Меню

Значения при различных числах измерений n



N – число измерений.

с округлением;

Вычисляем СКО по формуле (6.9):

, (6.9)

Для суммирования систематической и случайной составляющей погрешностей рекомендуется следующий способ.

Если , то НСП Θ(Р) пренебрегают и окончательно принимают Є(Р) за погрешность результата измерения Δ(Ρ) при доверительной вероятности Р.

Если , то пренебрегают случайной погрешностью СКО – S(X) и принимают Δ (Р) = Θ (Р).

Если , то доверительную границу погрешности результата измерений вычисляют по следующей комплексной формуле (6.10):

Δ =К(Р)⋅[Θ(Ρ)+ (Ρ)], (6.10)

где Кр=

Суммарный коэффициент g находим по формуле (6.11)

, (6.11)

Таблица 6.2 – Значения суммарного коэффициента

Обозначение величины Значение величины
g 0,3 0,5 0,7 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0
1,00 0,80 0,75 0,72 0,71 0,72 0,75 0,79 0,82 0,85

Таблица 6.3 – Поправочный коэффициент

m K(P)
5 и более 1,45
1,4
1,3
1,2

Исходя из расчёта и сравнив его по таблице 6.2, находим отношение:

, то доверительную границу погрешности результата измерений вычисляем по формуле (6.12)

, (6.12)

Случайная погрешность рассчитывается по формуле (6.13):

, (6.13)

Таблица 6.4– Значение функции Лапласа

N Значение Zpi/2 при Р
0,9 0,95 0,99
1,412 1,414 1,414
1,689 1,710 1,728
1,869 1,917 1,972
1,996 2,067 2,161
2,093 2,182 2,310
2,172 2,273 2,431
2,237 2,349 2,532
2,294 2,414 2,753

(Р) = 1,414 · 0,017 = 0,024

Вывод по проведенной лабораторной работе:

Результат измерений можно записать в следующей форме:

А = (24,457 ± 0,024) мм.

Для более точных измерений было бы лучше выбрать рычажный микрометр МР 50 или индикаторную скобу СИ 50 с ценой деления 0,001 мм.

6.8 Варианты выполнения лабораторной работы:

№ по списку гр. Параметры метр.резьбы; Р-шаг. № по списку гр. Параметры метр.резьбы; Р-шаг.
М10;Р=0,5 М8;Р=0,5
М10;Р=1,0 М8;Р=0,75
М10;Р=1,5 М8;НР=1,0
М10;Р=0,75 М8;Р=1,25
М12;Р=0,5 М8;Р=1,5
М12;Р=0,75 М16;Р=0,75
М12;Р=1,0 М16;Р=1,0
М12;Р=1,25 М16;Р=1,25
М12;Р=1,5 М16;Р=1,5
М12;Р=1,75 М16;Р=1,75
М14;Р=0,5 М16;Р=2,0
М14;Р=0,75 М16;Р=2,25
М14;Р=1,0 М16;Р=2,5
М14;Р=1,25 М18;Р=1,0
М14;Р=1,5 М18;Р=1,25
М14;Р=1,75 М18;Р=1,5

Вопросы для самоконтроля

6.9.1 Какие вы знаете микрометрические инструменты?

6.9.2 Что называется измерением? Какие методы вы знаете?

6.9.З Что называется абсолютным методом измерения?

6.9.4 В чем сущность метода измерения трёх проволочек?

6.9.5 Устройство и назначение микрометра.

6.9.6 Перечислите погрешности, возникающие при измерении микрометром.

6.9.7 Порядок измерения среднего диаметра вала рычажным микрометром.

6.9.8 Сделайте выводы по работе, если бы при выборе СИ, был бы взят рычажный микрометр МР 50 с ценой деления 0,001 мм.

7 Лабораторная работа № 7 Измерения линейно-угловых величин штангенинструментом

Дата добавления: 2015-01-13 ; просмотров: 1898 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

1.5.3. Обнаружение грубых погрешностей и их устранение.

Обнаружение грубых погрешностей решается методами проверки статистических гипотез. Проверяемая гипотеза состоит в том, что результат измерения Xk не содержит грубой погрешности. Сомнительным может быть только наибольший Xmax или наименьший Xmin из результатов. Для проверки гипотезы составим величины

; ; 1.17

При заданной доверительной вероятности  (обычно, 0.1 или 0.05 ), или уровне значимости q = 1 — , можно найти те наибольшие значения  , которое случайная величина  может принимать по чисто случайным причинам. Величину  можно найти по таблице Приложения 2.

Если выборка достаточно большая (N > 25), то можно применить простой критерий Романовского выявления промахов, который часто используется на практике. Если для какого-то измеренного значения Xi выполняется неравенство:

| Xi| > 3 S , (1.18)

то это – промах. Этот критерий очень удобен для применения и автоматизации измерений.

