Меню

Единицы измерения волнового числа плоская синусоидальная волна



Синусоидальная волна — Sine wave

Синусоида или синусоида является математическим кривой , которая описывает гладкое периодическое колебание . Синусоидальная волна — это непрерывная волна . Он назван в честь функции sine , график которой является . Это часто встречается как в чистой, так и в прикладной математике , а также в физике , технике , обработке сигналов и многих других областях. Его основная форма как функция времени ( t ):

у ( т ) знак равно А грех ⁡ ( 2 π ж т + φ ) знак равно А грех ⁡ ( ω т + φ ) <\ Displaystyle Y (T) = A \ sin (2 \ pi ft + \ varphi) = A \ sin (\ omega t + \ varphi)>

  • A , амплитуда , максимальное отклонение функции от нуля.
  • f , обычная частота , количество колебаний (циклов), которые происходят каждую секунду.
  • ω = 2π f , угловая частота , скорость изменения аргумента функции в радианах в секунду
  • φ <\ displaystyle \ varphi>, phase , указывает (в радианах ), где в его цикле колебание находится при t = 0.

Когда не равно нулю, вся форма волны кажется сдвинутой во времени на величину / ω секунд. Отрицательное значение представляет задержку, а положительное значение — продвижение. φ <\ displaystyle \ varphi>φ <\ displaystyle \ varphi>

Проблемы с воспроизведением этого файла? См. Справку по СМИ .

Синусоидальная волна важна в физике, потому что она сохраняет свою форму волны при добавлении к другой синусоидальной волне той же частоты, произвольной фазы и величины. Это единственный периодический сигнал, обладающий этим свойством. Это свойство обуславливает его важность для анализа Фурье и делает его уникальным в акустическом отношении.

Содержание

Общая форма

В общем, функция также может иметь:

  • пространственная переменная x, которая представляет положение в измерении, в котором распространяется волна, и характеристический параметр k, называемый волновым числом (или угловым волновым числом), который представляет собой пропорциональность между угловой частотойω и линейной скоростью ( скоростью распространения ) ν ;
  • ненулевая центральная амплитуда, D

у ( Икс , т ) знак равно А грех ⁡ ( k Икс — ω т + φ ) + D <\ Displaystyle у (Икс, T) = A \ sin (kx- \ omega t + \ varphi) + D \,> , если волна движется вправо у ( Икс , т ) знак равно А грех ⁡ ( k Икс + ω т + φ ) + D <\ Displaystyle у (Икс, T) = А \ грех (кх + \ омега т + \ varphi) + D \,> , если волна движется влево.

Волновое число связано с угловой частотой с помощью : .

k знак равно ω v знак равно 2 π ж v знак равно 2 π λ <\ Displaystyle к = <\ омега \ над v>= <2 \ пи е \ над v>= <2 \ пи \ над \ лямбда>>

где λ (лямбда) — длина волны , f — частота , а v — линейная скорость.

Это уравнение дает синусоидальную волну для одного измерения; таким образом, приведенное выше обобщенное уравнение дает смещение волны в точке x в момент времени t вдоль одной линии. Это можно было бы, например, считать величиной волны вдоль провода.

В двух или трех пространственных измерениях одно и то же уравнение описывает бегущую плоскую волну, если положение x и волновое число k интерпретируются как векторы, а их произведение — как скалярное произведение . Для более сложных волн, таких как высота водной волны в пруду после падения камня, необходимы более сложные уравнения.

Вхождение

Этот волновой рисунок часто встречается в природе, включая ветровые , звуковые и световые волны.

Косинус волна называется синусоидальной , потому что также является синусоидальная волна с фазовым сдвигом на л / 2 радиан . Из-за этого преимущества часто говорят, что функция косинуса опережает функцию синуса или что синус отстает от косинуса. потому что ⁡ ( Икс ) знак равно грех ⁡ ( Икс + π / 2 ) , <\ Displaystyle \ соз (х) = \ грех (х + \ пи / 2),>

Человеческое ухо может распознавать одиночные синусоидальные волны как чистые, потому что синусоидальные волны представляют собой единую частоту без гармоник .

Для человеческого уха звук, состоящий из более чем одной синусоидальной волны, будет иметь заметные гармоники; добавление разных синусоидальных волн приводит к другой форме волны и, таким образом, изменяет тембр звука. Наличие высших гармоник в дополнение к основным причинам изменения тембра является причиной того, что одна и та же музыкальная нота ( одна и та же частота), воспроизводимая на разных инструментах, звучит по-разному. С другой стороны, если звук содержит апериодические волны наряду с синусоидальными волнами (которые являются периодическими), тогда звук будет восприниматься как зашумленный, поскольку шум характеризуется как апериодический или имеющий неповторяющийся характер.

Ряд Фурье

В 1822 году французский математик Жозеф Фурье обнаружил, что синусоидальные волны можно использовать в качестве простых строительных блоков для описания и аппроксимации любой периодической формы волны, включая прямоугольные . Фурье использовал его как аналитический инструмент при изучении волн и теплового потока. Он часто используется при обработке сигналов и статистическом анализе временных рядов .

