяся удлинить стержень, является положительной ( F ˃ 0 ), а сила, укорачивающая его, имеет отрицательное значение ( F ˂ 0 ).

Измерение деформации

При проектировании и эксплуатации различных механизмов, технических объектов, зданий, мостов и других инженерных сооружений очень важно знать величину деформации материалов.

Так как упругие деформации имеют маленькую величину, то измерения должны проводиться с очень высокой точностью. Для этого используют приборы, называемые тензометрами.

Тензометр состоит из тензометрического датчика и индикаторов. В него также может быть включено регистрирующее устройство.

В зависимости от принципа действия тензометры бывают оптические, пневматические, акустические, электрические и рентгеновские.

В основу оптических тензометров положено измерение деформации нити из оптоволокна, приклеенной к объекту исследования. Пневматические тензометры фиксируют изменение давления при деформации. В акустических тензометрах с помощью пьезоэлектрических датчиков проводятся измерения величин, на которые изменяются скорость звука и акустическое затухание при деформации. Электрические тензометры вычисляют деформацию на основе изменений электрического сопротивления. Рентгеновские определяют изменение межатомных расстояний в кристаллической решётке исследуемых металлов.

Вплоть до 80-х годов ХХ века сигналы датчиков регистрировались самописцами на обыкновенной бумажной ленте. Но когда появились компьютеры и начали бурно развиваться современные технологии, стало возможным наблюдать деформации на экранах мониторов и даже подавать управляющие сигналы, позволяющие изменить режим работы тестируемых объектов.

Источник

Деформация: виды деформации, пределы упругости и прочности

Частицы, из которых состоят твердые тела (как аморфные, так и кристаллические) постоянно совершают тепловые колебания около положений равновесия. В таких положениях энергия их взаимодействия минимальная. Если расстояние между частицами уменьшается, начинают действовать силы отталкивания, а если увеличиваться – то силы притяжения. Именно этими двумя силами обусловлены все механические свойства, которыми обладают твердые тела.

Если твердое тело изменяется под воздействием внешних сил, то частицы, из которых оно состоит, меняют свое внутреннее положение. Такое изменение называется деформацией.

Виды деформации

Различают деформации нескольких видов. На изображении показаны некоторые из них.

Рисунок 3 . 7 . 1 . Некоторые виды деформаций твердых тел: 1 – деформация растяжения; 2 – деформация сдвига; 3 – деформация всестороннего сжатия.

Первый вид – растяжение или сжатие – является наиболее простым видом деформации. В таком случае изменения, происходящие с телом, можно описать при помощи абсолютного удлинения Δ l , которое происходит под действием сил, обозначаемых F → . Взаимосвязь, существующая между силами и удлинением, обусловлена геометрическими размерами тела (в первую очередь толщиной и длиной), а также механическими свойствами вещества.

Если мы разделим величину абсолютного удлинения на первоначальную длину твердого тела, мы получим величину его относительного удлинения (относительной деформации).

Обозначим этот показатель ε и запишем следующую формулу:

Относительная деформация тела растет при его растяжении и соответственно уменьшается при сжатии.

Если учесть, в каком именно направлении внешняя сила действует на тело, то мы можем записать, что F будет больше нуля при растяжении и меньше нуля при сжатии.

Механическое напряжение

Механическое напряжение твердого тела σ – это показатель, равный отношению модуля внешней силы к площади сечения твердого тела.

Величину механического напряжения принято выражать в паскалях ( П а ) и измерять в единицах давления.

Важно понимать, как именно механическое напряжение и относительная деформация связаны между собой. Если отобразить их взаимоотношения графически, мы получим так называемую диаграмму растяжения. При этом нам нужно отмерить величину относительной деформации по оси x , а механическое напряжение – по оси y . На рисунке ниже представлена диаграмма растяжения, типичная для меди, мягкого железа и некоторых других металлов.

Рисунок 3 . 7 . 2 . Типичная диаграмма растяжения для пластичного материала. Голубая полоса – область упругих деформаций.

В тех случаях, когда деформация твердого тела меньше 1 % (малая деформация), то связь между относительным удлинением и механическим напряжением приобретает линейный характер. На графике это показано на участке O a . Если напряжение снять, то деформация исчезнет.