Таким образом, порядок обработки результатов измерений состоит в следующем :

определяют точечные оценки истинного значения измеряемой величины и среднеквадратического отклонения результатов измерений,

проверяют нормальность распределения результатов измерения (или принятие этой гипотезы без обоснования),

задаваясь значениями доверительных вероятностей, находят доверительные границы результата измерений, и доверительный интервал для среднего квадратического отклонения измерений,

определяют наличие грубых погрешностей, и, если последние обнаружены, соответствующие результаты отбрасывают и повторяют вычисления.

1.5.4. Определение погрешностей для косвенных измерений.

Вычисления погрешностей, о которых говорилось выше, относятся к прямым измерениям. Однако наибольшее распространение в настоящее время имеют косвенные измерения. Особенно широко распространены эти измерения в артиллерийских испытаниях. Так, для стендовых испытаний и испытаний вне ствола, важно определить скорость снаряда, или отката ствола, которая вычисляется как отношение расстояния к времени пролета. Практически мы измеряем это расстояние между датчиками (с погрешностью), и время пролета ( с погрешностью). Таким образом, это – типично косвенное измерение.

Опишем процедуру получения погрешностей для косвенных измерений. Напомним, что при косвенных измерениях значение искомой величины получают на основании известной зависимости, связывающей с другими физическими величинами, которые измеряют прямыми измерениями.

Рассмотрим общий случай, когда требуется оценить истинное значение величины Z , которая связана с величинами Xm (m=1, . . .,n), которые измеряют прямыми методами. Величина Z связана с Xm (m=1, . . .,n) общим нелинейным соотношением:

Найдем оценку матожидания результата косвенного измерения по результатам матожиданийпрямых измерений, при этом искомая оценка должна иметь наименьшую дисперсию, и следовательно, наибольшую точность среди всех возможных оценок (быть эффективной).

Считаем, что в процессе измерений величин Xm (m=1, . . .,n) систематические погрешности уже исключены, или пренебрежимо малы по сравнению со случайными погрешностями δm (m=1, . . .,n). Также считаем, что измерения величин Xm (m=1, . . .,n) являются независимыми (что обычно выполняется в практике измерений), поэтому сами случайные погрешности δm (m=1, . . .,n) тоже независимы друг от друга. Считая, что случайные погрешности малы ( |δm | -4 – 10 -6 с ). Таким образом, это – типично косвенное измерение, причем типовые значения – это Н ≈ 0.5м, а V ≈ 10 м/с , что приводит к типовой оценке для Δt ≈ 5*10 -2 c.

В соответствие с (1.20) имеем:

ΔV = δH / + ) * δΔt = . (1.26)

В соответствие с нашими измерениями, имеем = 0.4m; = 0.042s . Используя данные измерений:

Н = 0.500, 0.501, 0.497, 0.499, 0.503, 0.498, 0.502, 0.500, 0.499, 0.498 м.

Δt = 0.042501, 0.042499, 0.042502, 0.042498, 0.0425, 0.042502, 0.0425, 0.042497, 0.042499, 0.042503 с, необходимо вычислить среднюю скорость и погрешность ее определения по формулам (1.21) – (1.26) .

Квантили распределения Стьюдента

Источник

Фгоу впо мгуп учебно-методический комплекс мсис пуховский 2011 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «московский государственный университет природообустройства»

Рассчитайте среднее и стандартное отклонение,

Применив критерий ν α определите наличие грубого промаха в серии, если он присутствует – исключите его из серии и повторите расчет ( повторный поиск грубого промаха не производят)

Значения   при различных числах измерения n

В соответствии с правилами оформления результатов измерений рассчитайте доверительный интервал с использованием коэффициентов Стьюдента (Доверительную вероятность принимать равной 0,95).

Распределение Стьюдента. Значения

Задача 3. Обработка результатов многократных измерений. Поиск скрытой закономерности по критерию Аббе

Исходные данные для вариантов приведены в таблице.

Построить график и визуально оценить наличие скрытой закономерности

Рассчитать критерий Аббе и сравнить его с табличным значением для выбранного уровня значимости и сделать заключение о наличии или отсутствии систематической погрешности.

Примечание, предварительно требуется провести экстраполяцию данных справочной таблицы к числу дат в задании

Значения критерия Аббе при уровне значимости

Источник

В качестве истинного значения при многократных измерениях параметра выступает

среднее арифметическое значение х

(4.1)

Величина х,полученная в одной серии измерений, является случайным приближением к хи. Для оценки ее возможных откло­нений от хи определяют опытное среднеквадратическое откло­нение (СКО)

(4.2)

Для оценки рассеяния отдельных результатов хi. измерения от­носительно среднего x определяют СКО:

(4.3)

Примечание.Применение формул (4.3) правомерно при усло­вии постоянства измеряемой величины в процессе измерения. Если при измерении величина изменяется, как при измерении темпе­ратуры остывающего металла или измерении потенциала провод­ника через равные отрезки длины, то в формулах (4.3) в качестве x следует брать какую-то постоянную величину, например нача­ло отсчета.

