Меню

Закон распределения результатов измерений неизвестен



Идентификация законов распределения величин по результатам измерений

Глава 3. Обработка результатов измерений.

Методики выполнения измерений

Изменение метрологических характеристик СИ в процессе эксплуатации

Метрологические характеристики СИ могут изменяться в процессе эксплуатации. В дальнейшем будем говорить об изменениях погрешности Δ (t), подразумевая, что вместо неё может быть рассмотрена любая другая МХ.

Следует отметить, что не все составляющие погрешности подвержены изменению во времени. Среди инструментальных погрешностей есть много составляющих, практически не подверженных старению, например размер кванта в цифровых приборах.

Задача, решаемая при определении метрологической надежности СИ, состоит в построении математической модели для нахождения изменений МХ. Поскольку изменения МХ во времени – случайный процесс, то для построения математических моделей используется теория вероятностей.

Методика выполнения измерений (МВИ) представляет собой установленную совокупность операций и правил, выполнение которых обеспечивает получение результатов измерений с гарантированной точностью в соответствии с принятым методом.

Разработку МВИ выполняют на основе исходных данных, включающих:

— назначение, где указывается область применения, наименование измеряемой величины и её характеристики, а также характеристики объекта измерений, если они могут влиять на погрешность измерений;

— требования к погрешности измерений;

— вид индикации и формы представления результатов измерений;

— требования к обеспечению безопасности выполняемых работ;

3.1. Выбор количества измерений.

Цель любого измерения – это получение результата измерений с оценкой действительного значения измеряемой величины. Для достижения конечной цели проводится обработка результатов измерений. При этом выбор методов обработки результатов измерений определяется следующими факторами:

— форма закона распределения результатов измерений;

— применяемый метод измерений (прямой, косвенный);

— количество выполненных измерений искомой величины.

В метрологической практике используются следующие законы распределения:

1. Равномерный закон. Используется в случаях когда результаты измерений сосредоточены на интервале от “a” до “b” при постоянной величине плотности на этом интервале и при равенстве его нулю вне указанного интервала. Плотность распределения записывается в виде:

График имеет вид:

Равномерный закон распределения обычно применяют при выполнении равномерного квантования непрерывных величин по уровню в цифровых измерительных приборах. Для этого случая количество измерений около 6.

1.Для средств измерений, у которых погрешности изменяются в зоне нижней и верхней границ поля допуска используют закон, у которого плотность распределения имеет вид:

Количество измерений около 10.

2.К наиболее часто используемых законам относится нормальный закон распределения, плотность которого имеет следующий вид:

Где — математическое ожидание величины ,

— среднее квадратическое отклонение необходимое число измерений при нормальном законе распределения случайной величины зависит от погрешности измерения, и коэффициента вариации, определяемой выражением:

Например, = 0,33…0,35 можно считать, что распределение случайной величины подчиняется нормальному распределению.

Следующим (третьим) параметром, определяющим число измерений, является доверительная вероятность, т.е. вероятность того, что результата измерения находится в интервале:

— заранее заданная произвольно малая величина.

Таким образом, для определения числа измерений необходимо знать три параметра – погрешность измерения, коэффициент вариации и доверительную вероятность.

Если распределение погрешности подчиняется нормальному закону это уже определяет и доверительную вероятность. Например, при значение P = 0.68, при значение P = 0.95, а при значение P = 0.99, где — СКО.

Погрешность измерения Коэффициент вариации
0,2 0,25 0,3 0,35
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25

Из таблицы видно, что на практике число достоверных измерений обычно берутся в пределах до 20…30 измерений.

Если же закон распределения заранее неизвестный, то число измерений должно увеличиваться во много раз для нахождения этого закона. При этом по результатам измерений рассчитывают среднее квадратическое значение, которое является оценкой математического ожидания величины, а также статическое среднеквадратическое отклонение (СКО).

Пусть проведено П = 20 независимых измерений некоторой величины Х, рассматриваемой как случайной. Например, русть имеются результаты измерений постоянного электрического напряжения U, имеющие значения от 48В до 52В с интервалом 0,5В.

Составим вариационный ряд в виде последовательности измеренных значений величин, расположенных в порядке возрастания от наименьшего к наибольшему. Данные приведены в таблице 1.

Номер измерения
Напряжение 48,5 49,5 50,5 51,5
Количество

Общее количество измерений равно 20.

Приведем методику идентификации законы.

1. Весь диапазон измеренных величин и разбиваем на К интервалов, количество которых определяем по формулам:

можно пользоваться любой из этих формул. При больших n целесообразно использовать формулу 1.

удобном количестве интервалом округляем до целого числа.

рассматриваемого случая К = 5

2. Ширина интервалов определяется из выражения = 0,8B

3. Находим количество попаданий величины U в каждый интервал —

4. Рассчитываем вероятность попадания величины U в каждый интервал

Для рассматриваемого примера определенные выше параметры сведены в таблице 2.

48…48.8 48.4 48.8…49.6 = 49.2 49.6…50.4 50.4…51.2 = 50.8 51.2…52
0.1 0.15 0.25 0.35 0.15

5. Определим среднее арифметическое значение

6. Рассчитываем статистическую дисперсию

7. Статистическое среднеквадратическое значение

8. Находим теоретическую вероятность попадания случайной величины в каждый из разрядов по формуле:

где Ф ( ) – табулированная функция Лапласа.

В результате расчетов должно получится три условия:

1. Сумма статистических вероятностей должно быть равной единице.

2. Математическое ожидание и среднее арифметическое значение должны совпадать, т. е. .

3. Теоретическая и статистическая дисперсии должны совпадать, т.е. .

9. В качестве меры расхождения между теоретическими и статистическими вероятностями используется критерий .

n,k – число измерений и число разрядов статистического ряда соответственно

10. Находим число степеней свободы

Берем математические таблицы для значений в зависимости от r определяем вероятность сходимости эмпирического и теоретического законов распределения.

Источник

Закон распределения результатов измерений неизвестен

Глава 4. Основы теории измерений.

4 .9 . Законы распределения случайных погрешностей.

В метрологической практике для описания случайных погрешностей используют ограниченный набор стандартных аппроксимирующих функций распределения (нормальную, равномерную, по треугольнику, по трапеции).

  1. Погрешности результатов наблюдений, округленных в ближайшую сторону отсчетов с неточностью целого (или долевого) деления шкалы.
  2. Погрешность приближенных вычислений с округлением до ближайшей значащей цифры.
  3. Погрешности регулировки в допустимых пределах ± а.
  4. Люфтовые погрешности.
  5. Погрешности от изменения температуры в допустимых пределах.
  6. Вариация показаний измерительных приборов.

Треугольные функции распределения (по Симпсону) имеют погрешности измерений длины, угла, интервала времени по двум отсчетам (начало-конец).

Аналитические зависимости, области определения, соотношения между параметрами и графики наиболее часто используемых законов распределения представлены в таблице 4.1.