Бегущие и стоячие волны

Поскольку синусоидальные волны распространяются без изменения формы в распределенных линейных системах , они часто используются для анализа распространения волн . Синусоидальные волны, распространяющиеся в пространстве в двух направлениях, можно представить как

ты ( т , Икс ) знак равно А грех ⁡ ( k Икс — ω т + φ ) <\ Displaystyle и (T, Икс) = А \ грех (kx- \ omega t + \ varphi)>

Когда две волны, имеющие одинаковую амплитуду и частоту и распространяющиеся в противоположных направлениях, накладываются друг на друга, создается картина стоячей волны . Обратите внимание, что на натянутой струне мешающие волны — это волны, отраженные от фиксированных концов струны. Следовательно, стоячие волны возникают только на определенных частотах, которые называются резонансными частотами и состоят из основной частоты и ее высших гармоник . Резонансные частоты струны пропорциональны: длине между закрепленными концами; натяжение струны; и обратно пропорциональна массе на единицу длины струны.

Источник

Волновое число — Wavenumber

В физических науках , то волновое число (также волновое число или repetency ) является пространственной частотой из волны , измеренной в циклах на единицу расстояния или радианах на единицу расстояния. В то время как временную частоту можно представить как количество волн в единицу времени, волновое число — это количество волн на единицу расстояния.

В многомерных системах волновое число — это величина волнового вектора . Пространство волновых векторов называется обратным пространством . Волновые числа и волновые векторы играют существенную роль в оптике и физике рассеяния волн, например, дифракции рентгеновских лучей , нейтронной дифракции , дифракции электронов и элементарных частиц физики. Для квантово-механических волн волновое число, умноженное на приведенную постоянную Планка, и есть канонический импульс .

Волновое число можно использовать для указания величин, отличных от пространственной частоты. В оптической спектроскопии он часто используется как единица временной частоты, предполагающей определенную скорость света .

Содержание

Определение

Волновое число, используемое в спектроскопии и большинстве областей химии, определяется как количество длин волн на единицу расстояния, обычно сантиметры (см -1 ):

знак равно 1 λ <\ displaystyle <\ tilde <\ nu>> \; = \; <\ frac <1><\ lambda>>> ,

где λ — длина волны. Иногда его называют «спектроскопическим волновым числом». Он равен пространственной частоте .

В теоретической физике чаще используется волновое число, определяемое как количество радианов на единицу расстояния, иногда называемое «угловым волновым числом»:

k знак равно 2 π λ <\ Displaystyle к \; = \; <\ гидроразрыва <2 \ pi><\ lambda>>>

Когда волновое число представлено символом ν , частота по-прежнему отображается, хотя и косвенно. Как описано в разделе «Спектроскопия», это делается с помощью отношения , где ν s — частота в герцах . Это сделано для удобства, поскольку частоты обычно очень большие. ν s c знак равно 1 λ ≡ ν

Он имеет размеры по обратной длине , так что его единица СИ является обратной величиной метров (м -1 ). В спектроскопии принято указывать волновые числа в единицах cgs (т. Е. В обратных сантиметрах; см -1 ); в этом контексте волновое число раньше называлось кайзером , в честь Генриха Кайзера (в некоторых более старых научных работах использовалась эта единица, сокращенно K , где 1 K = 1 см -1 ). Угловое волновое число может быть выражено в радианах на метр (rad⋅m -1 ), или , как указано выше, так как радиан является безразмерным .

Для электромагнитного излучения в вакууме волновое число пропорционально частоте и энергии фотона . По этой причине волновые числа используются в спектроскопии в качестве единицы энергии .

Сложный

Комплексное волновое число может быть определено для среды с комплексной относительной диэлектрической проницаемостью , относительной проницаемостью и показателем преломления n как: ε р <\ displaystyle \ varepsilon _ > μ р <\ displaystyle \ mu _ >

k знак равно k 0 ε р μ р знак равно k 0 п <\ displaystyle k = k_ <0> <\ sqrt <\ varepsilon _ \ mu _ >> = k_ <0>n>

где k — волновое число в свободном пространстве, как указано выше. Мнимая часть волнового числа выражает ослабление на единицу расстояния и полезна при исследовании экспоненциально затухающих затухающих полей .

Плоские волны в линейных средах

Коэффициент распространения синусоидальной плоской волны, распространяющейся в направлении x в линейном материале, определяется выражением

п знак равно е — j k Икс <\ displaystyle P = e ^ <- jkx>>

k знак равно k ′ — j k ″ знак равно — ( ω μ ″ + j ω μ ′ ) ( σ + ω ϵ ″ + j ω ϵ ′ ) <\ Displaystyle к = к'-jk '' = <\ sqrt <- (\ omega \ mu '' + j \ omega \ mu ') (\ sigma + \ omega \ epsilon' '+ j \ omega \ epsilon') >> \;> k ′ знак равно <\ displaystyle k '=> фазовая постоянная в радианах на метр k ″ знак равно <\ displaystyle k '' => константа затухания в непер / метр ω знак равно <\ displaystyle \ omega => частота в радианах / метр Икс знак равно <\ displaystyle x => пройденное расстояние в направлении x σ знак равно <\ Displaystyle \ sigma => проводимость в См / метр ϵ знак равно ϵ ′ — j ϵ ″ знак равно <\ displaystyle \ epsilon = \ epsilon '-j \ epsilon' '=> комплексная диэлектрическая проницаемость μ знак равно μ ′ — j μ ″ знак равно <\ Displaystyle \ му = \ му '-j \ му' '=> комплексная проницаемость j знак равно — 1 <\ displaystyle j = <\ sqrt <-1>>>

Соглашение о знаках выбрано для согласованности с распространением в среде с потерями. Если константа затухания положительна, то амплитуда волны уменьшается по мере распространения волны в направлении x.

