Единицы измерения потенциала силы тяжести

Сила тяжести. Потенциал силы тяжести

Физико-геологические основы гравииразведки

В основе теории гравиразведки лежит закон всемирного тяготения Ньютона (1642—1727 )гг.

Геологической основой гравиразведки является неравномерное распределение масс различной плотности в земной коре под действием геологических процессов.

Под абсолютными значениями силы тяжести понимаются независимые для каждого пункта наблюдения значения, полученные посредством измерения времени и пути на основе использования эталонов времени и длины.

На основе гравиметров КДГ создан скважинный гравиметр ГС-110 с внешним диаметром ПО мм.

В основе использования трансформаций лежит принцип фильтрации, который формулируется следующим образом: трансформация осуществляется с целью подавления мешающей информации и наиболее точного выявления полезной части информации.

На основе изучения электромагнитных полей, измеряемых на земной поверхности, в воздухе, на поверхности моря или океана и в скважинах, получают представление о геологическом разрезе.

сила тяжести. Потенциал силы тяжести.

Сила тяжести — сила, действующая на любое материальное тело, находящееся вблизи поверхности Земли или другого астрономического тела.

По определению, сила тяжести на поверхности планеты складывается из гравитационного притяжения планеты и центробежной силы инерции, вызванной суточным вращением планеты.

ПОТЕНЦИАЛ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ — функция пространственных координат, частные производные которой по любому направлению равны проекции напряженности поля силы тяжести на это направление, П. с. т. есть сумма потенциалов силы гравитационного притяжения и центробежной силы. Приближенно можно считать, что П. с. т. равен потенциалу силы гравитационного притяжения (гравитационному потенциалу).

Источник

Гравитационное поле;

Под гравитационным полем Земли понимается поле силы тяжести (ускорения силы тяжести), которая определяется как составляющая двух основных сил: силы притяжения Земли и центробежной силы, вызванной её суточным вращением. Влияние других факторов (притяжения Луны, Солнца и других небесных тел и масс атмосферы) на значение силы тяжести учитывается соответствующими поправками.

Гравитационное поле характеризуется силой тяжести, потенциалом силы тяжести и различными производными от него. Потенциал гравитационного поля – скалярная функция координат, численно равная работе, которую производит поле при переносе точечной единичной массы из какой-либо начальной точки в данную точку. Практически точечными можно считать объекты, размеры которых много меньше расстояния между ними. Эта работа не зависит от пути. Обычно в качестве начальной берут точку, находящуюся на бесконечно большом расстоянии от масс, создающих гравитационное поле. В международной системе СИ единица ускорения силы тяжести имеет размерность м×с -2 , а потенциала — м 2 ×с -2 .

За единицу измерения первых производных потенциала, в том числе силы тяжести, в геодезии и геофизике принимаются внесистемные единицы миллигал (1мГал = 10 -5 м×сек -2 ) и микрогал (1мкГал = 10 -8 м×с -2 ), соответственно тысячная и миллионная доли единицы Гал (1Гал = 1см×с -2 ). Для вторых производных (гравитационного градиента) используется единица этвеш (1Е = 10 -9 сек -2 = 0,1мГал/км), которая также не входит в систему СИ. Часть потенциала силы тяжести, обусловленная только притяжением масс Земли, называется потенциалом земного притяжения, или геопотенциалом.

В средних широтах ускорение силы тяжести примерно равно 981см×с -2 , то есть 981 Гал, центробежное ускорение, зависящее от широты, мало по сравнению с последним и на экваторе составляет примерно 3,4 Гал.

Изменение силы тяжести на 1мГал соответствует:

· перемещению над поверхностью Земли на 3м;

· притяжению слоя грунта толщиной 10м (при плотности земной коры 2,67г/см 3 );

· перемещению на 1,23 км по широте на параллели 45°.

Гравитационное поле Земли принято разделять на две части: нормальное гравитационное поле и остаточное аномальное поле. Основное преимущество такого разделения состоит в том, что аномальное поле гораздо слабее действительного гравитационного поля Земли и поэтому его характеристики легче определить. Термин «аномалии» означает отклонение от некоторой «нормы», т.е. значение, которые можно предсказать, вычислив его по формуле

Нормальное гравитационное поле (гравитационное поле Нормальной Земли) характеризуется четырьмя параметрами: общей массой Земли, формой и размерами эллипсоида, наиболее близко соответствующего геоиду в глобальном масштабе, скоростью вращения Земли. Его определение вытекает из условия, что поверхность эллипсоида есть уровенная поверхность в нормальном гравитационном поле, а поверхность геоида представляет собой уровенную поверхность в действительном гравитационном поле. При этом предполагается, что центр нормального эллипсоида (или референц-эллипсоида) совпадает с центром масс Земли.

В любой точке разность высот геоида и эллипсоида, называемая ондуляцией геоида ζ (рис.1.39), прямо пропорциональна возмущающему потенциалу. Таким образом, определение аномального гравитационного поля позволяет определить положение поверхности геоида по отношению к эллипсоиду и отсюда – форму Земли. Если известна форма геоида, то известно и направление силы тяжести, которое в каждой точке перпендикулярно к поверхности геоида. Следовательно, можно определить уклонение отвесной линии как угол между направлением силы тяжести и перпендикуляром к поверхности эллипсоида.

Рис.1.38. Общий вид гравиметра ГНК-К2

Геодезическая практика в значительной мере сосредоточена на измерении силы тяжести. Наиболее распространённым прибором для измерения силы тяжести является гравиметр, используемый для измерений разности силы тяжести между двумя пунктами (относительные измерения). Этот прибор (рис.1.38) работает на принципе компенсации изменений притяжения массы маятника гравиметра упругими силами закрученной кварцевой нити, на которой подвешен маятник. Достоинствами таких гравиметров являются малые размеры и высокая точность измерений (до 0,01 миллигал).

Для получения действительного значения силы тяжести в любом пункте относительные измерения в заданном пункте связывают с данными абсолютных измерений силы тяжести в этом пункте с помощью баллистического гравиметра. Точность измерения баллистическим гравиметром достигает 0,01 миллигал. Большинство баллистических гравиметров размещается в стационарных лабораториях, однако существуют и транспортабельные устройства, имеющие приемлемые точности измерения.