Формулы (4.2) и (4.3)соответствуют центральной предельной теореме теории вероятностей, согласно которой

Среднее арифметическое из ряда измерений всегда имеет мень­шую погрешность, чем погрешность каждого определенного из­мерения. Это отражает и формула (4.4), определяющая фундамен­тальный закон теории погрешностей. Из него следует, что если необходимо повысить точность результата (при исключенной си­стематической погрешности) в 2 раза, то число измерений нужно увеличить в 4 раза; если требуется увеличить точность в 3 раза, то число измерений увеличивают в 9 раз и т. д.

зависимости от характера проявления, причин возникнове­ния и возможностей устранения различают систематическую и случайную составляющие погрешности измерений, а также гру­бые погрешности (промахи).

Читайте также:  Приборы для измерения скорости движения ветра

Систематическая Δс составляющая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одного и того же параметра.

СлучайнаяΔсоставляющая изменяется при повторных изме­рениях одного и того же

параметра случайным образом.

Грубые погрешности (промахи) возникают из-за ошибочных действий оператора, неисправности СИ или резких изменений усло­вий измерений. Как правило, грубые погрешности выявляются в результате обработки результатов измерений с помощью специ­альных критериев.

Случайная и систематическая составляющие погрешности из­мерения проявляются

одновременно, так что общая погрешность при их независимости Δ= Δс +Δ или через

Значение случайной погрешности заранее неизвестно, оно воз­никает из-за множества не уточненных факторов.

Случайные погрешности нельзя исключить полностью, но их влияние может быть уменьшено путем обработки результатов из­мерений. Для этого должны быть известны вероятностные и стати­стические характеристики (закон распределения, закон математи­ческого ожидания, СКО, доверительная вероятность и довери­тельный интервал). Часто для предварительной оценки закона

распределения параметра используют относительную величину СКО — коэффициент вариации:

(4.5)

Если Р означает вероятность а того, что х результата измерения отличается от истинного на

о

величину не более чем Δ, т. е.

(4.6)

то в этом случае Р — доверительная вероятность, а интервал от

х — Δ до х + Δ — доверительный интервал.

Таким образом, для характеристики случайной погрешности надо обязательно задать два числа — величину самой погрешности (или доверительный интервал) и доверительную вероятность.

Если распределение случайной погрешности подчиняется нор­мальному закону , то вместо значения Δ указывается σх. Одновременно это уже определяет и доверительную вероятность

Р. Например: при Δ = 0^ значение Р= 0,68; при Δ = 2о-гзначениеP=0,95; при Δ = 3ст значение

Доверительная вероятность по формуле (6) характеризует вероятность того, что отдельное

измерение х не будет отклонять­ся от истинного значения более чем на Δ. Безусловно, важнее

знать отклонение от истинного значения среднего арифметичес­кого ряда измерений.

При рассмотрении оценки СКО по «необходимому» (достаточно большому) числу измеренийσ 2 называется генеральной дисперсией. При малом числе измерений (менее 10— 20) получают выборочную дисперсию σ 2 . Причем

σ 2 →σ 2 лишь при п→∞. То есть если σ 2 =σ 2 , то надежность оценки уменьшается с уменьшением п, а значения доверительной вероятности Р завышаются.

Поэтому при ограниченном числе измерений п вводится коэффи­циент Стьюдента tp, определяемый по специальным таблицам в за­висимости от числа измерений и принятой доверительной ве­роятности Р.

Тогда средний результат измерений находится с заданной вероятностью Р в интервале

J = х ± t σx / √п и отличается от действительного значения на относительную величину

Для уменьшения случайной погрешности есть два пути: повы­шение точности измерений (уменьшение σх) и увеличение числа измерений п с целью использования соотношения (4.4).Считая, что все возможности совершенствования техники измерений использо­ваны, рассмотрим второй путь. При этом отметим, что уменьшать случайную составляющую погрешности целесообразно лишь до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью опре­деляться систематической составляющей Δ. Если систематическая погрешность определяется классом точности СИ Δси (или γси), то необходимо, чтобы доверительный интервал ±tpσx /√n был суще­ственно меньше Δс.

Обычно принимают от Δ 2 х = min.

Перечисленным требованиям удовлетворяет среднее арифме­тическое х результатов п наблюдений.

Таким образом, результат отдельного измерения является слу­чайной величиной. Тогда точность измерений— это близость резуль­татов измерений к истинному значению измеряемой величины.

Если систематические составляющие погрешности исключе­ны, то точность результата

измерений х характеризуется степе­нью рассеяния его значения, т. е. дисперсией. Как показано выше (см. формулу 4.4), дисперсия среднего арифметического σ 2 x в п раз меньше дисперсии отдельного результата наблюдения.

На рис. 9 заштрихованная площадь относится к плотности ве­роятности распределения среднего значения.

Правильность измерений определяется близостью к нулю сис­тематической погрешности.