Наиболее распространенной функцией распределения случайной погрешности является нормальная функция (функция Гаусса). При обработке результатов наблюдений при априорно неизвестном законе распределения случайных погрешностей проводят проверку нормальности распределения результатов наблюдений. Для этого используют методы проверки статистических гипотез. Поскольку проверка статистических гипотез основывается на опытных данных, то при принятии решения всегда возможны ошибки.Когда отвергается в действительности верная гипотеза, то совершается ошибка первого рода. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости q :

где — вероятность правильного принятия верной гипотезы.

Когда принимается в действительности неверная гипотеза, то совершается ошибка второго рода. В общем случае вычислить ее вероятность нельзя. Однако при уменьшении вероятности ошибки первого рода вероятность ошибки второго рода увеличивается. Поэтому не имеет смысла выбирать слишком низкий уровень значимости q . Обычно на практике q принимают в пределах (1. 5)%. Критерии проверки статистических гипотез приводятся в справочной литературе по теории вероятностей и в нормативных документах по метрологии, в частности, в ГОСТ 8.207 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения».

Источник

Законы распределения погрешности измерений

При использовании вероятностного подхода к описанию погрешности требуется знание законов распределения погрешности измерений. Встречающиеся в метрологии законы распределения можно свести к следующим:

— уплощенные (приблизительно плосковершинные);

— семейство распределений Стьюдента;

К трапецеидальным относятся равномерное, собственно трапецеидальное, составленное как композиция из двух равномерных законов, имеющих различную ширину и треугольное распределение, представляющее собой частный случай предыдущего (при равной ширине составляющих равномерных распределений). Равномерное распределение (рис. 1) имеют погрешности квантования в цифровых приборах, округления при отсчете показаний стрелочного прибора, от трения в стрелочных приборах и т.д.

Рис. 1. Равномерный закон распределения случайной погрешности Δ

При равномерном законе распределения случайная погрешность Δ принимает значения лишь в пределах конечного интервала Δ1 — Δ2 с постоянной плотностью вероятностей р(x). Математически равномерный закон выглядит так:

Площадь под кривой распределения равна единице: с(Δ2 — Δ1) = 1, отсюда

Тогда формула примет вид

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной погрешности Δ

Как уже указывалось, моды у равномерного закона распределения не имеется.

Математическая зависимость нормального закона

Одним из экспоненциальных законов распределения является так называемое нормальное распределение (распределение Гаусса). Закон распределения погрешностей результата измерения принято считать нормальным в том случае, когда полная погрешность образуется из большого числа независимых случайных составляющих (частных погрешностей), независимо от их законов распределения, при условии, что ни одна из этих частных погрешностей не преобладает над всеми остальными.

Формула для плотности вероятности нормального распределения погрешностей имеет следующий вид:

Как видно из формулы, нормальный закон полностью характеризуется двумя числовыми характеристиками — математическим ожиданием M(Δ) и дисперсией σ. Колоколообразная кривая нормального распределения симметрична относительно оси ординат. Это означает, что погрешности, одинаковые по величине, но противоположные по знаку, встречаются одинаково часто. Кроме того, малые погрешности встречаются чаще, чем большие. Данные свойства иллюстрирует рис. 2. Так, площадь под кривой плотности распределения вероятности в интервале Δ21 существенно больше, чем площадь в равном интервале Δ43. Площадь же под кривой плотности распределения вероятностей характеризует вероятность появления погрешностей.

Рис. 2. График p(Δ) для нормального закона распределения случайной погрешности

Рис. 3 иллюстрирует изменение формы кривой плотности распределения вероятностей при различных значениях средних квадратических отклонений (σ123). Видно, что чем большее значение имеет σ, тем больше результаты измерений рассеянны, тем больше вероятность проявления больших погрешностей. Таким образом, чем меньше значение σ, тем выше качество измерений.

Рис. 3. Графики нормального закона распределения при различных значениях σ

Отметим, что рассмотренные выше законы распределения описывают поведение случайных непрерывных величин. На практике результаты измерений и соответствующие им случайные погрешности являются дискретными величинами. При использовании дискретных величин производится оценка параметров их законов распределений на основе выборок — определенного ряда значения измеряемой величины на основе n независимых наблюдений. К выборке предъявляется требование репрезентативности (представительства), т.е. она должна достаточно хорошо представлять пропорции генеральной совокупности случайных величин. На основе выборки определяются оценки параметров, которые сами являются случайными величинами, значения которых зависят от объема экспериментальных данных.

Таким образом, мерой степени согласия между результатами последовательно проводимых измерений одной и той же величины является повторяемость измерений, причем предполагается, что измерения производятся одним и тем же методом, на одной и той же аппаратуре, при неизменных рабочих условиях и в течение короткого отрезка времени. Чем выше повторяемость, тем меньше неопределенность результата многократного измерения. Воспроизводимость результата измерения характеризуется близостью результатов, получаемых при повторных измерениях одной и той же величины, выполняемых при различных условиях и режимах работы, растянутых на длительное время. Очевидно, что вследствие влияния систематических погрешностей воспроизводимость результата измерения обычно ниже, чем повторяемость.

Список литературы по лекциям 1-2

1. Раннев Г.Г.* Информационно-измерительная техника и электроника. М.: Академия, 2006, 512 с.

2. Авдеев Б.Я., Антонюк Е.М., Душин Е.М. Основы метрологии и электрические измерения. Академия. 2007.-376 с.

3. Новицкий П.В., Зограф И.А. * Оценка погрешностей результатов измерений.- Л.: Энергоатомиздат. С-Пб. Отделение, 2015.-248 с.

  1. Шахнин В.А.* Обработка результатов измерений. Методические указания по дисц. ИИТ и Э. Владимир: Изд-во ВлГУ. 2002. 51 с.

*Книги из фонда библиотеки ВлГУ

ЛЕКЦИЯ 3.

СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЙ

3.1. Классификация средств измерений

3.2. Меры электрических величин

Дата добавления: 2018-02-28 ; просмотров: 5021 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Распределение результатов измерения

Ознакомление с процессом обработки многократных измерений и построения гистограммы статистического ряда. Изучение законов распределения результатов измерения и их характеристики. Рассмотрение алгоритма обработки полученных данных и их погрешности.

Рубрика Математика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 22.04.2014
Размер файла 934,3 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание на курсовую работу

1. Законы распределения результатов измерения

2. Требование к оценкам измеряемой величины

3. Понятие о грубых погрешностях

4. Обработка результатов измерений

5. Идентификация формы распределения результата

6. Систематические погрешности и методы их устранения

7. Алгоритм обработки результата

8.1Вычисление статистических характеристик

8.2Определение наличия грубых погрешностей

8.3Расчет оценки среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения

8.4Определение принадлежности результатов измерений нормальному распределению

8.6Определение доверительных границ

8.7Запись результата измерения

8.8Исключение систематической погрешности

Задание на курсовую работу

По результатам n=63 измерений некоторой величины был получен ряд числовых значений:

Произвести обработку многократных измерений, построить гистограмму статистического ряда, идентифицировать закон распределения результатов измерения и дать характеристику, привести алгоритм обработки полученных данных и оценить их погрешность.

