Заданные величины по измерению параметров

Содержание
  1. Основные параметры средств измерения.
  2. Заданные величины по измерению параметров
  3. Примеры решения задач по метрологии
  4. Введение в метрологию
  5. Физические величины
  6. Пример №1.
  7. Единица физической величины
  8. Международная система единиц (SI)
  9. Основные и производные единицы системы единиц ФВ
  10. Пример №2.
  11. Пример №3.
  12. Правила образования наименований и обозначений десятичных кратных и дольных единиц SI
  13. Правила написания обозначений единиц
  14. Перевод внесистемных единиц в единицы измерения физических величин
  15. Пример №4.
  16. Пример №5.
  17. Пример №6.
  18. Доверительная вероятность и доверительный интервал
  19. Пример №7.
  20. Пример №8.
  21. Классы точности средств измерений
  22. Способы нормирования и формы выражения метрологических характеристик
  23. Обозначение классов точности средств измерений в документации
  24. Обозначение классов точности на средствах измерений
  25. Пример №9.
  26. Пример №10.
  27. Пример №11.
  28. Пример №12.
  29. Пример №13.
  30. Пример №14.
  31. Пример №15.
  32. Пример №16.
  33. Пример №17.
  34. Суммирование систематических погрешностей прямых измерений
  35. Пример №18.
  36. Оценивание неопределенности измерений
  37. Методика оценивания результата измерений и его неопределенности
  38. Составление уравнения измерения
  39. Оценка входных величин и их стандартных отклонений (неопределенностей)
  40. Оценка измеряемой (выходной) величины и ее неопределенности
  41. Составление бюджета неопределенности
  42. Оценка расширенной неопределенности результата измерений
  43. Представление результата измерений
  44. Пример №19.
  45. Пример №20.
  46. Оценивание неопределенности измерений
  47. Классы точности средств измерений
  48. Пример №21.
  49. Пример №22.
  50. Обработка результатов прямых однократных измерений
  51. Пример №23.
  52. Пример №24.
  53. Обработка результатов косвенных измерений
  54. Пример №25.
  55. Пример №26.
  56. Обнаружение грубых погрешностей
  57. Пример №27.
  58. Пример №28.
  59. Обработка результатов прямых многократных измерений
  60. Пример №29.
  61. Проверка нормальности распределения
  62. Пример №30.
  63. Пример №31.
  64. Обработка результатов совместных измерении
  65. Пример №32.

Основные параметры средств измерения.

1. Длина деления шкалы – расстояние между осями (или центрами) двух соседних отметок шкалы, измеренное вдоль воображаемой линии, проходящей через середины самых коротких отметок шкалы. Деления шкал относятся к штриховым мерам длины, поэтому каждый штрих, даже нанесённый очень тщательно, имеет ограниченную толщину. Эта толщина вносит ошибку в процесс измерения. Для компенсации этой ошибки за номинальное расположение деления принята его середина. Для круговых шкал середина деления лежит на воображаемой окружности имеющей радиус средний между наибольшим и наименьшим радиусами расположения всех делений шкалы. Штрих, проставленный на шкале (по РМГ-29-99) называется отметкой шкалы. Число, проставленное около этой отметки, называется числовой отметкой.

2. Цена деления шкалы – разность значений соответствующих двум соседним отметкам шкалы, выраженная в единицах измеряемой величины.

3. Длина шкалы – длина линии, проходящей через центры всех самых коротких отметок шкалы, и ограниченная начальной и конечной отметками.

4. Начальное значение шкалы – наименьшее значение, которое может быть отсчитано по шкале СИ.

5. Конечное значение шкалы – наибольшее значение измеряемой величины, которое может быть отсчитано по шкале. Заметим здесь, что отсчитано не означает измерено, ибо прибор может позволять измерять большие величины, чем обеспечивает генератор данных величин. Например, спидометр изготовляют всегда с запасом, т.е. конечное значение величины всегда больше предельной скорости автомобиля, которую может обеспечить двигатель.

6. Метрологическая характеристика СИ – характеристика, влияющая на результат измерений и его погрешность.

7. Показание средства измерения.

8. Вариация показаний измерительного прибора– разность показаний при подходе к одной точке справа и слева.

9. Диапазон показаний СИ– область значений шкалы, ограниченная начальным и конечным значениями шкалы, т.е. наибольшим и наименьшим значениями измеряемой величины, регистрируемой только по шкале измерений.

10. Диапазон измерений СИ– область значений величины, в которой нормированы допускаемые погрешности СИ. Например, диапазон показаний спидометра автомобиля начинается с нуля, но измерена скорость с нормированной постоянной точностью может быть только с некоторых реальных значений.

11. Влияющая физическая величина.

12. Нормальные рабочие условия. (самостоятельно).

13. Чувствительность измерительного прибора– отношение сигнала на выходе к изменению сигнала физической величины.

14. Порог чувствительности.(самостоятельно).

15. Градуировочная характеристика СИ– зависимость между значениями величин на входе и выходе СИ полученная экспериментально, выраженная в виде формулы, графика или таблицы.

Шкала наименований – когда объекты шкалы отмечаются числом или другим условным знаком.

Шкала порядка (рангов) – когда объекты шкалы выстраиваются по возрастанию или убыванию количественного проявления свойств. Например, шкала твёрдости Мооса:

Погоны по родам войск – шкала наименований, а по званиям – шкала рангов.

Шкала интервалов (разностей) — такая шкала состоит из одинаковых интервалов, линейна и имеет единицу измерения. Ноль в такой шкале принимается по соглашению. Например, летоисчисление от Новой эры (от Рождества Христова) или от Сотворения мира. На Руси раньше считали года от мифической даты “от сотворения мира”, которая якобы была в 5508 году до Рождества Христова. С 1 января 1700 года по указу Петра Великого в России считают годы от Р.Х. или от Новой эры. Существуют и другие системы счёта лет. Например, мусульмане считают годы от Хиджры – переселения пророка Мухаммеда из Мекки в Медину, которое согласно легенде произошло в 583 году н. э. Также температурные шкалы Цельсия, Фаренгейта, Реомюра.

Температурная шкала Цельсия

Все эти шкалы за опорные точки принимают точку кипения воды и точку таяния льда. Только шкала Цельсия разделена на 100 частей, Фаренгейта на 212 (причём точка кипения воды считается 212 градусов, а таяния льда 32 градуса), а Реомюра на 80 (где точка таяния льда считается за 0 градусов, а кипения воды за 80).


Шкала звёздных величин см. сайт кафедры.

Шкала отношений – наиболее совершенная из всех шкал, применяемых для измерения физических величин. Для таких шкал действует основное уравнение измерения:

где q – число единиц, а U – величина единицы измерения. С помощью таких шкал измеряется длина, масса, сила тока и т.д.

Определение измерения: Измерить какую-либо величину – значит опытным путём найти её отношение к соответствующей единице измерения.: http://www.znaytovar.ru/new2619.html

Результат измерения — значение величины, полученное путём её измерения. Он представляет собой приближённую оценку истинного значения величины.

Погрешность результата измерений – отклонение результата измерения от истинного (действительного) значения измеряемой величины. Xизм – результат измерения, Xист = Xд = X – истинное или действительное значение. Погрешность:

Это абсолютная погрешность измерений. Относительная погрешность:

Точность измерений – качество измерений, отражающее близость их результатов к истинному значению измеряемой величины, равна обратной величине модуля относительной погрешности:

Допускаемая погрешность зависит от требуемой точности измерений и установлена ГОСТом. Предельно допустимая погрешность зависит от допуска размера и принимается равной [d] = (0.2…0.3)Td. Каждое средство измерения характеризуется основной погрешностью, которое указано а паспорте на это СИ.

Рассеяние результатов в ряду измерений.

Размах результатов измерений: R = Xmax – Xmin.

Среднее квадратическое отклонение (СКО):

xi – i-й результата измерений, xср – среднее арифметическое значение из n единичных результатов, которое равно:

Средняя квадратическая погрешность результатов измерения среднего арифметического (СКП):

Если результаты свободны от систематических погрешностей, то СКП и СКО одинаковы.

Систематическая погрешность измерения – составляющая погрешности, остающаяся неизменной или изменяющаяся по определённому закону. Систематические погрешности бывают постоянные, прогрессивные и изменяющиеся по сложному закону.

Случайная погрешность измерения – составляющая погрешность результата измерения одной и той же физической величины, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях, проведённых с одинаковой тщательностью.

Эти погрешности (как систематические, так и случайные) могут вызываться различными причинами.

1. Инструментальная погрешность.

2. Погрешность метода измерений.

3. Погрешность измерения из-за изменения условий измерений.

4. Погрешность метода поверки – погрешность метода передачи размера единицы при поверке.

5. Погрешность градуировки СИ – погрешность действительного значения величины, приписанного той или иной отметке шкалы СИ в результате градуировки.

6. Погрешность воспроизведения единицы физической величины.

Промах – измерение, резко отличающееся от остальных результатов этого ряда. – грубая погрешность измерений.

Большую часть повышения производительности труда следует приписать внедрению во все отрасли промышленности современных машин и прогрессивных технологий. Инструмент с режущими кромками из карбида вольфрама, внедрение которого сдерживалось политикой международных картелей, которые не были заинтересованы в технических новшествах, чтобы не идти на экономические риски, связанные с затратами на капитальные вложения в новое производство.