Деформация, исчезающая при снятии напряжения, называется упругой.

Линейный характер связи сохраняется до определенного предела. На графике он обозначен точкой a .

Предел пропорциональности – это наибольшее значение σ = σ п р , при котором сохраняется линейная связь между показателями σ и ε .

На данном участке будет выполняться закон Гука:

В формуле содержится так называемый модуль Юнга, обозначенный буквой E .

Если мы продолжим увеличивать напряжение на твердое тело, то линейный характер связи нарушится. Это видно на участке a b . Сняв напряжение, мы также увидим практически полное исчезновение деформации, то есть восстановление формы и размеров тела.

Предел упругости

Предел упругости – максимальное напряжение, после снятия которого тело восстановит свою форму и размер.

После перехода этого предела восстановления первоначальных параметров тела уже не происходит. Когда мы снимаем напряжение, у тела остается так называемая остаточная (пластическая) деформация.

Обратите внимание на участок диаграммы b c , где напряжение практически не увеличивается, но деформация при этом продолжается. Это свойство называется текучестью материала.

Предел прочности

Предел прочности – максимальное напряжение, которое способно выдержать твердое тело, не разрушаясь.

В точке e материал разрушается.

Если диаграмма напряжения материала имеет вид, соответствующий тому, что показан на графике, то такой материал называется пластичным. У них обычно деформация, при которой происходит разрушение, заметно больше области упругих деформаций. К пластичным материалам относится большинство металлов.

Если материал разрушается при деформации, которая превосходит область упругих деформаций незначительно, то он называется хрупким. Такими материалами считаются чугун, фарфор, стекло и др.

Деформация сдвига имеет аналогичные закономерности и свойства. Ее отличительная особенность состоит в направлении вектора силы: он направлен по касательной относительно поверхности тела. Для поиска величины относительной деформации нам нужно найти значение Δ x l , а напряжения – F S (здесь буквой S обозначена та сила, которая действует на единицу площади тела). Для малых деформаций действует следующая формула:

Буквой G в формуле обозначен коэффициент пропорциональности, также называемый модулем сдвига. Обычно для твердого материала он примерно в 2 — 3 раза меньше, чем модуль Юнга. Так, для меди E = 1 , 1 · 10 11 Н / м 2 , G = 0 , 42 · 10 11 Н / м 2 .

Когда мы имеем дело с жидкими и газообразными веществами, то важно помнить, что у них модуль сдвига равен 0 .

При деформации всестороннего сжатия твердого тела, погруженного в жидкость, механическое напряжение будет совпадать с давлением жидкости ( p ) . Чтобы вычислить относительную деформацию, нам нужно найти отношение изменения объема Δ V к первоначальному объему V тела. При малых деформациях

Буквой B обозначен коэффициент пропорциональности, называемый модулем всестороннего сжатия. Такому сжатию можно подвергнуть не только твердое тело, но и жидкость и газ. Так, у воды B = 2 , 2 · 10 9 Н / м 2 , у стали B = 1 , 6 · 10 11 Н / м 2 . В Тихом океане на глубине 4 к м давление составляет 4 · 10 7 Н / м 2 , а относительно изменения объема воды 1 , 8 % . Для твердого тела, изготовленного из стали, значение этого параметра равно 0 , 025 % , то есть оно меньше в 70 раз. Это подтверждает, что твердые тела благодаря жесткой кристаллической решетке обладают гораздо меньшей сжимаемостью по сравнению с жидкостью, в которой атомы и молекулы связаны между собой не так плотно. Газы могут сжиматься еще лучше, чем тела и жидкости.

От значения модуля всестороннего сжатия зависит скорость, с которой звук распространяется в данном веществе.

Источник

Единицы измерения меры деформации

В твердых телах – аморфных и кристаллических – частицы (молекулы, атомы, ионы) совершают тепловые колебания около положений равновесия, в которых энергия их взаимодействия минимальна. При увеличении расстояния между частицами возникают силы притяжения, а при уменьшении – силы отталкивания (см. §3.1). Силы взаимодействия между частицами обусловливают механические свойства твердых тел.

Деформация твердого тела является результатом изменения под действием внешних сил взаимного расположения частиц, из которых состоит тело, и расстояний между ними.