В совершенствовании измерений параметров гравитационного поля Земли важная роль принадлежит спутниковой альтиметрии, использующей радиолокационные альтиметры, размещаемые на борту орбитальных спутников.

Идея спутниковой альтиметрии достаточно проста (рис.1.39): расстояние от спутника Q (r, φ – геоцентрические радиус и широта спутникового радиовысотомера) до поверхности океана (точка Q¢) определяется с помощью электронных устройств, измеряющих время, за которое радиоволны проходят это расстояние и обратный путь до бортового приёмного устройства после отражения от поверхности океана. Скорость распространения сигнала, умноженная на половину полученного временного отрезка, даёт искомое значение высоты h.

Рис.1.39. Геометрия спутникового нивелирования

Уровень поверхности океана (примерно соответствующий поверхности геоида) относительно центра масс Земли вычисляется как разность между высотой орбиты спутника, которая постоянно определяется станциями слежения, и значениями высоты полёта спутника над поверхностью океана.

Векторное уравнение спутникового нивелирования имеет вид

(1.16)

Из этого уравнения следует, во-первых, если при известном значении геоцентрического радиус-вектора r измерен вектор h, то можно определить геоцентрический радиус-вектор r¢ подспутниковой точки геоида; во-вторых, если задан геоид и измерен вектор h, то можно определить геоцентрический радиус-вектор спутникового высотомера.

Если же известны геоцентрические радиус-векторы, то можно предвычислить вектор h и сравнить его с измеренным значением. По совокупности разностей этих высот можно решать различные геодезические и геофизические задачи: эталонирование высотомеров, определение амплитуды волн океана и т.д.

Поверхность океана не совпадает с эквипотенциальной поверхностью гравитационного поля Земли из-за влияния различных астрономических, метеорологических, гидрологических и океанографических факторов, К числу этих факторов относятся приливные силы, изменения атмосферного давления и плотности воды. Последние в свою очередь зависят от температуры, солёности и давления. К ним же относятся изменения в выпадении осадков, притоке воды и её испарении.

Уклонения поверхности Мирового океана от геоида называют топографией морской поверхности. Изучение топографии морской поверхности – одна из главных задач физической океанографии. В геодезии она необходима для редуцирования измерений на единую уровенную поверхность.

Оперативное определение высот поверхности Мирового океана позволяет изучать топографию океана и периодически уточнять параметры внешнего гравитационного поля Земли. Повторные нивелировки дают представительскую статистику изменений геоида во времени и данные для решения координатно-гравитационной проблемы: установления на каждую эпоху геоцентрической системы геодезических координат и определения модели земного тяготения, ей соответствующей, и адекватной внешнему гравитационному полю Земли.

Поскольку около 70% общей площади поверхности Земли приходится на океан, значительная часть ранее не известных данных о гравитационном поле Земли, аппроксимированной в виде геоида, была получена спутниковым нивелированием. Для всей изученной части Мирового океана получены средние значения суммы высот геоида над эллипсоидом и высоты морской поверхности над геоидом по трапециям 1°´1° и 0,5°´0,5° с ошибкой, не превышающей ±1м. Альтиметрия даёт полезную информацию и при изучении рельефа морского дна. Наряду с обнаружением подводных горных хребтов, впадин и зон разломов альтиметрия даёт возможность выявлять подводные горы (к ним приурочены повышения геоида на несколько метров).

В будущем спутниковые наблюдения позволят с высокой точностью определять высоты ИСЗ над континентами. Используя совместно данные спутникового нивелирования над сушей и наземные астрономо-геодезические и гравиметрические измерения, можно будет определять геоид на континентах с ошибками порядка нескольких сантиметров с учётом движений земной коры и литосферных плит.

Вследствие неравномерного распределения масс в теле Земли сила тяжести на её поверхности изменяется по очень сложному закону. Задача о распределении силы тяжести на поверхности Земли была решена в общем виде в 18 веке французским математиком А. Клеро (1713-1765). Он впервые вывел формулу для вычисления силы тяжести на любой широте эллипсоида при известных значениях силы тяжести у полюса и на экваторе. Формула Клеро имеет вид

(1.17)

где — значение силы тяжести на широте ; — значения силы тяжести на экваторе и на полюсе соответственно; — сжатие земного эллипсоида; — отношение ускорения центробежной силы к силе тяжести на экваторе; — экваториальный радиус и скорость вращения Земли соответственно; — постоянная, равная относительному избытку силы тяжести на полюсе по сравнению с экватором.

Гипотезы, на которых Клеро построил свою теорию, заключались в следующем. Земля внутри состоит из эллипсоидальных слоёв малого сжатия, имеющих общий центр и общую ось вращения. Каждый слой однороден, но от слоя к слою плотность меняется по произвольному закону, причём возможны скачкообразные изменения плотности от слоя к слою. Никаких предположений относительно агрегатного состояния каждого слоя, кроме наружного, не делается. Условие гидростатического равновесия должно быть соблюдено только для верхнего слоя. Верхний слой должен быть в жидком состоянии и действующая на него сила должна быть везде направлена по нормали к его внешней поверхности.

Теоретические исследования Клеро подтвердили, что фигура Земли связана с её внутренним строением. Они также показали, что результаты выводов о форме и размерах Земли, выполненных на основании опытных данных, совместно с определениями угловой скорости вращения Земли могут использоваться для изучения её внутреннего строения, а данные о внутреннем строении – для изучения фигуры Земли.

В пространственной геоцентрической системе координат потенциал притяжения для точки, находящейся на поверхности Земли или во внешнем пространстве, обычно представляется в виде разложения в бесконечный ряд по сферическим функциям Лежандра

V= , (1.18)

где — полярные геоцентрический радиус, широта и долгота точки, для которой вычисляется потенциал притяжения;

fM = f(M , a_e – геоцентрическая гравитационная постоянная, учитывающая атмосферу Земли, и экваториальный радиус Земли;

J безразмерные коэффициенты, характеризующие распределение масс в теле Земли;

P — сферическая функция Лежандра степени n и порядка m.