Читайте также:  Длительность измерения базальной температуры

Измерение — сложный процесс, включающий в себя взаимодействие целого ряда его структурных элементов.

К измерениям относятся: измерительная задача, объект измерения, принцип, метод и средство измерения, и его модель, условия измерения, субъект измерения, результат и погрешность измерения.

Первым начальным элементом каждого измерения является его задача (цель). Задача любого измерения заключается в определении значения выбранной (измеряемой) физической величины с требуемой точностью в заданных условиях. Постановку задачи измерения осуществляет субъект измерения — человек. При постановке задачи конкретизируется объект измерения, в нем выделяется измеряемая физической величины и определяется (задается) требуемая погрешность измерения.

Прямые — это измерения, при которых измеряемую величину непосредственно сравнивают с мерой этой величины или её значение отсчитывают по показаниям прибора.

В зависимости от числа измерений, проводимых во время эксперимента, различают однократные и многократные измерения

Однократные измерения — измерения, выполненные один раз. К многократным относятся измерения одного и того же размера физической величины, следующие друг за другом. При четырех или более измерениях, входящих в ряд, измерения можно считать многократными. Их проводят с целью уменьшения случайной составляющей погрешности.

Наблюдение — экспериментальная операция, выполняемая в процессе измерений, в результате которой получается одно значение из группы значений величины, подлежащих совместной обработке для получения результата измерения. Различают измерения с однократными и многократными наблюдениями. При измерении с однократным наблюдением термином “наблюдение” пользоваться не следует.

Погрешность измерения — отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

По способу выражения различают погрешности абсолютные и относительные. Абсолютной называется погрешность, выраженная в единицах измеряемой величины, а относительной — погрешность, выраженную в долях или процентах от истинного значения измеряемой величины.

Систематическая погрешность — это составляющая погрешности измерения, которая при повторных измерениях одной и той же величины, выполняемых при неизменных условиях, остается постоянной или закономерно меняется.

Случайная погрешность — составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

Анормальные наблюдения — это наблюдения, отклонение которых от среднего арифметического данных наблюдений существенно превышает оправданные объективными условиями измерения значения систематических и случайных погрешностей.

Доверительный интервал — интервал со случайными границами, который с заданной вероятностью, называемой доверительной, накрывает истинное значение измеряемой величины. Границы доверительного интервала называют доверительными границами.

Критерий согласия — критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

1. Законы распределения результатов измерения

Закон распределения — математическое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями варианты и соответствующими им вероятностями.

Кривая распределения — это предел, к которому стремится полигон частот при неограниченном увеличении объема статистической совокупности и уменьшении интервалов (увеличение точности измерения, переход от дискретной величины к непрерывной). Она дает характеристику некоторой генеральной совокупности, т.е. получаемые в эксперименте выборки, лишь в той или иной степени приближаются к своему теоретическому пределу. Кривая распределения позволяет наглядно представить форму распределения, т.е. определенную закономерность специфической концентрации вариант в цельной статистической совокупности.

Форма распределения является некоторой обобщенной характеристикой выборки: ведь исследуемая статистическая закономерность проявляется не только в обозначении среднего уровня измеренного процесса, но и в регуляции отклонений от этого уровня, т.е. в обозначении формы статистического распределения.

Все бесконечное разнообразие эмпирических кривых распределения (вне связи с теоретико-вероятностными построениями) принято делить на две большие группы: одновершинные и многовершинные.

Последние называются также составными распределениями, т.е. являются следствием совместного графического представления различных (качественно разнородных) статистических совокупностей, в образовании которых преобладают какие-то различные закономерности.

Одновершинные распределения в свою очередь делятся на следующие группы:

а) симметричные, т.е. такие, в которых идет равновероятное уменьшение величины признака по обе стороны от некоторого и максимально частого значения (примером таких, сравнительно редко встречающихся в практике распределений,является расположение людей по величине роста):

· треугольные (рис. 1а);

· трапецеидальные (рис. 1б);

· равномерные (рис. 1в);

· антимодальные I (рис. 1г);

· антимодальные II (рис. 1д);

б) умеренно-асимметричные или скошенные, в которых убывание числовых значений переменной в одну из сторон выражено заметно сильнее. Таковы, например, распределения подавляющего большинства измерений эффективности человеческой деятельности; в) распределения крайне асимметричные, характерные, например, для распределения населения развитых стран по величине материальной обеспеченности; г) У-образные, в которых наибольшая частота свойственна обоим крайним значениям признака, например распределение облачности в районе Гринвичского меридиана.

Использование на практике вероятностного подхода к оценке погрешностей результатов измерений прежде всего предполагает знание аналитической модели закона распределения рассматриваемой погрешности. Встречающиеся в метрологии распределения достаточно разнообразны.

Множество законов распределения случайных величин, используемых в метрологии, целесообразно классифицировать следующим образом:

· трапецеидальные (плосковершинные) распределения.

К ним относятся: равномерное, собственно трапецеидальное

и треугольное (Симпсона);

· уплощенные (приблизительно плосковершинные) распределения;

· семейство распределений Стьюдента;

Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Наибольшее распространение получил нормальный закон распределения, называемый часто распределением Гаусса:

Где ? — параметр рассеивания распределения, равный СКО;

Хц — центр распределения, равный математическому ожиданию.

Вид нормального рисунка показан на рисунке 2.

При введении новой переменной t = (х — Хц)/? получается нормированное нормальное распределение, интегральная и дифференциальная функции которого соответственно равны:

Нормирование приводит к переносу начала координат в центр распределения и выражению абсциссы в долях СКО. Значения интегральной и дифференциальной функций нормированного нормального распределения сведены в таблицы, которые можно найти в литературе по теории вероятностей.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом называют функцией Лапласа. Для неё справедливы следующие равенства:

Функция Лапласа используется для определения значений интегральных функций нормальных распределений. Функция F(t)связана с функцией Лапласа формулой:

Значения функции Лапласа для различных значений (t) приведены в таблице: измерение гистограмма распределение

Нормальное распределение определяется двумя параметрами:x? и ?.

Изменение величины параметра x? (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если x? возрастает, и влево, если x? убывает.

С возрастанием ? максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси Ох; при убывании ? нормальная кривая становится более островершинной и растягивается в положительном направлении оси Оу.

При любых значениях параметров x? и ? площадь, ограниченная нормальной кривой и осью х, остается равной единице.