Достоверность измеренийзависит от степени доверия к резуль­тату и характеризуется вероятностью того, что истинное значение измеряемой величины лежит в указанных окрестностях действи­тельного. Эти вероятности называют доверительными вероятностями, а границы (окрестности) — доверительными границами:

где Sn(t) — интегральная функция распределения Стьюдента. При увеличении числа наблюдений п распределение Стьюдента быст­ро приближается к нормальному и переходит в него уже при п ≥ 30.

Другими словами, достоверность измерения — это близость к нулю случайной (или не исключенной) систематической погрешности.

Для количественной оценки качества измерений рассмотрим влияние параметров измерений на погрешность их результатов. При планировании измерений и оценке их результатов задаются определенной моделью погрешностей: предполагают наличие тех или иных составляющих погрешности, закон их распределения, кор­реляционные связи и др. На основе таких предположений выбира­ют СИ по точности, необходимый объем выборки объектов изме­рений и метод оценивания результатов измерений.

В этой связи необходимо знать влияние на погрешность ре­зультатов измерений:

• числа наблюдений и доверительной вероятности, с которой должны быть известны вероятностные характеристики результатов;

• степени исправленное™ наблюдений, т. е. наличия НСП на­блюдений;

• вида и формы закона распределения погрешностей.

Когда систематические погрешности результатов наблюдений отсутствуют (Δс= 0), доверительная погрешность Δ _ x среднего ариф­метического зависит только от погрешности метода σx, числа на­блюдений n и доверительной вероятности РΔ. Так как случайная

величина tp =(x-x)/ σx имеет распределение Стьюдента с n — 1 степенями свободы, то, воспользовавшись таблицей этого рас­пределения, можно построить зависимость f

Рис. 10

Такая зависимость для РΔ=0,90; 0,95; 0,99 и n = 2-2Δс изображе­на на рис. 10

По кривым можно оценить влияние n и РΔ на Δx -. Так, на участке кривых при n≤ 5 величина Δx / σx очень чувствительна к n для любых РΔ. Например, при переходе n = 2к n = 3 величина Δx / σx при РΔ = 0,95 уменьшается более чем в 3 раза. С ростом РΔ чувствительность Δx / σx к n возрастает. На участке кривых при n >5 уменьшение Δx / σx от роста я замедляется настолько, что возни­кает задача определения практически предельного значения числа наблюдений. Действительно, неограниченному уменьшению по­грешностей при увеличении n препятствует не исключенная сис­тематическая погрешность в результатах наблюдений. Дальнейшее увеличение n вызывает незначительное сужение доверительного

интервала ΔxТак, если систематические погрешности отсутству­ют, то для любого σx при n > 7 и РΔ = 0,90, при n > 8 и РΔ = 0,95 и при n > 10 и РΔ= 0,99 величина Δx уменьшается всего на 6—8%и менее. Поэтому при эксплуатации и испытаниях ТС рекомендуется, во-первых, использовать доверительную вероятность РΔ = 0,9, так как в этом случае для широкого класса симметричных распреде­лений погрешностей Δx = 1,6 σx и не зависит от вида этих рас­пределений; во-вторых, при Рд =0,9 использовать выборку наблю­дений объемом не более

Аналогично ведет себя корреляция результатов измерений па­раметров изделия. Для выборочного СКО среднего арифметичес­кого прямого измерения с многократными наблюдениями при условии, что результаты наблюдений хi, и xkкоррелированы, мо­жет быть использована формула

Где rxixk коэффициент корреляции результатов xt и xk , Kxx поправочный множитель.

Расчеты по формуле показывают сильное влияние кор­реляции результатов наблюдений на σx

Таблица.

Значение коэффициента корреляции и поправочного множителя

Как видно из табл. величина σx может быть существенно занижена. Так, при малой корреляции результатов и n≤ 20 это занижение не превышает 1,7 раза. При сильной корреляции вели­чина σx -, характеризующая точность результатов измерений, мо­жет быть занижена в несколько раз.

Заметно влияет на СКО результатов наблюдений σx , называ­емое иногда погрешностью метода измерений, степень исправ­ленное™ результатов наблюдений перед обработкой. Действитель­но, если выполняются технические измерения и результат изме­рения получают в виде среднего арифметического значения х, то величину погрешности метода в этом случае (обозначим ее σx1 ) определяют по формуле (4.2). Если измерения той же величины выполняют с такой точностью, что вместо x получают истинное значение искомого параметра, т. е. х = х, то погрешность метода в этом случае (обозначим ее σx2) получают по аналогичной форму­ле, в которую вместо делителя (n — 1) подставляют делитель n.

Несущественная на первый взгляд заменах x на х намечает ряд проблем. Оказывается, что наиболее употребляемая на практике характеристика σx1 как статистическая оценка имеет большее смешение и менее эффективна, чем характеристика σx2.