Рис.1.40. Положительные и отрицательные значения зональных, секториальных и тессеральных гармоник

В разложении (1.18) члены нулевого порядка (m=0) называются зональными гармониками, так как их значения изменяются только с широтой. Внутри одной зоны, отделённой от других с севера и с юга параллелями, зональные гармоники сохраняют свой знак (рис.1.40).

Гармоники называются секториальными, если их знак может изменяться только с долготой. Это имеет место при n=m. В этом случае шар оказывается расчленённым на сектора – полосы, которые соединяют северный и южный полюса. Внутри одного сектора секторальные гармоники сохраняют свой знак.

Гармоники, для которых 0 0 =. . (1.19)

Нормальную часть поля силы тяжести можно рассчитать по формулам распределения нормальной силы тяжести. В Российской федерации наиболее часто используется формула немецкого геодезиста и геофизика Ф. Гельмерта (1843-1917), полученная им в 1901г.

. (1.20)

Из этой формулы следует, что нормальное значение силы тяжести на Земле увеличивается от 978см×с -2 на экваторе до 983см×с -2 на полюсах. Однако эти значения, рассчитанные для эллипсоида вращения со сжатием 1:298,2, существенно отличаются от фактически измеряемых на поверхности Земли, что обусловлено изменениями плотности пород, слагающих Землю. Применение формулы (1.20) объясняется тем, что сжатие эллипсоида, который использовал Гельмерт, практически совпадает со сжатием эллипсоида Красовского. Сила тяжести в формуле Гельмерта дана в Потсдамской системе и потому в рассчитанные по этой формуле значения нормальной силы тяжести вводят поправку 14×10 -5 м ×с -2 .

В 1971г. Международный Геофизический и Геодезический союз принял следующую формулу для нормальной силы тяжести

. (1.21)

В качестве Нормальной Земли принят общий земной эллипсоид с параметрами

Сжатие этого эллипсоида, определённое по спутниковым данным, равно .

Существуют и другие формулы, учитывающие небольшое долготное изменение нормальной силы тяжести, а также асимметрию Северного и Южного полушарий. Ведётся подготовка к переходу к единой новой формуле с учётом уточнённого абсолютного значения силы тяжести.

Гравиметрическая изученность Земли весьма неравномерна. Материки исследованы более полно, чем моря и океаны, Северное полушарие в гравиметрическом отношении изучено лучше, чем Южное. Гравитационные аномалии на Земле, как правило, меньше 100мГал, их среднеквадратические вариации по Земле составляют около 20 мГал. Следовательно, гравитационное поле Земли достаточно гладкое. В Северном полушарии наибольшая величина средней квадратической аномалии составляет 27 мГал. В Южном полушарии, где значительную часть поверхности Земли занимает океан, гравитационное поле более спокойно. Максимальная аномалия силы тяжести на Земле зафиксирована на Гавайском архипелаге (+600 мГал).

В настоящее время создано достаточно много моделей гравитационного поля Земли разной детальности и точности. Они представляют собой некоторое приближение к реальному полю. Оптимальные модели наилучшим образом соответствуют результатам измерения силы тяжести, а также учитывают ошибки измерений и ошибки интерполяции. В глобальных моделях используют разложение по шаровым функциям, ограничиваясь их степенью. Наиболее детальная из известных моделей модель, получившая шифр EGM-96 (360´360).

Рис.1.41. Модель гравитационного поля Земли

На рис. 1.41 представлена модель гравитационного поля Земли, построенная по данным о небольших изменениях расстояния между двумя идентичными орбитальными спутниками GRACE (Gravity Recovery and Climate). Более тёмным цветом отмечены участки с повышенной гравитацией. Таковы, например, северная часть Срединно-Атлантического хребта в Атлантическом океане и Гималайские горы.

Глобальные модели гравитационного поля используются для решения задач для больших регионов земной поверхности (определение орбит ИСЗ, создание геофизических и геодинамических моделей). Глобальные модели гравитационного поля позволяют получать высоты геоида с точностью, достаточной для решения многих задач в науках о Земле, океанографии и навигации.

Для описания регионального поля часто используется модель степени и порядка 36 (36´36). Локальное описание гравитационного поля используется при создании геодезических сетей для задач высшей и прикладной геодезии, прикладной геофизики и геодинамики.

Представление потенциала притяжения Земли в виде ряда по сферическим функциям стало классическим. В силу простоты сферических функции оно очень удобно, однако оно обладает одним существенным недостатком, а именно медленной сходимостью. Это обстоятельство заставило искать другую форму представления потенциала.

С 1985г. наряду с моделями в виде гармонических коэффициентов геопотенциала создаются планетарные модели гравитационного поля в виде систем точечных масс. Впервые аномальная часть потенциала Земли была представлена потенциалом притяжения некоторой совокупности точечных масс в 1971г. Балмино. Им было использовано 126 материальных точек с заданными координатами в теле Земли. Такие модели дают возможность более оперативно выполнять некоторые геодезические, орбитальные и навигационные расчёты.

Рис.1.42. Карта высот геоида в системе модели геопотенциала GRIM3-L1

(сечение горизонталей 10 м)

Модели ПЗ-90 (до 36-й степени) и ГПЗ-200 (до 200-й степени) обеспечивают определение высот геоида со средней квадратической ошибкой соответственно 2,5 и 1,5м.

Мировые карты высот геоида над общим земным эллипсоидом публикуются после каждого нового вывода модели гравитационного поля. Выяснилось, что наиболее характерные особенности высот стабильны и по расположению, и по амплитудам. Так, на модели, представленной на рис.1.42, чётко выявляются минимумы – 100м вблизи южной оконечности Индостанского полуострова, — 50м вблизи Антарктиды и в Гудзоновом заливе у берегов Америки, а также максимумы + 60м и выше в Северной Атлантике и вблизи Новой Гвинеи.