Семейство распределений Стьюдента

Эти законы описывают плотность распределения вероятности среднего арифметического, вычисленного по выборке из n случайных отсчетов нормально распределенной генеральной совокупности. Распределения Стьюдента нашли широкое применение при статистической обработке результатов многократных измерений. Их вид зависит от числа отсчетов n, по которым находится среднее арифметическое значение, поэтому и говорят о семействе законов.

В центрированном и нормированном виде они описываются формулой

где k — число степеней свободы, зависящее от числа n усредняющих отсчетов: k=n-1. Вид распределения Стьюдента для различных значений k показан на рисунке 2. При увеличении k распределение Стьюдента переходит в распределение Гаусса.

Распределения Стьюдента имеют ряд особенностей:

Из приведенных уравнений следует, что СКО трапецеидальных распределений возрастает в 1,41 раза с ростом параметра b от нуля (треугольное) до а (равномерное). Коэффициент асимметрии всех трапецеидальных распределений равен нулю.

Равномерное распределение имеют погрешности: округления при расчетах, отсчета показаний стрелочного прибора, от трения в стрелочных приборах с креплением подвижной части на кернах или подпятниках. Суммируясь между собой, эти погрешности образуют трапецеидальные распределения с различными отношениями сторон.

2. Требование к оценкам измеряемой величины

Функции распределения описывают поведение непрерывных случайных величин, т.е. величин, возможные значения которых неотделимы друг от друга и непрерывно заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал. На практике все результаты измерений и случайные погрешности являются величинами дискретными. При использовании дискретных случайных величин возникает задача нахождения точечных оценок параметров их функций распределения на основании выборок. Используемая выборка должна быть репрезентативной (представительной), т.е. должна достаточно хорошо представлять пропорции генеральной совокупности.

Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом. В отличии от самих параметров их точечные оценки являются случайными величинами, причем их значения зависят от объема экспериментальных данных, а закон распределения — от законов распределения самих случайных величин.

Точечные оценки могут быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

Состоятельной называется оценка, которая при увеличении объема выборки стремится по вероятности к истинному значению числовой характеристики.

Несмещенной называется оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемой числовой характеристике.

Наиболее эффективной считают ту из нескольких возможных несмещенных оценок, которая имеет наименьшую дисперсию.

Точечной оценкой МО результата измерений является среднее арифметическое значение измеряемой величины

При любом законе распределения оно является состоятельной и несмещенной оценкой.

Точечная оценка дисперсии, определяемая по формуле

является несмещенной и состоятельной.

СКО случайной величины х определяется как корень квадратный из дисперсии. Соответственно его оценка может быть найдена путем извлечения корня из оценки дисперсии. Однако эта операция является нелинейной процедурой, приводящей к смещенности получаемой таким образом оценки. Для исправления оценки СКО вводят поправочный множитель k(n), зависящий от числа наблюдений n.

Он изменяется от k(3) = 1,13 до k(?) ? 1,03. Оценка среднего квадратического отклонения

На практике пренебрегают учетом смещенности оценки СКО отдельных наблюдений и считают k(n) = 1.

Оценка СКО среднего арифметического значения

Оценки коэффициента асимметрии и эксцесса находятся по формулам

3. Понятие о грубых погрешностях

Грубая погрешность (промах) — это погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Источником грубых погрешностей нередко бывают резкие изменения условий измерения и ошибки, допущенные оператором. К ним можно отнести:

• неправильный отсчет по шкале измерительного прибора, происходящий из-за неверного учета цены малых делений шкалы;

• неправильная запись результата наблюдений, значений отдельных мер использованного набора, например гирь;

• хаотические изменения параметров питающего СИ напряжения, например его амплитуды или частоты.

Грубые погрешности, как правило, возникают при однократных измерениях и обычно устраняются путем повторных измерений. Их причинами могут быть внезапные и кратковременные изменения условий измерения или оставшиеся незамеченными неисправности в аппаратуре.

При однократных измерениях обнаружить промах не представляется возможным. Для уменьшения вероятности появления промахов измерения проводят два-три раза и за результат принимают среднее арифметическое полученных отсчетов. При многократных измерениях для обнаружения промахов используют статистические критерии, предварительно определив, какому виду распределения соответствует результат измерений.

Критерий “трех сигм” применяется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону. По этому критерию считается, что результат, возникающий с вероятностью q 3?, где ? — оценка СКО измерений. Данный критерий надежен причисле измерений n> 20.. .50.

Критерий Шарлье используется, если число наблюдений в ряду велико (n>20). Число результатов, превышающих по абсолютному значению среднее арифметическое значение на величину KшSx, будет:

где Ф(Кш) — значение нормированной функции Лапласа для X = Кш.

Если сомнительным в ряду результатов наблюдений является один результат, то:

Пользуясь критерием Шарле, отбрасывают результат, для значения которого в ряду из n наблюдений выполняется неравенство Рxi— x?Р>KшSx

4. Обработка результатов измерений

Задача обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение.

Последовательность обработки результатов прямых многократных измерений состоит из ряда этапов:

1) Исключают из результатов наблюдений известные систематические погрешности.

2) Вычисляют среднее арифметическое X результатов наблюдений по формуле:

3) Вычисляют оценку среднего квадратического отклонения результата измерений по формуле:

4) Определяют наличие грубых погрешностей

5) Вычисляют оценку среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения по формуле:

6) Определяют принадлежность результатов измерений нормальному распределению. Для этого строится гистограмма, количество интервалов в которой и их длина определяются соответственно по формулам 2 и 3. По методу моментов определяются асимметрия и эксцесс, и их средние квадратические ошибки.

По виду гистограммы и полученным величинам А, Е, ?А, ?Е делают заключение о возможности принятия гипотезы о нормальном распределении результатов наблюдений.

7) Оценка закона распределения по статистическим критериям.

8) Определяют доверительные границы 8 случайной погрешности результата измерений по формуле:

9) Запись результата измерения по формуле:

5. Идентификация формы распределения результата

В качестве приближенного метода проверки нормальности распределения применяют метод, связанный с оценками центральных моментов третьего и четвертого порядков. В случае нормальности распределения должны выполняться приближенные равенства:

Для удобства сравнения подсчитывают безразмерные характеристики показатель асимметрии и эксцесс .

Обе эти характеристики должны быть малы, если распределение нормально. О малости этих характеристик обычно судят по сравнению с их средними квадратическими ошибками соответственно равными:

Если хотя бы одна из указанных характеристик по абсолютной величине значительно (2-3 раза) превосходит свою среднюю квадратическую ошибку, то нормальность закона распределения следует подвергнуть сомнению и провести более тщательный анализ результатов наблюдений(например, с помощью критерия Пирсона).