Так, относительная величина смещенности СКО Δс =(М[σх]-σ-x ) /σхоценок σx1 и σx2 и их эффективность Еσ как функция числа наблюдений n приведены на рис.11 и показывают следующее :

Читайте также:  Перевод единиц измерения активности

• характеристики Δσ и Еσявляются монотонными функциями n;:

• обе оценки смещены относительно истинного СКО, получен­ного поданным генеральной совокупности, оценка σx1— больше, оценка σx2— меньше. При n > 50 смещение обеих оценок составляет примерно 0,5% и с уменьшением n растет, особенно при n 2 + θ 2

• окончательный результат записывают в виде х = х ± ΔΣ при вероятности P.

При планировании измерительных операций и обработке их ре­зультатов зачастую приходится пользоваться неравноточными из­мерениями(т. е. измерениями одной и той же физической величи­ны, выполненными с различной точностью, разными приборами, в различных условиях, различными исследователями и т. д.).

Для оценки наиболее вероятного значения величины по дан­ным неравноточных измерений вводят понятие «веса » измерения:

где ni и σi 2 объем и дисперсия i-й серии равноточных измере­ний.

Тогда, если неравноточные измерения привели к результатам

x1, x2,…xm ( xj среднеарифметическое ряда равноточных изме­рений; j 2 +Δмет 2

суммарная погрешность измерения, определяемая классом точ­ности СИ (Δси) и методической погрешностью (Δмет).

Для уточненной оценки возможности применения однократ­ных измерений следует сопоставить суммарные погрешности, по­лучаемые при этом, с суммарными погрешностями многократ­ных измерений при наличии случайной Δ и не исключенной систематической составляющих. Учитывая, что

при многократных измерениях суммарное СК.О результата σΣи=К√σх/n+θ 2 /3

а, при однократных σΣ0=К√ σх +θ 2 /3

в зависимости от θ/σх и числа измерений приведено на рис. 12 из графиков которого следует:

• при θ/ σх ≥ 8 отношение γ≈const и практически не зависит от n т. е. в этих условиях нет смысла в многократных измерениях, случайная составляющая пренебрежительно мала и определяю­щей является не исключенная систематическая составляющая;

• при θ/ σх 2 + θ /3 — СКО ком­позиции; θ (P) и Δ (Р) — соответственно не исключенная система­тическая составляющая и доверительная граница случайной погреш­ности при заданной доверительной вероятности Р.

Вычисление погрешности Δ(P) по формуле дает по­грешность не более 12%, но достаточно сложным способом. По­этому можно пользоваться упрощенной формулой _»

Коэффициент Кр находят в зависимости от доверительной ве­роятности P, принимаемой на уровне 0,95 или 0,99, следующим образом:

Практически, если одна из составляющих Δс или Δ менее 5% общей погрешности, то этой составляющей можно пренебречь.

Алгоритм действий, например, при разработке и аттестации методик выполнения измерений с однократными измерениями заключается в следующем:

1. Предварительно устанавливают необходимую допускаемую погрешность Δg измерения.

2. Для самой неблагоприятной функции распределения — нормальной в соответствии

с ГОСТ 8.207—76 находят Δс, Δ=2σx и принимают Р = 0,95.

3. Находят значение погрешности Δ = 0,85( Δ + Δс) и сравнивают его с Δg.

Если Δ ΔС необходимо перейти к мно­гократным измерениям.

Источник

N – число измерений.

с округлением;

Вычисляем СКО по формуле (6.9):

, (6.9)

Для суммирования систематической и случайной составляющей погрешностей рекомендуется следующий способ.

Если , то НСП Θ(Р) пренебрегают и окончательно принимают Є(Р) за погрешность результата измерения Δ(Ρ) при доверительной вероятности Р.

Если , то пренебрегают случайной погрешностью СКО – S(X) и принимают Δ (Р) = Θ (Р).

Если , то доверительную границу погрешности результата измерений вычисляют по следующей комплексной формуле (6.10):

Δ =К(Р)⋅[Θ(Ρ)+ (Ρ)], (6.10)

где Кр=

Суммарный коэффициент g находим по формуле (6.11)

, (6.11)

Таблица 6.2 – Значения суммарного коэффициента

Обозначение величины Значение величины
g 0,3 0,5 0,7 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0
1,00 0,80 0,75 0,72 0,71 0,72 0,75 0,79 0,82 0,85

Таблица 6.3 – Поправочный коэффициент

m K(P)
5 и более 1,45
1,4
1,3
1,2

Исходя из расчёта и сравнив его по таблице 6.2, находим отношение:

, то доверительную границу погрешности результата измерений вычисляем по формуле (6.12)

, (6.12)

Случайная погрешность рассчитывается по формуле (6.13):

, (6.13)

Таблица 6.4– Значение функции Лапласа

N Значение Zpi/2 при Р
0,9 0,95 0,99
1,412 1,414 1,414
1,689 1,710 1,728
1,869 1,917 1,972
1,996 2,067 2,161
2,093 2,182 2,310
2,172 2,273 2,431
2,237 2,349 2,532
2,294 2,414 2,753

(Р) = 1,414 · 0,017 = 0,024

Вывод по проведенной лабораторной работе:

Результат измерений можно записать в следующей форме:

А = (24,457 ± 0,024) мм.