Вторые производные потенциала силы тяжести применяются при решении геодезических и геологоразведочных задач. Вертикальный градиент силы тяжести, соответствующий нормальной части гравитационного поля Земли, равен в среднем для всей Земли 3086 этвеш и изменяется от полюса к экватору всего на 0,1% своей величины. Намного меньше по абсолютной величине горизонтальные градиенты силы тяжести.

Рис.1.43. Внешний вид вариометра

Аномальная часть вторых производных потенциала даёт информацию о плотностных неоднородностях в верхних частях земной коры. По величине она достигает в равнинных местах десятков, а в горных – сотен этвеш. Вторые производные потенциала силы тяжести измеряются гравитационными вариометрами (рис.1.43).

Представляет интерес изменение силы тяжести внутри Земли. На поверхности Земли среднее значение силы тяжести равно 9,82м×с -2 . С глубиной оно возрастает до 10,81м×с -2 на поверхности ядра и затем резко убывает до нуля в центре Земли.

Наибольшие искажения гравитационного поля Земли вызываются потенциалом притяжения Луны и Солнца. Это приводит к возникновению:

• прецессии и нутации оси инерции и оси вращения Земли в пространстве;
• квазисуточной нутации оси вращения по отношению к самой Земле;
• периодических уклонений отвесной линии и вариаций силы тяжести, что является причиной земных приливов.

Лунный прилив геоида оценивается в 53,4см, а прилив, создаваемый Солнцем, составляет 24,6см. В общем, поверхность геоида колеблется в пределах 78см. Максимальное суммарное изменение силы тяжести под действием лунно-солнечных приливов равно 240 мкГал.

Изменения силы тяжести происходят и из-за перемещения центра инерции Земли в её теле. Изучение временных вариаций силы тяжести на гравиметрических пунктах, равномерно размещённых по всему земному шару, позволяет следить за положением центра масс в каждую эпоху.

Сила тяжести, измеряемая на поверхности Земли, содержит информацию о местоположении пункта наблюдений (геодезическое применение), распределении масс в недрах Земли (геофизическое применение) и, в случае повторных измерений, о временных изменениях в теле Земли (геодинамическое применение).

Как известно, основная задача геодезии состоит в определении поверхности Земли. Большинство измеряемых для этой цели величин в общем виде могут быть представлены как нелинейные функции векторов местоположения пункта наблюдений и визирной цели и гравитационного потенциала. Для получения из наблюдений геодезических координат пункта необходимо моделировать гравитационное поле. Системы высот в гравитационном поле Земли также предполагают, что характеристики этого поля известны. При определении гравитационного поля преобладают непосредственные определения вектора силы тяжести (направления отвесной линии и величины силы тяжести), а также её потенциала. По величинам силы тяжести, измеренным на поверхности Земли или редуцированным на неё, определяют геометрию этой поверхности.

Одна из задач физики Земли состоит в изучении твёрдой Земли (и других небесных тел) физическими методами, а также применении результатов для разработки статических и динамических моделей Земли. Важным источником информации для этого служат измеренные во внешнем пространстве элементы гравитационного поля, которые рассматриваются как функции распределения земных масс. Данные о гравитационном поле дают возможность определить функцию плотности (положение, форма и плотность аномальных масс). Для решения этой задачи используют аномалии силы тяжести. В меньшей степени используются другие параметры аномального поля.

При построении геодинамических моделей одним из наиболее важных условий является их соответствие реальному гравитационному полю. Временные вариации силы тяжести, обнаруженные из повторных измерений, дают важную информацию о глобальных, региональных и локальных перемещениях земных масс.

Глобальные изменения силы тяжести (область проявления более 10 4 км) могут быть вызваны смещениями эксцентричного земного ядра относительно мантии, перемещениями масс в мантии (конвекция в мантии) и литосфере (движение тектонических плит), а также повышением уровня Мирового океана.

Региональные изменения (область проявления 10 2 -10 4 км) происходят одновременно с послеледниковыми процессами изостатической компенсации, тектоническими процессами (горообразование) и накоплением осадочных пород. Глобальные и региональные изменения носят вековой или очень длительный характер на интервалах 10 3 -10 8 лет.

Локальные изменения (область проявления 10 0 -10 2 км) связаны в основном с сейсмотектоническими процессами, а также с явлениями до и после землетрясений, с вулканическими процессами, с движениями в зонах разломов земной коры и грабенов. Землетрясения и вулканическая активность вызывают резкие мгновенные и короткопериодические изменения силы тяжести. Изменения уровня грунтовых вод и другие гидрологические процессы, как и вариации атмосферного давления, приводят к нерегулярным периодическим изменениям силы тяжести в течение 10 -2 -10 0 лет.

Смещения масс и связанные с ними изменения силы тяжести вызываются и человеческой деятельностью (откачка воды, нефти, газа, горные разработки, создание крупных инженерных сооружений). Выемка близповерхностных масс приводит к возникновению внутренних компенсационных процессов, связанных с уплотнением осадочных пород или разрушением горных пород, что в свою очередь вызывает опускание дневной поверхности. При многолетней эксплуатации нефтяных и газовых месторождений опускания дневной поверхности могут составлять порядка дециметра в год. При откачке подземных вод понижающиеся водные горизонты в большинстве случаев образуют конические формы. В районах с уплотняющимися осадочными породами это приводит к необратимым опусканиям дневной поверхности, охватывающим обширные территории (в г. Мехико более 9м). Обычно мониторинг изменений силы тяжести в районах таких опусканий показывает увеличение силы тяжести

Изменения силы тяжести, вызванные внутренними геодинамическими процессами, представляют особый интерес. Изменения, связанные с землетрясениями и вулканизмом, являются предвестниками этих явлений. Измерения, выполненные до и после активной фазы этих явлений, важны для разработки динамических моделей накопления и разрядки напряжений при землетрясениях, а также моделей миграции вещества магмы и вариаций плотности в вулканах.

Изменения силы тяжести тектонического происхождения можно ожидать особенно на границах литосферных плит, они также содержат информацию о перемещениях масс под литосферой. В районах послеледникового поднятия земной коры или её опускания измеренные вариации позволяют судить о реологии (вязкости) верхней мантии.