Существует несколько видов деформаций твердых тел. Некоторые из них представлены на рис. 3.7.1.

Рисунок 3.7.1.

Простейшим видом деформации является деформация растяжения или сжатия. Ее можно характеризовать абсолютным удлинением , возникающим под действием внешней силы Связь между и зависит не только от механических свойств вещества, но и от геометрических размеров тела (его толщины и длины).

Отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине образца называется относительным удлинением или относительной деформацией :

При растяжении , при сжатии .

Если принять направление внешней силы, стремящейся удлинить образец, за положительное, то при деформации растяжения и – при сжатии. Отношение модуля внешней силы к площади сечения тела называется механическим напряжением :

За единицу механического напряжения в СИ принят паскаль (). Механическое напряжение измеряется в единицах давления.

Зависимость между и является одной из важнейших характеристик механических свойств твердых тел. Графическое изображение этой зависимости называется диаграммой растяжения . По оси абсцисс откладывается относительное удлинение , а по оси ординат – механическое напряжение . Типичный пример диаграммы растяжения для металлов (таких как медь или мягкое железо) представлен на рис. 3.7.2.

Рисунок 3.7.2.

При малых деформациях (обычно существенно меньших 1 %) связь между и оказывается линейной (участок на диаграмме). При этом при снятии напряжения деформация исчезает. Такая деформация называется упругой. Максимальное значение , при котором сохраняется линейная связь между и , называется пределом пропорциональности ). На линейном участке выполняется закон Гука :

Коэффициент в этом соотношении называется модулем Юнга .

При дальнейшем увеличении напряжения связь между и становится нелинейной (участок ). Однако при снятии напряжения деформация практически полностью исчезает, т. е. восстанавливаются размеры тела. Максимальное напряжение на этом участке называется пределом упругости .

Если , образец после снятия напряжения уже не восстанавливает свои первоначальные размеры и у тела сохраняется остаточная деформация . Такие деформации называются пластическими (участки , и ). На участке деформация происходит почти без увеличения напряжения. Это явление называется текучестью материала. В точке достигается наибольшее напряжение , которое способен выдержать материал без разрушения ( предел прочности ). В точке происходит разрушение материала.

Материалы, у которых диаграмма растяжения имеет вид, показанный на рис. 3.7.2, называются пластичными . У таких материалов обычно деформация , при которой происходит разрушение, в десятки раз превосходит ширину области упругих деформаций. К таким материалам относятся многие металлы.

Материалы, у которых разрушение происходит при деформациях, лишь незначительно превышающих область упругих деформаций, называются хрупкими (стекло, фарфор, чугун).

Аналогичным закономерностям подчиняется и деформация сдвига (рис. 3.7.1 (2)). В этом случае вектор силы направлен по касательной к поверхности образца. Относительная деформация определяется безразмерным отношением , а напряжение – отношением (сила, действующая на единицу площади поверхности). При малых деформациях

Коэффициент пропорциональности в этом отношении называется модулем сдвига . Модуль сдвига для большинства твердых материалов в меньше модуля Юнга. Например, у меди , . Следует помнить, что у жидких и газообразных веществ модуль сдвига равен нулю.

На рис. 3.7.1 (3) показана деформация всестороннего сжатия твердого тела, погруженного в жидкость. В этом случае механическое напряжение совпадает с давлением в жидкости. Относительная деформация определяется как отношение изменения объема к первоначальному объему тела. При малых деформациях

Коэффициент пропорциональности в этой формуле называется модулем всестороннего сжатия .

Всестороннему сжатию могут подвергаться не только твердые тела, но и жидкости и газы. У воды , у стали . На дне Тихого океана, на глубине порядка , давление приблизительно равно . В этих условиях относительное изменение объема воды составляет , в то время как для стального тела оно составляет всего лишь , т. е. в меньше. Твердые тела с их жесткой кристаллической решеткой значительно менее сжимаемы по сравнению с жидкостями, атомы и молекулы которых не так сильно связаны со своими соседями. Сжимаемость газов на много порядков выше, чем у жидкостей и твердых тел.

Величина модуля всестороннего сжатия определяет скорость звука в данном веществе (см. §2.7).

Источник

Поделиться с друзьями
Моя стройка
Adblock
detector