Для более точных измерений было бы лучше выбрать рычажный микрометр МР 50 или индикаторную скобу СИ 50 с ценой деления 0,001 мм.

6.8 Варианты выполнения лабораторной работы:

№ по списку гр. Параметры метр.резьбы; Р-шаг. № по списку гр. Параметры метр.резьбы; Р-шаг.
М10;Р=0,5 М8;Р=0,5
М10;Р=1,0 М8;Р=0,75
М10;Р=1,5 М8;НР=1,0
М10;Р=0,75 М8;Р=1,25
М12;Р=0,5 М8;Р=1,5
М12;Р=0,75 М16;Р=0,75
М12;Р=1,0 М16;Р=1,0
М12;Р=1,25 М16;Р=1,25
М12;Р=1,5 М16;Р=1,5
М12;Р=1,75 М16;Р=1,75
М14;Р=0,5 М16;Р=2,0
М14;Р=0,75 М16;Р=2,25
М14;Р=1,0 М16;Р=2,5
М14;Р=1,25 М18;Р=1,0
М14;Р=1,5 М18;Р=1,25
М14;Р=1,75 М18;Р=1,5

Вопросы для самоконтроля

6.9.1 Какие вы знаете микрометрические инструменты?

6.9.2 Что называется измерением? Какие методы вы знаете?

6.9.З Что называется абсолютным методом измерения?

6.9.4 В чем сущность метода измерения трёх проволочек?

6.9.5 Устройство и назначение микрометра.

6.9.6 Перечислите погрешности, возникающие при измерении микрометром.

6.9.7 Порядок измерения среднего диаметра вала рычажным микрометром.

6.9.8 Сделайте выводы по работе, если бы при выборе СИ, был бы взят рычажный микрометр МР 50 с ценой деления 0,001 мм.

7 Лабораторная работа № 7 Измерения линейно-угловых величин штангенинструментом

Дата добавления: 2015-01-13 ; просмотров: 1899 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Фгоу впо мгуп учебно-методический комплекс мсис пуховский 2011 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «московский государственный университет природообустройства»

Рассчитайте среднее и стандартное отклонение,

Применив критерий ν α определите наличие грубого промаха в серии, если он присутствует – исключите его из серии и повторите расчет ( повторный поиск грубого промаха не производят)

Значения   при различных числах измерения n

В соответствии с правилами оформления результатов измерений рассчитайте доверительный интервал с использованием коэффициентов Стьюдента (Доверительную вероятность принимать равной 0,95).

Распределение Стьюдента. Значения

Задача 3. Обработка результатов многократных измерений. Поиск скрытой закономерности по критерию Аббе

Исходные данные для вариантов приведены в таблице.

Построить график и визуально оценить наличие скрытой закономерности

Рассчитать критерий Аббе и сравнить его с табличным значением для выбранного уровня значимости и сделать заключение о наличии или отсутствии систематической погрешности.

Примечание, предварительно требуется провести экстраполяцию данных справочной таблицы к числу дат в задании

Значения критерия Аббе при уровне значимости

Источник

1.5.3. Обнаружение грубых погрешностей и их устранение.

Обнаружение грубых погрешностей решается методами проверки статистических гипотез. Проверяемая гипотеза состоит в том, что результат измерения Xk не содержит грубой погрешности. Сомнительным может быть только наибольший Xmax или наименьший Xmin из результатов. Для проверки гипотезы составим величины

; ; 1.17

При заданной доверительной вероятности  (обычно, 0.1 или 0.05 ), или уровне значимости q = 1 — , можно найти те наибольшие значения  , которое случайная величина  может принимать по чисто случайным причинам. Величину  можно найти по таблице Приложения 2.

Если выборка достаточно большая (N > 25), то можно применить простой критерий Романовского выявления промахов, который часто используется на практике. Если для какого-то измеренного значения Xi выполняется неравенство:

| Xi| > 3 S , (1.18)

то это – промах. Этот критерий очень удобен для применения и автоматизации измерений.

Таким образом, порядок обработки результатов измерений состоит в следующем :

определяют точечные оценки истинного значения измеряемой величины и среднеквадратического отклонения результатов измерений,

проверяют нормальность распределения результатов измерения (или принятие этой гипотезы без обоснования),

задаваясь значениями доверительных вероятностей, находят доверительные границы результата измерений, и доверительный интервал для среднего квадратического отклонения измерений,

определяют наличие грубых погрешностей, и, если последние обнаружены, соответствующие результаты отбрасывают и повторяют вычисления.

1.5.4. Определение погрешностей для косвенных измерений.