Источник

Потенциал силы тяжести

Гравитационное поле Земли является потенциальным, т. е. таким, в котором каждой точке пространства вокруг Земли соответ­ствует некоторая непрерывная имеющая непрерывные производные функция. Производные этой функции по направлениям равняются проекциям силы тяжести на эти направления. Эта функция назы­вается потенциалом.

Потенциал силы тяжести (W) был введен в теорию гравиметрии для облегчения решения теоретических задач. В точке А, расположенной на расстоянииr_A от центра Земли, выражение для потенциала принимается равным: W_A=fM/r_A, а в любой точке B, расположенной на продолжении радиуса r, WB = fM/(rA + Δr). Поэтому разность потенциалов будет равна:

(5)

В пределе при Δr → 0 имеем: ΔW = -fM Δr/r2, отсюда g = -dW/dr, т.е. сила тяжести есть производная потенциала силы тяжести по направлению к центру Земли.

С другой стороны, работа, которая может быть произведена при движении притягиваемой точки по отрезку Δr, равна ΔА = g Δr. Поэтому ΔW = — ΔA, или работа силы тяжести по перемещению единичной массы на отрезке Δr равна разности значений потенциала на концах этого отрезка.

При перемещении точки в направлении, перпендикулярном силе тяжести, dW=0. Это означает, что W=const. Поэтому гравитационное поле можно представить в виде набора бесконечного числа поверхностей, на которых потенциал остается постоянным, а ускорение силы тяжести направлено перпендикулярно этой поверхности. Такие поверхности называют эквипотенциальными или уровенными. В частности, поверхность жидкости на Земле, например, моря, совпадает с уровенной поверхностью. У Земли есть одна уникальная уровенная поверхность, которая совпадает с невозмущенной волнениями поверхностью океанов. Она называется геоидом. Таким образом, геоид — это условная уровенная поверхность, которая совпадает со средним уровнем океанов и открытых морей, проходит под сушей и по определению везде горизонтальна, а ускорение силы тяжести к ней перпендикулярно.

Производные потенциала силы тяжести по трем координатным осям gx = ∂W/∂x, gy = ∂W/∂y, gz = ∂W/∂z однозначно определяют его полный вектор. В частности, если ось z направить к центру Земли, то , а.

В гравиметрии кроме первых производных изучаются вторые производные потенциала или их разности:

∂2W/∂x∂y, ∂2W/∂x∂z, ∂2W/∂y∂z, ∂2W/∂x2, ∂2W/∂y2, ∂2W/∂z2, (∂2W/∂x2 — ∂2W/∂y2).

Физический смысл этих выражений легко получить, если иметь в виду, что g = ∂W/∂z. Так, например, вторая производная ∂2W/∂x∂z = ∂g/∂x указывает на скорость изменения силы тяжести по оси x, т.е. является горизонтальным градиентом силы тяжести. Аналогичный смысл имеют вторые производные ∂2W/∂y∂z и ∂2W/∂z2.

Вторые производные ∂2W/∂x∂y, (∂2W/∂x2 — ∂2W/∂y2) характеризуют форму уровенной поверхности (геоида), изучаемую в геодезической гравиметрии. Практической единицей измерения градиента силы тяжести принимается 1 этвеш (Е) = 10-9/c2, что соответствует изменению силы тяжести в 0,1 мГал на 1 км.

Нормальное значение силы тяжести.

Нормальным значением силы тяжести (γ₀) называется сила тяжести, обусловленная суточным вращением и притяжением Земли, в предположении, что она состоит из однородных по плотности концентрических слоев.

Принимая Землю за сфероид, Клеро получил следующую приближенную формулу для ее расчета:

(6)

где g_э — сила тяжести на экваторе; φ — географическая широта пункта наблюдения; β — коэффициент, зависящий от угловой скорости вращения и сжатия сфероида.

Однако Земля — геоид, и нормальные значения силы тяжести для его поверхности рассчитываются по формуле:

(7)

где λ — географическая долгота точки наблюдения.

Коэффициенты β, β₁ и β₂ зависят от формы Земли, ее угловой скорости вращения, распределения масс. По многочисленным измерениям можно определить эти неизвестные коэффициенты. В настоящее время используется формула, в которой коэффициенты равны: β = 0,0053024, β₁ = 0,0000059, β₂ = 0 и g_э = 978,013 Гал.

Составлены специальные таблицы, по которым легко определить величину γ₀ для любой точки земной поверхности.

Источник

Единицы измерения потенциала силы тяжести

Гравиметрия

Гравиметрия — раздел науки об измерении величин, характеризующих гравитационное поле Земли и об использовании их для определения фигуры Земли, изучения ее общего внутреннего строения, геологического строения ее верхних частей, решения некоторых задач навигации и др.

В гравиметрии гравитационное поле Земли задается обычно полем силы тяжести (или численно равного ей ускорения силы тяжести), которая является результирующей двух основных сил: силы притяжения (тяготения) Земли и центробежной силы, вызванной ее суточным вращением. Центробежная сила, направленная от оси вращения, уменьшает силу тяжести, причем в наибольшей степени на экваторе. Уменьшение силы тяжести от полюсов к экватору обусловлено также и сжатием Земли.

Сила тяжести, то есть сила, действующая на единичную массу в окрестностях Земли (или другой планеты) складывается из сил тяготения и сил инерции (центробежной силы):

где G — Гравитационная постоянная, mu — единичная масса, dm — элемент массы, R — радиус-векторы точки ихмерения, r — радиус-вектор элемента массы, w — угловая скорость вращения Земли; интеграл берется по всем массам.

Потенциал силы тяжести , соответственно, определяется соотношением:

где — широта точки измерения.

Гравиметрия рассматривает теории и методы измерения силы тяжести для решения практических задач геодезии. Основное содержание гравиметрии — теории и методы определения внешнего поля потенциала и силы тяжести Земли по измерениям на земной поверхности и по астрономо-геодезическим данным, исследования внутреннего строения планет, решения некоторых задач навигации.