Длина волны , фазовая скорость и толщина скин-слоя имеют простые отношения к компонентам волнового числа:

λ знак равно 2 π k ′ v п знак равно ω k ′ δ знак равно 1 k ″ <\ displaystyle \ lambda = <\ frac <2 \ pi>> \ qquad v_

= <\ frac <\ omega>> \ qquad \ delta = <\ frac <1>< k ''>>>

В волновых уравнениях

Здесь мы предполагаем, что волна является регулярной в том смысле, что различные величины, описывающие волну, такие как длина волны, частота и, следовательно, волновое число являются постоянными. См. Волновой пакет для обсуждения случая, когда эти величины не постоянны.

В общем, угловое волновое число K (т.е. величины от волнового вектора ) задаются

k знак равно 2 π λ знак равно 2 π ν v п знак равно ω v п <\ displaystyle k = <\ frac <2 \ pi><\ lambda>> = <\ frac <2 \ pi \ nu>>>> = <\ frac <\ omega>>>>>

где ν — частота волны, λ — длина волны, ω = 2 πν — угловая частота волны, а v p — фазовая скорость волны. Зависимость волнового числа от частоты (или, как правило, частоты от волнового числа) известна как дисперсионное соотношение .

Для частного случая электромагнитной волны в вакууме, когда волна распространяется со скоростью света, k определяется как:

k знак равно E ℏ c <\ Displaystyle к = <\ гидроразрыва <\ hbar c>>>

Для частного случая материальной волны , например электронной волны, в нерелятивистском приближении (в случае свободной частицы, то есть частица не имеет потенциальной энергии):

k ≡ 2 π λ знак равно п ℏ знак равно 2 м E ℏ <\ Displaystyle к \ экв <\ гидроразрыва <2 \ pi><\ lambda>> = <\ гидроразрыва

<\ hbar>> = <\ гидроразрыва <\ sqrt <2mE>> <\ hbar>>>

Волновое число также используется для определения групповой скорости .

В спектроскопии

В спектроскопии «волновое число» часто относится к частоте, которая делится на скорость света в вакууме : ν

знак равно ν c знак равно ω 2 π c . <\ displaystyle <\ tilde <\ nu>> = <\ frac <\ nu>> = <\ frac <\ omega><2 \ pi c>>.>

Историческая причина использования этого спектроскопического волнового числа, а не частоты, заключается в том, что оно оказалось удобным при измерении атомных спектров: спектроскопическое волновое число является обратной величиной длины волны света в вакууме:

λ v а c знак равно 1 ν

которая остается практически неизменной в воздухе, и поэтому спектроскопическое волновое число напрямую связано с углами света, рассеянного дифракционными решетками, и расстоянием между полосами в интерферометрах , когда эти инструменты работают в воздухе или в вакууме. Такие волновые числа впервые были использованы в расчетах Иоганна Ридберга в 1880-х годах. Принцип Ридберга-Ритца комбинация 1908 была также сформулирована в терминах волновых чисел. Спустя несколько лет спектральные линии можно было понять в квантовой теории как разницу между уровнями энергии, при этом энергия пропорциональна волновому числу или частоте. Тем не менее, спектроскопические данные продолжали составлять таблицы с точки зрения спектрального волнового числа, а не частоты или энергии.

знак равно р ( 1 п ж 2 — 1 п я 2 ) , <\ displaystyle <\ tilde <\ nu>> = R \ left ( <\ frac <1><>> ^ <2>>> — <\ frac <1><>> ^ <2>>> \ right),>

Спектроскопическое волновое число может быть преобразовано в энергию, приходящуюся на фотон E, с помощью соотношения Планка :

E знак равно час c ν

Его также можно преобразовать в длину волны света:

λ знак равно 1 п ν

где п есть показатель преломления в среде . Обратите внимание, что длина волны света изменяется при прохождении через различные среды, однако спектроскопическое волновое число (т.е. частота) остается постоянным.

Обычно используются единицы , обратные сантиметру (см -1 ) , так часто, что такие пространственные частоты выражаются некоторыми авторами «в волновых числах», неправильно переводя название величины в саму единицу СГС см -1 . ν

Волновое число в обратных сантиметрах можно преобразовать в частоту в ГГц, умножив на 29,9792458 (скорость света в сантиметрах за наносекунду).

Источник

Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию.

Главная Цены Оплата Примеры решений Отзывы Ccылки Теория Книги Сотрудничество Форум
Теория / Оптика / 1.2. Уравнение плоской волны. Принцип суперпозиции волн.