Читайте также:  Конспект урока по математике 1 класс дециметр единица измерения длины

В качестве способа оценки близости распределения выборки экспериментальных данных к принятой аналитической модели закона распределения используются критерии согласия. Известен целый ряд критериев согласия, предложенных разными авторами. Наибольшее распространение в практике получил критерий Пирсона. Идея этого метода состоит в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с таким же числом интервалов, построенной на основе распределения, совпадение с которым определяется. Использование критерия Пирсона возможно при большом числе измерений (п>50) и заключается в вычислении величины 2 (хи-квадрат):

где ni, Ni — экспериментальные и теоретические значения частот в i-м интервале разбиения; m — число интервалов разбиения; Pi— значения вероятностей в том же интервале разбиения, соответствующие выбранной модели распределения; .

При n случайная величина 2 имеет распределение Пирсона с числом степеней свободы v = m — 1- r, где г — число определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы. Для нормального закона распределения г = 2, так как закон однозначно характеризуется указанием двух его параметров — математического ожидания и СКО. Если бы выбранная модель в центрах всех m столбцов совпадала с экспериментальными данными, то все m разностей (ni -Ni) были бы равны нулю, а следовательно, и значение критерия 2 также было бы равно нулю. Таким образом, 2 естьмера суммарного отклонения между моделью и экспериментальным распределением.

Критерий 2 не инвариантен к числу столбцов и существенно возрастает с увеличением их числа. Поэтому для использования его при разном числе столбцов составлены таблицы квантилей распределения 2 , входом в которые служит так называемое число степеней свободы v = (m — 1 — r). Чтобы совместить модель, соответствующую нормальному закону, с гистограммой, необходимо совместить координату центра, а для того, чтобы ширина модели соответствовала ширине гистограммы, ее нужно задать как г = 2 и v = m-3.Часть квантилей распределения 2 q приведена в таблице №1.

Если вычисленная по опытным данным мера расхождения 2 меньше определенного из таблицы значения q 2 , то гипотеза о совпадении экспериментального и выбранного теоретического распределений принимается. Это не значит, что гипотеза верна. Можно лишь утверждать, что она правдоподобна, т.е. она не противоречит опытным данным. Если же 2 выходит за границы доверительного интервала, то гипотеза отвергается как противоречащая опытным данным.

Методика определения соответствия экспериментального и принятого законов распределения заключается в следующем:

* определяют оценки среднего арифметического значения х и СКО

* группируют результаты многократных наблюдений по интервалам длиной h, число которых определяют «так же, как и при построении гистограммы;

* для каждого интервала разбиения определяют его центр xio и подсчитывают число наблюдений П|, попавших в каждый интервал;

* вычисляют число наблюдений для каждого из интервалов, теоретически соответствующее выбранной аналитической модели распределения. Для этого сначала от реальных середин интервалов хi производят переход к нормированным серединам zi=i — x?)/. Затем для каждого значения zi с помощью аналитической модели находят значение функции плотности вероятностей f(zi). Например, для нормального закона

По найденному значению f(zi) определяют ту часть Niимеющихся наблюдений, которая теоретически должна быть в каждом из интервалов Ni = nhf(zi)/, где n — общее число наблюдений;

* если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше пяти наблюдений, то в обеих гистограммах его соединяют с соседним интервалом. После этого определяют число степеней свободы v = m-1-r, где m — общее число интервалов. Если было произведено укрупнение, то m — число интервалов после укрупнения:

* определяют показатель разности частот 2 ;

* выбирают уровень значимости критерия q. Он должен быть небольшим, чтобы была мала вероятность совершить ошибку первого рода. По уровню значимости и числу степеней свободы v по таблице находят границу критической области q 2 , такую, что P< 2 >q 2 > = q. Вероятность того, что полученное значение 2 превышает q 2 , равна q и мала. Поэтому, если оказывается, что 2 >q 2 , то гипотеза о совпадении экспериментального и теоретического законов распределения отвергается. Если же 2 2 , то гипотеза принимается.

Чем меньше q, тем больше значение q 2 (при том же числе степеней свободы v), тем легче выполняется условие 2 2 и принимается проверяемая гипотеза. Но при этом увеличивается вероятность ошибки второго рода. В связи с этим нецелесообразно принимать 0,02 2 2 2 >.Уровень значимости критерия q делится на две части: q = q1 + q2. Как правило, принимают q1 = q2. По таблице №1 для P< 2 >q 2 > = q находят 1 2 при уровне значимости q, и числе степеней свободы v и 2 2 уровня значимости 1 — q2 и том же n. Гипотеза о совпадении распределений принимается, если

6. Систематические погрешности и методы их устранения

Систематические погрешности принято классифицировать по двум признакам:

*По характеру изменения во времени

*По причинам возникновения

По характеру изменения во времени они делятся на постоянные (неизменными в течении всей серии измерений) и переменные — изменяющиеся в процессе измерения.

По причинам возникновения погрешности делятся на:

Результаты измерения, полученные при наличии систематической погрешности, называются неисправленными.

Исключение или оценка систематических ошибок может быть достигнуто следующими путями:

· Устранение источников погрешностей до начала измерений

· Оценкой поправок и внесением их в результат измерения

· Оценкой границ неисключенных систематических погрешностей.

Характерным примером устранения источников погрешности до начала измерений можно назвать калибровку «нуля» измерительных приборов перед экспериментом.

1) Статистический метод

В результате любого однократного измерения, погрешность измерения равна:

Где сл— случайная погрешность

сист— систематическая погрешность

Хд — действительное значение измеряемой величины (полученное с помощью образцового, более точного прибора).

В результате однократного измерения общая ошибка содержит обе составляющие ошибки и разделить их невозможно.

Если произвести многократные измерения при неизменных условиях, а затем вычислить среднее значение , то получаем

В этом случае в усредненном по многим опытам результате остается фактически только систематическая погрешность.

Таким образом, проведя многократные измерения, на практике можно выявить наличие большой систематической ошибки (например, «сдвиг» шкалы генератора и т.п.).

2)Метод замещения — осуществляется заменой измеряемой величины известной величиной, причем так, что при этом в состоянии и действии всех СИ не происходит никаких изменений (это фактически метод сравнения).

3) Метод противопоставления — измерение выполняется дважды и проводится так, чтобы в обоих случаях причина постоянной погрешности оказывала разные, но известные по закономерности воздействия на результаты наблюдения.

4) Метод компенсации погрешности по знаку — предусматривает измерение с двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы постоянная систематическая погрешность входила в результат каждого из них с разным знаком.

7. Алгоритм обработки результата

8.1 Вычисление статистических характеристик

Первым шагом при идентификации закона распределения является построение по результатам измерений Xi вариационного ряда (упорядоченной выборки). В вариационном ряду результаты измерений располагают в порядке возрастания:

20,20,20,21,22,23,24, 25, 26, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 42, 43, 44, 45, 45, 45, 45, 46, 47, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 55, 57, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 70, 70, 70, 70, 70.

Вычислим среднее арифметическое Х результатов наблюдений по формуле:

Где хi — результат i — ого измерения;

n — число наблюдений.

Вычислим оценку среднего арифметического отклонения результата измерений по формуле:

8.2 Определение наличия грубых погрешностей

Определим наличие грубых погрешностей с использованием критерия “трех сигм”.