Гравиметрия включает теорию нивелирных высот, обработку астрономо-геодезических сетей в связи с вариациями гравитационного поля Земли.

Единицей измерения в гравиметрии является Гал (1 см/с2) названная в честь итальянского учёного Галилео Галилея.

Определения силы тяжести производятся относительным методом, путем измерения при помощи гравиметров и маятниковых приборов разности силы тяжести в изучаемых и опорных пунктах. Сеть же опорных гравиметрических пунктов на всей Земле связана в конечном итоге с пунктом в Потсдаме (Германия), где оборотными маятниками в начале 20 века было определено абсолютное значение ускорения силы тяжести (981 274 мгл; см. Гал). Абсолютные определения силы тяжести сопряжены со значительными трудностями, и их точность ниже относительных измерений. Новые абсолютные измерения, производимые более чем в 10 пунктах Земли, показывают, что приведенное значение ускорения силы тяжести в Потсдаме превышено, по-видимому, на 13–14 мгл. После завершения этих работ будет осуществлен переход на новую гравиметрическую систему. Однако во многих задачах гравиметрии эта ошибка не имеет существенного значения, т.к. для их решения используются не сами абсолютные величины, а их разности. Наиболее точно абсолютное значение силы тяжести определяется из опытов со свободным падением тел в вакуумной камере.

Относительные определения силы тяжести производятся маятниковыми приборами с точностью до нескольких сотых долей мгл. Гравиметры обеспечивают несколько большую точность измерений, чем маятниковые приборы, портативны и просты в обращении. Существует специальная гравиметрическая аппаратура для измерений силы тяжести с движущихся объектов (подводных и надводных кораблей, самолётов). В приборах осуществляется непрерывная запись изменения ускорения силы тяжести по пути корабля или самолёта. Такие измерения связаны с трудностью исключения из показаний приборов влияния возмущающих ускорений и наклонов основания прибора, вызываемых качкой. Имеются специальные гравиметры для измерений на дне мелководных бассейнов, в буровых скважинах. Вторые производные потенциала силы тяжести измеряются с помощью гравитационных вариометров.

Основной круг задач гравиметрии решается путем изучения стационарного пространственного гравитационного поля. Для изучения упругих свойств Земли производится непрерывная регистрация вариаций силы тяжести во времени. Вследствие того, что Земля неоднородна по плотности и имеет неправильную форму, ее внешнее гравитационное поле характеризуется сложным строением. Для решения различных задач удобно рассматривать гравитационное поле состоящим из двух частей: основного — называемого нормальным, изменяющегося с широтой места по простому закону, и аномального — небольшого по величине, но сложного по распределению, обусловленного неоднородностями плотности пород в верхних слоях Земли. Нормальное гравитационное поле соответствует некоторой идеализированной простой по форме и внутреннему строению модели Земли (эллипсоиду или близкому к нему сфероиду). Разность между наблюдённой силой тяжести и нормальной, вычисленной по той или иной формуле распределения нормальной силы тяжести и приведённой соответствующими поправками к принятому уровню высот, называется аномалией силы тяжести. Если при таком приведении принимается во внимание только нормальный вертикальный градиент силы тяжести, равный 3086 этвеш (т. е. в предположении, что между пунктом наблюдения и уровнем приведения нет никаких масс), то полученные таким путём аномалии называются аномалиями в свободном воздухе. Вычисленные так аномалии чаще всего применяются при изучении фигуры Земли. Если при приведении учитывается ещё и притяжение считающегося однородным слоя масс между уровнями наблюдения и приведения, то получаются аномалии, называемые аномалиями Буге. Они отражают неоднородности в плотности верхних частей Земли и используются при решении геологоразведочных задач. В гравиметрии рассматриваются также изостатические аномалии, которые специальным образом учитывают влияние масс между земной поверхностью и уровнем поверхности на глубине, на которую вышележащие массы оказывают одинаковое давление. Кроме этих аномалий вычисляется ряд других (Прея, модифицированные Буге и пр.). На основании гравиметрических измерений строятся гравиметрические карты с изолиниями аномалий силы тяжести. Аномалии вторых производных потенциала силы тяжести определяются аналогично как разности наблюденного значения (предварительно исправленного за рельеф местности) и нормального значения. Такие аномалии в основном используются для разведки полезных ископаемых.

В задачах, связанных с использованием гравиметрических измерений для изучения фигуры Земли, обычно ведутся поиски эллипсоида, наилучшим образом представляющего геометрическую форму и внешнее гравитационное поле Земли.

Источник

Потенциал силы тяжести

Сила тяжести g, определяемая по формуле (IV.5), является векторной величиной. Для решения многих задач гравиметрии удобно пользоваться скалярной величиной V, определяемой из выражения

. (IV.11)

Сила тяжести связана с величиной V соотношением

, (IV.12)

т. е. является проекцией по направлению действия силы. Функция, удовлетворяющая условиям (IV.12) и (IV.11), называется потенциалом силы тяжести.

Полный потенциал силы тяжести W, очевидно, будет представлять сумму скалярных величин V и U, характеризующих потенциалы притяжения и центробежной силы:

;

; (IV.13)

.

определяет эквипотенциальную поверхность, или поверхность равного потенциала, в каждой точке которой величина силы тяжести направлена по нормали: .

Эта эквипотенциальная поверхность в условиях вращающейся Земли совпадает с уровнем моря и по форме близка к сфероиду вращения. Она носит название геоида. Отклонение поверхности геоида от поверхности сфероида будет характеризовать ундуляцию геоида.

Нетрудно показать, что вторые производные потенциала тяготения по осям координат для точек, расположенных вне масс, равны нулю, т.е.

где , а потенциала силы тяжести – сумме вторых производных потенциала центробежной силы:

Ñ 2 W = 2w 2 . (IV.16)

Уравнение (IV.15) называется уравнением Лапласа.

Для точек, расположенных внутри сферических масс, имеем

.

Дифференцируя дважды, получим:

;

Ñ 2 V = -4pGr; (IV.17)

Уравнение (IV.17) называется уравнением Пуассона. Уравнение Лапласа представляет собой частный случай уравнения Пуассона, когда r = 0.

Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической. Уравнение Пуассона показывает, что вторые производные потенциала тяготения при прохождении притягиваемой точки меняются скачком на величину плотности r.

Дата добавления: 2015-06-27 ; просмотров: 1118 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Единицы измерения потенциала силы тяжести

Все тела обладающие массой притягиваются друг к другу. Исаак Ньютон на основе многолетних данных астрономических наблюдений и законов динамики сформулировал закон всемирного тяготения : две любые материальные точки массами m 1 и m 2 притягиваются друг к другу вдоль линии соединяющей точки с силой прямо пропорциональной произведению масс точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния (r) между ними:

где — гравитационная постоянная. Из формулы видно, что величина гравитационного взаимодействия не зависит от среды, в которой находятся взаимодействующие тела, гравитационное взаимодействие существует и в вакууме. На рисунке1.8.1 изображено направление сил гравитационного взаимодействия двух материальных точек.

Земля не является «материальной точкой» для тел, расположенных на ее поверхности. Теоретически доказано, что сила, с которой Земля притягивает тела, расположенные вне ее, равна силе, которую создавала бы материальная точка массой (М), равной массе Земли, и расположенная в центре Земли. Назовем силой тяжести силу, с которой тело взаимодействует с планетой, вблизи которой оно находится.

В соответствии с законом всемирного тяготения на материальную точку массой (m) со стороны Земли будет действовать сила тяжести, равная

где R — радиус Земли, в месте расположения точки. Выражение (1.8.2.) можно переписать в виде:

где g — имеет смысл ускорения, с которым движутся под действием силы тяжести все материальные тела у поверхности Земли.

Согласно фундаментальному физическому закону — обобщенному закону Галилея , все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорением. Оно изменяется вблизи поверхности Земли с широтой в пределах от 9,780 м/с 2 на экваторе до 9,832 м/с 2 на полюсах. Это обусловлено суточным вращением Земли, с одной стороны, и сплюснутостью Земли — с другой (экваториальный и полярный радиусы Земли равны соответственно 6378 и 6357 км). Так как различие значений g невелико, ускорение свободного падания, которое используется при решении практических задач, принимается равным 9,81 м/с 2 .

Пусть тело расположено на расстоянии (±h) от поверхности Земли (знак плюс — над поверхностью, знак минус — под поверхностью), тогда сила тяжести с удалением от поверхности Земли уменьшается, а при приближении к центру Земли — увеличивается:

Вес тела — сила, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору или подвес, удерживающую тело от свободного падения.

Вес тела проявляется, когда тело движется с ускорением отличным от ускорения свободного падения (g), т.е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Если тело движется в поле тяготения Земли с ускорением , то к этому телу приложена дополнительная сила , удовлетворяющая условию:

Вес тела , движущегося с ускорением равен произведению массы тела на геометрическую разность ускорения свободного падения и ускорения тела.

Если тело движется с ускорением равным ускорению силы тяжести, то вес тела будет равен нулю:

1) вес тела равен нулю когда тело движется с ускорением равным ускорению силы тяжести ( ) в лифте вертикально вниз;

2) космический корабль движется по орбите, при этом его центростремительное ускорение , направлено так же как ускорение силы тяжести вдоль радиуса к центру Земли, и вес всех тел находящихся в корабле равен нулю.

Закон всемирного тяготения определяет величину и направление силы всемирного тяготения, но не отвечает на вопрос как осуществляется это взаимодействие. Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или гравитационного поля.

Гравитационное поле — это особый вид материи, который создается вокруг любого тела обладающего массой, главное свойство гравитационного поля — действовать на тела, обладающие массой. Как и любое поле — гравитационное поле характеризуется с помощью двух физических величин:

1. Напряженность гравитационного поля ( ), силовая характеристика поля, равна силе, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой (это ничто иное как ускорение, с которым тело движется в поле тяготения):

Единица измерения напряженности гравитационного поля [g]=м/с 2 .

Линия напряженности гравитационного поля — линия, касательные, к каждой точке которой совпадает с вектором напряженности.

На всякое тело массой m, внесенное в поле, действует сила тяготения или сила тяжести , равная произведению массы тела на напряженность гравитационного поля в месте расположения тела:

Независимо от своей массы все тела под действием силы тяжести движутся с одинаковым ускорением ( )

2. Потенциал гравитационного поля (φ) — энергетическая характеристика поля, скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля:

Единица измерения [φ]=Дж/кг.

Потенциальная энергия тела в гравитационном поле равна:

Тогда работа гравитационного поля по перемещению тела из точки с потенциалом φ 1 в точку с потенциалом φ 2 равна:

Работа гравитационного поля по перемещению тела между двумя точками не зависит от траектории движения тела, а определяется только разностью потенциалов начальной и конечной точек, на замкнутом пути работа гравитационного поля равна нулю. То есть, сила всемирного тяготения и сила тяжести являются консервативными.

Эквипотенциальные поверхности — поверхности, образованные точками поля, потенциал которых одинаков. Работа гравитационного поля при движении тела вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.

Можно дать второе определение потенциала поля тяготения — это работа по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность.

В качестве примера рассмотрим гравитационное поле материальной точки.

1. Напряженность гравитационного поля материальной точки массой (M) прямо пропорциональна массе точки, и убывает по величине обратно пропорционально расстоянию от этой точки (r), направлена вдоль лучей, сходящихся в точке — источнике поля:

2. Потенциал гравитационного поля материальной точки массой (M) — прямо пропорционален массе материальной точки, создающей поле и убывает обратно пропорционально расстоянию от источника поля:

Из формулы (1.8.11) вытекает, что геометрическое место точек с одинаковым потенциалом, т.е. эквипотенциальные поверхности данного поля — это сферические поверхности.

Наглядную картину поля представляет набор линий напряженности и эквипотенциальных поверхностей, например, гравитационное поле материальной точки представлено на рисунке (1.8.2).