Волна называется плоской, если ее волновые повеpхности пpедставляют собой паpаллельные дpуг дpугу плоскости, пеpпендикуляpные фазовой скоpости волны (pис.1.3). Следовательно, лучи плоской волны — суть паpаллельные пpямые.

Если кооpдинатную ось х напpавить вдоль фазовой скоpости волны v, то вектоp Е, описывающий волну, будет пpедставлять собой функцию только двух пеpеменных: кооpдинаты х и вpемени t (E = f(x,t)).

Рассмотpим плоскую волну, пpофиль котоpой по оси х с течением вpемени не изменяется. Такая волна называется волной без диспеpсии.

На pис.1.4 изобpажены два пpофиля волны, относящиеся к pазличным моментам вpемени: начальному (t0 = 0) и пpоизвольному (t).

В волне без диспеpсии пpофиль волны только пеpемещается, но не искажается. Если так, то нетpудно сообpазить, как выглядит функция f(x,t) (уpавнение волны). Если в начальный момент вpемени вектоp Е изобpажался некотоpой функцией кооpдинаты f(x,0), то в момент вpемени t он будет изобpажаться той же функцией, но только не кооpдинаты х, а мещенной кооpдинаты х*.

Из pис.1.4 видно, что кооpдинаты х и х* связаны между собой пpостой зависимостью:

Таким обpазом, уpавнение плоской волны без диспеpсии имеет следующий вид:

или

Здесь v есть фазовая скоpость волны, а вид функции f может быть любым. Наиболее интеpесными являются пеpиодические синусоидальные волны, когда функция f пpедставляет собой синус или косинус аpгумента (синус и косинус отличаются дpуг от дpуга только сдвигом по фазе на /2). В качестве аpгумента синуса не м ожет быть пpосто (x-vt), т.к. эта величина pазмеpная, тогда как аpгумент синуса должен быть безpазмеpным. Поэтому синусоидальная волна описывается следующим уpавнением:

А называется амплитудой волны, k — волновым числом. Смысл амплитуды ясен, а каков смысл волнового числа? Рассмотpим волну в момент вpемени t0 = 0. Она описывается уpавнением E = Asinkx. Обозначим чеpез длину волны, т.е. пеpиод волны в пpостpанстве (чеpез отpезок длины фаза повтоpяется). Пеpиод синуса pавен 2. Следовательно, можно записать, что 2= k. Отсюда:

Итак, волновое число пpедставляет собой число длин волн, укладывающихся на отpезке 2 метpов. В каждой точке пpостpанства вектоp Е совеpшает гаpмонические колебания. Найдем частоту этих колебаний. С этой целью фиксиpуем точку пpостpанства и pассмотpим Е как функцию вpемени: E = Asin(kx0-kvt). Но гаpмонические колебания описываются функцией sin(— wt). Таким обpазом, мы пpиходим к заключению, что циклическая частота волны связана с волновым числом зависимостью

Если учесть, что волновое число связано с длиной волны (1.4), и вместо циклической частоты ввести обыкновенную частоту (как число колебаний в секунду ), то легко найдем фоpмулу связи длины волны с ее частотой:

Длина волны обpатно пpопоpциональна ее частоте.

Электpомагнитные волны (как, впpочем, и звуковые) подчиняются пpинципу супеpпозиции, суть котоpого заключается в следующем. Пpедставим два или несколько источников волн. Пусть источники pаботают независимо дpуг от дpуга. Каждый источник испускает свои волны, и в пpостpанстве, окpужающем источники, обpазуется сложное волновое поле.

Пpинцип супеpпозиции волн гласит, что волны от pазличных источников не взаимодействуют дpуг с дpугом и что сложное волновое поле от двух или большего числа источников находится путем геометpического сложения волн от отдельных источников, т.е.

Это очень важный пpинцип. Он позволяет не только складывать волны, но и pаскладывать их, напpимеp, на независимые синусоидальные волны. Это означает, что любую волну, т.е. волну пpоизвольного пpофиля, всегда можно пpедставить как сумму синусоидальных волн с pазличными амплитудами, с pазличными фазовыми скоpостями, с pазличными частотами и с pазличными начальными фазами. (Кстати, аpгумент синуса полностью опpеделяет вектоp Е пpи условии, если известна его амплитуда. Поэтому аpгумент синуса в уpавнении синусоидальной волны называют фазой синусоидальной волны. Таким обpазом, пpоизвольную (даже не обязательно плоскую) волну всегда можно пpедставить в виде суммы плоских волн, движущихся в pазличных напpавлениях и имеющих pазные частоты. Этой возможностью pазложения волн шиpоко пользуются во всей теоpии электpомагнитных волн, в частности в оптике.

Рассмотpим плоскую волну в виде коpоткого сигнала (см. pис. 1.1). Если такую волну pазложить по синусоидальным волнам, то оказывается, что частоты ее составляющих лежат в некотоpом интеpвале (непpеpывно его заполняя). Сигнал составляет как бы гpуппу или пакет волн (такое название сигнала и пpинято в оптике). Допустим, что pассматpиваемая волна является волной с диспеpсией. Это означает, что каждая синусоидальная ее составляющая имеет свою фазовую скоpость. Одни составляющие будут обгонять дpугие. Это пpиведет к тому, что гpуппа волн пpи пеpемещении будет pасплываться. В этом случае для хаpактеpистики скоpости волны вводится гpупповая скоpость. Как она опpеделяется? Допустим, что на интеpвал частот пpиходится соответственно интеpвал волновых чисел . Тогда гpупповой скоpостью называют oтношение интеpвала к интеpвалу , т.е.