Вычисления погрешностей, о которых говорилось выше, относятся к прямым измерениям. Однако наибольшее распространение в настоящее время имеют косвенные измерения. Особенно широко распространены эти измерения в артиллерийских испытаниях. Так, для стендовых испытаний и испытаний вне ствола, важно определить скорость снаряда, или отката ствола, которая вычисляется как отношение расстояния к времени пролета. Практически мы измеряем это расстояние между датчиками (с погрешностью), и время пролета ( с погрешностью). Таким образом, это – типично косвенное измерение.

Читайте также:  Журнал измерения температуры работников бланк

Опишем процедуру получения погрешностей для косвенных измерений. Напомним, что при косвенных измерениях значение искомой величины получают на основании известной зависимости, связывающей с другими физическими величинами, которые измеряют прямыми измерениями.

Рассмотрим общий случай, когда требуется оценить истинное значение величины Z , которая связана с величинами Xm (m=1, . . .,n), которые измеряют прямыми методами. Величина Z связана с Xm (m=1, . . .,n) общим нелинейным соотношением:

Найдем оценку матожидания результата косвенного измерения по результатам матожиданийпрямых измерений, при этом искомая оценка должна иметь наименьшую дисперсию, и следовательно, наибольшую точность среди всех возможных оценок (быть эффективной).

Считаем, что в процессе измерений величин Xm (m=1, . . .,n) систематические погрешности уже исключены, или пренебрежимо малы по сравнению со случайными погрешностями δm (m=1, . . .,n). Также считаем, что измерения величин Xm (m=1, . . .,n) являются независимыми (что обычно выполняется в практике измерений), поэтому сами случайные погрешности δm (m=1, . . .,n) тоже независимы друг от друга. Считая, что случайные погрешности малы ( |δm | -4 – 10 -6 с ). Таким образом, это – типично косвенное измерение, причем типовые значения – это Н ≈ 0.5м, а V ≈ 10 м/с , что приводит к типовой оценке для Δt ≈ 5*10 -2 c.

В соответствие с (1.20) имеем:

ΔV = δH / + ) * δΔt = . (1.26)

В соответствие с нашими измерениями, имеем = 0.4m; = 0.042s . Используя данные измерений:

Н = 0.500, 0.501, 0.497, 0.499, 0.503, 0.498, 0.502, 0.500, 0.499, 0.498 м.

Δt = 0.042501, 0.042499, 0.042502, 0.042498, 0.0425, 0.042502, 0.0425, 0.042497, 0.042499, 0.042503 с, необходимо вычислить среднюю скорость и погрешность ее определения по формулам (1.21) – (1.26) .

Квантили распределения Стьюдента

Источник

Где n — число измерений

Упомянутая выше теория погрешностей дает возможность найти величину случайной погрешности Dхсл, т.е. расхождение между хо и . При этом исходят из следующих соображений.

Пусть a характеризует вероятность того, что истинное значение хо измеряемой величины отличается от на величину, не большую Dхсл, т.е. вероятность того, что истинное значение попадет в интервал от — Dxсл до +Dxсл (рис.1.1). Например, если a = 0,95, то это означает, что при многократных повторениях опыта ошибки отдельных измерений в 95 случаях из 100 не превысят значения Dхсл. Вероятность a называется доверительной вероятностью или надежностью, а интервал значе­ний ( ± Dxсл ) — доверительным интервалом. Как видно, Dxсл — это полуширина доверительного интервала. Ее и принимают за абсолютную случайную погрешность. Полуширину доверительного интервала принимают за абсолютную погрешность и в других случаях, например, при косвенных измерениях.

Задача, очевидно, состоит в том, чтобы отыскать Dxсл при наперед заданном значении a. Решению этого вопроса помогает существующая между Dxсл и a математическая связь. Качествен­но эта связь ясна: чем с большей надежностью мы хотим указать результат данных измерений, тем больше должен быть дове­ри­тель­ный интервал.

В теории погрешностей в качестве единицы ширины до­ве­рительного интервала вы­бра­на так называемая средняя ква­дра­тичная погрешность ре­зуль­тата измерений

S = . (1.3)

Здесь — среднее для измеренных n значений (i =1, …, n);

— отклонение i — го наблюдения от среднего значения, n — число измерений.

Учитывая сказанное, было предложено в случае небольшого числа измерений (именно так обстоит дело в учебных лабораториях) вычислять полуширину доверительного интервала по формуле:

Dхсл , (1. 4)

где ta,n — некоторое, зависящее от a и n число, называемое коэффициентом Стьюдента. Зависимость ta,n от n понятна: чем больше n, тем меньше отличается от истинного значения, и тем меньше будет доверительный интервал, точнее результат измерения, а значит меньше ta,n.

3. Систематическиминазываются погрешности, которые сохраняют свою величину и знак во время эксперимента. Систематические ошибки вызываются разными причинами, односторонне влияющими на результат измерений:

· ограниченной точностью приборов (измерительных инструментов) – приборные (инструментальные погрешности);

· неправильной настройкой (неравные плечи весов, стрелка не установлена на ноль и т.д.);

· в расчетных формулах не учтено влияние некоторых второстепенных факторов (например, при взвешивании не учитывается сила Архимеда, при измерении электросопротивления не учитывается сопротивление проводящих проводов);

· округлениями, которые производятся при измерениях и вычислениях.

В большем числе случаев систематические погрешности могут быть изучены и скомпенсированы путем внесения поправок в результаты измерений. Если же сделать этого нельзя (или сложно), необходимо правильно учесть вклад систематической ошибки в общую ошибку измерений.

При выполнении лабораторных работ приходится оценивать, как правило, следующие систематические ошибки.

3.1. Приборная (инструментальная) погрешность. Погрешность показания прибора (например, связанная с неправильностью разбивки шкалы амперметра, линейки. ) является вполне определенной. При обработке результатов измерений этот вид погрешностей задается в виде так называемой предельной погрешности прибора (коротко — приборной погрешности), указывающей, какова максимально возможная погрешность при использовании данного прибора. При этом для одних приборов указывается предельная абсолютная погрешность Dхпр, для других (электроизмерительных, части оптических) предельная относительная погрешность (класс точности прибора k).

Классом точности прибора называется отношение предельной абсолютной погрешности к максимальному значению измеряемой прибором величины

100 . (1.5)

Классов точности семь: 0,02; 0.05; 0,1; 0.5; 1; 2,5; 4. Это число указано на шкале прибора. Зная класс точности и пределы измерения прибора, можно рассчитать его предельную погрешность

. (1.6)

Приборная погрешность других приборов равна точности измерительного прибора, под которой понимают ту наименьшую величину, которую можно надежно определить с помощью данного прибора. Точность прибора зависит от цены наименьшего деления его шкалы и указывается на самом приборе или в его паспорте. Если этих данных нет, то пользуются следующими правилами: если прибор снабжен нониусом (например, штангенциркуль), то его точность (и приборная погрешность) равна цене наименьшего деленияDхпр =D. При этомD = l / m, где l — цена наименьшего деления основной шкалы прибора, m — число делений нониуса. При отсутствии нониуса (линейка, термометр. ) точность прибора равна половине наименьшего деления шкалы прибора .

Приборная погрешность Dхпр представляет собой наибольшую погрешность, даваемую прибором. Действительная же погрешность прибора Dхпр ст (стандартное отклонение) носит случайный характер и меньше Dхпр. Строгих формул для перевода Dхпр в Dхпр ст нет, чаще всего пользуются выражением

, (1.7)

где — коэффициент Стьюдента при n = ¥.

Примечание: для электроизмерительных приборов Dхпр не зависит от значения измеряемой величины хизм. Относительная же погрешность измерения, т.е. Dхпр / хизм, зависит от хизм: чем больше хизм , тем меньше относительная погрешность. Поэтому при измерениях рекомендуется выбирать такие пределы измерения, чтобы отсчеты на них производились бы по второй половине шкалы прибора.

3.2. Погрешность округления при измерении. При измерениях показания приборов часто лежат между делениями шкалы. Отсчет “на глаз” долей деления затруднительны. Поэтому показания приборов, как правило, округляются — возникает погрешность округления при измерениях.

Интервал округления может быть различным. Чаще всего это либо цена наименьшего деления шкалы — D, либо половина цены деления. Очевидно, максимальная погрешность округления равна половине интервала округления, т.е. величине D/2. Действительная же погрешность меньше, и при доверительной вероятностиa за погрешность округления принимают величину

. (1.8)

3.3. Погрешность округления при вычислениях.Этот вид погрешности приходится учитывать только при косвенных измерениях. По этой причине сведения по данной погрешности в следующем разделе.

4. Полная погрешность. Как уже отмечалось, в реальных условиях присутствуют как случайные, так и систематические погрешности. В теории вероятности показывается, что погрешность, обусловленная несколькими независимыми причинами, определяется квадратичным суммированием, т. е. полная абсолютная погрешность прямого измерения

. (1.9)

. (1.10)

При этом доверительная вероятность a выбирается одинаковой для всех видов погрешностей.

Некоторые из слагаемых под знаком корня могут быть настолько малыми по сравнению с другими, что ими можно пренебречь (малыми считаются ошибки, которые не превышают 30 % от максимальной).

В заключение отметим, что количество необходимых измерений определяется соотношением приборной и случайной погрешностей. Если при повторных измерениях получается одно и то же значение, то это означает, что случайная погрешность в данном методе измерений значительно меньше приборной и большее число измерений не изменит общей ошибки.

При значительной случайной погрешности (при повторных измерениях получаются отличные друг от друга значения) число измерений лучше выбрать таким, чтобы случайная погрешность среднего арифметического была меньше приборной, или, по крайней мере, одного с ней порядка.

Источник