С началом второй Мировой войны этот фактор перестал быть решающим. Станкостроительная промышленность сыграла большую роль в производстве больших масштабов прочных и надёжных станков, приспособленных для использвания инструмента с карбидной оснасткой.

Большая часть возросшей производительности труда была обеспечена благодаря широкому внедрению поточной технологии производства и множества её усовершенствований, в том числе такого новшества, как “контроль качества”.

Сущность принципа взаимозаменяемости деталей состоит в том, что размеры всякой детали выдерживаются в определённых пределах, называемых допусками. Из-за износа инструмента и по ряду других причин, станок, отлаженный на выпуск определённой продукции, утрачивает свою точность, пока погрешности не превысят допуски. Поэтому дальнейшую продукцию, изготавливаемую на таком станке, приходится браковать.

Прежде просто проверяли выборочные образцы и, когда обнаруживалось, что они не удовлетворяют принятым допускам, станок переналаживали. Но к этому времени на таком станке успевали изготовить много деталей с нарушением допусков, которые все подлежали отбраковке. Контроль качества, основанный на методах статистики, устраняет этот недостаток. Про разрешённым допускам вычисляют набор внутренних размеров. Когда число деталей, изготовленных с нарушением таких размеров, достигает определённого уровня, браковщик своевременно узнаёт, что точность станка скоро станет недостаточной. При этом с этого станка никаких деталей в брак ещё не попадает. Тогда станок останавливают без напрасных затрат времени и материалов.

Следует иметь в виду, что допуск назначается не от того, что мы не можем точно выполнить размер детали из-за несовершенства технологии. Как бы совершенна технология не была, всё равно идеальной точности добиться невозможно принципиально. Поэтому изготовление деталей – процесс двоякий.

1. Измерение изготовленной детали с некоторой заданной точностью, т.е. мы не знаем точного размера детали из-за несовершенства измерительного инструмента. Как бы точен он не был, всё равно точность его конечна, даже если и высока.

2.Изготовление с какой-то определённой точностью – т.е. мы не можем достичь идеального значения номинального размера. Следовательно, размеры изготовленной детали, если она годна, то есть попадают в поле допуска, могут занимать любое положение в пределах этого поля.

Какое же именно положение в пределах поля допуска они занимают, можно ли это узнать? Оказывается можно. Представим себе, что мы изготовили некоторое множество деталей с одним номинальным размером и с одним допуском.

N – общее число деталей, Td = dmax – dmin – разброс между максимальным и минимальным результатами измерений. Средний или номинальный размер, заданный чертежом – dном = x0.

Разобьём допуск Td на k небольших и равных между собой интервалов. Получится, что в интервалах близких к середине поля допуска окажется больше деталей, а в интервалах, близких к dmax либо к dmin – меньше. На основании этих данных можно построить ступенчатый график, который называется гистограммой. В каждом i-м интервале получилось ni деталей.

Здесь N называется выборкой по генеральной совокупности. Генеральная совокупность получается, если перейти к пределу при n → ∞ или D → 0, то есть

Чем больше число деталей в интервале, тем быстрее рост ступенчатой суммарной функции. Затем этот рост замедляется, так как при увеличении диаметра число деталей в интервале уменьшается. Как видно из графика, приращение высоты ступеньки замедляется.

— по этой формуле может быть вычислена средняя величина диаметра, а математическое ожидание при переходе к пределу:

При переходе к пределу ступенчатые графики превращаются в плавные кривые.

График плотности вероятности φ(x) означает вероятность попадания величины x в заданный бесконечно малый интервал Dx.

График функции распределения F(x) означает, что вероятность появления размера в пределах от dmin до dmax равна 1, а вероятность изготовления (или появления при переборе уже изготовленных деталей) размера x 2 дисперсия по генеральной совокупности, а среднее квадратическое отклонение случайной величины. Дисперсия по генеральной совокупности определяется по формуле:

Среднее квадратичное отклонение (СКО) – определено выше, в предыдущей лекции. При дифференцировании функции нормального распределения Лапласа F(x) получаем закон распределения вероятностей Гаусса:

Этими выражениями в таком виде пользоваться неудобно, поэтому их нормируют на величину: . Тогда интеграл Лапласа F(z) и функция φ(z) – плотность вероятности нормированного нормального распределения будут соответственно иметь вид:

Здесь F(z) – нормированная функция Лапласа, а φ(z) плотность вероятности нормированного распределения.

Расчёты показывают, что интеграл Лапласа приблизительно равен 1 в пределах ±3σ. Эта зависимость называется “правило 3σ”. Если подсчитать по этим формулам вероятность нахождения размеров в этом интервале, то получится, что эта вероятность в зависимости от заданных пределов следующая:

dном ± 3σ p ≈ 0.997

При измерениях необходимо так планировать количество опытов (измерений), чтобы оно не было слишком мало – для получения надёжного результата, но и не слишком велико, иначе увеличится время эксперимента. Заниженное число экспериментальных точек не позволит правильно оценить точность метода или средства измерения.

По результатам выборки и её объёму можно установить границы, внутри которых с определённой заданной вероятностью будут находиться значения дисперсии, СКО и dном – эти границы определяют доверительный интервал.

Соответствующую этому интервалу вероятность называют надёжностью или доверительной вероятностью. Это значит, что при определении доверительных границ интервала ± 3σ, вероятность нахождения измерения в этих границах равна p ≈ 0.997.

Интервал ± 3σ можно рассматривать как допуск, то есть Td = ± 3σ или как границы, в которые попадают погрешности измерений в зависимости от решаемой задачи: 1) изготовление детали, 2) измерение детали инструментом, погрешность которого известна.

Вообще говоря, определить вероятность нахождения размера можно в любом интервале, а не обязательно в указанных выше. Это делается так.

Например, нужно определить доверительные границы (доверительный интервал) значения некоторой измеряемой величины x с вероятностью P, если известно, что дисперсия этой величины равна σ.

Сначала по таблице интеграла вероятностей F(z) находят значение t, которое является отношением отклонения измеренного значения от его математического ожидания к среднему квадратическому отклонению

Так как доверительные границы располагаются симметрично по отношению к среднему значению x0 , то будет иметь место соотношение:

Отсюда находим доверительные границы x для среднего значения x0 . Это значит, что истинное значение измеряемой величины с вероятностью P находится в границах:

Причём n = 1 так как измерения однократные. То есть считается, что так как распределение Гаусса и интеграл Лапласа получены для бесконечно большого числа испытаний (генеральной совокупности), то любое однократное измерение с вероятностью близкой к единице попадёт внутрь кривой (правило 3σ). Если задавать более узкий доверительный интервал, нужно провести вышеуказанный расчёт.

Рассмотрим случай, когда проводятся не однократные, а многократные измерения. Причём, число измерений ограничено выборкой. В этом случае необходимо проверить гипотезу соответствия выборки и генеральной совокупности. Другими словами проверить насколько распределение, полученное в результате нескольких измерений одной и той же величины, соответствует нормальному. Для проверки этой гипотезы существует формула критерия Стьюдента (Госсета).

В этой формуле ν = n – 1 – число степеней свободы, которое на единицу меньше количества проведённых испытаний (измерений), Γ — гамма-функция. Чем больше число степеней свободы, тем ближе распределение Стьюдента к нормальной функции, поэтому та и другая функции изображаются почти одинаковым графиком. Доверительные границы для многократных испытаний находят примерно также, как это делалось для однократных. Только в этом случае необходимо учитывать число проведённых опытов (степеней свободы).

Например, нужно найти доверительные границы истинного значения измеряемой величины, в которые попадают с заданной вероятностью P результаты n измерений некоторой величины

Сначала вычисляется по имеющейся выборке среднее значение измперяемой величины: и её среднее квадратическое отклонение:

Затем по таблице распределения Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы и заданной вероятности находим коэффициент Стьюдента t, и находим доверительные границы в которых находится среднее значение измеренной величины близкое к истинному с заданной вероятностью:

Следовательно, при этом средний размер находится между значениями:

Если измеряются несколько независимых величин, то дисперсия их суммы равна сумме дисперсий этих величин:

Среднее квадратическое отклонение (СКО) равно не сумме СКО нескольких независимых величин, а корню квадратному из суммы дисперсий, то есть:

Из этого следует важный вывод: погрешность нескольких независимых измерений равна не их сумме, а корню квадратному их этой суммы. То есть получается что-то вроде теоремы Пифагора, согласно которой гипотенуза всегда меньше суммы катетов (она равна сумме квадратов катетов, как известно), только не на плоскости, а распространённая на случай n измерений. По этой формуле мы будем считать погрешность блока концевых мер.

Интеграл Лапласа позволяет рассчитать доверительный интервал для однократного измерения. То есть результат получен один раз, но при этом считаем, что распределение измеряемой величины соответствует распределению Лапласа.

Средства контроля — информационные измерительные системы.

По функциональному назначению средства контроля разделяются на:

  1. измерительные системы
  2. системы автоматического контроля
  3. системы технической диагностики
  4. измерительно-вычислительные комплексы.

По организации алгоритма функционирования ИИС различаются на:

  1. ИИС с с заранее заданным алгоритмом функционирования, который не меняется, вследствие чего такая система применяется для исследования объектов, работающих в определённых режимах.
  2. Программируемые ИИС, алгоритм работы которых меняется в соответствии с заданной программой, связанной с условиями функыционирования исследуемого объекта.
  3. Адаптивные ИИС, в которых алгоритм работы изменяется, приспосабливаясь к изменениям измеряемых величин и условий работы объекта исследования; для этой системы требуется меньшее количество информации, что особенно важно при исследовании новых, малоизученных объектов.