Cледовательно, если волна не имеет диспеpсии и все ее составляющие «бегут» с одной и той же скоpостью, то . В этом случае гpупповая скоpость совпадает с фазовой, что имеет место, если электpомагнитная волна pаспpостpаняется в вакууме.

Мы будем изучать электpомагнитные волны, излучаемые атомами (световые волны). Что хаpактеpно для атомов и молекул как излучателей света? Каждый вид атомов излучает свет вполне опpеделенных частот. Набоp частот света, излучаемого атомом (или молекулой), называется его спектpом. Однако если атомы связаны между собой, обpазуя твеpдое тело или жидкость, то их спектpы в сильной степени тpансфоpмиpуются и пpиходится говоpить не о спектpах отдельных атомов, а о спектpах всего тела. Спектpы твеpдых тел и жидкостей почти сплошные, т.е. сплошь заполняют целые интеpвалы частот, тогда как спектpы газов, где атомы большее вpемя пpебывают вне взаимодействия дpуг с дpугом, — дискpетные (линейчатые) и хаpaктеpизуют спектpы атомов как таковых.

Атомы газа (твеpдого тела, жидкости) излучают свет независимо дpуг от дpуга и не непpеpывно, а лишь в течение малых пpомежутков вpемени. Последнее — понятно. Атом, излучая, теpяет энеpгию. Его энеpгия, запасенная на излучение, конечна. Если атом эту энеpгию излучил, то, чтобы вновь излучать, он должен получить энеpгию извне, он должен, как говоpят, вновь быть возбужден. Очевидно заpанее, до всяких теоpий, что атомы излучают световые волны коpоткими очеpедями, каждый pаз пpедваpительно поглощая энеpгию извне.

Эти элементаpные сообpажения свидетельствуют о том, что свет от естественных источников всегда сложен. Он состоит из множества более или менее коpотких пакетов волн pазличных частот, pазличных напpавлений движения, pазличных фаз, волн, наложенных дpуг на дpуга. Коpоче говоpя, свет от естественных источников, во всех отношениях непpавильный, сложный.

Однако существуют сpавнительно пpостые способы из сложной световой волны выделять волны опpеделенного напpавления (плоские волны) и опpеделенной частоты. Волны опpеделенной частоты называются монохpоматическими. Но монохpоматические волны, выделенные из естественного света, если они даже и движутся в одном напpавлении (плоские волны), еще не пpедставляют собой синусоидальные волны. Эти волны состоят из наложенных дpуг на дpуга кусков синусоид, беспоpядочно идущих от отдельных атомов. В пpостpанстве такой свет отнюдь не согласован по фазе. Это обстоятельство существенно пpи pазбоpе таких волновых явлений, как интеpфеpенция, дифpакция и поляpизация света.

Источник

Синусоидальная волна — Sine wave

Синусоида или синусоида является математическим кривой , которая описывает гладкое периодическое колебание . Синусоидальная волна — это непрерывная волна . Он назван в честь функции sine , график которой является . Это часто встречается как в чистой, так и в прикладной математике , а также в физике , технике , обработке сигналов и многих других областях. Его основная форма как функция времени ( t ):

у ( т ) знак равно А грех ⁡ ( 2 π ж т + φ ) знак равно А грех ⁡ ( ω т + φ ) <\ Displaystyle Y (T) = A \ sin (2 \ pi ft + \ varphi) = A \ sin (\ omega t + \ varphi)>

  • A , амплитуда , максимальное отклонение функции от нуля.
  • f , обычная частота , количество колебаний (циклов), которые происходят каждую секунду.
  • ω = 2π f , угловая частота , скорость изменения аргумента функции в радианах в секунду
  • φ <\ displaystyle \ varphi>, phase , указывает (в радианах ), где в его цикле колебание находится при t = 0.

Когда не равно нулю, вся форма волны кажется сдвинутой во времени на величину / ω секунд. Отрицательное значение представляет задержку, а положительное значение — продвижение. φ <\ displaystyle \ varphi>φ <\ displaystyle \ varphi>

Проблемы с воспроизведением этого файла? См. Справку по СМИ .

Синусоидальная волна важна в физике, потому что она сохраняет свою форму волны при добавлении к другой синусоидальной волне той же частоты, произвольной фазы и величины. Это единственный периодический сигнал, обладающий этим свойством. Это свойство обуславливает его важность для анализа Фурье и делает его уникальным в акустическом отношении.

Содержание

Общая форма

В общем, функция также может иметь:

  • пространственная переменная x, которая представляет положение в измерении, в котором распространяется волна, и характеристический параметр k, называемый волновым числом (или угловым волновым числом), который представляет собой пропорциональность между угловой частотойω и линейной скоростью ( скоростью распространения ) ν ;
  • ненулевая центральная амплитуда, D

у ( Икс , т ) знак равно А грех ⁡ ( k Икс — ω т + φ ) + D <\ Displaystyle у (Икс, T) = A \ sin (kx- \ omega t + \ varphi) + D \,> , если волна движется вправо у ( Икс , т ) знак равно А грех ⁡ ( k Икс + ω т + φ ) + D <\ Displaystyle у (Икс, T) = А \ грех (кх + \ омега т + \ varphi) + D \,> , если волна движется влево.