Потенциальная энергия тела массой (m), находящегося на расстоянии r от источника гравитационного поля — тела массой (M):

Мы уже упоминали, что гравитационное поле Земли можно рассматривать, как поле материальной точки расположенной в центре Земли. Тогда потенциальная энергия тела, находящегося на высоте h относительно Земли:

где R — радиус Земли. Так как

, и, учитывая, что h .

Потенциальная энергия тела на высоте h над поверхностью Земли, равна:

Рассмотрим взаимосвязь между потенциалом и напряженностью поля тяготения.

Элементарная работа, совершаемая полем при малом перемещении тела массой (m), равна

С другой стороны ,

где dl — элементарное перемещение.

Величина dφ/dl характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения, это ничто иное, как градиент потенциала.

Таким образом, напряженность гравитационного поля численно равна градиенту потенциала гравитационного поля и направлена в сторону его уменьшения:

На Земле приблизительно инерциальными являются системы отсчета, которые покоятся или движутся равномерно и прямолинейно относительно точек на поверхности Земли.

Системы отсчета, движущиеся с ускорением, относительно ИСО — это неинерциальные системы отсчета. В них возникают силы инерции, которые требуют корректировки второго закона Ньютона.

Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета : произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции). Силы инерции должны быть такими, чтобы вместе с силами , обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение , каким оно обладает в неинерциальных системах отсчета:

Так как ( — ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то

Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы, рассматривают три варианта проявления этих сил.

1. Сила инерции возникает при ускоренном поступательном движении системы отсчета и направлена против вектора ускорения неинерциальной системы отсчета :

Вы испытываете на себе действие силы инерции каждый раз когда автомобиль, в котором вы находитесь, разгоняется — и вас прижимает к спинке сиденья, и наоборот, когда тормозит — вы удаляетесь от спинки сиденья. Система отсчета, связанная с автомобилем движется с ускорением, вы неподвижны в этой системе отсчета и на вас действует сила инерции направленная противоположно ускорению автомобиля.

2. Центробежная сила инерции — сила инерции, действующая на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета:

где ω — угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчета; — радиус-вектор, характеризующий положение тела относительно оси вращения системы; центробежная сила направлена вдоль радиус-вектора в сторону от оси вращения системы.

Действию центробежной силы инерции подвергаются пассажиры в движущемся транспорте на поворотах; летчики при выполнении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции используются во всех центробежных механизмах: насосах, сепараторах, где они достигают огромных значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (роторов, винтов самолетов) принимаются специальные меры для уравновешивания центробежных сил инерции.

3. Сила Кориолиса — сила инерции, действующая на тело, поступательно движущееся со скоростью , во вращающейся с угловой скоростью системе отсчета:

равна произведению удвоенной массы тела на векторное произведение скорости поступательного движения тела относительно системы отсчета и угловой скорости вращения системы отсчета. Эта сила направлена перпендикулярно векторам скорости тела и угловой скорости вращения системы в соответствии с правилом правого винта.

Пусть шарик массой m движется с постоянной скорость ν вдоль радиуса равномерно вращающегося диска (рис.1.8.3). Если диск не вращается, то шарик движется вдоль радиуса и попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении указанном стрелкой, то шарик катится по кривой ОВ, причем его скорость ν относительно диска изменяет свое направление. Это возможно, если на шарик действует сила перпендикулярная скорости ν — это и есть сила Кориолиса.

Земля представляет собой вращающуюся систему отсчета и действие силы Кориолиса объясняет ряд наблюдаемых на Земле явлений. Так, если тело движется в северном полушарии на север (рис.1.8.4), то сила Кориолиса будет направлена вправо по отношению к направлению движения, и тело отклонится на восток. Если тело движется в юг, то сила Кориолиса также направлена вправо по отношению к направлению движения, и тело отклонится на запад. Поэтому в северном полушарии наблюдается более сильное подмывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнашиваются быстрее, чем левые. Аналогично можно показать, что в южном полушарии сила Кориолиса, действующая на движущиеся тела, будет направлена влево по отношению к направлению движения.

Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета : произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции):

Обратим еще раз внимание на то, что силы инерции вызываются не взаимодействием тел, а ускоренным движением системы отсчета, поэтому они не подчиняются третьему закону Ньютона. Два основных положения механики: 1) ускорение всегда вызывается силой; 2) сила всегда обусловлена взаимодействием между телами, в неинерциальных системах отсчета одновременно не выполняются.

Для любого из тел, находящихся в неинерциальной системе отсчета, силы инерции являются внешними; следовательно, здесь нет замкнутых систем. Это означает, что в неинерциальных системах отсчета не выполняются законы сохранения импульса, энергии и момента импульса .

Таким образом, силы инерции действуют только в неинерциальных системах отсчета, в инерциальных системах отсчета таких сил не существует.

Все тела независимо от их масс и химического состава, получают в данном гравитационном поле одинаковые ускорения. Поэтому в таком поле они движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством обладают свободно движущиеся тела, если их движение рассматривать относительно какой-либо неинерциальной системы отсчета.

Силы инерции, действующие на тела неинерциальной системе отсчета, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях сообщают этим телам одинаковые ускорения. Поэтому в «поле сил инерции» эти тела движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия.

При некоторых условиях силы тяготения и силы инерции невозможно различить. Например, представьте себе груз, подвешенный на пружине в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести — на груз действует сила тяжести и он растягивает пружину.

Пусть лифт настолько удален от Земли и прочих небесных тел, что он не испытывает гравитационных воздействий. Пусть кто-то тянет за трос лифта, сообщая ему постоянное ускорение ( ). Гравитационного поля в лифте нет, но зато есть сила инерции ( ). Груз, подвешенный на пружине растянет ее, как если бы он обладал весом .

Все механические явления и движения в лифте будут в точности такими же, что и в неподвижном лифте, висящем в поле тяжести.

Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции.

Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции.

Принципа эквивалентности Эйнштейна: все физические явления в поле сил тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а прочие начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы.

Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции можно рассматривать как принцип эквивалентности гравитационной и инерционной масс тела.

© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2013

Источник