Так как все неравенства выполняются, то грубые погрешности отсутствуют.

8.3Расчет оценки среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения

8.4 Определение принадлежности результатов измерений нормальному распределению

Приближенный метод проверки нормальности распределения.

В качестве приближенного метода проверки нормальности распределения применяют метод, связанный с оценками центральных моментов третьего µ3 и четвертого µ4 порядков.

Для удобства сравнения подсчитывают безразмерные характеристики:

показатель асимметрии по формуле:

Обе эти характеристики должны быть малы, если распределение нормально. О малости этих характеристик обычно судят по сравнению с их средними квадратическими ошибками:

Если хотя бы одна из указанных характеристик по абсолютной величине значительно ( в 2-3 раза) превосходит свою среднюю квадратическую ошибку, то нормальность закона распределения следует подвергнуть сомнению и провести более тщательный анализ результатов наблюдений.

Показатель асимметрии по абсолютной величине превосходит свою среднюю квадратическую ошибку в 0,505раз, а эксцесс превосходит свою среднюю квадратическую ошибку в 3,506раз — больше чем в 3 раза, поэтому следует провести более тщательный анализ результатов наблюдений.

Проверка нормальности распределения по критерию Пирсона (ч 2 )

Для проверки согласия между предполагаемым нормальным и эмпирическим распределением по критерию Пирсона (ч 2 ) рекомендуется следующий порядок:

A)Результаты наблюдений группируются в интервальный вариационный ряд;

Б) Определяется длина и количество интервалов;

B)Подсчитывается количества mi наблюдений, находящихся в каждом из интервалов. Если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше пяти наблюдений, то его соединяют с соседним интервалом;

Г) Нормируют случайную величину X, т.е. переходят к величине z = (х—mx)/?x и вычисляют концы интервалов (Zi,Zi+1) по формулам:

Причем наименьшее значение z, т.е. z1 полагают равным -?, а наибольшее, т.е. z8, полагают равным +?.

Д) Для каждого интервала вычисляется теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-интервал.

Весь диапазон наблюдений значений х делится на интервалы, т.е. производится разделение ряда экспериментальных данных от наименьшего xmin до наибольшего хmax на 8 интервалов, и подсчитывают количество значений mi, приходящихся на каждый i-ый интервал. Это число делят на общее число наблюдений n и находят частоту, соответствующую данному интервалу.

Сумма частот всех интервалов должна быть равна единице.

Источник

Идентификация законов распределения величин по результатам измерений

На практике измерений знание реального закона распределения измеряемых величин необходимо для получения достоверных результатов измерений. После проведения соответствующей серии измерений строится эмпирический закон распределения измеряемой величины и нужно сопоставить ему модель теоретического закона распределения, т.е. идентифицировать неизвестный нам закон распределения возможных значений измеряемой величины. Эта задача решается с помощью широко применяемых в математической статистике критериев согласия. Среди известных критериев согласия наиболее применяемым является критерий согласия хи — квадрат (). Основные принципы его использования следующие.

Пусть произведено n независимых измерений некоторой величины X, рассматриваемой как случайной. Результаты измерений обычно представляют в виде вариационного ряда, т.е. в виде последовательности измеренных значений величины, расположенных в порядке возрастания от наименьшего к наибольшему. Например, путь имеются результаты измерений постоянного электрического напряжения U, приведенные в табл.2.

Номер измерения
U, В

Данные, приведенные в табл. 2, преобразуем в вариационный рад, записанный в табл. 3.

Номер ряда
U, B

Далее весь диапазон измеренных значений величины U разделяется на некоторое число разрядов k (интервалов). Число этих разрядов определяется в соответствии с соотношением:

где n — число измерений.

В нашем случае имеем

k= 3∙ lg20 + 1 ≈ 4.9 .

Определяем значение до ближайшего целого и получаем, что k = 5.

После определения числа разрядов вариационного ряда строится статистический ряд- таблица, в которой приведены длины разрядов Ii (в порядке их соответствия оси абсцисс измеряемой величины U), количества значений величины mi , оказавшихся в том или ином разряде, а также статистические частоты Pi * . Для нашего примера эти данные сведены в табл.4. Очевидно, что

Ii 47.5-48.5 48.5 — 49.5 49.5 — 50.5 50.5-51.5 51.5-52.5
Mi
Рi * 0.1 0.25 0.2 0.3 0.15

Если принять, что теоретический закон нормальный, то с помощью формулы (27) можно определить теоретическую вероятность в каждом соответствующем разряде (Ui, Ui+1) , т.е.

Pi = Ф() — Ф()

где mu и σu — соответственно, математическое ожидание и СКО величины U.

Поскольку mu и σu неизвестны, при расчетах их заменяют статистическими значениями mu * — средним арифметическим значением и статистическим СКО σu *. Среднее арифметическое значение погрешности mu * найдем по формуле:

mu * =

где среднее арифметическое значение U в i-ом разряде.

Для приведенного примера имеем:

mu* = (48 • 0.1 ) + (49 • 0.25) +(50 • 0.2) + (51 • 0.3)+ (52 • 0.15) = 50.15.

Статистическую дисперсию определим с помощью формулы:

σu *2 =

Тогда σu *2 = (48 — 50.15) 2 • 0.1 + (49-50.15) 2 • 0.25 + (50 — 50.15) 2 • 0.2 + ( 51 — 50.15) 2 • 0.3 + ( 52 — 50.15) 2 • 0.15 = 1.52

Соответственно, σu * = 1.23.

Далее находим теоретические вероятности попадания случайной величины в каждый из разрядов, используя формулу (29) и таблицу функции Лапласа, т.е.

Р1 = Ф ((48.5 — 50.15) / 1.23) — Ф ((47.5 — 50.15) /1.23) = 0.07.

Поступая аналогично, получим

Р2 = 0.21; Р3=0.31; Р4 = 0.24; Р5 = 0.12.

Обратим внимание, что сумма всех теоретических вероятностей равна 0.95, а должна быть равна 1. Это расхождение связано с тем, что из таблицы функций Лапласа мы брали значения с точностью до второго знака после запятой, а для получения в сумме 1 необходимо было брать значения функции Лапласа с более высокой точностью, например, до четвертого знака после запятой. В качестве меры расхождения между теоретическими вероятностями и статистическими частотами критерий хи — квадрат предусматривает использование величины:

χ 2 = n (30)

где n и k — число измерений и число разрядов статистического ряда, соответственно.

В теории математической статистики доказано, что при большом числе измерений n закон распределения величины χ 2 практически не зависит от вида функции распределения F(х) изучаемой величины, а зависит только от числа разрядов k(n) . При неограниченном увеличении числа n этот закон близок к распределению хи-квадрат с r степенями свободы (это есть распределение суммы квадратов г независимых случайных величин, каждая из которых распределена по нормальному закону с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсией, равной единице), с плотностью распределения величины U= χ 2

ƒ χ2(u) = , при u>0,

где e — t dt гамма- функция.