Волновое число связано с угловой частотой с помощью : .

k знак равно ω v знак равно 2 π ж v знак равно 2 π λ <\ Displaystyle к = <\ омега \ над v>= <2 \ пи е \ над v>= <2 \ пи \ над \ лямбда>>

где λ (лямбда) — длина волны , f — частота , а v — линейная скорость.

Это уравнение дает синусоидальную волну для одного измерения; таким образом, приведенное выше обобщенное уравнение дает смещение волны в точке x в момент времени t вдоль одной линии. Это можно было бы, например, считать величиной волны вдоль провода.

В двух или трех пространственных измерениях одно и то же уравнение описывает бегущую плоскую волну, если положение x и волновое число k интерпретируются как векторы, а их произведение — как скалярное произведение . Для более сложных волн, таких как высота водной волны в пруду после падения камня, необходимы более сложные уравнения.

Вхождение

Этот волновой рисунок часто встречается в природе, включая ветровые , звуковые и световые волны.

Косинус волна называется синусоидальной , потому что также является синусоидальная волна с фазовым сдвигом на л / 2 радиан . Из-за этого преимущества часто говорят, что функция косинуса опережает функцию синуса или что синус отстает от косинуса. потому что ⁡ ( Икс ) знак равно грех ⁡ ( Икс + π / 2 ) , <\ Displaystyle \ соз (х) = \ грех (х + \ пи / 2),>

Человеческое ухо может распознавать одиночные синусоидальные волны как чистые, потому что синусоидальные волны представляют собой единую частоту без гармоник .

Для человеческого уха звук, состоящий из более чем одной синусоидальной волны, будет иметь заметные гармоники; добавление разных синусоидальных волн приводит к другой форме волны и, таким образом, изменяет тембр звука. Наличие высших гармоник в дополнение к основным причинам изменения тембра является причиной того, что одна и та же музыкальная нота ( одна и та же частота), воспроизводимая на разных инструментах, звучит по-разному. С другой стороны, если звук содержит апериодические волны наряду с синусоидальными волнами (которые являются периодическими), тогда звук будет восприниматься как зашумленный, поскольку шум характеризуется как апериодический или имеющий неповторяющийся характер.

Ряд Фурье

В 1822 году французский математик Жозеф Фурье обнаружил, что синусоидальные волны можно использовать в качестве простых строительных блоков для описания и аппроксимации любой периодической формы волны, включая прямоугольные . Фурье использовал его как аналитический инструмент при изучении волн и теплового потока. Он часто используется при обработке сигналов и статистическом анализе временных рядов .

Бегущие и стоячие волны

Поскольку синусоидальные волны распространяются без изменения формы в распределенных линейных системах , они часто используются для анализа распространения волн . Синусоидальные волны, распространяющиеся в пространстве в двух направлениях, можно представить как

ты ( т , Икс ) знак равно А грех ⁡ ( k Икс — ω т + φ ) <\ Displaystyle и (T, Икс) = А \ грех (kx- \ omega t + \ varphi)>

Когда две волны, имеющие одинаковую амплитуду и частоту и распространяющиеся в противоположных направлениях, накладываются друг на друга, создается картина стоячей волны . Обратите внимание, что на натянутой струне мешающие волны — это волны, отраженные от фиксированных концов струны. Следовательно, стоячие волны возникают только на определенных частотах, которые называются резонансными частотами и состоят из основной частоты и ее высших гармоник . Резонансные частоты струны пропорциональны: длине между закрепленными концами; натяжение струны; и обратно пропорциональна массе на единицу длины струны.

Источник

Лекция 6. Физика волн. Волновые процессы

Кинематика и динамика волновых процессов. Плоская стационарная и синусоидальная волна. Интерференция и дифракция волн. Бегущие и стоячие волны. Фазовая скорость, длина волны, волновое число, волновой вектор. Упругие волны в газах, жидкостях и твердых телах. Энергетические характеристики упругих волн. Вектор Умова.

6.1. Кинематика и динамика волновых процессов.
Плоская стационарная и синусоидальная волна

Волны – изменения состояния среды (возмущения), распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию. Процесс распространения колебаний в пространстве.

Распространение колебаний в пространстве происходит благодаря взаимодействию между частицами упругой среды. Волна в отличие от колебаний характеризуется не только периодичностью во времени, но и периодичностью в пространстве. Частицы среды при этом не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества в пространстве. Среди разнообразия волн, встречающихся в природе и технике, выделяют упругие, на поверхности жидкости и электромагнитные.

Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, возникающие и распространяющиеся в упругой среде. К упругим волнам относятся звуковые и сейсмические волны; к электромагнитным – радиоволны, свет и рентгеновские лучи.

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны различают продольные и поперечные волны.

Продольные – это волны, направление распространения которых совпадает с направлением смещения (колебания) частиц среды.

Поперечные – это волны, направление распространения которых и направление смещения (колебания) частиц среды взаимно перпендикулярны.

В жидкостях и газах упругие силы возникают только при сжатии и не возникают при сдвиге, поэтому упругие деформации в них могут распространяться только в виде продольных волн (“волны сжатия”).

В твердых телах, в которых упругие силы возникают при сдвиге, упругие деформации могут распространяться не только в виде продольных, но и в виде поперечных волн (“волны сдвига”). В твердых телах ограниченного размера (например, в стержнях и пластинах) картина распространения волны более сложна: здесь возникают еще и другие типы волн, являющиеся комбинацией первых двух основных типов.

В электромагнитных волнах направления электрического и магнитного полей почти всегда перпендикулярны направлению распространения волны, (за исключением случаев анизотропных сред и распространения в несвободном пространстве) поэтому электромагнитные волны в свободном пространстве поперечны.

Волны могут иметь различную форму. Одиночной волной, или импульсом, называется сравнительно короткое возмущение, не имеющее регулярного характера. Ограниченный ряд повторяющихся возмущений называется цугом волн.

Гармоническая волна – бесконечная синусоидальная волна, в которой все изменения среды происходят по закону синуса или косинуса. Такие возмущения могут распространяться в однородной среде (если их амплитуда невелика) без искажения формы.

Геометрическое место точек, до которых доходят волны за некоторый промежуток времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченного в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время, как волновой фронт в каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными (они проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одинаковой фазе). Волновой фронт все время перемещается. Волновые поверхности могут иметь различную геометрию. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей, а в сферической волне — систему концентрических сферических поверхностей.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны l. Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется волна за один период:

или , (6.1)

где l — длина волны;

T – период волны, т.е. время, за которое совершается один полный цикл колебания;

n — частота, т.е. число периодов в единицу времени.

Направление волны определяется с помощью волнового вектора k. Направление волнового вектора совпадает с направлением вектора скорости:

, (6.2)

где w — круговая или циклическая частота.

В акустике и оптике численное значение волнового вектора представляют в виде волнового числа:

. (6.3)

6.2. Уравнение плоской волны

Уравнение плоской волны — выражение, которое определяет смещение колеблющейся точки как функцию ее координат и времени, т.е.

где x — смещение.

Эта функция должна быть периодической как относительно t, так и относительно x, у, z. Найдем вид функции в случае плоской волны, распространяющейся в направлении оси X (рис. 6.1). Пусть плоская стенка совершает гармоническое колебание, согласно выражению

. (6.5)

В точке пространства, расположенной на расстоянии x от места возникновения волны, частицы будут совершать те же колебания, что и в точке возникновения волны. Волновые поверхности в этом случае будут перпендикулярны к оси X. Поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещение x будет зависеть только от x и t x = x(x, t).

Для прохождения расстояния от места возникновения до рассматриваемой точки волне требуется время. Фронт волны придет в рассматриваемую точку пространства спустя время .

Уравнение колебаний в рассматриваемой точке будет иметь вид

. (6.6)

Формула (6.6) представляет собой уравнение прямой бегущей волны, т.е. распространяющейся в направлении положительной полуоси X.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Количественно перенос энергии волнами характеризуется вектором плотности потока энергии

. (6.7)

Вектор плотности потока энергии – физическая величина, модуль которой равен энергии DE, переносимой волной за единицу времени (Dt=1) через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны (DS^). Направление вектора потока плотности энергии (вектора Умова) совпадает с направлением переноса энергии. Можно показать, что численное значение вектора потока плотности энергии определяется соотношением

где u – плотность энергии в каждой точке среды, среднее значение которой равно:

;

ρ – плотность среды;

x – амплитуда волны; w — круговая (циклическая частота);

v – фазовая скорость (скорость перемещения фазы волны).

В векторной форме:

j = u×v. (6.9)

Фазовая скорость упругих волн:

а) продольных ; (6.10)

б) поперечных , (6.11)

где E – модуль Юнга (характеристика упругих свойств среды, обратная коэффициенту упругости);

G – модуль сдвига (он равен такому тангенциальному напряжению, при котором угол сдвига оказался бы равен 45 о , если бы при столь больших деформациях не был превзойден предел упругости).

Понятие фазовой скорости справедливо для монохроматических волн.

Так как распространяющиеся в пространстве волны представляют собой волновой пакет (в силу принципа суперпозиции), то кроме фазовой скорости, для волнового пакета вводят в рассмотрение понятие групповой скорости. Волновой пакет – совокупность волн, частоты которых мало отличаются друг от друга.

Групповой скоростью называют скорость перемещения в пространстве амплитуды волны. С ней происходит перенос энергии волны. Групповая скорость определяется следующим соотношением:

. (6.12)

Уравнение обратной волны можно получить путем замены в (6.6) х на (-х):

. (6.13)

Оказывается, что уравнение любой волны является решением некоторого дифференциального уравнения второго порядка, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от уравнения волны: .

Производные по х:

; . (6.14)

Производные по t:

; . (6.15)

Разделим обе части уравнения (6.15) на v 2 :

или . (6.16)

Сравнивая выражения (6.14) и (6.16), убеждаемся в равенстве их правых частей, поэтому можем приравнять левые части этих уравнений:

. (6.17)

Соотношение (6.17) является волновым уравнением плоской волны, распространяющейся вдоль оси X.

Волновое уравнение плоской волны, распространяющейся в трехмерном пространстве, имеет вид

. (6.17)

В математике вводят специальный оператор, называемый оператором Лапласа:

. (6.18)

С применением оператора Лапласа /лапласиана/ волновое уравнение (6.17) принимает вид

. (6.19)

Если при анализе какого-либо процесса, получают уравнение вида (6.19), то это означает, что рассматриваемый процесс — волна, распространяющаяся со скоростью v.

6.4. Интерференция волн. Стоячие волны

При одновременном распространении в среде нескольких волн частицы среды совершают колебание, являющееся результатом геометрического сложения колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны накладываются одна на другую, не изменяя друг друга. Это явление называют принципом суперпозиции волн.

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают разностью фаз и имеют одинаковую частоту, волны называются когерентными. Когерентные волны излучаются когерентными источниками. Когерентными источниками называют точечные источники, размерами которых можно пренебречь, излучающие в пространство волны с постоянной разностью фаз. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции.

Интерференция – это явление наложения когерентных волн, в результате которого происходит перераспределение энергии волны в пространстве. Возникает интерференционная картина, заключающаяся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других — ослабляют друг друга.

Наиболее часто интерференция возникает при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающая в результате такой интерференции волна называется стоячей. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и встречная — отраженная, складываясь, образуют стоячую волну.

Пусть вдоль оси X распространяются прямая и обратная плоские волны, уравнения которых имеют вид

; (6.20)

. (6.21)

В данном случае результирующее колебание получается путем алгебраического сложения:

. (6.22)

Воспользовавшись тригонометрическим тождеством

,

перепишем (6.22) в виде

. (6.23)

Выражение (6.23) — уравнение стоячей волны.

Амплитуда стоячей волны

. (6.24)

Из (6.24) видно, что амплитуда, зависящая от x, может достигать максимального и минимального значений.

1) при kx = ± np (n = 0, 1, 2, ¼) амплитуда максимальна: A = 2x. Точки, в которых амплитуда смещения удваивается, называются пучностями стоячей волны;

2) при kx = ± (2n + 1)p амплитуда обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны.

Расстояние между соседними (узлам) – длина стоячей волны l. Длина стоячей волны

. (6.25)

Рис.6.2

Таким образом, длина стоячей волны равна половине длины бегущей волны.

Графически стоячая волна выглядит так, как показано на рис.6.2.

В соседних полуволнах колебания частиц имеют противоположную фазу, или, как говорят, сдвиг по фазе составляет p. В отличие от бегущей волны в пределах одной полуволны колебания всех точек происходят в одной и той же фазе, но с различной амплитудой.

Очень часто стоячие волны используют для определения скорости распространения волн. Это достигается с помощью так называемого интерферометра.

Рис.6.3

В звуковом интерферометре источником звука (источником волны) является мембрана или пьезоэлектрическая пластинка — 1 (рис.6.3). Имеется отражатель (рефлектор) — 2. Перемещая рефлектор, получают систему стоячих звуковых волн. Если при перемещении рефлектора на расстояние L возникло n узлов, то скорость распространения звука будет равна

. (6.26)

То есть для определения скорости распространения волны (звуковой волны) необходимо измерить длину стоячей волны l и частоту звуковых колебаний.

Лекция 7. Энергия, работа, мощность

Работа силы и её выражение через криволинейный интеграл. Мощность. Энергия как универсальная мера различных форм движений и взаимодействий. Кинетическая энергия системы и её связь с работой внешних и внутренних сил, приложенных к системе. Энергия системы, совершающей вращательное движение. Энергия системы, совершающей колебательное движение. Потенциальная энергия и энергия взаимодействия. Потенциальная энергия тела, находящегося в поле тяготения другого тела. Потенциальная энергия и устойчивость системы. Внутренняя энергия. Энергия упругой деформации.

7.1. Работа силы и её выражение через криволинейный интеграл

Работа — это изменение формы движения, рассматриваемое с его количественной стороны. В общем смысле работа — это процесс превращения одних форм движения материи в другие и одновременно количественная характеристика этого процесса.

Механическая работа — процесс, в котором под действием сил изменяется энергия системы, и одновременно количественная мера этого изменения.

При совершении работы всегда имеются сила, действующая на материальную точку (систему, тело), и вызванное данной силой перемещение. При отсутствии хотя бы одного из этих факторов работа не совершается.

Элементарная работа некоторой силы F, действующей на материальную точку (тело, систему), вызывающей элементарное перемещение dr, равна произведению силы на перемещение:

dA = F×dr = F×dr×cosa = Fr×dr, (7.1)

где α — угол между направлением перемещения и направлением действующей силы.

Источник

Читайте также:  Ареометр прибор для измерения плотности жидкостей впр

Сравнить или измерить © 2021
Внимание! Информация, опубликованная на сайте, носит исключительно ознакомительный характер и не является рекомендацией к применению.