Первые две ИИС, это системы пассивного контроля. Третья — система активного контроля с обратной связью, адаптирующаяся к изменяющимся внешним условиям. Она помогает вовремя диагностировать и исправить замеченных ошибки отклонения размеров за пределы поля допуска.

Простейшая схема обратной связи — станок — приспособление — инструмент — деталь.

Одним из методов активного контроля является метод акустической эмиссии — АЭ. По изменяющейся частоте звукового сигнала судят об изменении парамеров резания. Тогда включается система автоматическогоо регулирования и возвращает параметры резания к прежним значениям.

Измеряемая физическая величина непосредственно воздействует на первичный измерительный преобразователь, который является первым в цепи средства измерения. Конструктивно обособленные первичные преобразователи называются датчиками.

К измерительным преобразователям относят термопары, измерительные трансформаторы тока и напряжения, измерительные усилители, электромеханические измерительные механизмы, аналогоцифровые преобразователи и т.д.

Три закона роботехники.

  1. Робот не может причинить вред человеку или своим бездействием допустить, чтобы человеку был причинён вред.
  2. Робот должен повиноваться всем приказам, которые даёт человек, кроме тех случаев, когда эти приказы противоречат Первому Закону.
  3. Робот должен заботиться о своей безопасности в той мере, в которой это не противоречит Первому и Второму Законам.

Энтропия дискретного источника информации.

В теории информации есть понятие меры неопределённости, которое называется энтропией дискретного источника информации. Формально-математически это сумма произведений вероятностей на их логарифм взятая с обратным знаком. Если совсем просто, то это количество значений измеряемой величины и вероятность каждого из них.

Источник

Заданные величины по измерению параметров

Измерения и методы измерений. В настоящее время измерение определяют как нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств [6]. Измерение дает возможность количественного представления величин и независимо от измеряемой величины, метода и средства измерений сводится к сравнению опытным путем размера некоторой величины с размером подобной ей величины, принятой за единицу.

В основе всякого измерения лежит измерительное преобразование, при котором между размерами двух величин устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Измерительное преобразование, как правило, осуществляют техническими устройствами, называемыми преобразователями. Преобразуемую величину называют входной, а преобразованную (результат преобразования) — выходной величиной. Как правило, измерения проводят с помощью ряда преобразователей. Первая из входных величин является воспринимаемой. Измеряемой называют физическую величину, подлежащую или подвергаемую измерению. В общем случае не всякая воспринимаемая величина является измеряемой. Часто измеряемая величина только функционально связана с воспринимаемой и извлекается из последней с помощью специального преобразования. Это имеет место, например, при измерении частоты или периода гармонической величины, спектральной плотности случайного процесса и т. д. В ряде случаев эти величины совпадают, например, когда измеряемыми параметрами являются мгновенные значения воспринимаемой величины.

Измерительный преобразователь может иметь несколько входных величин. Так, если результатом измерительного преобразования является, например, мгновенная механическая мощность, то воспринимаемыми величинами являются одновременно сила и скорость. При описании работы преобразователя входные и

выходные величины, абстрагируясь от их физической природы, называют сигналами. Сигналы характеризуют информативными и неинформативными параметрами, которые соответственно функционально связаны и не связаны с измеряемой величиной. Информативный параметр сигнала называют также сигналом измерительной информации. Ниже, если не оговорено, то под входными и выходными величинами и сигналами будем понимать сигналы измерительной информации. Наряду с измеряемой величиной рассматривают также влияющие физические величины, которые не подлежат измерению, но оказывают влияние на результаты измерений данным средством измерений.

При исследовании вибраций механических систем приходится измерять как механические, так и немеханические величины. Механические величины можно подразделить на первичные, которые чаще всего являются процессами или их характеристиками, и вторичные, чаще всего являющиеся характеристиками механических систем (см. раздел 1 гл I и гл. II). В качестве примера немеханических величин отметим частоту, период, сдвиг фазы гармонического или узкополосного случайного процесса.

Важной характеристикой измерений является метод измерений — совокупность приемов использования принципов и средств измерений [6]. Однако в названиях методов часто указывают только главные отличительные особенности метода, например принцип действия (токовихревой, электродинамический, оптический), либо используемые средства измерения (электрические, неэлектрические), либо приемы использования (контактные и бесконтактные, прямого преобразования, уравновешивани

Метод прямого преобразования основан на том, что все преобразования сигналов производят только в направлении от входа к выходу измерительного устройства. Метод измерени й, при котором используется обратное преобразование выходной величины в величину, однородную с входной преобразуемой величиной, и их взаимное уравновешивание с той или иной степенью точности, называют методом уравновешивания [37].

Бесконтактными в метрологии называют все методы измерений, в которых воспринимающим элемент измерительного устройства не приводится в непосредственный механический контакт с объектом, характеризуемым измеряемой величи ной. К ним относят оптические, акустические, вихретоковый, емкостный, индуктивный методы измерения. Эти методы следует отличать от методов измерения с бесконтактной передачей измерительной информации внутри измерительного канала (бесконтактный съем электрического сигнала, передача сигнала с помощью радиоволн и т. д.).

Большинства методов измерения механических величин независимо от принципов действия являются электрическими, исключение составляют простейшие оптические и механические методы. Электрическими называют методы измерений, при которых используют электрические технические средства. Последние обладают такими преимуществами, как простота измерения и большой диапазон возможных значений чувствительности; большое быстродействие, малые габариты; возможность реаишзации сложных математических преобразований при измерениях; создания автоматических и автоматизированных информационно-измерительных систем, измерения на больших расстояниях и т. д.

Классификация измерений. По характеру зависимости измеряемой величины (или функционально связанной с ней величины) от времени измерения разделяют на статические и динамические. Измерения физических величин, размеры которых без потери точности измерений можно принять не зависящими от времени, называют статическими. Измерения, связанные с нахождением изменений физических величин во времени или некоторых мгновенных значений изменяющихся физических величин, называют динамическими. Статическими являются, например, измерения постоянной силы, динамическими — измерения мгновенных значений параметров вибрации, пульсирующего давления.

По способу получения измеряемой величины (результата измерения) измерения разделяют на прямые, косвенные, совокупные и совместные (см. раздел I гл. I). Примерами косвенных измерений являются измерения мощности, модуля и фазы импеданса через сигналы скорости и силы. Примером совокупных измерений

является одновременное измерение компонентов линейного ускорения полюса и углового ускорения твердого тела путем решения в реальном времени системы уравнений, заданных сигналами прямолинейных акселерометров, установленных в различных точках твердого тела (см. гл. VII).

По условиям, определяющим точность результата, различают: 1) измерения максимально возможной точности (эталонные и специальные измерения высокой точности); 2) контрольно-поверочные измерения (измерения, выполняемые специальными лабораториями, при которых погрешность не должна превышать заданного значения); 3) технические измерения, в которых погрешность результата измерения определяется характеристиками средств измерений.

Различают абсолютные и относительные измерения. Измерения, основанные на прямых измерениях одной или нескольких основных величин и (или) использовании значений физических констант, называют абсолютными. Примером является измерение амплитуды гармонического ускорения через измеренные амплитуду перемещения и период колебания Относительными называют измерения отношения величины к одноименной величине, играющей роль единицы, или изменения величины по отношению к одноименной величине, принимаемой за исходную. Примерами таких измерений являются: I) измерение амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) преобразователя в логарифмическом масштабе по отношению к значению АЧХ на некоторой частоте; 2) измерение отклонения АЧХ от ее значения на некоторой частоте или от заданной АЧХ.

К характеристикам измерений относят принцип, метод, процедуру, погрешность, точность, правильность, сходимость и воспроизводимость измерений [6]. Определения этих понятий и пояснения к ним даны в разделе 1 гл. I и в разделе 1 гл XII. Остановимся только на понятиях погрешности и связанной с ней точности измерений.

Погрешностью измерений называют разность между результатом измерения изм и истинным значением х измеряемой величины:

Эта величина есть абсолютная погрешность измерений. Лучшей оценкой качества измерений является относительная погрешность измерений, определяемая по формуле

Относительную погрешность часто выражают в процентах. Если измеряемая величина является функцией времеии, и особенно знакопеременной, то абсолютную погрешность измерения часто, а относительную всегда оценивают через некоторые принятые (представляющие) параметры переменной величины. В качестве таких параметров берут некоторый функционал (среднеквадратичное значение, среднее по модулю значение и так что представляющий параметр не обращается в нуль, если переменная величина не равна тождественно нулю. Если есть переменная величина, принятый для оценки ее размера параметр, то указанные решности равны:

Точность измерений есть характеристика их качества, отражающая близость Результата измерения к истинному значению измеряемой величины Количественно точность измерений выражают через модуль относительной погрешности:

(Подробнее о погрешностях измерений см. гл, XII, а о погрешностях преобразователей — гл. VII и IX).

Источник

Примеры решения задач по метрологии

Здравствуйте на этой странице я собрала теорию и практику с примерами решения задач по предмету метрология стандартизация и сертификация с решением по каждой теме, чтобы вы смогли подготовиться к экзамену или освежить память перед контрольной работой!

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Введение в метрологию

Метрология — наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.

Возможно эта страница вам будет полезна:

В метрологии выделяют основные разделы.

Теоретическая метрология — раздел метрологии, предметом которого является разработка фундаментальных основ метрологии.

Законодательная метрология — раздел метрологии, предметом которого является установление обязательных технических и юридических требований по применению единиц физических величин, эталонов, методов и средств измерений, направленных на обеспечение единства и необходимости точности измерений в интересах общества.

Практическая (прикладная) метрология — раздел метрологии, предметом которого являются вопросы практического применения разработок теоретической метрологии и положений законодательной метрологии.

Физические величины

Физической величиной (ФВ) называют одно из свойств физического объекта (явления, процесса), которое является общим в качественном отношении для многих физических объектов, отличаясь при этом количественным значением.

ФВ имеет количественную и качественную характеристику. Количественной характеристикой является размер ФВ, качественной — размерность ФВ.

Размер ФВ — это количественная определенность ФВ, присущая конкретному материальному объекту, системе, явлению или процессу.

Размерность ФВ — это выражение в форме степенного одночлена, составленного из произведений символов основных физических величин в различных степенях и отражающее связь данной ФВ с физическими величинами, принятыми в данной системе величин за основные с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Степени символов основных величин, входящих в одночлен, в зависимости от связи рассматриваемой ФВ с основными, могут быть целыми, дробными, положительными и отрицательными. Понятие «размерность» распространяется и на основные величины. Размерность основной величины в отношении самой себя равна единице, т. е. формула размерности основной величины совпадает с ее символом.

В соответствии с международным стандартом ИСО 31/0, размерность величин следует обозначать знаком . Размерность основных величин: длины ; массы ; времени силы электрического тока ; термодинамической температуры ; силы света ; количества вещества . Размерность производных величин:

где — размерности основных величин в принятой системе единиц; — показатели размерности.

Показатель размерности ФВ — это показатель степени, в которую возведена размерность основной ФВ, входящая в размерность производной ФВ.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Пример №1.

Вывести и записать размерность силы Ньютона — .

Решение:

Единица физической величины

Единица ФВ — физическая величина фиксированного размера, которой условно присвоено числовое значение, равное единице, и применяемая для количественного выражения однородных с ней физических величин.

Единицы ФВ объединяются по определенному принципу в системы единин.

Система единиц ФВ — это совокупность основных и производных единиц ФВ, образованная в соответствии с принципами для заданной системы ФВ.

Эти принципы заключаются в следующем: произвольно устанавливают единицы для некоторых величин, называемых основными единицами, и по формулам через основные получают все производные единицы для данной области измерений.

В 1960 г. на XI Генеральной конференции по мерам и весам Международной организации мер и весов (MOMВ) была принята Международная система единиц (SI), которая в России применяется с 1 января 1963 г.

Международная система единиц (SI)

Достоинства системы SI:

  1. универсальность — охват всех областей науки и техники;
  2. унификация единиц для всех областей и видов измерений (механических, тепловых, электрических, магнитных и т. д.);
  3. когерентность единиц — все производные единицы SI получаются из уравнений связи между величинами, в которых коэффициенты равны единице;
  4. возможность воспроизведения единиц с высокой точностью в соответствии с их определениями;
  5. упрощение записи уравнений и формул в физике, химии, а также в технических расчетах в связи с отсутствием переводных коэффициентов;
  6. уменьшение числа допускаемых единиц;
  7. единая система образования кратных и дольных единиц, имеющих собственные наименования.

Основные и производные единицы системы единиц ФВ

Основная единица системы единиц ФВ — это единица основной ФВ в данной системе единиц. Основные единицы системы SI приведены в табл. 1.1.

Производные единицы SI образуют по правилам образования когерентных производных единиц SI .

Когерентные производные единицы (далее — производные единицы) Международной системы единиц, как правило, образуют с помощью простейших уравнений связи между величинами (определяющих уравнений), в которых числовые коэффициенты равны 1. Для образования производных единиц обозначения величин в уравнениях связи заменяют обозначениями единиц СИ.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Пример №2.

Единицу скорости образуют с помощью уравнения, определяющего скорость прямолинейно и равномерно движущейся материальной точки

где — скорость; — длина пройденного пути; — время движения материальной точки.

Подстановка вместо и обозначений их единиц SI дает

Следовательно, единицей скорости SI является метр в секунду. Он равен скорости прямолинейно и равномерно движущейся материальной точки, при которой эта точка за время 1 перемещается на расстояние 1 .

Если уравнение связи содержит числовой коэффициент, отличный от 1, то для образования когерентной производной единицы SI в правую часть подставляют обозначения величин со значениями в единицах SI, дающими после умножения на коэффициент общее числовое значение, равное 1.

Пример №3.

Если для образования единицы энергии используют уравнение

где — кинетическая энергия; -масса материальной точки; -скорость движения материальной точки, то для образования когерентной единицы энергии SI используют, например, уравнение

Следовательно, единицей энергии SI является джоуль (равный ньютон-метру). В приведенных примерах он равен кинетической энергии тела массой 2 , движущегося со скоростью 1 , или же тела массой 1 , движущегося со скоростью .

Без ограничения срока допускается применять единицы относительных и логарифмических величин.

Единицы, указанные в табл. 1.3, временно допускается применять до принятия по ним соответствующих международных решений.

При новых разработках применение этих внесистемных единиц не рекомендуется.

Правила образования наименований и обозначений десятичных кратных и дольных единиц SI

Наименования и обозначения десятичных кратных и дольных единиц SI образуют с помощью множителей и приставок, указанных в таблице 1.4.

Присоединение к наименованию и обозначению единицы двух или более приставок подряд не допускается. Например, вместо наименования единицы микромикрофарад следует писать пикофарад.

Приставку или ее обозначение следует писать слитно с наименованием единицы или, соответственно, с обозначением последней.

Если единица образована как произведение или отношение единиц, приставку или ее обозначение присоединяют к наименованию или обозначению первой единицы, входящей в произведение или в отношение.

Присоединять приставку ко второму множителю произведения или к знаменателю допускается лишь в обоснованных случаях, когда такие единицы широко распространены и переход к единицам, образованным в соответствии с первой частью настоящего пункта, связан с трудностями, например: тонна-километр , вольт на сантиметр , ампер на квадратный миллиметр .

Наименования кратных и дольных единиц исходной единицы, возведенной в степень, образуют, присоединяя приставку к наименованию исходной единицы. Например, для образования наименования кратной или дольной единицы площади — квадратного метра, представляющей собой вторую степень единицы длины — метра, приставку присоединяют к наименованию этой последней единицы: квадратный километр, квадратный сантиметр и т. д.

Обозначения кратных и дольных единиц исходной единицы, возведенной в степень, образуют добавлением соответствующего показателя степени к обозначению кратной или дольной единицы исходной единицы, причем показатель означает возведение в степень кратной или дольной единицы (вместе с приставкой).

Выбор десятичной кратной или дольной единицы SI определяется удобством ее применения. Из многообразия кратных и дольных единиц, которые могут быть образованы с помощью приставок, выбирают единицу, позволяющую получать числовые значения, приемлемые на практике.

В принципе кратные и дольные единицы выбирают таким образом, чтобы числовые значения величины находились в диапазоне от 0,1 до 1000.

В некоторых случаях целесообразно применять одну и ту же кратную или дольную единицу, даже если числовые значения выходят за пределы диапазона от 0,1 до 1000, например в таблицах числовых значений для одной величины или при сопоставлении этих значений в одном тексте.

В некоторых областях всегда используют одну и ту же кратную или дольную единицу. Например, в чертежах, применяемых в машиностроении, линейные размеры всегда выражают в миллиметрах.

Для снижения вероятности ошибок при расчетах десятичные кратные и дольные единицы рекомендуется подставлять только в конечный результат, а в процессе вычислений все величины выражать в единицах SI, заменяя приставки степенями числа 10.

Правила написания обозначений единиц

При написании значений величин применяют обозначения единиц буквами или специальными знаками , причем устанавливают два вида буквенных обозначений: международное (с использованием букв латинского или греческого алфавита) и русское (с использованием букв русского алфавита). Буквенные обозначения единиц печатают прямым шрифтом. В обозначениях единиц точку как знак сокращения не ставят.

Обозначения единиц помещают за числовыми значениями величин и в строку с ними (без переноса на следующую строку). Числовое значение, представляющее собой дробь с косой чертой, стоящее перед обозначением единицы, заключают в скобки.

Между последней цифрой числа и обозначением единицы оставляют пробел.

Исключения составляют обозначения в виде знака, поднятого над строкой, перед которыми пробел не оставляют.

При наличии десятичной дроби в числовом значении величины обозначение единицы помещают за всеми цифрами.

При указании значений величин с предельными отклонениями числовые значения с предельными отклонениями заключают в скобки и обозначения единиц помещают за скобками или проставляют обозначение единицы за числовым значением величины и за ее предельным отклонением.

Допускается применять обозначения единиц в заголовках граф и в наименованиях строк (боковиках) таблиц.

Допускается применять обозначения единиц в пояснениях обозначений величин к формулам. Помещать обозначения единиц в одной строке с формулами, выражающими зависимости между величинами или между их числовыми значениями, представленными в буквенной форме, не допускается.

Буквенные обозначения единиц, входящих в произведение, отделяют точками на средней линии как знаками умножения. Не допускается использовать для этой цели символ «х».

В машинописных текстах допускается точку не поднимать. Допускается буквенные обозначения единиц, входящих в произведение, отделять пробелами, если это не вызывает недоразумения.

В буквенных обозначениях отношений единиц в качестве знака деления используют только одну косую или горизонтальную черту. Допускается применять обозначения единиц в виде произведения обозначений единиц, возведенных в степени (положительные и отрицательные).

Если для одной из единиц, входящих в отношение, установлено обозначение в виде отрицательной степени (например, ), применять косую или горизонтальную черту не допускается.

При применении косой черты обозначения единиц в числителе и знаменателе помещают в строку, произведение обозначений единиц в знаменателе заключают в скобки.

При указании производной единицы, состоящей из двух и более единиц, не допускается комбинировать буквенные обозначения и наименования единиц, т. е. для одних единиц указывать обозначения, а для других — наименования.

Перевод внесистемных единиц в единицы измерения физических величин

Для того чтобы научиться быстрее переводить внесистемные единицы в единицы измерения физических величин, необходимо запомнить несколько шагов:

1) выясните, из каких в какие единицы осуществляется перевод (запомните: если из больших в меньшие выполняется умножение, а если из меньших в большие — деление);

2) устанавливаем соотношение между величинами от большего к меньшему (для квадратных и кубических величин — возводим в соответствующую степень), запомните:

Пример №4.

Переведите в секунды 15 мин.

Решение:

Применяем правило 1 — переводим из больших в меньшие, значит надо выполнить умножение.

Применяем правило 2 — устанавливаем соотношение между минутой и секундой (60).

Соединяем первое и второе правила — умножаем наше число на соотношение и получим 900, то есть 15 мин = 900 с.

Пример №5.

Переведите в квадратные миллиметры .

Решение:

Применяем правило 1 — переводим из больших в меньшие, значит надо выполнить умножение.

Применяем правило 2 — устанавливаем соотношение между сантиметром и миллиметром (10) и возводим в квадрат (100).

Соединяем первое и второе правила — умножаем наше число на соотношение и получим 2500, то есть

Пример №6.

Переведите в метры в секунду 36 км/ч.

Решение:

Работаем по тем же правилам и выполняем перевод одновременно в числителе и знаменателе.

Доверительная вероятность и доверительный интервал

Точечные оценки распределения дают оценку в виде числа, наиболее близкого к значению неизвестного параметра. Такие оценки используют только при большом числе измерений. Чем меньше объем выборки, тем легче допустить ошибку при выборе параметра. Для практики важно не только получить точечную оценку, но и определить интервал, называемый доверительным, между границами которого с заданной доверительной вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра.

Для получения доверительного интервала величины необходимо:

• определить точечные оценки по формулам

• выбрать доверительную вероятность из рекомендуемого ряда значений 0,90; 0,95; 0,99 (если не указана в задаче);

• найти верхнюю и нижнюю границы по формулам:

• записать доверительный интервал

Пример №7.

При многократном измерении длины были получены значения в мм: 30,2; 30,0; 30,4; 29,7; 30,3; 29,9; 30,2. Укажите доверительные границы истинного значения длины с вероятностью .

Решение:

Пример №8.

Запишите результат измерений и определите его точность:

Решение:

При решении необходимо округлить погрешность измерения, согласовать ее с измеренным значением по правилам, приведенным в приложении Д. Затем необходимо определить точность измерения, которую показывает относительная погрешность —

Классы точности средств измерений

Единые правила установления пределов допускаемых погрешностей показаний по классам точности средств измерений регламентирует ГОСТ 8.401-80 «ГСИ. Классы точности средств измерений».

Класс точности средств измерений — обобщенная характеристика средств измерений, определяемая пределами допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими свойствами средств измерений, влияющими на их точность, значения которых устанавливаются в стандартах на отдельные виды средств измерений. Классы точности присваиваются средствам измерений при их разработке с учетом результатов государственных приемочных испытаний. Класс точности хотя и характеризует совокупность метрологических свойств данного средства измерений, однако не определяет однозначно точность измерений, так как последняя зависит от метода измерений и условий их выполнения.

Средствам измерений с двумя или более диапазонами измерений одной и той же физической величины допускается присваивать два или более класса точности. Средствам измерений, предназначенным для измерений двух или более физических величин, допускается присваивать различные классы точности для каждой измеряемой величины. С целью ограничения номенклатуры средств измерений по точности для СИ конкретного вида устанавливают ограниченное число классов точности, определяемое технико-экономическими обоснованиями.

Классы точности цифровых измерительных приборов со встроенными вычислительными устройствами для дополнительной обработки результатов измерений устанавливают без учета режима обработки.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Способы нормирования и формы выражения метрологических характеристик

Пределы допускаемых основной и дополнительных погрешностей следует выражать в форме приведенных, относительных или абсолютных погрешностей в зависимости от характера изменения погрешностей в пределах диапазона измерений, а также от условий применения и назначения средств измерений конкретного вида. Пределы допускаемой дополнительной погрешности допускается выражать в форме, отличной от формы выражения пределов допускаемой основной погрешности.

Обозначение классов точности средств измерений в документации

Для средств измерений пределы допускаемой основной погрешности которых принято выражать в форме абсолютных погрешностей или относительных погрешностей, причем последние установлены в виде графика, таблицы или формулы, классы точности в документации обозначаются прописными буквами латинского алфавита или римскими цифрами.

В необходимых случаях к обозначению класса точности буквами латинского алфавита добавляют индексы в виде арабской цифры. Классам точности, которым соответствуют меньшие пределы допускаемых погрешностей, соответствуют буквы, находящиеся ближе к началу алфавита, или цифры, означающие меньшие числа.

Для средств измерений пределы допускаемой основной погрешности которых принято выражать в форме приведенной погрешности или относительной погрешности в соответствии с формулой классы точности в документации следует обозначаются числами, которые равны этим пределам погрешности, выраженными в процентах. Обозначение класса точности, таким образом, дает непосредственное указание на предел допускаемой основной погрешности.

Для средств измерений, пределы допускаемой основной погрешности которых принято выражать в форме относительных погрешностей в
соответствии с формулой

классы точности в документации обозначаются числами и , разделенных косой чертой .

В документации на средства измерений допускается обозначать классы точности так же, как на средствах измерений. В эксплуатационной документации на средство измерений конкретного вида, содержащей обозначение класса точности, содержится ссылка на стандарт или технические условия, в которых установлен класс точности этого средства измерений.

Обозначение классов точности на средствах измерений

Условные обозначения классов точности наносятся на циферблаты, щитки и корпуса средств измерений.

При указании классов точности на измерительных приборах с существенно неравномерной шкалой, для информации, дополнительно указываются пределы допускаемой основной относительной погрешности для части шкалы, лежащей в пределах, отмеченных специальными знаками (например, точками или треугольниками). К значению предела допускаемой относительной погрешности в этом случае добавляют знак процента и помещают в кружок. Обращаем ваше внимание на то, что этот знак не является обозначением класса точности.

Обозначение класса точности допускается не наносить на высокоточные меры, а также на средства измерений, для которых действующими стандартами установлены особые внешние признаки, зависящие от класса точности, например параллелепипедная и шестигранная форма гирь общего назначения.

За исключением технически обоснованных случаев, вместе с условным обозначением класса точности на циферблат, щиток или корпус средств измерений наносится обозначение стандарта или технических условий, устанавливающих технические требования к этим средствам измерений.

На средства измерений, для одного и того же класса точности которых в зависимости от условий эксплуатации установлены различные рабочие области влияющих величин, наносятся обозначения условий их эксплуатации, предусмотренные в стандартах или технических условиях на эти средства измерений. Обозначения классов точности на средствах измерений приведены в приложении Б.

Пример №9.

Класс точности выражен числом в кружке. Это означает, что относительная погрешность измерения для любого измеренного значения в пределах шкалы равна 1,5 %.

Решение:

Учитывая формулу относительной погрешности

можно легко вычислить абсолютную погрешность. Для нашего примера:

где — измеренное значение физической величины.

Абсолютная погрешность здесь минимальна около нуля и максимальна около предельного значения диапазона измерения.

Пример №10.

Класс точности выражен числом без кружка, например, 0,5. Это означает, что приведенная погрешность средства измерения равна .

Решение:

Тогда абсолютную погрешность можно определить из формулы расчета приведенной погрешности:

Найдем абсолютную погрешность:

где — верхний предел диапазона измерения.

Пример №11.

Класс точности выражен дробью , например, 0,02/0,01.

Решение:

Здесь относительная погрешность определяется двучленной формулой:

После вычисления относительной погрешности легко определяется абсолютная погрешность, как показано в примере 1.

Пример №12.

В зависимости от типа средств измерений электрических величин относительная погрешность измерений может выражаться и другими формулами.

Решение:

Например, относительная погрешность некоторых типов вольтметров может быть выражена формулой:

где и — константы, числовые значения которых приводятся в технической или нормативной документации на это СИ.

Пример №13.

Для СИ линейных размеров, углов, температур, массы и ряда других величин классы точности выражаются числами 00, 0, 1, 2, 3.

Решение:

Здесь следует обратиться к НД или ТД на данный тип СИ, где указаны формы выражения погрешностей, такие как

И даны конкретные значения допускаемых погрешностей для данного средства измерения в соответствии с его классом точности и значения констант и .

Пример №14.

Точность СИ может выражаться в . Миллионная доля (пропромилле) — единица измерения каких-либо относительных величин, равная от базового показателя.

Решение:

Аналогична по смыслу проценту или промилле. Обозначается сокращением (от англ. parts per million или лат. pro pro mille, читается «пи-пи-эм», «частей на миллион»), или.

Рассмотрим несколько примеров расчета погрешностей.

Пример №15.

Миливольтметром B3-38 измерялось напряжение переменного тока. В нормальных условиях получены следующие значения:

а) на поддиапазоне (0-300) мВ:

б) на поддиапазоне (0-300) В:

Оценить погрешности измеренных значений напряжений.

Решение:

Предел допускаемой основной погрешности от конечного значения установленного поддиапазона измерений равен ±2,5 % на поддиапазоне измерений от 1 до 300 мВ и 4 % на поддиапазоне измерений от 1 до 300 В.

Приведенная и абсолютная погрешности в случае а) будут иметь следующие значения:

Приведенная и абсолютная погрешности в случае б) будут иметь следующие значения:

Пример №16.

Универсальным вольтметром В7-17 измерено активное сопротивление цепи при времени преобразования 20 мс на поддиапазоне измерения (0-100) кОм. Получено значение измеренного сопротивления . Оценить погрешность измерения.

Решение:

Из технического описания на В7-17 находим, что формула, выражающая относительную погрешность измерения сопротивления имеет следующий вид:

Пример №17.

Имеется низкочастотный генератор сигналов Г3-36, на выходе которого установлена частота 50 Гц. Оценить погрешность установки частоты.

Решение:

Из технической документации на генератор находим, что основная погрешность установки частоты данного генератора определяется по формуле:

И для установленной частоты равняется:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Суммирование систематических погрешностей прямых измерений

Систематическая погрешность прямых измерений может представлять результат суммирования нескольких погрешностей. Источники таких погрешностей могут быть самые разнообразные. Например, это может быть погрешность, обусловленная классом точности СИ, погрешности установочных мер, погрешности влияния внешних условий, погрешность метода измерения, табличная погрешность, погрешность параллакса, округления результатов вычисления и т. д.

Обозначим эти погрешности через:

Принято считать, что систематические погрешности распределены, как правило, по равномерному закону внутри своих интервалов .

Знаки и их значения можно рассматривать как случайные величины, тогда суммарная погрешность измерения при отсутствии корреляции между . оценивается по формуле:

где — коэффициент, соответствующий выбранной доверительной вероятности.

Коэффициент , как показывают расчеты, зависит от числа погрешностей в и от соотношения их величин. Значение определяется следующим образом: среди всех составляющих погрешностей выбирается наибольшая по модулю и ближайшая к ней, а затем вычисляется значение как отношение первой ко второй, после чего значение к находится по табл. 2.1.

Расчет суммарной погрешности в можно проводить и без учета числа составляющих . При этом при доверительных вероятностях:

используются соответственно коэффициенты:

Суммарная погрешность здесь может получиться несколько завышенной. Что для большинства практических задач несущественно.

Можно встретить и другие рекомендации оценивания суммарной погрешности. Так, оценка сверху погрешности результата измерения может быть представлена простым суммированием модулей составляющих:

Для оценки суммарной погрешности измерения простое суммирование модулей составляющих считается более целесообразным, когда число суммируемых погрешностей , поскольку в этом случае вероятность того, что все составляющие погрешности имеют одинаковые знаки, существенно выше, чем в случае, когда .

Пример №18.

Два резистора с сопротивлениями и три с сопротивлениями соединены последовательно, причем их систематические погрешности равны и . Определить сопротивление цепи и его погрешность.

Решение:

Общее сопротивление вычисляется по формуле:

При вычислении суммарной погрешности нужно иметь ввиду следующее: если есть уверенность, что знаки погрешностей сопротивлений одинаковы и знаки погрешностей сопротивлений также одинаковы, то можно использовать суммирование модулей составляющих погрешностей, поскольку их по существу только две:

Но если такой уверенности нет, то целесообразнее применить геометрическое суммирование, например при вероятности 0,95. Тогда:

Результат измерения в случае суммирования модулей погрешностей запишется:

Если суммирование погрешностей геометрическое, то

Оценивание неопределенности измерений

Неопределенность измерений — неотрицательный параметр, характеризующий рассеяние значений величины, приписываемых измеряемой величине на основании используемой информации.

Неопределенности измерений, также как и погрешности измерений, могут быть классифицированы по различным признакам: по месту (источнику) их проявления на методические, инструментальные и субъективные; по их проявлению на случайные, систематические и грубые; на абсолютные и относительные по способу их выражения.

По характеру проявления неопределенности измерений делятся на два типа: неопределенности по типу и по типу .

• неопределенность по типу статистическими методами;

• неопределенность по типу оценивают нестатистическими методами;

При этом предлагается два метода оценивания неопределенностей и :

• для неопределенности типа — использование известных статистических оценок среднеарифметического и среднеквадратического, используя результаты измерений и опираясь, в основном, на нормальный закон распределения полученных величин;

• для неопределенности типа — использование априорной нестатистической информации, опираясь, в основном, на равномерный закон распределения возможных значений величин в определенных границах.

Таким образом, подчеркнем еще раз: деление на систематические и случайные погрешности обусловлено природой их возникновения и проявления в ходе выполнения измерений, а деление на неопределенности, вычисляемые по типу и по типу — методами их получения и использования при расчете общей неопределенности.

Стандартная неопределенность — неопределенность, выраженная в виде стандартного отклонения.

Расширенная неопределенность — величина, задающая интервал вокруг результата измерения, в пределах которого, как ожидается, находится большая часть распределения значений, которые с достаточным основанием могут быть приписаны измеряемой величине.

Расширенная неопределенность является аналогом доверительных границ погрешностей измерений. Причем каждому значению расширенной неопределенности соответствует вероятность охвата .

Вероятность охвата — вероятность, которой, по мнению оператора, соответствует расширенная неопределенность результата измерений. Вероятность охвата определяется с учетом вероятностного закона распределения неопределенности и аналогом ее в классической теории является доверительная вероятность.

Коэффициент охвата — коэффициент, зависящий от вида распределения неопределенности результата измерений и вероятности охвата и численно равный отношению расширенной неопределенности, соответствующей заданной вероятности охвата, к стандартной неопределенности.

Число степеней свободы — параметр, статистического распределения, равный числу независимых связей оцениваемой статистической выборки.

В табл. 3.1, приведенной ниже, даны соответствия между терминами, используемыми в классической теории погрешностей и концепции неопределенности.

Методика оценивания результата измерений и его неопределенности

Оценивание результата измерений и его неопределенности проводится в следующей последовательности:

  • составление уравнения измерений;
  • оценка входных величин и их стандартных отклонений (неопределенностей);
  • оценка измеряемой (выходной) величины и ее неопределенности;
  • составление бюджета неопределенности;
  • оценка расширенной неопределенности результата измерений;
  • представление результата измерений.

Составление уравнения измерения

В концепции неопределенности под уравнением измерения понимается математическая зависимость между измеряемыми величинами а также другими величинами, влияющими на результат измерения и результатом измерения

В концепции неопределенности величины называются входными величинами, используемые для оценивания неопределенности результата измерения, а результат измерения — выходной величиной измерения.

В качестве основы для составления уравнения измерения используется уравнение связи (в классическом понимании), то есть зависимость . Далее в результате анализа условий измерений и используемых СИ, устанавливаются другие факторы, влияющие на результат измерений. При этом величины описывающие эти факторы, включают в уравнение (3.1), даже если они незначительно могут повлиять на результат . Задача оператора — по возможности наиболее полно учесть все факторы, влияющие на результат измерения.

Оценка входных величин и их стандартных отклонений (неопределенностей)

Пусть имеются результаты , измерений входной величины , где . Как известно, при нормальном распределении наилучшей оценкой этой величины является среднее арифметическое

Стандартную неопределенность типа определяют как средне-квадратическое отклонение по формуле

Для вычисления стандартной неопределенности по типу используют:

  • данные о предыдущих измерений величин, входящих в уравнение измерения;
  • сведения, имеющиеся в метрологических документах по поверки, калибровки и сведения изготовителя о приборе;
  • сведения о предполагаемом вероятностном распределении значений величин, имеющихся в научно-технических отчетах и литературных источниках;
  • данные, основанные на опыте исследователя или общих знаниях о поведении и свойствах соответствующих (подобных) СИ и материалов;
  • неопределенность используемых констант и справочных данных;
  • нормы точности измерений, указанные в технической документации на методы и СИ;
  • другие сведения об источниках неопределенностей, влияющих на результат измерения.

Неопределенности этих данных обычно представляют в виде границ отклонения значения величины от ее оценки. Наиболее распространенный способ формализации неполного знания о значении величины заключается в постулировании равномерного закона распределения возможных значений этой величины в указанных границах (нижней и верхней ) для -й входной величины. При этом стандартную неопределенность по типу В определяют по известной формуле для сред-неквадратического отклонения результатов измерений, имеющих равномерный закон распределения:

а для симметричных границ по формуле

В случае других законов распределений формулы для вычисления неопределенности по типу будут другие. В частности, если известно одно значение величины то это значение принимается в качестве оценки. При этом стандартную неопределенность вычисляют по формуле

где — расширенная неопределенность, — коэффициент охвата.

Если коэффициент охвата не указан, то, с учетом имеющихся сведений, принимают предположение о вероятностном распределении неопределенности величины . Если такие сведения отсутствуют, то для определения коэффициента охвата можно воспользоваться данными табл. 3.2 [1,3].

Если известны граница суммы неисключенных систематических погрешностей, распределенных по равномерному (равновероятному) закону или расширенная неопределенность в терминах концепции неопределенности , то коэффициенты охвата при числе неисключенных систематических погрешностей , зависит от доверительной вероятности. Коэффициент охвата при при [1,3].

Неопределенности входных величин могут быть коррелированны. Для вычисления коэффициента корреляции используют согласованные пары результатов измерений , где -число согласованных пар результатов измерений . Вычисления проводят по известной формуле из статистики и теории вероятности

Значимость коэффициента корреляции определяется критерием отсутствия или наличия связи между аргументами [3].

Оценка измеряемой (выходной) величины и ее неопределенности

Оценку измеряемой величины у вычисляют как функцию оценок входных величин по формуле (3.1), предварительно внеся на все источники неопределенности, имеющие систематический характер, — поправки.

Вычисление суммарной неопределенности выходной величины проводят по тем же формулам, которые используются для расчета погрешностей косвенных измерений в классической концепции погрешности измерений.

В случае некоррелированных оценок входных величин, суммарную стандартную неопределенность вычисляют по формуле

и в случае коррелированных оценок — по формуле

где — коэффициент корреляции; — стандартная неопределенность — входной величины, вычисленная по типу или типу ; — коэффициенты чувствительности выходной величины по отношению ко входной величине .

Составление бюджета неопределенности

Под бюджетом неопределенности понимается формализованное представление полного перечня источников неопределенности измерений по каждой входной величине с указанием их стандартной неопределенности и вклада их в суммарную стандартную неопределенность результата измерений. В табл. 3.3 приведена рекомендуемая форма представления бюджета неопределенности.

Оценка расширенной неопределенности результата измерений

Расширенная неопределенность равна произведению стандартной неопределенности результата измерений на коэффициент охвата :

Руководство по неопределенности [1] рекомендует рассматривать все результаты измерений при доверительной вероятности (вероятности охвата) . При этой вероятности преимущественно определять число степеней свободы по эмпирической формуле Велча-Саттерствейта

При этом коэффициент охвата определяется при вероятности по формуле

где — коэффициент Стьюдента (см. таблицу Г.1 приложение Г).

Формулу для оценки суммарной стандартной неопределенности (3.8) можно записать в более простом виде

так же как и формулу (3.11) для определения числа степеней свободы

где — число степеней свободы при прямых измерениях входной величины; — число измерений; — оценка стандартных неопределенностей, вычисленных по типу и по типу , соответственно.

При оценке вклада неопределенности (см. формулу 3.11) по типу принимают , по типу . При этих условиях легко показать из формулы (3.11), что, если по типу оценивается неопределенность только одной входной величины, то формула (3.11) упрощается

где — число повторных измерений входной величины, оцениваемой по типу .

Представление результата измерений

При представлении результатов измерений Руководство рекомендует приводить достаточное количество информации, чтобы можно было проанализировать и/или повторить весь процесс получения результата измерений и вычисления неопределенностей, а именно:

  • алгоритм получения результата измерений;
  • алгоритм расчета всех поправок для исключения систематических погрешностей и их неопределенней;
  • неопределенности всех используемых данных и способы их получения;
  • алгоритмы вычисления суммарной и расширенной неопределенностей, включая значение коэффициента охвата к.

Таким образом, в документации по результатам измерений необходимо представлять:

— суммарную неопределенность;

— расширенную неопределенность;

— коэффициент охвата;

— данные о входных величинах;

— эффективное число степеней свободы.

В протоколе измерений, как правило, делается следующая запись, если результатом измерения является длина детали: «Длина детали составляет 153,2 мм. Расширенная неопределенность результата измерений составляет ± 1,4 мм при коэффициенте охвата равном 2» или «измерения показали, что длина детали находится в интервале (151,8-154,6) мм при коэффициенте, равном 2». По умолчанию предполагается, что эти результаты соответствуют вероятности охвата 0,95.

Пример №19.

Прямые однократные измерения

Производится измерение напряжения постоянного тока с помощью вольтметра В7-37. Показания вольтметра . Необходимо определить результат измерения и оценить неопределенность измерения напряжения.

Решение:

• измерения производятся в лабораторных условиях при температуре окружающего воздуха +25 °С;

• напряжение измеряется на выходе источника с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением; предел измерения прибора — 2 В;

• температура окружающего воздуха от 5 до 40 °С;

• предел дополнительной погрешности прибора, вызванной изменением температуры окружающего воздуха от нормальной до любой в пределах рабочей области температуры, не более предела основной погрешности на каждые 10 °С изменения температуры;

ступень квантования прибора составляет цену единицы младшего разряда;

предел основной относительной погрешности прибора при измерении постоянного напряжения на поддиапазонах 0,2 и 2 В равен значениям, вычисляемым по формуле:

где — значение установленного поддиапазона измерения, — показание прибора, .

Оценивание неопределенности измерений

  • Составление модельного уравнения

  • Оценивание входных величин, вычисление оценки результата измерения

  • Определение стандартных неопределенностей входных величин

Стандартная основная неопределенность по типу измерения вычисляется через выражение для основной относительной погрешности в предположении о равновероятном распределении погрешности внутри границ. Поскольку границы относительной погрешности равны

то границы абсолютной погрешности определятся как

Отсюда можно рассчитать основную неопределенность измерений:

Стандартная неопределенность по типу , обусловленная отклонением температуры от нормальной (20 °С).

Поскольку измерения производились в лабораторных условиях при температуре +25 °С, а предел дополнительной погрешности прибора, вызванной изменением температуры окружающего воздуха от нормальной до любой в пределах рабочей области температуры, составляет не более предела основной погрешности на каждые 10 °С изменения температуры, то есть

то дополнительная температурная неопределенность будет равна

Стандартная неопределенность по типу В квантования измеряемого напряжения равна границе погрешности квантования

деленной на коэффициент охвата для равномерного закона распределения

Все входные величины независимы, поэтому корреляция между ними отсутствует.

  • Составление бюджета неопределенности

  • Вычисление суммарной стандартной неопределенности

Суммарная стандартная неопределенность вычисляется через вклады неопределенности входных величин по формуле:

  • Определение коэффициента охвата

Все три составляющие неопределенности распределены по равномерному закону, поэтому их композиция распределена по нормальному закону. Коэффициент охвата в этом случае соответствует коэффициенту охвата для нормального закона и доверительной вероятности

  • Вычисление расширенной неопределенности

Расширенная неопределенность определяется по формуле

Записываем результат измерения в виде

Пример №20.

Прямые однократные измерения

Производятся прямые многократные измерения частоты высокочастотного синусоидального сигнала с помощью электронно-счетного частотомера 43-63. Показания частотомера составляют, кГц: 151348; 151342; 151344; 151346; 151348; 151349; 151345; 151351; 151343; 151344; 151359; 151350; 151347; 151348; 151346; 151352; 151345; 151349;151347;151346.

Необходимо получить оценку измеряемой частоты и оценить неопределенность ее измерения.

Решение:

• измерения производятся в лабораторных условиях при температуре окружающего воздуха +25 °С;

• время счета прибора — 10 мс;

• рабочие условия применения прибора: температура окружающего воздуха от -30 до +50 °С;

• относительная погрешность измерения частоты синусоидальных сигналов в пределах значений, рассчитанных по формуле

• температурный коэффициент частоты опорного генератора не более на каждый 1 °С свыше температуры калибровки (20 °С).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Оценивание неопределенности измерений

  • Составление модельного уравнения

где — количество наблюдений.

  • Вычисление оценки результата измерения

  • Определение стандартных неопределенностей входных величин. Стандартная неопределенность среднего арифметического значения результатов измерения частоты (тип ):

Стандартная неопределенность типа частоты внутреннего опорного генератора частотомера при единичном измерении частоты вычисляется через выражение для основной относительной погрешности в предположении о равномерном распределении погрешности внутри границ.

Границы относительной погрешности не превышают . Границы абсолютной погрешности будут в этом случае равны

Стандартная неопределенность типа квантования при единичном измерении определяется из границ погрешности квантования

Стандартная неопределенность типа , обусловленная изменением частоты опорного генератора при изменении температуры окружающей среды от 20 °С (температура калибровки частотомера ) до 25 °С (температура окружающей среды в момент измерений ), вычисленная через температурный коэффициент частоты в предположении о равномерном распределении внутри границ будет равна

Стандартная неопределенность типа единичного наблюдения, вызванная погрешностью отсчета показаний, равной половине цены деления младшего разряда

в предположении равномерного распределения НСП внутри границ составляет

Все входные величины независимы, поэтому корреляция между ними отсутствует.

  • Составление бюджета неопределенности

  • Вычисление суммарной стандартной неопределенности

Суммарная стандартная неопределенность вычисляется через вклады неопределенности входной величины по формуле:

  • Определение коэффициента охвата

Поскольку модельное уравнение представляет собой уравнение прямых многократных измерений, коэффициент охвата определяют как коэффициент Стьюдента для эффективного числа степеней свободы, получаемого по формуле:

Коэффициент Стьюдента для и доверительной вероятности равен .

  • Вычисление расширенной неопределенности

Расширенная неопределенность определяется по формуле

  • Записываем результат измерения

Классы точности средств измерений

Пример №21.

Указатель амперметра с пределами измерений от -5 до +20 А класса точности 1,5 показывает +8 А. В каких пределах будет находиться истинное значение силы тока?

Решение:

Предельная погрешность измерения амперметра из выражения (2) будет равна

При симметричном распределении погрешности измерения результат измерения силы тока можно записать так:

Более корректная запись результата измерения может быть представлена в виде неравенства 7,7

Для СИ, имеющих шкалу с условным нулем (вне пределов измерений), устанавливают равным модулю разности пределов измерений.

Пример №22.

Милливольтметр термоэлектрического термометра класса точности [1,0] с пределами измерений 400… 1000 °С показывает 560 °С. Определить погрешность измерения температуры.

Решение:

Результат измерения при симметричном распределении погрешности измерения

Если СИ имеет установленное номинальное значение, то принимают равным этому номинальному значению. Например, у цифрового частотомера с номинальной частотой 50 Гц нормирующее значение равно этой частоте.

В некоторых случаях цифры класса точности заключаются в окружность: и т.д. Тогда нормирующее значение принимается равным показанию.

Обработка результатов прямых однократных измерений

Пример №23.

При измерении диаметра отверстия производилась настройка индикаторного нутромера на нулевую отметку по концевой мере длины 20 мм. Действительный размер концевой меры по аттестату 19,999 мм. Погрешность настройки равна 1,2 мкм. Отсчет подчиняется равномерному закону распределения вероятностей с предельными отклонениями . Показание индикатора равно +5 мкм. Определите доверительные границы для истинного значения размера.

Решение:

Показание СИ . Систематическая погрешность (погрешность концевой меры) определяется разностью номинального размера и размера по аттестату . Для всех измерений при этой настройке она будет постоянной, поэтому на ее величину с обратным знаком следует внести поправку. Другая систематическая погрешность (погрешность настройки) останется неисключенной. Она может быть в границах .

Случайная составляющая погрешности измерения . Границы равномерно распределенных погрешностей принимают равными:

Отсюда .

Для доверительной вероятности из табл. 3 определим . Тогда, в соответствии с уравнением (9), погрешность измерения

Исправленный результат измерения

Тогда доверительные границы истинного размера диаметра

а при симметричном распределении погрешностей измерения можно результат записать

Пример №24.

При измерении у-излучения дозиметр показывает 50 мкР. Отклонение температуры, при которой выполнялись измерения, от нормальной вызывает погрешность . Отсчет результатов распределяется по неизвестному закону с СКО . Установите доверительные границы для истинного значения у-излучения при .

Решение:

Значение поправки . Исправленный результат . По таблице распределения П. Чебышева для доверительной вероятности определим коэффициент . Доверительный интервал . Результат измерения у-излучения , а при симметричном распределении погрешности измерений , .

Обработка результатов косвенных измерений

Пример №25.

При косвенном измерении электрической мощности по зависимости , получены значения сопротивления и падения напряжения СКО относительной погрешности средств измерений следующие:

Определить доверительные границы измеряемой мощности с вероятностью .

Решение:

Это будет логарифмируемая функция.

Дисперсия случайной относительной погрешности

При доверительной вероятности по таблице Лапласа . Доверительные границы относительной погрешности . Тогда абсолютная погрешность

и доверительные границы результата измерения .

Пример №26.

Сопротивление резистора определяется по закону Ома . Укажите доверительные границы для истинного значения с вероятностью , если получены результаты измерения , , СКО погрешностей измерений

Решение:

Это будет логарифмируемая функция.

Заменив дифференциалы соответствующими приращениями и обозначив относительные погрешности

получим значение относительных погрешностей

Дисперсия случайной относительной погрешности

При доверительной вероятности по таблице Лапласа . Доверительные границы относительной погрешности

Тогда абсолютная погрешность

и доверительные границы результата измерения

Обнаружение грубых погрешностей

Пример №27.

Результаты измерения влажности образцов плит в %: 8,1; 7,8; 8,3; 7,3; 8,2; 7,9; 8,0; 8,4; 8,0; 8,2; 7,9; 8,1; 7,8. Определите грубые результаты наблюдений по критерию с вероятностью 0,9.

Решение. Число измерений . Среднее арифметическое значение

Среднее квадратическое отклонение

Предельное значение критерия (при вероятности ) по табл.

Проверим числа, наиболее удаленные от среднего значения. Это влажность

Следовательно, этот результат является не случайным «выбросом» и его следует исключить. Остальные результаты менее удалены от среднего значения, поэтому проверке не подлежат.

Пример №28.

При диагностировании топливной системы автомобиля результаты пяти измерений расхода топлива на 100 км составили 22, 24, 26, 28 и 34 л. Определить наличие грубых погрешностей в экспериментальных данных.

Решение:

Число измерений . Среднее арифметическое значение

Среднее квадратическое отклонение равно

Предельное значение критерия (при вероятности ) по табл.

Проверим число, наиболее удаленное от среднего значения. Это расход топлива 34 л.

Критерий свидетельствует, что последний результат может быть признан достоверным, т.е. «выброс» случаен и его следует сохранить.

Обработка результатов прямых многократных измерений

Пример №29.

Толщиномером, предельная погрешность измерений которого составляет , получены результаты измерений толщины лакового покрытия , мкм: 470, 354, 402, 434, 387, 413, 465, 448, 540, 393, 425, 456, 442. Измерения выполнялись при температуре 30°С. Коэффициент линейного расширения лака, по справочным данным, находится в пределах . Определить результат измерений.

Решение:

Определим среднее арифметическое значение:

Проверим наличие грубых погрешностей:

При допускаемое значение критерия . Действительное значение

Следовательно, результат 540 мкм нужно отбросить.

Определяем значения характеристик по оставшимся 12 наблюдениям:

Доверительные границы для случайной составляющей при (по распределению Стьюдента )

Так как коэффициент линейного расширения задан диапазоном, то будем считать распределение вероятностей его в этом диапазоне равномерным со средним значением

Систематическая составляющая температурной погрешности

Следовательно, к среднему значению можно внести поправку, равную систематической погрешности с обратным знаком

Неисключённая систематическая составляющая температурной погрешности определяется границами равномерного распределения:

Другой неисключённой систематической составляющей погрешности будет предельная погрешность измерения толщиномера. Так как первая погрешность значительно меньше второй, то её можно не учитывать. Следовательно, .

Соотношение поэтому доверительная граница погрешности измерения определяется по выражению (28):

Проверка нормальности распределения

Пример №30.

Проверить соответствие нормальному закону распределения результаты измерения параметра шероховатости , мкм: 0,49; 0,47; 0,48; 0,48; 0,46; 0,45; 0,46; 0,46; 0,56; 0,50; 0,47; 0,47; 0,46; 0,44; 0,39; 0,45; 0,43; 0,47; 0,44; 0,46.

Решение:

Среднее квадратическое отклонение

Проверим наличие грубых промахов по критерию . Наиболее удалённое от среднего значения показание № 9

При допускаемое отклонение критерия

Следовательно, показание № 9 нужно исключить из результатов.

Критерий 1. Параметры исправленных результатов ; смещённая оценка

По табл. 7 определим: при и . подставим эти значения в неравенство (30): 0,6902

Следовательно, при уровне значимости критерий 2 тоже выполняется. Таким образом, при уровнях значимости и полученные результаты соответствуют нормальному распределению.

Обработка результатов нескольких серий измерений

Кстати теория из учебников по метрологии тут.

Пример №31.

На вертикальном оптиметре выполнены три серии измерений отклонений от номинального размера мкм, результаты которых сведены в таблицу.

Решение:

Определим дисперсии для каждой серии:

По распределению Стьюдента проверим значимость различий средних арифметических в сериях. Для этого по формуле (34) вычислим разности:

Для принятой доверительной вероятности с числом степеней свободы по табл. П2 находим значение . При сравнении полученных расчетом значений с предельным установим, что гипотеза о равенстве математических ожиданий всех серий принимается.

Проверим гипотезу о равнорассеянности результатов измерений по критерию Р. А. Фишера:

Задаваясь уровнем значимости 5 % , из таблиц распределения Фишера (табл. П4) найдем . Следовательно, при 5 % уровне значимости серии наблюдений I и II, а также II и III можно считать равноточными, а различие дисперсий в сериях I и III являются значимыми (серии неравнорассеянные).

Для определения наилучшей оценки объединённых результатов измерений неравнорассеянных серий необходимо вычислить весовые коэффициенты:

При равенстве математических ожиданий среднее взвешенное определим по формуле (38):

Среднее квадратическое отклонение среднего взвешенного можно рассчитать по формуле (39):

Для определения доверительных границ результата измерения нужно определить число степеней свободы, которое при малом числе измерений вычисляется по уравнению (40):

Обработка результатов совместных измерении

Пример №32.

Построить поле корреляции, определить и построить линейные уравнения регрессии, определить интервальную оценку коэффициента корреляции по результатам измерений двух случайных величин и :

Решение:

Определим числовые характеристики случайных величин:

Эмпирические уравнения регрессии следующие:

Эмпирический коэффициент корреляции

Среднее квадратическое отклонение

Критерий Фишера . Доверительный интервал для нормального закона распределения , где определяют в зависимости от принятой доверительной вероятности по таблице Лапласа.

Задаваясь вероятностью , определим , тогда . Таким образом, с вероятностью величина может принимать значения ,т.е. .По крайним значениям в табл. П6 находим левую и правую границы доверительного интервала коэффициента корреляции .

Из полученной интервальной оценки видно, что при малой выборке точность определения коэффициента корреляции невысока.



Изучу , оценю , оплатите , через 2-3 дня всё будет на «4» или «5» !

Откройте сайт на смартфоне, нажмите на кнопку «написать в чат» и чат в whatsapp запустится автоматически.

f9219603113@gmail.com


Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.9219603113.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Поделиться с друзьями
Моя стройка
Adblock
detector