Число степеней свободы распределения хи-квадрат г = k — s , где s — число независимых условий, которым должны удовлетворять статистические вероятности Рi 2 . Число s определяется формой теоретического закона распределения. Для симметричных законов распределения, каковым является и нормальный закон, таких независимых условий три:

1. Сумма статистических вероятностей должна быть равной единице, т.е.

= 1

2. Математическое ожидание mu и среднее арифметическое значение mu* должны совпадать, т.е.

mu = = mu*

3. Теоретическая и статистическая дисперсии должны совпадать, т.е.

σu 2 = = σu *2

Таким образом, используя формулу (30) с учетом, что в нашем случае k = 5; n = 20, находим χ 2 , т.е.

χ 2 = 20[ +

Находим число степеней свободы r для нашего случая: r = k — s = 5 — 3 =2.

Берем математические таблицы для значений χ 2 зависимости от r = 2 и от вероятности сходимости эмпирического и теоретического законов распространения и для значения χ 2 = 0.64 получим, что эта вероятность равна 0.75 (указанные таблицы имеются в любом учебнике по математической статистике).

Вероятность p = 0.75 следует считать вполне достаточной для того, чтобы сделать вывод о том, что гипотеза о соответствии эмпирического закона нормальному закону распределения не противоречит полученным экспериментальным данным.

Обратим внимание на высказанное выше суждение. Здесь не говорится о том, что полученные экспериментальные данные соответствуют нормальному закону. Этого утверждать в рамках применяемых методов математической статистики мы не можем. Мы только утверждаем, что гипотеза о возможности соответствия экспериментальных данных нормальному закону в рамках критерия хи-квадрат выполняется с вероятностью 0.75.

Как отмечалось выше, возможно применение и других критериев согласия, известных в математической статистике, но критерий хи-квадрат является наиболее широко используемым.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Закон распределения результатов измерений неизвестен

Глава 4. Основы теории измерений.

4 .9 . Законы распределения случайных погрешностей.

В метрологической практике для описания случайных погрешностей используют ограниченный набор стандартных аппроксимирующих функций распределения (нормальную, равномерную, по треугольнику, по трапеции).

  1. Погрешности результатов наблюдений, округленных в ближайшую сторону отсчетов с неточностью целого (или долевого) деления шкалы.
  2. Погрешность приближенных вычислений с округлением до ближайшей значащей цифры.
  3. Погрешности регулировки в допустимых пределах ± а.
  4. Люфтовые погрешности.
  5. Погрешности от изменения температуры в допустимых пределах.
  6. Вариация показаний измерительных приборов.

Треугольные функции распределения (по Симпсону) имеют погрешности измерений длины, угла, интервала времени по двум отсчетам (начало-конец).

Аналитические зависимости, области определения, соотношения между параметрами и графики наиболее часто используемых законов распределения представлены в таблице 4.1.

Наиболее распространенной функцией распределения случайной погрешности является нормальная функция (функция Гаусса). При обработке результатов наблюдений при априорно неизвестном законе распределения случайных погрешностей проводят проверку нормальности распределения результатов наблюдений. Для этого используют методы проверки статистических гипотез. Поскольку проверка статистических гипотез основывается на опытных данных, то при принятии решения всегда возможны ошибки.Когда отвергается в действительности верная гипотеза, то совершается ошибка первого рода. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости q :

где — вероятность правильного принятия верной гипотезы.

Когда принимается в действительности неверная гипотеза, то совершается ошибка второго рода. В общем случае вычислить ее вероятность нельзя. Однако при уменьшении вероятности ошибки первого рода вероятность ошибки второго рода увеличивается. Поэтому не имеет смысла выбирать слишком низкий уровень значимости q . Обычно на практике q принимают в пределах (1. 5)%. Критерии проверки статистических гипотез приводятся в справочной литературе по теории вероятностей и в нормативных документах по метрологии, в частности, в ГОСТ 8.207 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения».

Источник

Идентификация законов распределения величин по результатам измерений

Глава 3. Обработка результатов измерений.

Методики выполнения измерений

Изменение метрологических характеристик СИ в процессе эксплуатации

Метрологические характеристики СИ могут изменяться в процессе эксплуатации. В дальнейшем будем говорить об изменениях погрешности Δ (t), подразумевая, что вместо неё может быть рассмотрена любая другая МХ.

Следует отметить, что не все составляющие погрешности подвержены изменению во времени. Среди инструментальных погрешностей есть много составляющих, практически не подверженных старению, например размер кванта в цифровых приборах.

Задача, решаемая при определении метрологической надежности СИ, состоит в построении математической модели для нахождения изменений МХ. Поскольку изменения МХ во времени – случайный процесс, то для построения математических моделей используется теория вероятностей.

Методика выполнения измерений (МВИ) представляет собой установленную совокупность операций и правил, выполнение которых обеспечивает получение результатов измерений с гарантированной точностью в соответствии с принятым методом.

Разработку МВИ выполняют на основе исходных данных, включающих:

— назначение, где указывается область применения, наименование измеряемой величины и её характеристики, а также характеристики объекта измерений, если они могут влиять на погрешность измерений;

— требования к погрешности измерений;

— вид индикации и формы представления результатов измерений;

— требования к обеспечению безопасности выполняемых работ;

3.1. Выбор количества измерений.

Цель любого измерения – это получение результата измерений с оценкой действительного значения измеряемой величины. Для достижения конечной цели проводится обработка результатов измерений. При этом выбор методов обработки результатов измерений определяется следующими факторами:

— форма закона распределения результатов измерений;

— применяемый метод измерений (прямой, косвенный);

— количество выполненных измерений искомой величины.

В метрологической практике используются следующие законы распределения:

1. Равномерный закон. Используется в случаях когда результаты измерений сосредоточены на интервале от “a” до “b” при постоянной величине плотности на этом интервале и при равенстве его нулю вне указанного интервала. Плотность распределения записывается в виде:

График имеет вид:

Равномерный закон распределения обычно применяют при выполнении равномерного квантования непрерывных величин по уровню в цифровых измерительных приборах. Для этого случая количество измерений около 6.

1.Для средств измерений, у которых погрешности изменяются в зоне нижней и верхней границ поля допуска используют закон, у которого плотность распределения имеет вид:

Количество измерений около 10.

2.К наиболее часто используемых законам относится нормальный закон распределения, плотность которого имеет следующий вид:

Где — математическое ожидание величины ,

— среднее квадратическое отклонение необходимое число измерений при нормальном законе распределения случайной величины зависит от погрешности измерения, и коэффициента вариации, определяемой выражением:

Например, = 0,33…0,35 можно считать, что распределение случайной величины подчиняется нормальному распределению.

Следующим (третьим) параметром, определяющим число измерений, является доверительная вероятность, т.е. вероятность того, что результата измерения находится в интервале:

— заранее заданная произвольно малая величина.

Таким образом, для определения числа измерений необходимо знать три параметра – погрешность измерения, коэффициент вариации и доверительную вероятность.

Если распределение погрешности подчиняется нормальному закону это уже определяет и доверительную вероятность. Например, при значение P = 0.68, при значение P = 0.95, а при значение P = 0.99, где — СКО.

Погрешность измерения Коэффициент вариации
0,2 0,25 0,3 0,35
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25

Из таблицы видно, что на практике число достоверных измерений обычно берутся в пределах до 20…30 измерений.

Если же закон распределения заранее неизвестный, то число измерений должно увеличиваться во много раз для нахождения этого закона. При этом по результатам измерений рассчитывают среднее квадратическое значение, которое является оценкой математического ожидания величины, а также статическое среднеквадратическое отклонение (СКО).

Пусть проведено П = 20 независимых измерений некоторой величины Х, рассматриваемой как случайной. Например, русть имеются результаты измерений постоянного электрического напряжения U, имеющие значения от 48В до 52В с интервалом 0,5В.

Составим вариационный ряд в виде последовательности измеренных значений величин, расположенных в порядке возрастания от наименьшего к наибольшему. Данные приведены в таблице 1.

Номер измерения
Напряжение 48,5 49,5 50,5 51,5
Количество

Общее количество измерений равно 20.

Приведем методику идентификации законы.

1. Весь диапазон измеренных величин и разбиваем на К интервалов, количество которых определяем по формулам:

можно пользоваться любой из этих формул. При больших n целесообразно использовать формулу 1.

удобном количестве интервалом округляем до целого числа.

рассматриваемого случая К = 5

2. Ширина интервалов определяется из выражения = 0,8B

3. Находим количество попаданий величины U в каждый интервал —

4. Рассчитываем вероятность попадания величины U в каждый интервал

Для рассматриваемого примера определенные выше параметры сведены в таблице 2.

48…48.8 48.4 48.8…49.6 = 49.2 49.6…50.4 50.4…51.2 = 50.8 51.2…52
0.1 0.15 0.25 0.35 0.15

5. Определим среднее арифметическое значение

6. Рассчитываем статистическую дисперсию

7. Статистическое среднеквадратическое значение

8. Находим теоретическую вероятность попадания случайной величины в каждый из разрядов по формуле:

где Ф ( ) – табулированная функция Лапласа.

В результате расчетов должно получится три условия:

1. Сумма статистических вероятностей должно быть равной единице.

2. Математическое ожидание и среднее арифметическое значение должны совпадать, т. е. .

3. Теоретическая и статистическая дисперсии должны совпадать, т.е. .

9. В качестве меры расхождения между теоретическими и статистическими вероятностями используется критерий .

n,k – число измерений и число разрядов статистического ряда соответственно

10. Находим число степеней свободы

Берем математические таблицы для значений в зависимости от r определяем вероятность сходимости эмпирического и теоретического законов распределения.

Источник

Определение закона распределения результатов измерений или

случайных погрешностей измерений. В последнем случае от выборки результатов измерений x1, x2 ,…, xn переходят к выборке отклонений от

среднего арифметического Δx1, Δx2 ,… , Δxn , где Δxi = xi Xср . Первым шагом при идентификации закона распределения является построение по исправленным результатам измерений xi , где i =1, 2,… , n, вариационного ряда (упорядоченной выборки) yi , где y1 = min xi и yn = max xi . Β вариационном ряду результаты измерений (или их отклонения от среднего арифметического) располагают в порядке возрастания. Далее этот ряд разбивается на оптимальное число m, как правило, одинаковых интервалов группирования длиной h =(y1 + yn)/m. Оптимальным является такое число интервалов m, при котором

возможное максимальное сглаживание случайных флуктуации данных сопровождается минимальным искажением от сглаживания самой кривой искомого распределения.

Далее определяют интервалы группирования экспериментальных данных в виде Δ1 = (y1, y1 + h) ; Δ2 =(y1 + h, y1 + 2h) ;…; Δm = (yn h, yn)и подсчитывают число попаданий nk (частоты) результатов измерений в каждый интервал группирования. Сумма частот должна равняться числу измерений. По полученным значениям рассчитывают вероятности попадания результатов измерений (частости) в каждый из интервалов

группирования по формуле pk = nk/ n , где k =1, 2,… , m. Проведенные расчеты позволяют построить гистограмму, полигон и кумулятивную кривую. Для построения гистограммы по оси результатов наблюдений x (рис.15) откладываются интервалы Δk в порядке

возрастания номеров и на каждом интервале строится прямоугольник высотой pk .

Площадь, заключенная под графиком, пропорциональна числу наблюдений n . Иногда высоту прямоугольника откладывают равной эмпирической плотности вероятности pk * = pk/ Δk = nk/( n Δk) , которая является оценкой средней плотности в интервале Δk . В этом случае площадь под гистограммой равна единице. При увеличении числа интервалов и соответственно уменьшении их длины гистограмма все более приближается к гладкой кривой – графику плотности распределенияn вероятности. Следует отметить, что в ряде случаев производят расчетное симметрирование гистограммы, методика которого приведена в [17].

Полигон представляет собой ломаную кривую, соединяющую середины верхних оснований каждого столбца гистограммы (см. рис. 4.12, а). Он более наглядно, чем гистограмма, отражает форму кривой распределения. За пределами гистограммы справа и слева остаются пустые интервалы, в которых точки, соответствующие их серединам, лежат на оси абсцисс. Эти точки при построении полигона соединяют между собой отрезками прямых линий. В результате совместно с осью x образуется замкнутая

фигура, площадь которой в соответствии с правилом нормирования должна быть

Рис.15. Гистограмма, полигон (а) и кумулятивная кривая (б)

Кумулятивная кривая – это график статистической функции распределения. Для ее построения по оси результатов наблюдений (рис.15, б) откладывают интервалы Δk в порядке возрастания номеров и на каждом интервале строят прямоугольник высотой

Значение Fk называется кумулятивной частостью, а сумма nk –кумулятивной частотой.

По виду построенных зависимостей может быть оценен закон распределения результатов измерений.

3. Оценка закона распределения по статистическим критериям. При числе наблюдений n > 50 для идентификации закона распределения используется критерий Пирсона χ 2 (хи-квадрат) или критерий Мизеса–Смирнова (ω 2 ). При 50 > n >15 для проверки нормальности закона распределения применяется составной критерий (d-критерий), приведенный в ГОСТ 8.207–76. При n

4. Определение доверительных интервалов случайной погрешности.

Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находят квантильный множитель zp при заданном значении доверительной вероятности Р. В этом случае доверительные границы случайной погрешности Δ = ±zp Sx .

Дата добавления: 2016-04-14 ; просмотров: 906 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник